Lezione
Progetto di Strutture
Sistemi a più gradi di libertà
Modi di oscillazione libera
Assegnando una
deformata iniziale
generica
Assegnando una
particolare deformata
iniziale
la forma varia
man mano
la forma resta
la stessa
modo di oscillazione libera
del sistema
m3
m2
m1
Modi di oscillazione libera
Telaio piano (con traversi inestensibili):
numero di modi di oscillazione libera = numero di piani
m3
m2
m1
T1
Primo modo
T2
Secondo modo
T3
Terzo modo
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):
numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi
di oscillazione libera sono disaccoppiati:
- n modi di traslazione in una direzione
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):
numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi
di oscillazione libera sono disaccoppiati:
- n modi di traslazione in una direzione
- n modi di traslazione nell’altra direzione
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):
numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi
di oscillazione libera sono disaccoppiati:
- n modi di traslazione in una direzione
- n modi di traslazione nell’altra direzione
- n modi di rotazione
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):
numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Se la pianta ha un asse di simmetria, i modi di
oscillazione libera secondo la direzione
di simmetria sono disaccoppiati dagli altri:
- n modi di traslazione nella direzione di simmetria
- 2n modi di traslazione e rotazione
Modi di oscillazione libera
Esempio - edificio con un asse di simmetria
17
23
22
18
19
21
20
15
10
9
12
11
2
1
4
3
13
16
14
7
5
6
8
Modi di oscillazione libera
Esempio - edificio con un asse di simmetria
In una struttura intelaiata T1  0.1 sec a piano
Periodi di vibrazione
Output
Modo
Periodo
Sec
edificio con n.6 piani
MODALE
MODALE
1
2
0.72
0.66
MODALE
3
0.64
MODALE
4
0.25
MODALE
5
0.24
MODALE
6
0.23
MODALE
7
0.13
MODALE
8
0.13
MODALE
9
0.13
MODALE
10
0.09
MODALE
11
0.08
MODALE
12
0.08
In una struttura intelaiata i tre periodi
sono abbastanza prossimi tra loro
Modi di oscillazione libera
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
Spostamenti
Piano
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
Modo
U1
m
U2
m
R3
Radianti
1
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.032
-0.027
-0.021
-0.015
-0.009
-0.003
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
2
0.025
0.021
0.017
0.012
0.008
0.003
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.001
0.001
0.001
0.000
0.000
3
0.019
0.017
0.013
0.010
0.006
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.002
-0.002
-0.001
-0.001
-0.001
0.000
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
4
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.031
-0.004
0.017
0.026
0.021
0.009
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
5
0.024
0.005
-0.012
-0.019
-0.017
-0.008
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.000
-0.001
-0.002
-0.001
-0.001
-0.021
-0.004
0.011
0.017
0.014
0.006
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.000
-0.001
-0.002
-0.001
-0.001
7
-0.023
0.020
0.021
-0.006
-0.024
-0.016
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.001
0.001
0.001
0.000
-0.001
0.000
8
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.023
-0.020
-0.022
0.006
0.027
0.017
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
9
0.008
-0.007
-0.007
0.002
0.008
0.005
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.002
0.002
0.002
-0.001
-0.002
-0.001
6
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):
numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Se la pianta non ha assi di simmetria, i modi
di oscillazione libera sono accoppiati
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale
senza impalcati indeformabili nel piano
Il numero di modi di oscillazione libera è
molto maggiore
Modi di oscillazione libera
L’equazione del moto, in termini matriciali, è analoga a quella
dell’oscillatore semplice
mu  k u  0
La soluzione, in caso di moto libero con deformata modale, è una
funzione armonica
ui (t )  i , j cos( j t )
Dall’ equazione
det (k  2j m)  0
si ricavano le frequenze angolari j
associate a deformate  non nulle
Modi di oscillazione libera
Formula approssimata di Rayleigh
m3
m2
m1

Si consideri il sistema che oscilla
liberamente secondo un moto armonico,
con spostamenti
u(t )  c0  sen(nt )
e velocità delle masse
u(t )  nc0  cos(nt )
I valori massimi delle energie
potenziali e cinetiche sono
2
1
Eso   k j  u jo  u j 1,o 
j 1 2
N
N
EKo
1
  m j u 2jo
j 1 2
Dall`eguaglianza di dette energie si
desume la pulsazione associata alla
forma di vibrazione fissata
2
1
k j   j   j 1 

2
2n  j 1 N
1
2
m


j j
j 1 2
N
Equazioni del moto libero
Coordinate modali
Una qualsiasi deformata può essere espressa come combinazione
delle deformate modali
1
=
+
 1.20
Deformata
assegnata
2
Primo modo
3
+
q1
 0.85
Secondo modo
u=q
q2
 0.25
Terzo modo
q3
Equazioni del moto libero
Coordinate modali
Con questa posizione, l’equazione del moto
  k u  0
mu
diventa
 m  q  k  q  0
T
T
M
*
K
*
ovvero
M qK q0
*
*
Equazioni del moto libero
Coordinate modali
Nell’equazione del moto (in forma matriciale)
M qK q0
*
*
le matrici M* e K* sono diagonali, ovvero solo i termini
della diagonale principale sono diversi da zero
Infatti:
0
M   m j   *
 m ij
*
ij
T
i
se i  j
se i = j
0
K   k j   *
 k ij
*
ij
T
i
se i  j
se i = j
Equazioni del moto libero
Coordinate modali
Il sistema di equazioni
M qK q0
*
*
è quindi costituito da equazioni disaccoppiate
m qj  k qj  0
*
j
*
j
ciascuna contenente una sola incognita
Pertanto, si può valutare il contributo di ciascun modo
separatamente, come se fosse un oscillatore semplice
Equazioni del moto libero
con smorzamento
Con la stessa posizione ( u =  q ),
l’equazione del moto in presenza di smorzamento
  c u  k u  0
mu
diventa
*
*
*
M q+Cq+K q = 0
In molti casi, oltre a M* e K*, anche la matrice C*
è diagonale e le equazioni
mj q j  c j q j  k j q j  0
*
*
*
sono disaccoppiate (sistemi classicamente smorzati)
Equazioni del moto
Risposta ad un accelerogramma
L’equazione del moto
diventa
mu  c u  k u  m I ug
M*q  C*q  K*q  T m I ug
Anche in questo caso se la struttura è classicamente smorzata
il sistema si scompone in tante equazioni separate
q j  2  j  j q j  2j q j   j ug
n
j 
m
i
 i, j
i 1
n

i 1
mi  i2, j
Si noti che l’accelerazione del
terreno è moltiplicata per j
Coefficiente di partecipazione modale:
indica se il contributo del modo al moto totale
del sistema è più, o meno, rilevante
Analisi modale con spettro
Consiste nel valutare separatamente la risposta della
struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei
suoi modi di oscillazione . . .
Se
Forze
sollecitazioni
spostamenti
T
T
Analisi modale con spettro
Consiste nel valutare separatamente la risposta della
struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei
suoi modi di oscillazione . . .
. . . e poi combinare le massime sollecitazioni
(o spostamenti) trovati per i singoli modi
Analisi modale con spettro
Regole di combinazione modale
La combinazione dei risultati può essere fatta come...
 radice quadrata della somma dei quadrati
(SRSS)
1
2
E    Ei E j

j i

 come combinazione quadratica completa
1
(CQC)
2
E     ij Ei E j

j i

dove
 = coefficiente di correlazione modale
Analisi modale con spettro
Coefficiente di correlazione modale
ij 
 ij
82bij3 2
2

1
b
1
b
 ij   ij   42bij 
1.0
0.8
0.6
=0.05
=0.20
0.4
0.2
=0.10
=0.02
0
0.5
1.0
1.5
bij=Ti /Tj
Contributo dei singoli modi
Il taglio alla base corrispondente al modo j-esimo è
Vb , j  M j Se (T j )
*
dove
Se(Tj) è l’ordinata spettrale corrispondente al periodo Tj
Mj*
è detta massa partecipante
Mj 
*
n
m
i 1
i
i, j
 n

 mi  i , j 


i 1


j  n
mi  i2, j

2

i 1
Considerando tutti i modi, la massa partecipante totale coincide
con l’intera massa presente nella struttura
Massa partecipante
Contributo dei singoli modi
Il primo modo è nettamente predominante
per entità di massa partecipante.
Le forze sono tutte dello stesso verso
Gli altri modi hanno masse partecipanti
via via minori.
Essi danno luogo a forze discordi, che producono un
effetto minore rispetto alla base
Massa partecipante
Esempio
Massa partecipante meno elevata
in virtù della rotazione
accoppiata alla traslazione
Massa partecipante molto elevata
Rapporti Massa partecipante modale
Output
Modo
Periodo
MX
MY
Sec
edificio con n.6 piani
MODALE
MODALE
1
2
0.72
0.66
0.00
0.49
0.75
0.00
MODALE
3
0.64
0.29
0.00
MODALE
4
0.25
0.00
0.14
MODALE
5
0.24
0.07
0.00
MODALE
6
0.23
0.05
0.00
MODALE
7
0.13
0.04
0.00
MODALE
8
0.13
0.00
0.06
MODALE
9
0.13
0.01
0.00
MODALE
10
0.09
0.02
0.00
MODALE
11
0.08
0.00
0.00
MODALE
12
0.08
0.00
0.03
0.97
0.98
La somma delle masse partecipanti nelle direzioni x e y,
considerate singolarmente, deve essere unitaria
Considerazioni
Negli schemi spaziali è più difficile valutare
l’importanza dei modi.
Tuttavia:
 se il comportamento è disaccoppiato,
sono eccitati solo quei modi che danno spostamento
nella direzione di azione del sisma
 in caso contrario tutti i modi possono dare contributo
 se l’impalcato non è indeformabile nel proprio piano
il numero di modi cresce enormemente ed è più difficile
cogliere la risposta totale della struttura
Contributo dei singoli modi
Negli schemi spaziali è più probabile avere modi
con periodi molto vicini tra loro:
 in questo caso è opportuno usare la sovrapposizione
quadratica completa (CQC)
Una buona impostazione progettuale deve
mirare ad avere una struttura con impalcato
rigido e con comportamento disaccoppiato
(cioè minime rotazioni planimetriche)
Analisi statica
Consiste nel considerare un unico insieme di forze,
che rappresentano (in modo semplificato)
l’effetto del primo modo
n
Fk   mi
i 1
mk zk
n
 mi zi
mi
Se (T1 )
i 1
Il periodo proprio può essere valutato
con formule semplificate
Fk
zi
Confronto analisi statica – modale
Edificio con travi emergenti
trave emergente 30  50
m = 60 t
pilastri
m
30  30
m
30  30
m
30  40
m
30  50
m
30  60
m
30  70
m
30  80
30  90
3.30
5.00
5.00
5.00
Zona 3
ag = 0.15 g
Suolo B
Classe di
duttilità B
Periodi, acc. spettrali, masse part.
Edificio con travi emergenti
T
Se
M*/M
Modo 1
1.183 s
0.0484 g
70.1 %
Modo 2
0.461 s
0.1145 g
13.7 %
Modo 3
0.259 s
0.1145 g
5.1 %
Forze statiche – modali [kN]
Edificio con travi emergenti
modale
analisi
piano
modo 1
modo 2
modo 3
statica
8
40.0
-39.1
19.5
50.6
7
35.8
-14.4
-14.9
44.3
6
28.1
18.6
-22.8
38.0
5
21.7
31.3
-4.0
31.6
4
16.0
32.1
12.5
25.3
3
10.6
25.4
18.2
19.0
2
5.7
15.1
13.7
12.7
1
1.8
5.0
5.1
6.3
Tagli statici – modali [kN]
Edificio con travi emergenti
piano
analisi
modale
analisi
statica
differenza
%
8
59.2
50.6
-14.5
7
92.9
94.9
2.2
6
111.1
132.9
19.6
5
127.6
164.5
28.9
4
144.8
189.9
31.1
3
161.7
208.8
29.2
2
173.7
221.5
27.5
1
178.1
227.8
27.9
Confronto analisi statica - modale
Edificio con travi a spessore
trave a spessore 80  24
m = 60 t
pilastri
m
30  30
m
30  30
m
30  40
m
30  50
m
30  60
m
30  70
m
30  80
30  90
3.30
5.00
5.00
5.00
Periodi, acc. spettrali, masse part.
Edificio con travi emergenti
T
Se
M*/M
Modo 1
1.738 s
0. 0329 g
70.9 %
Modo 2
0. 604 s
0. 0947 g
11.8 %
Modo 3
0. 328 s
0. 1145 g
5.4 %
Forze statiche – modali [kN]
Edificio con travi a spessore
analisi
piano
modo 1
modo 2
modo 3
statica
8
26.3
-30.3
20.4
34.5
7
24.1
-12.2
-12.5
30.1
6
20.1
11.6
-24.2
25.8
5
15.9
23.6
-6.2
21.5
4
11.5
25.4
12.9
17.2
3
7.3
19.9
19.6
12.9
2
3.6
11.2
14.4
8.6
1
1.0
3.4
5.0
4.3
Tagli statici – modali [kN]
Edificio con travi a spessore
piano
analisi
modale
analisi
statica
differenza
%
8
45.0
34.5
-23.4
7
66.4
64.6
-2.7
6
78.7
90.4
15.0
5
89.6
112.0
25.0
4
100.0
129.2
29.2
3
112.3
142.1
26.5
2
121.9
150.7
23.6
1
125.3
155.0
23.7
Analisi statica o analisi modale?
L’analisi statica fornisce risultati attendibili purché:
- la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni
planimetriche)
Analisi statica
Per edifici con
forti rotazioni,
non va bene
modo 1
Analisi modale
modo 2
inviluppo
Analisi statica o analisi modale?
L’analisi statica è cautelativa purché:
- la struttura abbia comportamento piano
(basse rotazioni planimetriche)
- la struttura abbia periodo non eccessivamente alto
Analisi statica o analisi modale?
L’analisi statica è cautelativa purché:
- la struttura abbia comportamento piano
(basse rotazioni planimetriche)
- la struttura abbia periodo non eccessivamente alto
- la stima del periodo proprio sia affidabile
L’uso del coefficiente riduttivo  rende i risultati
dell’analisi statica non particolarmente gravosi
rispetto a quelli dell’analisi modale
Analisi statica o analisi modale?
Oggi l’analisi modale è sicuramente il metodo principale
di riferimento per l’analisi strutturale, perché è
affidabile e ormai alla portata di tutti (grazie ai
programmi per computer)
L’analisi statica è però uno strumento fondamentale
per capire il comportamento fisico della struttura e
per valutarne a priori la risposta (e quindi anche per
controllare a posteriori i risultati dell’analisi modale)
FINE