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Cinematica
Cinematica
•
•
•
•
•
Vincoli e gradi di libertà
Coppie cinematiche
Meccanismi
Equazioni di struttura
Cinematica del moto rigido piano
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Cinematica
Vincoli e gradi di libertà
• La principale caratteristica dei sistemi meccanici è quella di essere costituiti da
più corpi (membri), collegati fra loro in modo opportuno.
• In conseguenza di tali legami (vincoli) risultano limitate le possibilità di
movimento di ciascun membro relativamente agli altri, ossia il numero dei
gradi di libertà del singolo membro e di tutta la catena cinematica.
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Cinematica
Vincoli e gradi di libertà
• Consideriamo 2 corpi nello spazio tra cui sia possibile uno spostamento relativo
e definiamo 2 terne {A} e {B} solidali ai 2 corpi, rispettivamente:
x A , y A , z A in OA
xB , yB , z B in OB
• La posa relativa tra i 2 corpi in assenza di vincoli è espresso da 6 parametri
(gradi di libertà del moto relativo) e può essere descritto per mezzo delle 2
terne {A} e {B}:
 3 componenti cartesiane per definire lo
spostamento relativo delle origini delle 2
terne lungo i 3 assi coordinati;
p
 3 parametri indipendenti (ad esempio tre
angoli) per definire l’orientamento relativo
delle due terne nelle 3 direzioni dello spazio.
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Cinematica
Vincoli e gradi di libertà
• Nel piano la definizione della posa relativa tra due corpi (terne) si riduce a 2
parametri per lo spostamento relativo (es. le coordinate X,Y) e ad un ulteriore
parametro per l’orientamento relativo (es. l’angolo ):
• Quindi un corpo rigido libero di muoversi nel piano possiede 3 gradi di libertà.
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Cinematica
Vincoli e gradi di libertà
• Vincoli: definizioni e classificazioni
• Chiamiamo vincolo ogni dispositivo che limita le posizioni e le velocità dei
punti del sistema meccanico: pertanto la presenza di un vincolo tra i membri 1
e 2 riduce la mobilità relativa dei membri stessi.
• I vincoli possono essere espressi analiticamente mediante relazioni fra le
coordinate e le velocità di punti del sistema.
• Un vincolo è detto bilaterale se le restrizioni imposte al sistema si
rappresentano tramite sole equazioni (es: punto vincolato ad una linea, corpo
con un punto fisso), mentre è detto unilaterale se compare almeno una
disequazione (es: corpo appoggiato ad un piano o vincolato a stare all’interno
di una sfera).
• Un vincolo è interno se è dovuto alla costituzione del corpo stesso (per es.
rigidezza) ed esterno se è dovuto alla presenza di altri corpi.
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Cinematica
Coppie cinematiche
• Si definisce coppia il sistema formato da 2 membri contigui collegati: se tra di
essi esiste un movimento relativo (cioè il sistema ha almeno 1 g.d.l.) si ha una
coppia cinematica.
Coppia cinematica
(1 gdl di rotazione)
Manovellismo di spinta
Articolazione
del gomito
• Le coppie sono caratterizzate essenzialmente dallo spostamento relativo dei
membri a contatto, che dipende dalla forma delle superfici che sono in
contatto durante il moto: tali superfici sono dette superfici coniugate.
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Cinematica
Coppie cinematiche
• Uno stesso spostamento relativo fra i membri può essere ottenuto con
differenti coppie di superfici coniugate: l’effettiva forma costruttiva ha
influenza sulla trasmissione delle forze, l’usura, l’ingombro, ecc. (es: in figura
sono visualizzati diversi sistemi che realizzano lo stesso spostamento relativo
con diverse modalità).
a. Coppia prismatica semplice
b. Guida e pattino
c. Guida volvente
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Cinematica
Coppie cinematiche
• Dal punto di vista cinematico si distinguono:
a) contatti di strisciamento
b) contatti di rotolamento
c) contatti d’urto
• Dal punto di vista realizzativo si distinguono:
a) accoppiamenti di forma (in forma chiusa)
b) accoppiamenti di forza (in forma aperta)
• Tutte le coppie possono essere realizzate in entrambi i modi: gli accoppiamenti
di forza sono monolaterali ed il contatto è mantenuto da opportuni forze e
momenti.
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Coppie cinematiche
• In relazione alla geometria di contatto si hanno:
a) contatti puntiformi (es: cuscinetto a sfere)
b) contatti lineari (es: cuscinetto a rulli)
c) contatti superficiali o di combaciamento (es: vite‐madrevite, snodo sferico)
• Si indica classe di una coppia cinematica il numero di gradi di libertà residui nel
moto relativo.
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Coppie cinematiche
• Coppie cinematiche inferiori
• Si definiscono coppie inferiori quelle coppie rigide che sono realizzabili tramite
contatti di superficie: le superfici coniugate sono rigide, identiche e
combacianti.
• Nell’uso corrente sono spesso considerate “elementari” esclusivamente le
coppie che lasciano 1 solo grado di libertà, e quindi quelle rotoidali,
prismatiche ed elicoidali.
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Coppie cinematiche
• Coppie cinematiche inferiori
1 gdl (elementari)
P prismatica (prismatic)
R rotoidale (revolute)
S elicoidale (screw)
F piana (flat)
C cilindrica (cylindrical)
G sferica (globular)
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Coppie cinematiche
• Coppie cinematiche superiori
• Si definiscono superiori le coppie cinematiche che non sono inferiori; esse non
sono in alcun modo realizzabili tramite contatti di superficie ma esclusivamente
tramite contatti lineari o puntiformi.
Gs
Ca
GS‐Ca
G‐C
F‐C
G‐F
sferica guidata (anche U universale)
camma piana
sfera‐cilindro guidati
sfera cilindro
piano‐cilindro
sfera‐piano
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Coppie cinematiche
• Coppia prismatica
• Le superfici coniugate dei due corpi
accoppiati sono prismatiche.
2
• L’unico moto concesso al corpo 1 è
la traslazione rispetto al corpo 2.
V
2
1
1
• Le superfici strisciano e sopportano
carichi: si sviluppano forze d’attrito e
dissipazione di energia. Si ricorre
solitamente a lubrificazione.
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Coppie cinematiche
• Coppia prismatica
• Esempio di coppia cinematica
prismatica: accoppiamento albero‐
mozzo attraverso un profilo
scanalato. L’unico grado di libertà
residuo è lo scorrimento assiale
dell’albero rispetto al mozzo o
viceversa.
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Coppie cinematiche
• Coppia rotoidale
• Le superfici coniugate dei due corpi
accoppiati sono cilindriche.
• L’unico moto concesso al corpo 1 è
la rotazione rispetto al corpo 2.
• Anche in questo caso si creano
forze di attrito tra le superfici. Si
ricorre quindi all’uso di lubrificante
o di cuscinetti radenti o volventi.
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Coppie cinematiche
• Coppia rotoidale
• Esempio di coppia cinematica
rotoidale: cerniera realizzata tramite
cuscinetto radente. I cuscinetti radenti
sono solitamente costituiti da
bronzine. La bronzina, di materiale
tenero, viene accoppiata con un perno
di materiale più duro.
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Coppie cinematiche
• Coppia rotoidale
Impossibile v isualizzare l'immagine.
• Esempio di coppia cinematica
rotoidale: cerniera realizzata tramite
cuscinetto volvente. I cuscinetti
volventi sono solitamente costituiti da
due anelli (interno ed esterno) e da
elementi volventi (sfere, rulli, rulli
conici, rullini). Si ottengono valori di
attrito inferiori a quelli dei cuscinetti
radenti.
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Coppie cinematiche
• Coppia elicoidale
• In figura l’accoppiamento tra vite e madrevite è realizzato tramite la superficie della filettatura caratterizzata da:
 β angolo d’elica;
 d diametro medio;
 p passo.
• La vite è vincolata in modo tale da poter solamente ruotare intorno al suo asse. La madrevite è vincolata con una coppia prismatica e può solo traslare lungo il suo asse.
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Coppie cinematiche
• Coppia elicoidale
• Per ogni giro la vite trasla di p.
• Vi è una combinazione di moto traslatorio e rotatorio, ma i due sono legati tra loro e vi è quindi un unico g.d.l.
• Indicando con t il tempo in cui la vite effettua un giro si ha:
p

 v t

2
 
t

 v
p

2
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Coppie cinematiche
• Coppia elicoidale
• Applicazione di una coppia cinematica elicoidale: martinetto meccanico a vite
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Coppie cinematiche
• Coppia sferica
• Rotazione libera del membro 2 attorno ad un
punto fisso (centro del moto sferico). Il moto
relativo ha 3 gdl
1
2
• Applicazioni di una coppia cinematica sferica: snodo sferico, protesi di anca.
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Coppie cinematiche
• Camma piana
• La camma piana è una coppia
superiore; essa lascia 2 gradi di
libertà nel moto relativo dei membri
collegati: vengono consentiti la
traslazione in direzione tangenziale e
la rotazione, mentre viene impedita
la traslazione nella direzione normale
alle superfici coniugate nel punto di
contatto.
• Applicazione della coppia camma
piana: meccanismi di apertura
valvole di motori a combustione.
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Cinematica
Coppie cinematiche
• Universale (sferica guidata)
• Rotazione intorno a
perpendicolari tra loro.
due
assi
• Il moto relativo ha 2 gradi di libertà
(operando nello spazio, sopprime 4
dei 6 gdl del moto relativo).
• Applicazione: giunto
protesi del polso.
cardanico,
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Meccanismi
• Le catene cinematiche sono sistemi di membri collegati tra loro da coppie
cinematiche.
• Una catena è detta:
 semplice: se ciascun membro presenta 1 o 2 accoppiamenti
 composta: se almeno un membro presenta 3 o più accoppiamenti
 chiusa: se si instaurano percorsi chiusi tra i membri della catena
 aperta: se non si instaurano percorsi chiusi tra i membri della catena
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Meccanismi
• I membri delle catene cinematiche sono anche detti:
 membri binari se presentano 2 accoppiamenti;
 membri ternari se presentano 3 accoppiamenti;
 membri quaternari se presentano 4 accoppiamenti;
 ....
• Nello studio delle catene cinematiche si astrae spesso dalla loro effettiva
realizzazione e si utilizzano due tipi di schemi:
 schema cinematico: schema della geometria della catena essenziale per
la definizione del movimento;
 schema strutturale: schema che rispetta la struttura della catena (non la
geometria): le coppie possono essere rappresentate con i relativi simboli
o con cerchi affiancati dai simboli.
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Meccanismi
• Esempio: catena cinematica chiusa semplice
Schema cinematico
Schema strutturale
Rappresentazione
geometrica della catena
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Meccanismi
• Esempio: catena cinematica chiusa composta
Schema cinematico
Schema strutturale
Rappresentazione
geometrica della catena
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Meccanismi
• Esempio: catena cinematica aperta semplice
Schema cinematico
Schema strutturale
Rappresentazione
geometrica della catena
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Meccanismi
• Esempio: catena cinematica aperta semplice
Schema cinematico
Schema strutturale
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Meccanismi
• Esempio: catena cinematica aperta composta
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Meccanismi
• Esempio: catena cinematica aperta composta
membro binario
membri terziari
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Meccanismi
• Meccanismo: è una catena cinematica con un membro fissato al riferimento
assoluto.
• Il membro fisso è detto telaio.
MOVENTI
Lavoro motore
MECCANISMO
CEDENTI
Lavoro resistente
Ambiente
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Meccanismi
• L’analisi di mobilità di un meccanismo è la determinazione del campo
ammissibile per gli spostamenti.
 è funzione della struttura: le coppie non solo riducono il numero di g.d.l.
del meccanismo, ma introducono anche delle limitazioni al campo
ammissibile degli spostamenti;
 è funzione della geometria;
 è funzione della configurazione del meccanismo.
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Meccanismi
• Esempio: mobilità di un escavatore
• In figura viene riportato lo spazio di
lavoro di un escavatore (senza
movimento dei cingoli).
In macchinari di questo tipo l’analisi
di mobilità ricopre un ruolo molto
importante. Lo spazio di lavoro può
essere determinato svolgendo una
sequenza di analisi di posizione.
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Meccanismi
• Meccanismi associati
Il meccanismo A) composto da due membri mobili a contatto attraverso una
coppia di tipo camma piana ha la stessa mobilità del meccanismo B) in cui tali
membri sono collegati attraverso un pattino (3) incernierato alla manovella (1).
2
2
2
1
1
A ) Catena cinematica
con 2 membri e coppia
camma piana
3
B) Catena cinematica
equivalente con 3 membri,
coppia prismatica e rotoidale
1
3
C) Schema cinematico
D) Schema strutturale
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Meccanismi
• Meccanismi associati
Pertanto, ai fini dello studio della mobilità, a volte si definisce un meccanismo
associato a quello originale ottenuto tramite la sostituzione della coppia
camma piana con un membro incernierato agli estremi da 2 coppie elementari,
solitamente rotoidali.
3
2
2
1
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1
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Meccanismi
• Meccanismi associati
Gli schemi strutturali, pertanto, spesso considerano solo coppie rotoidali o
prismatiche (di classe 1).
3
2
2
1
1
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Equazioni di struttura
Per meccanismi nello spazio tridimensionale
• Il numero di gradi di libertà n (detto anche grado di mobilità) di un
meccanismo con m membri rigidi, uno dei quali è il telaio, è (formula di
Kutzbach):
n  6m  1  5c1  4c2  3c3  2c4  c5
dove:
ci = numero delle coppie cinematiche di classe “i” presenti nel meccanismo
• se n ≥ 1 si tratta di un meccanismo;
• se n = 0 si tratta di una struttura isostatica;
• se n < 0 si tratta di una struttura iperstatica.
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Equazioni di struttura
Per meccanismi nello spazio tridimensionale
• Esempio: braccio
n  6m  1  5c1  4c2  3c3  2c4  c5  64  1  4  2  3 1  7 gdl
Il braccio umano è ridondante (n>6).
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Cinematica
Equazioni di struttura
Per meccanismi nello spazio tridimensionale
• Esempio: robot SCARA
n  6m  1  5c1  4c2  3c3  2c4  c5  65  1  5  4  4 gdl
3 traslazioni, una rotazione attorno all’asse verticale (z).
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Cinematica
Equazioni di struttura
Per meccanismi nel piano
• Nel piano un corpo libero ha 3 gradi di libertà: 2 coordinate di posizione, 1
coordinata di rotazione.
• Un meccanismo composto da m membri ha n gradi di libertà, forniti dalla
equazione di Grübler :
n  3m  1  2c1  c2
c1 = numero delle coppie cinematiche di classe “1” (rotoidali, prismatiche);
c2 = numero delle coppie cinematiche di classe “2” (camme piane).
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Cinematica
Equazioni di struttura
Per meccanismi nel piano
• Esempio: manovellismo di spinta
m = 4 numero membri
c1 = 4 numero vincoli di classe 1 di cui: 3 coppie rotoidali, 1 coppia prismatica
L’equazione di Grübler fornisce:
n  3m  1  2c1  c2  34  1  2  4  1 gdl
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Cinematica
Equazioni di struttura
Per meccanismi nel piano
• Esempio: meccanismo piano a camma
m = 3 numero membri
c1 = 2 numero vincoli di classe 1 di cui: 1
coppia rotoidale, 1 coppia prismatica
c2 = 1 numero vincoli di classe 2: coppia
camma piana
L’equazione di Grübler fornisce:
n  3m  1  2c1  c2  33  1  2  2  1  1 gdl
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Equazioni di struttura
Equazioni di struttura: casi particolari
• L’equazione di struttura deve essere applicata con cautela in alcuni casi
particolari.
• Ad esempio:
 nel caso in cui una coppia connetta più di 2 membri occorre contare il
vincolo più volte (tante quanto i membri concorrenti nella coppia meno
1);
 se sono presenti vincoli ridondanti l’equazione di struttura restituisce
valori errati.
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Cinematica
Equazioni di struttura
Equazioni di struttura: casi particolari
• Coppie multiple:
Nel caso di meccanismi con catene composte (cioè con accoppiamenti multipli)
l’equazione di struttura non dà risultati corretti se applicata senza cautela; ad
es. (meccanismo di Watt):
n  3m  1  2c1  c2  36  1  2  6  3 gdl
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Cinematica
Equazioni di struttura
Equazioni di struttura: casi particolari
• Coppie multiple:
Nel precedente schema vi erano due coppie rotoidali coincidenti. Lo schema
strutturale diventa:
Esalatero di Watt
n  3m  1  2c1  c2  36  1  2  7  1 gdl
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Cinematica
Equazioni di struttura
Equazioni di struttura: casi particolari
• Vincoli virtuali:
2
3
m=4 numero membri
M
1
c1=4 2 coppie rotoidali
2 coppie prismatiche
4
n  3m  1  2c1  c2  34  1  2  4  1 gdl
Si dimostra banalmente che il punto M dell’asta 3 equidistante dai pattini 2 e 4
descrive una circonferenza di raggio l/2, essendo l la lunghezza dell’asta 3.
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Cinematica
Equazioni di struttura
Equazioni di struttura: casi particolari
• Vincoli virtuali:
2
L’aggiunta di un’asta 5 incernierata in M ed in
O non cambia quindi il comportamento
funzionale del meccanismo: tale asta impone
infatti ad M di percorrere la stessa
circonferenza di cui sopra.
in presenza di un vincolo apparente o
ridondante come questo non vale
l’equazione di struttura per il calcolo dei
g.d.l. :
3
1
M
4
O
n  3m  1  2c1  c2  35  1  2  6  0 gdl
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
La cinematica consiste nello studio di posizioni, velocità, accelerazioni di un
sistema di corpi interconnessi indipendentemente dalle forze che producono il
moto.
• ANALISI CINEMATICA = trovare posizioni, velocità ed accelerazioni di punti di
un assegnato meccanismo.
• SINTESI CINEMATICA = trovare la geometria e la struttura di un meccanismo
per realizzare le assegnate leggi di moto.
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Le 3 coordinate x0, y0 e θ individuano i 3 gradi di
libertà che ha il corpo nel piano e dipendono dalla
posizione del punto solidale al corpo O scelto come
riferimento (x0, y0) e dall’orientamento della retta di
riferimento r (fissa al corpo) prescelta (θ).
Passando alle derivate delle coordinate, le velocità
lineari dipendono ancora dal punto O prescelto
mentre ciò non accade per la derivata della
coordinata angolare θ, che viene chiamata velocità
angolare ω: essa, pertanto, non va riferita a nessun
punto particolare, ma caratterizza il moto dell’intero
corpo.
dxO
 xO  vOx
dt
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dyO
 y O  vOy
dt
d 
 
dt
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Le stesse considerazioni valgono per le derivate
seconde, e cioè per le accelerazioni lineari e per
l’accelerazione angolare.
d 2 xO
 xO  aOx
dt 2
d 2 
     
dt 2
d 2 yO
 yO  aOy
dt 2
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Moto traslatorio
Il moto si chiama traslatorio quando l’orientamento θ del corpo rimane costante.
Nel moto traslatorio tutti i punti hanno la stessa velocità ed accelerazione.
y
r
r
r
B
A
B’
B’’
A’’
A’
x
Successive posizioni di un corpo soggetto a moto traslatorio
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Moto rotatorio
Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso tutti i suoi punti si
muovono su traiettorie circolari.
Successive posizioni di un corpo soggetto a moto rotatorio
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Moto generale
Consideriamo un corpo in movimento ed
osserviamo il moto di un suo punto (B) da una
postazione solidale al corpo stesso ma distinta
(A traslante con velocità vA): tale moto non può
essere che circolare in quanto la distanza tra i
due punti non cambia, ovvero vBA (velocità di B
rispetto ad A) è perpendicolare al segmento AB.
Pertanto il generico moto piano di un corpo
rigido è una combinazione di una traslazione e
di una rotazione, cioè è un moto di
rototraslazione.
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Distribuzione delle velocità nel moto generale
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Moto generale
Nel caso generale (anche per moti spaziali) valgono le
seguenti distribuzioni di velocità ed accelerazioni dei
corpi rigidi:
B  O    A  O   B  A
vB  v A 
d B A
O

B  A ω  B  A
dt
v B  v A  ω   B  A

d B  A

  B  A  ω  
B  A ω  B  A
aB  a A  ω
dt


  B  A  ω  ω  B  A
aB  a A  ω
O
Velocità e accelerazioni nel moto generale
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Moto generale
Nel caso piano l’accelerazione si semplifica in:
  B  A  ω  ω  B  A
aB  a A  ω

   B  A   2  B  A 
aB  a A  ω
O
O
Velocità e accelerazioni nel moto generale
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Moto generale
Le formule precedenti sono fondamentali per la
cinematica e possono essere espresse mettendo in
risalto in modo esplicito la velocità e l’accelerazione
relative nel moto di un punto rispetto all’altro.
O
Teorema di Galileo v B  v A  v BA
v BA  ω  B  A
Teorema di Rivals
a B  a A  a BA  a A  a BAn  a BAt
a BAn   2 B  A
   B  A
a BAt  ω
O
Velocità e accelerazioni nel moto generale
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Esercitazione:
cinematica di un rullo
rotolante su binario
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• Il rullo in figura rotola senza strisciare su una guida orizzontale con
assegnate velocità vO ed accelerazione aO del suo centro O: determinare le
velocità e le accelerazioni dei punti A, B, C, D mostrati in figura.
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Svolgimento
• Dal momento che il rullo rotola senza strisciare, la sua velocità nel punto
C di contatto con il suolo deve essere nulla; scrivendo il teorema di Galileo
per i punti O e C è facile allora ricavare la sua velocità angolare:
(1)
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Svolgimento
• Si noti che la velocità angolare risulta negativa in quanto corrispondente
ad una rotazione in senso orario.
La velocità del punto A vale:
• Tale conclusione poteva anche essere immediatamente raggiunta
osservando che la distribuzione di velocità dei punti che stanno sul
diametro AC deve essere triangolare.
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Svolgimento
• La velocità nel punto B vale:
• Analogamente per D si ha:
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Svolgimento
• Per quanto riguarda le accelerazioni, si noti che il punto O ha solo la
componente tangenziale di accelerazione, in quanto si muove su una
traiettoria rettilinea (cioè a curvatura nulla), per cui:
• Inserendo la condizione
rotolamento (1), si ottiene:
di
puro
• Allora in questo caso l’accelerazione
angolare è ricavabile dalla accelerazione del
centro del rullo:
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Svolgimento
• L’accelerazione nel punto C, centro di istantanea rotazione, vale:
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Svolgimento
• Per il punto A, l’applicazione del teorema di Rivals fornisce:
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Svolgimento
• Infine per i punti B e D:
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Svolgimento
• Nel caso in cui il moto del rullo sia a velocità costante (ovviamente con
riferimento al centro O) la distribuzione delle accelerazioni diventa quella
mostrata in figura.
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cinematica di un rullo
rotolante tra due lastre
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• Il rullo in figura rotola senza strisciare tra 2 lastre orizzontali che traslano
in direzioni opposte con assegnate velocità vU e vL: trovare la velocità
angolare del rullo e la velocità lineare del suo centro O.
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Svolgimento
• Siccome il rullo rotola tra le 2 lastre senza strisciamenti, le velocità delle
lastre rappresentano anche le velocità del rullo stesso nei corrispondenti
punti di contatto, indicati con U ed L.
• La velocità del centro O può essere immediatamente ricavata da una
semplice proporzione, osservando che la velocità dei punti diametrali da U
a L rispetta una distribuzione lineare:
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Svolgimento
• In alternativa si può scrivere il teorema di Galileo per i punti U ed L, il che
consente di ricavare facilmente la velocità angolare del rullo:
• Si noti che la velocità angolare risulta negativa in quanto corrispondente
ad una rotazione in senso orario.
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Svolgimento
• A questo punto la velocità del punto O vale:
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Esercitazione:
cinematica del salto verticale
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• Un saltatore è schematizzato con 4 aste
incernierate. In figura vengono definiti gli
angoli di ogni segmento rispetto alla
direzione orizzontale, i quali sono stati
misurati
attraverso
un’analisi
videoregistrata ottenendo le seguenti
leggi temporali:
 f  2t [rad ]
l  20t  0.152  0.7 [rad ]
t  15t  0.102  0.6 [rad ]
c  2.5 t  0.4 [rad ]
Si prende come riferimento t=0 l’istante
finale del movimento di preparazione del
salto in cui il saltatore abbassa il suo
centro di massa.
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Inoltre sono note le seguenti dimensioni:
L f  27 cm ( piede)
Ll  48 cm (caviglia  ginocchio)
Lt  50 cm ( ginocchio  anca)
Lc  28 cm (anca  centro di massa C )
Calcolare la velocità e l’accelerazione dei
punti A (Ankle), K (Knee), H (Hip) e C
nell’istante t=0.2s (antecedente allo
stacco).
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Svolgimento
Calcolando gli angoli negli istanti t=0 e t=0.2s si ottengono le seguenti
configurazioni:
 f  2t [rad ]
l  20t  0.152  0.7 [rad ]
t  15t  0.102  0.6 [rad ]
c  2.5 t  0.4 [rad ]
t0
t  0. 2 s
 f  0 rad
 f  0.4 rad
l  1.15 rad
t  0.75 rad
c  0.4 rad
l  0.75 rad
t  0.75 rad
c  0.9 rad
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Svolgimento
Derivando gli angoli si ottengono le espressioni delle velocità angolari:
 f  2t [rad ]
l  20t  0.152  0.7 [rad ]
t  15t  0.10  0.6 [rad ]
c  2.5 t  0.4 [rad ]
2
 f  2 [rad / s]
l  40t  0.15 [rad / s]
t  30t  0.10 [rad / s]
c  2.5 [rad / s]

Nell’istante t=0.2s le velocità angolari valgono:
t  0. 2 s
 f  2 [rad / s]
l  2 [rad / s]
t  3 [rad / s]
c  2.5 [rad / s]
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Cinematica
Svolgimento
Utilizzando il teorema di Galileo otteniamo le velocità dei vari punti:

 cos 23  0.2
v A  v O  ω f   A  O   0  ω f   0.27 
     m / s
 sin 23   0.5


cos 43   0.5
v K  v A  ω l   0.48
   
m/s
 sin 43    1.2 


 cos 43  0.6
v H  v K  ω t   0.50
     m / s
 sin 43   2.3


cos 52   0 
v C  v H  ω c   0.28
     m / s
 sin 52   2.7

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Cinematica
Svolgimento
Derivando le velocità angolari si ottengono le accelerazioni angolari:
 f  0 [rad / s 2 ]
 f  2 [rad / s]
l  40t  0.15 [rad / s]
t  30t  0.10  [rad / s]
c  2.5 [rad / s]

 l  40 [rad / s 2 ]
 t  30 [rad / s 2 ]
 c  0 [rad / s 2 ]
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Cinematica
Svolgimento
Utilizzando il teorema di Rivals otteniamo le accelerazioni dei vari punti:


 cos 23 
 cos 23   1 
2
2
a A  a O  α f   A  O   ω 2f  A  O   0  α f   0.27 
   ω f  0.27  sin 23     0.4 m / s
 sin 23  

 





cos 43   13.4
cos 43 
2
2
a K  a A  α l   0.48
   ωl  0.48 sin 43     12.3  m / s
sin
43


 







 cos 43   0.1 
 cos 43 
2
2
a H  a K  α t   0.50 
   ωt  0.50  sin 43    20.2 m / s
sin
43



 






cos 52    1 
cos 52 
2
2
a C  a H  α c   0.28
   ωc  0.28 sin 52    18.8 m / s


 
 sin 52  


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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Centro di istantanea rotazione
Consideriamo un membro rigido in
moto piano al quale associamo un
sistema di riferimento O’x’y’. In ogni
condizione di moto che non sia
traslazione pura, in ogni istante esiste
un punto solidale al corpo rigido avente
velocità nulla. Tale punto può essere
anche al di fuori del corpo rigido.
y
Per spostamenti infinitesimi il punto del
corpo rigido che non muta posizione si
indica come centro di istantanea
rotazione C.
O
x’
C
O’
x
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y’
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Centro di istantanea rotazione
Istantaneamente il corpo si muove di
moto rotatorio intorno al centro di
istantanea rotazione C. Quindi le
velocità istantanee dei punti P del
corpo possono essere espresse in
funzione di C:
y
y’
x’
C
O’
v P  ω  P  C 
In generale C si muove sia rispetto la
terna fissa Oxy sia rispetto la terna
mobile O’x’y’. Esso non varia solo se il
corpo è in rotazione rispetto a un
punto fisso.
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O
x
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Curve polari
Il luogo dei punti occupati nel corso del moto dal centro di istantanea rotazione
nel riferimento fisso si indica come polare fissa dello spostamento considerato.
Il luogo dei punti occupati dal centro di istantanea rotazione nel riferimento locale
(mobile) si indica come polare mobile dello spostamento considerato.
Lo spostamento effettivo del membro considerato provoca il puro rotolamento
della polare mobile sulla polare fissa: le due polari risultano tangenti fra loro nei
successivi punti di contatto, che rappresentano il centro di istantanea rotazione
dell’istante considerato.
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Teorema di Chasles
Prima formulazione:
Le normali alle traiettorie dei punti di un corpo rigido in moto piano concorrono in
ogni istante nel centro di istantanea rotazione.
vQ
vP
P
Q
C
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Teorema di Chasles
vQ
Seconda formulazione:
1
vP
P
Se s1 è una qualsiasi linea (o superficie) rigida
solidale con il corpo 1 ed s2, solidale al corpo 2,
è l’inviluppo delle successive posizioni assunte
da s1 durante il moto di 1 rispetto a 2, le due
linee (superfici) s1 ed s2 sono chiamate profili
(superfici) coniugati (sono in ogni istante
tangenti nel punto di contatto K).
s1
Q
pm
C
s2
pf
K
t
n
2
le normali di contatto di tutti i profili coniugati
in un medesimo istante si intersecano nel
centro di istantanea rotazione.
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Teorema di Chasles
vQ
Nel punto di contatto K i profili coniugati
hanno tangente t e normale n comune.
La normale n passa per il centro di istantanea
rotazione C (teorema di Chasles).
1
vP
P
s1
Q
pm
C
s2
pf
K
Se  è la velocità angolare relativa dei due
corpi, la velocità relativa di strisciamento fra i
profili nel punto di contatto K vale:
vs t
n
2
v s  ω  K  C    K  C tˆ
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Curve polari
Esempio 1
Determinare la curva polare fissa e la curva polare mobile del movimento di un
rullo che rotola senza strisciare su una guida orizzontale.
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Curve polari
Esempio 1
Se il rullo rotola senza strisciare, il punto di
contatto rullo‐guida è centro di istantanea
rotazione: siccome esso cambia posizione nel
tempo, il moto è rototraslatorio.
Il luogo dei punti C che, istante dopo istante,
divengono centro di istantanea rotazione è
costituito dalla guida per un osservatore fisso
(polare fissa) e dalla circonferenza del rullo
stesso per un osservatore in moto con il rullo
(polare mobile).
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Polare mobile
Polare fissa
C
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Cinematica
Cinematica del moto rigido piano
Curve polari
Esempio 2
La cinematica dell’articolazione del
ginocchio è caratterizzata da un
movimento relativo di rototraslazione. Il
centro di rotazione è fisso per il primi 25‐
30° di flessione per poi spostarsi
gradualmente avvicinandosi all’estremità
del condilo femorale.
In rosso sono rappresentate le successive
posizioni del centro istantaneo di
rotazione del femore rispetto alla tibia.
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Cinematica
Moto relativo tra membri
Sia O{x, y} una terna fissa e O’{x’, y’}
una terna mobile; il punto P sia in moto
anche relativamente alla terna mobile
O’{x’, y’}.
Il moto assoluto di P (cioè riferito alla
terna O{x, y}) risulta somma del moto
relativo (rispetto alla terna O’{x’, y’}) e
del moto di trascinamento che il punto
avrebbe se fosse solidale con il sistema
di riferimento mobile.
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Cinematica
Moto relativo tra membri
Nel caso delle accelerazioni, compare anche una accelerazione complementare
(detta anche Accelerazione di Coriolis).
att
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Cinematica
Moto relativo tra membri
Analiticamente si ha:
v P  v r  v t velocità assoluta
 v r velocità relativa

 v t  v O '  ω  P  O' velocità di trascinamento
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Cinematica
Moto relativo tra membri
Analiticamente si ha:
a P  a r  a t  a c accelerazione assoluta
a r accelerazione relativa

  P  O ' accelerazione di trascinamento
a t  a o '  ω  ω  P  O '  ω
a  2ω  v accelerazione di Coriolis
r
 c
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Cinematica
Moto relativo tra membri
Interpretazione fisica dell’accelerazione di Coriolis:
Consideriamo un punto mobile con velocità ṙ costante lungo una guida rotante
con velocità angolare  costante.
In un istante di tempo dt il raggio di rotazione varia di ṙdt e quindi la velocità
tangenziale passa da r a r  rdt  .
Si ha quindi una componente tangenziale di
accelerazione pari a:
r  rdt   r
dt
.
 r
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Cinematica
Moto relativo tra membri
Interpretazione fisica dell’accelerazione di Coriolis:
Anche la direzione della velocità radiale varia di un angolo pari a  dt , con una
conseguente variazione del vettore velocità  rdt .
Nasce quindi un ulteriore termine di

accelerazione tangenziale:  rdt   r
dt
Sommando i precedenti due termini di
accelerazione si ottiene
l’accelerazione di Coriolis:
.
ac  2 r
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Cinematica
Metodi di analisi cinematica
Equazioni indipendenti di posizione
Il modello descrive le posizioni (coordinate) dei punti significativi dei membri in
esame e le informazioni di velocità ed accelerazione si ottengono derivando tali
equazioni (un’equazione vettoriale corrisponde nel piano a due equazioni scalari).
L’equazione vettoriale di posizione nasce dalla descrizione geometrica del
meccanismo: a partire da un punto di cui è nota la posizione, tramite una
successione di vettori posizione, si descrive un percorso chiuso che lungo i
successivi membri del meccanismo porta nuovamente al punto iniziale: per
questo motivo queste equazioni vengono anche chiamate equazioni di chiusura.
I meccanismi composti (con accoppiamenti multipli) richiedono per la loro
completa modellazione più equazioni di chiusura (un insieme sufficiente di
equazioni indipendenti è fornito da tutte le maglie semplici).
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Cinematica
Metodi di analisi cinematica
Metodo analitico
delle equazioni indipendenti di
posizione
Esempio I
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Cinematica
• Risolvere i problemi di posizione, velocità ed accelerazione del
cinematismo assegnato in figura. Sono noti il raggio di manovella AB, la
sua velocità di rotazione costante in e la posizione della cerniera C
rispetto ad A.
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Cinematica
• La mobilità di un meccanismo nel piano può essere valutata tramite la formula
di Grübler: n  3  m  1  2  c 1  1  c 2
• In questo caso: m = 3 (numero di membri); c1 = 2 (numero di coppie
cinematiche elementari: 2 rotoidali in A e B); c2 = 1 (numero di coppie
cinematiche superiori: 1 camma piana in C).
• Il meccanismo risulta quindi ad 1 grado di libertà.
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Cinematica
• Si scriva l’equazione vettoriale di chiusura del meccanismo:
a b c d  0
(1)
• La (1), proiettata nelle 2 direzioni ortogonali, diventa un sistema di due
equazioni non lineari nelle incognite b(θ) e β(θ):
a  sin   b  sin   d  0

a  cos    b  cos    c  0
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(2)
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Cinematica
• Risolvendo il sistema 2 si ottiene la seguente soluzione accettabile:
b    d 2  c 2  a 2  2a d sin    c cos   
 d  a  sin  
    arctan 


c  a  cos   
• Derivando il sistema 2 si imposta il problema di velocità:
a  IN  cos    b  sin     b    cos     0


 a  IN  sin    b  cos     b    sin     0
(3)
• Risolvendo il sistema 3, costituito da 2 equazioni in due incognite si ottiene:
b    a  sin      IN
    
a
 cos      IN
b
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Cinematica
• In maniera analoga a quanto fatto per le velocità, il problema delle
accelerazioni si imposta derivando il sistema 3 e risolvendolo rispetto alle
variabili b,  .
• Si ottiene:
b  a  IN2  cos      b   2
 
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a 2
b
 IN  sin      2   
b
b
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Metodi di analisi cinematica
Metodo analitico
delle equazioni indipendenti di
posizione
Esempio II
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• Risolvere i problemi di posizione, velocità ed accelerazione del
cinematismo assegnato in figura. Sono noti il raggio di manovella, la
sua velocità di rotazione costante in , il valore dell’angolo  costante e
la posizione della guida prismatica in C rispetto alla cerniera in A.
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Cinematica
• La mobilità di un meccanismo nel piano può essere valutata tramite la formula
di Grübler: n  3  m  1  2  c 1  1  c 2
• In questo caso: m = 4 (numero di membri); c1 = 4 (numero di coppie
cinematiche elementari: 2 rotoidali in A e B, 2 prismatiche in B e C.
• Il meccanismo risulta quindi ad 1 grado di libertà.
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• Si scriva l’equazione vettoriale di
chiusura del meccanismo:
a b c d e  0
(1)
• La (1), proiettata nelle 2 direzioni ortogonali, diventa un sistema di due
equazioni non lineari nelle incognite b(θ) e β(θ):
a  sin    b  c sin    d  0

a  cos    c cos    e  0
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(2)
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• Dal sistema (2) si ottengono le relazioni di b e c in funzione dell’angolo , che
risolvono il problema di posizione:

e  a cos  
c 
cos  

b  d  a sin   tan   e  a cos 
 
  
 

• Per impostare il problema delle velocità occorre derivare il sistema (2):

a  IN  cos    b  c sin    0

a  IN sin    c cos    0
(3)
• Risolvendo il sistema (3) si ottiene:
b  a   tan   sin    cos     IN


a
c   cos  sin    IN
 

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Cinematica
• Per l’analisi delle accelerazioni, occorre effettuare la derivata temporale delle
(3), tenendo conto della costanza della velocità angolare del movente:
2
a  IN
 sin    b  c sin    0

a  IN cos    c cos    0
(4)
• Da cui:
2
b  a  tan   cos    sin     IN


a
2
c   cos  cos    IN


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Cinematica
Metodi di analisi cinematica
Metodo delle velocità ed accelerazioni relative
Questo metodo può essere applicato solo per l’analisi di velocità e di
accelerazione, e quindi presuppone che sia già stato risolto per altra via il
problema cinematico di posizione.
Si basa sull’utilizzo dei teoremi di Galileo e Rivals e sulle equazioni della
cinematica del moto relativo.
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Metodi di analisi cinematica
Metodo analitico
delle velocità relative
Esempio I
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Cinematica
• Assegnato il meccanismo rappresentato in figura, determinare la
velocità angolare out del cedente, sapendo che la manovella motrice
ruota con velocità angolare in unitaria.
l
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Cinematica
• La mobilità di un meccanismo nel piano può essere valutata tramite la formula
di Grübler: n  3  m  1  2  c 1  1  c 2
• In questo caso: m = 8 (numero di membri); c1 = 10 (numero di coppie
cinematiche elementari: 3 prismatiche e 7 rotoidali, perché la rotoidale in D va
contata 2 volte).
• Il meccanismo risulta quindi ad 1 grado di libertà.
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Cinematica
• Volendo risolvere il problema per via analitica, si impostano le equazioni con il
metodo delle velocità relative. Partendo dal membro motore e proseguendo
verso il cedente si ha:
i
j
k
  2
v B 2  v A 2  v BA  v A 2   IN  B  A   0  0 0 IN  IN  l  2 
 0 
2l 2l
0
• Essendo il membro 3 collegato al membro 2 con una coppia rotoidale, risulta:
v B3 v B2
• Passando dal membro 3 al successivo membro 4, collegato tramite una
prismatica, si applica la formula delle velocità relative, tenendo conto che le
direzioni di vB4 e vB4/3 sono note:
 0 
 2 v B 4 / 3 
v     l  2    0 
v B 4  v B 3 v B 4 /3

IN

 B 4
  
 0 
 0   0 
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OUT
1
 IN  4
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Cinematica
• Si ottiene quindi:
0 
2 
0 




v B 4  IN  l 2
v B 4 / 3  IN  l 0
v C 5  v C 4  v B 4  IN  l 2
0 
0 
0 
• Muovendosi all’interno del membro 5 si può trovare la velocità del punto D:
v D 5  v C 5  v DC  v C 5   5  D  C 
• Va osservato che D è anche punto del pattino 6, e come tale trasla
orizzontalmente:
0  i
v D 6  v D 5 
 0    0     l 2  0
IN
 


 
0  4l
 0   0 
j
k
0 
0 5  IN  l 2  5  l
 
0 
l 0

5  4l  2l  IN
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
 0  5   IN
2
v D 5  IN
 1
 4 
 
 0 
1 
 2
l  0 
0
 
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OUT
1
 IN  4
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• Dato che i membri 5, 6 e 7 sono collegati tra di loro dalla coppia rotoidale, le
loro velocità in D devono essere uguali:
v D7 v D6 v D5
• Muovendosi all’interno della biella 7 e imponendo la direzione della velocità del
punto E, che è nota perché E è anche punto della ruota 8, si ha:
v E 7  v D 7  v ED  v D 7   7  (E  D )
1  i
 0 
 2
v     l  0   0
E
7
IN
 
 
 0 
 0  3l
 
j
k
0
7  IN
3l
0

1
6
3 
 3 
0 
1
2
v E 7   IN l
7   IN
• Per via della cerniera in 8:
1 
 2
 l  0   7  l
 
0 
 
v E 8 v E 7
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• Considerando la ruota 8 e conoscendo le velocità dei punti E ed F si ha:
v F 8  v E 8  v FE  v D 7   8  (F  E )
 0  i
0 
0     l   1   0
 2
IN
 

 l
0 
 0 
j
k
0 8  IN
0 0
 0 


 l   1   8  l
2


 0 
0
  1
 0 

OUT  8   IN
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2
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Metodi di analisi cinematica
Metodo analitico
delle velocità relative
Esempio II
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• Assegnato il meccanismo rappresentato in figura, determinare la
velocità angolare out del cedente, sapendo che il pattino trasla con
velocità vin unitaria.
l
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Cinematica
• La mobilità di un meccanismo nel piano può essere valutata tramite la formula
di Grübler: n  3  m  1  2  c 1  1  c 2
• In questo caso: m = 8 (numero di membri); c1 = 10 (numero di coppie
cinematiche elementari: 3 prismatiche e 7 rotoidali, perché la rotoidale in D va
contata 2 volte).
• Il meccanismo risulta quindi ad 1 grado di libertà.
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Cinematica
• Volendo risolvere il problema per via analitica, si impostano le equazioni con il
metodo delle velocità relative. Partendo dal membro motore e proseguendo
verso il cedente si ha:
v v v
A3
A2
IN
v B 3  v A 3  v BA  v A 3   3  B  A 

i
j
k
 v IN 
 1
v B 3 x 
3

 



0 3  v IN  0   3  l  6 
v B 3y    0   0
 0   0  6l 3l 0
 0 
 0 


• Il sistema di due equazioni nelle tre incognite vB3x, vB3y e 3, per cui occorre
introdurre nuove relazioni; si osserva che tramite la formula delle velocità
relative è possibile correlare la velocità del punto B pensato come appartenente
al glifo 3 con quella dello stesso punto, ma solidale all’asta 4:
2 / 5 
0  v B 3 x 






v B 4  v B 3 v B 4 /3

0   v B 3y   v B 4 / 3 1 / 5 
 0 
0   0 


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• Dalle precedenti relazioni si ottiene quindi:
v B 4 / 3  v IN
4 
 5
2 
 5
0 
 
 0 
0

v IN 


 0 
3   0  
l 

3 
 115 
v B 3  v IN
 4 
 5
 2 
 5
 0 


• Dato che il punto B, inteso come appartenente al membro 4, è fisso a telaio, e
quindi il membro 4 ruota attorno al punto B, si può subito ricavare il valore della
sua velocità angolare, che è la stessa anche per il glifo 3, visto che i due
membri sono collegati da una coppia prismatica:


0 
v IN 
 0 
4  3 
l 

 115 
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• Si può passare al punto C, sempre muovendosi all’interno dello stesso
membro 4:
v C 4  v B 4  v CB  v B 4   4  C  B 
vC4
i
v C 4 x  0 

  
 v C 4 y   0   0


 0  0  4l
j
0
2l
k
0 
2
4  0   4  l  4   v IN
0
0 
 0 
2 
 15 
 4 
 15 
 0 


• Data la cerniera in C si passa al membro 5:
v C5 v C 4
• La velocità del punto D è correlata a quella del punto C dalla solita formula
che stabilisce la distribuzione di velocità nei corpi rigidi piani:
v D 5  v C 5  v DC  v C 5   5  D  C 
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• Il punto D è anche punto del pattino 6 che scorre in una guida verticale. La
componente vD5x sarà quindi nulla:
v D5
 0 
 v D 5   v IN
 0 
2 
 15  i
 4   0
 15 
 0  2l


j
0
4l
k
5  v IN
0
2 
 15 
 4     l
5
 15 
 0 


 4 
 
2
 0 
• Si ottiene quindi:
v D 5  v D 6  v D 7  v IN


0 
v 
 5  IN  0 
l 

 0 


  115 


 0 
 1 30 
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• Muovendosi all’interno del membro 7, si può esprimere la velocità del punto E
come:
v E 7  v D 7  v ED  v D 7   7  E  D 
vE7
 0 
 v E 7   v IN
 0 
 0  i
 1 
 15   0

 2l
 0 
j
k
0
7  v IN
2l
0
 0 
 1 
 15   7  l


 0 
 2 
2
 
 0 

7  0
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vE 7  
1
v IN
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• Considerando il punto F si ha:
v F  v E  v EF  v E   8  F  E
vF
0   0   i

 0    V IN 15    0
0   0  2l

j
k 

 0 

0 8    V IN 15   8l
0 0   0 
0 
2 
 
0 

OUT  8 
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v IN
30l
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