Fondamenti di Meccanica Strutturale Aerospaziali
AA 2012/2013
Esercizi sintetici sull’analisi cinematica di sistemi articolati
Analisi cinematiche sintetiche e complete. Abbreviazioni usate:
AC = analisi cinematica
CIR = centro di istantanea rotazione
CR = corpo rigido
GDVE = gradi di vincolo esterni o assoluti
GDVI = gradi di vincolo interni o relativi
GDL = gradi di liberta’
Si ricorda che (a) travi cerniera-carrello, (b) archi a tre cerniere e (c) quadrilateri articolati sono strutture
in cui GDV = GDL (isostatiche) per definizione, ma che possono essere labili. Identificare una struttura
come (a), (b) o (c) non e’ sufficiente a completare l’analisi cinematica.
1. Esercizio
Struttura a sinistra. Due CR (6 GDL) e tre vincoli doppi (6 GDV) che individuano un arco a tre cerniere. I
tre CIR sono nel punto D (CIR assoluto per l’asta BD), in direzione +/4 (CIR assoluto per l’asta AB) e in
direzione verticale (CIR relativo tra le due aste AB e BD). I tre CIR non sono allineati, perche’ la retta
verticale passante per D non ha direzione +/4, quindi il sistema e’ non labile.
Eseguire l’AC per la struttura a destra.
2. Esercizio
Struttura a sinistra. Singolo CR (3 GDL) con due vincoli doppi a terra (4 GDVE). Il sistema e’ una volta
iperstatico. La struttura puo’ essere resa isostatica trasformando: (i) la cerniera in D in un carrello a
scorrimento verticale; (ii) il pattino in A in carrello a scorrimento orizzontale; (iii) il pattino in A in
pattino-manicotto.
Indicare come rendere isostatica la struttura a destra.
3. Esercizio
Singolo CR (3 GDL) con un vincolo triplo, uno doppio e uno semplice a terra (6 GDVE). Il sistema e’ tre
volte iperstatico. L’incastro e’ sufficiente a bloccare tutti gli spostamenti nel piano, cerniera e carrello
sono ridondanti. La struttura puo’ essere resa isostatica (i) rimuovendo sia il carrello B sia la cerniera A;
(ii) rimuovendo l’incastro D.
4. Esercizio
Struttura in alto. Due CR (6 GDL) con un vincolo doppio e due vincoli semplici a terra (4 GDVE) e con un
vincolo doppio interno (2 GDVI). Il sistema isostatico. L’asta CB e’ una trave-cerniera carrello non labile
(la retta d’azione del carrello e’ la retta in B inclinata a –/4 e non passa per il CIR della cerniera in C). La
cerniera in A non si puo’ muovere ed si comporta come vincolo assoluto. L’asta AE e’ una trave-cerniera
carrello non labile (la retta d’azione del carrello e’ la retta in E inclinata di –/4 che non passa per il CIR
della cerniera in A).
Eseguire l’AC per la struttura in basso.
5. Esercizio
Quattro CR (12 GDL) con due vincoli doppi esterni (4 GDVE) e con quattro vincoli doppi interni disposti
nella tipica configurazione di quadrilatero articolato. Il sistema e’ isostatico. La labilita’ si verifica
cercando la posizione della cerniera relativa tra le due aste a terra AC e GI, definita dalle due bielle CD e
BI. La biella CD ha retta d’azione inclinata a /4 passante per D. La biella BI ha retta d’azione verticale
passante per I. Le due rette di azione si intersecano nel punto D che e’ CIR relativo per le due aste AC e
GI. Il sistema e’ equivalente a un arco a tre cerniere con CIR assoluti nei punti A e G e CIR relativo nel
punto D. I tre CIR non sono allineati, il sistema e’ non labile.
6. Esercizio
Quattro CR (12 GDL) con un vincolo triplo e un vincolo doppio esterni (5 GDVE) e con tre vincoli doppi e
un vincolo semplice interni (7 GDVI). Il sistema e’ isostatico. Relativamente al resto della struttura, le
aste GF e FC costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i tre CIR nei punti G, F e C non sono allineati)
e possono essere eliminate ai fini dell’AC. L’asta BG e’ vincolata a terra con incastro, e il carrello in B
corrisponde a un vincolo semplice assoluto. L’asta DB e’ una trave cerniera-carrello non labile: la retta
d’azione del carrello e’ l’orizzontale in B e non passa per D.
7. Esercizio
Tre CR (9 GDL) con un vincolo doppio e un vincolo quadruplo a terra (6 GDVE) e con due vincoli relativi
doppi (4 GDVI). Il vincolo quadruplo e’ la cerniera in B che ha effetto sulle aste BG e BC. Il sistema e’ una
volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le aste BG e GE costituiscono un arco a tre
cerniere non labile (i tre CIR nei punti B, G ed E non sono allineati) e possono essere eliminate ai fini
dell’AC. L’asta BC e’ vincolata a terra con 4 vincoli ed e’ iperstatica esternamente. La struttura e’ resa
isostatica non labile: (i) sostituendo il pattino in C con un carrello a scorrimento verticale oppure con un
pattino-manicotto; (ii) sostituendo la cerniera in B con un carrello a scorrimento orizzontale (la cerniera
che lega l’asta BA e l’asta BG non deve essere sconnessa, il vincolo interno deve continuare ad esistere;
il vincolo in deve avere 3 GDV = 2 GDVI + 1GDVE); (iii) introducendo un manicotto a scorrimento
orizzontale relativo in A.
8. Esercizio
Tre CR (9 GDL) con due vincoli doppi e un vincolo semplice esterni (5 GDVE); e due vincoli doppi e un
vincolo semplice interni (5 GDVI). Il sistema e’ una volta iperstatico. Relativamente al resto della
struttura, l’asta AF e’ una trave cerniera-carrello non labile (la retta d’azione del carrello e’ la verticale in
F che non passa per il CIR della cerniera in A), appoggiata alla struttura: puo’ essere eliminata ai fini della
AC. Relativamente al resto della struttura, anche l’asta DG e’ una trave cerniera-carrello non labile (la
retta d’azione del carrello e’ la verticale in G che non passa per il CIR in D), appoggiata a terra e al resto
della struttura: puo’ essere eliminata ai fini della AC. L’asta CB e’ vincolata a terra con due vincoli doppi,
quindi una volta iperstatica esternamente. Puo’ essere resa isostatica non labile: (i) sostituendo il
pattino in C con un carrello a scorrimento verticale; o (ii) sostituendo il manicotto in B con un carrello a
scorrimento orizzontale.
9. Esercizio
Cinque CR (15 GDL) con due vincoli doppi e un vincolo semplice esterno (5 GDVE) e tre vincoli doppi e un
vincolo quadruplo interno (10 GDVI). La struttura e’ isostatica. Le aste AB e BD costituiscono un arco a
tre cerniere non labile (i CIR sono la direzione orizzontale, la direzione verticale e il punto B, pertanto
non sono allineati). Ne segue che le cerniere in C e in B si comportano come vincoli assoluti. L’asta CE e’
una biella con retta d’azione verticale passante per C. L’asta BE e’ una biella con retta d’azione
orizzontale passante per E. Entrambe le bielle vincolano l’asta EG come carrelli assoluti. L’asta EG e’
vincolata a terra con due carrelli a scorrimento orizzontale (in C e in G) e con un carrello a scorrimento
verticale in E. La struttura e’ non labile.
10. Esercizio
Tre CR (9 GDL) con un vincolo triplo e un vincolo semplice esterni (4 GDVE) e con tre vincoli doppi interni
(6 GDVI). Il sistema e’ una volta iperstatico. L’ asta GE e’ incastrata a terra, e la cerniera in E puo’ essere
considerata assoluta. Il sistema risultante e’ equivalente a una trave cerniera-carrello non labile, con una
cerniera assoluta in E e un carrello assoluto con retta d’azione orizzontale passante per C. Le aste ED e
BD formano un anello chiuso con due svincoli (cerniera in B e manicotto in D) una volta iperstatico
internamente. Per rendere il sistema isostatico occorre introdurre uno svincolo nell’anello chiuso. Ad
esempio, si puo’ (i) introdurre una cerniera relativa in A tra ED e AB; (ii) trasformare il pattino in D in un
carrello a scorrimento verticale; (iii) trasformare la cerniera in B in carrello a scorrimento orizzontale; (iv)
introdurre una cerniera interna in C tra le aste CB e BD.
11. Esercizio
Struttura in alto. Tre CR (9 GDL) con due vincoli doppi esterni (4 GDVE) e con tre vincoli doppi interni (6
GDVI). Il sistema e’ una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le aste CF e FA
costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono in C, F, ed A e non stanno sulla stessa retta),
che puo’ essere rimosso al fine dell’AC. L’asta DB e’ vincolata a terra con due cerniere in B e D ed e’ una
volta iperstatica. Per renderla isostatica si puo’ trasformare una delle due cerniere in un carrello con
scorrimento orizzontale o verticale.
Eseguire l’AC per la struttura in basso.
12. Esercizio
Cinque CR (15 GDL) con due vincoli doppi esterni (4 GDVE) e con quattro vincoli doppi e un vincolo
quadruplo interno (12 GDVI). Il sistema e’ una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le
aste FG e GE sono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono i punti E e G e la direzione verticale, e non
stanno sulla stessa retta), che puo’ essere rimosso al fine dell’AC. Relativamente al resto della struttura,
le aste CE e BE costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono i punti C, E e B e non stanno
sulla stessa retta), che ancora puo’ essere rimosso al fine dell’AC. L’asta AC e’ vincolata a terra con due
vincoli doppi ed e’ una volta iperstatica. Per renderla isostatica, si puo’: (i) sostituire il pattino in C con
un carrello a scorrimento verticale (o con un pattino-manicotto); (ii) la cerniera in A con un carrello a
scorrimento orizzontale.
13. Esercizio
Tre CR (9 GDL) con due vincoli tripli e un vincolo doppio a terra (7 GDVE) e con due vincoli doppi interni
(4 GDVI). Il sistema e’ due volte iperstatico. L’asta BF e’ incastrata a terra e la cerniera in F e il pattino in
A si comportano come vincoli assoluti. L’asta FE e’ una trave cerniera-carrello non labile (la retta
d’azione del carrello e’ la verticale in E e non passa per il CIR della cerniera in F). L’asta DA e’ vincolata a
terra con un incastro cedevole alle rotazioni (c’e’ una molla rotazionale in D che impedisce parzialmente
le rotazioni della cerniera), pertanto i due vincoli del pattino in A sono ridondanti. La struttura puo’
essere resa isostatica (i) rimuovendo il pattino in A (ma cosi’ si ottengono due strutture indipendenti);
(ii) trasformando l’incastro cedevole in un carrello a scorrimento verticale.
14. Esercizio
Quattro CR (12 GDL) con due vincoli doppi e un vincolo semplice a terra (5 GDVE) e con quattro vincoli
doppi interni (8 GDVI). Il sistema e’ una volta iperstatico. L’anello chiuso costituito dalle aste FH e HA e’
isostatico non labile (i tre CIR dei vincoli interni, in F, in H e in direzione verticale, non sono sulla stessa
retta) e puo’ essere considerato come un unico CR. La biella CA e’ equivalente a un carrello esterno
applicato all’asta BE nel punto A. L’asta BE e’ vincolata a terra con 2 carrelli a scorrimento orizzontale e
una cerniera, ed e’ una volta iperstatica. L’iperstaticita’ e’ relativa al grado di liberta’ di traslazione
verticale, che e’ ribadito dai due carrelli B e A e dalla cerniera E. Per rendere la struttura isostatica si
puo’ rimuovere uno dei due carrelli in B e in A o sostituire la cerniera in E con un carrello a scorrimento
verticale.
15. Esercizio
Cinque CR (15 GDL) con due vincoli doppi a terra (4 GDVE) e sei vincoli doppi interni (12 GDVI). Il sistema
e’ una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le aste EF e DF costituiscono un arco a tre
cerniere non labile (i CIR sono il punto F e le direzioni orizzontale e verticale; essi non stanno sulla stessa
retta), che puo’ essere rimosso al fine dell’AC. La biella AB puo’ essere sostituita da un carrello passante
per il punto B e con retta d’azione orizzontale. Il sistema risulta vincolato a terra con un carrello a
scorrimento verticale in B e un cerniera in G ed esternamente e’ isostatico non labile. L’anello chiuso
costituito dalle aste CD e CB ha due svincoli in C e in D ed e’ una volta iperstatico. Per rendere la
struttura isostatica occorre introdurre uno svincolo nell’anello chiuso: (i) trasformando una delle due
cerniere in C o in D in un carrello a scorrimento orizzontale o verticale; (ii) introducendo una seconda
cerniera in B tra le aste BC e BD (la cerniera in B diventa un vincolo quadruplo).
16. Esercizio
Tre CR (9 GDL) con due vincoli doppi a terra (4 GDVE) e con tre vincoli doppi interni (6 GDVI). Il sistema
e’ una volta iperstatico. La biella GH puo’ essere sostituita da un carrello passante per il punto G e con
retta d’azione verticale. Il sistema risulta vincolato a terra con un carrello a scorrimento orizzontale in G
e un manicotto a scorrimento verticale in A ed esternamente e’ isostatico non labile. L’anello chiuso
costituito dalle aste CG ed AF ha due svincoli in C e in F ed e’ una volta iperstatico. Per rendere la
struttura isostatica occorre introdurre uno svincolo nell’anello chiuso: (i) trasformando una delle due
cerniere in C o in F in un carrello a scorrimento orizzontale o verticale, (ii) introducendo una cerniera in E
o in D.
17. Esercizio
Quattro CR (12 GDL) con un vincolo doppio e due vincoli singoli a terra (4 GDVE) e con un vincolo triplo e
tre vincoli doppi interni (9 GDVI). La molla rotazionale in C impedisce parzialmente le rotazioni relative
delle aste AC e CE e ai fini dell’AC solidarizza le due aste. Il sistema e’ una volta iperstatico.
Relativamente al resto della struttura, le aste BH e HD costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i
CIR sono il punto H, la direzione verticale e la direzione orizzontale; essi non stanno sulla stessa retta),
che puo’ essere rimosso ai fini dell’AC. L’asta AE ha quattro vincoli assoluti. Per renderla isostatica e’
necessario liberare un grado di liberta’ in verticale: (i) eliminando uno dei due carrelli; (ii) trasformando
la cerniera in un carrello a scorrimento verticale; (iii) rimuovendo la molla rotazionale (si ottiene la trave
cerniera-carrello non labile AC -la retta d’azione del carrello in B non passa per il CIR della cerniera in A-,
su cui poggia la trave cerniera-carrello non labile CE -la retta d’azione del carrello in E non passa per il
CIR della cerniera in C-).
18. Esercizio
Quattro CR (12 GDL) con un vincolo triplo e due vincoli singoli a terra (5 GDVE) e con tre vincoli doppi e
due vincoli singoli interni (8 GDVI). Il sistema e’ una volta iperstatico. L’asta EB e’ incastrata a terra,
quindi il carrello in D e il manicotto in B possono essere considerati come vincoli assoluti. L’asta BJ e’
pertanto vincolata a terra con quattro vincoli ed e’ una volta iperstatica esternamente. La biella HF che
collega l’asta ID con l’asta BJ e’ equivalente ad un carrello con retta d’azione orizzontale passante per F.
Quindi l’asta ID e’ vincolata a terra con un carrello in D e all’asta BJ con due carrelli, uno con scorrimento
orizzontale in I e l’altro con scorrimento verticale in F. I tre carrelli non hanno rette d’azione che passano
per il medesimo punto e, relativamente al resto della struttura, ID e’ un’asta isostatica non labile.
L’iperstatica esterna sull’asta BJ puo’ essere rimossa (i) eliminando il carrello in J; (ii) trasformando il
manicotto in B in un pattino-manicotto; (iii) introducendo una cerniera in A, che collega le due aste AB e
AJ, in modo da ridurre la struttura iperstatica a due travi cerniera-carrello non labili appoggiate una
sull’altra.
19. Esercizio
Sette CR (21 GDL) con un vincolo triplo e un vincolo semplice a terra (4 GDVE) e con cinque vincoli doppi
e due vincoli quadrupli interni (18 GDVI). Il carrello in E e’ interpretabile come un vincolo semplice
esterno e vincolo doppio interno. Le cerniere in F e in H collegano le estremita’ di tre aste e pertanto
sono vincoli quadrupli. Il sistema e’ una volta iperstatico. L’asta AE e’ incastrata a terra e il carrello a
terra in E e’ ridondante, e l’asta AE e’ iperstatica esternamente. Le tre cerniere in B, D ed E possono
essere considerate vincoli assoluti. Le tre bielle BF, CG ed EH sono equivalenti a tre carrelli con rette
d’azione inclinata a /4 passante per F, verticale passante per G e verticale passante per H,
rispettivamente. L’anello GFIH e’ vincolato a terra tre carrelli le cui rette d’azione non hanno punti in
comune e non ha movimenti relativi rispetto all’asta AE. L’anello chiuso GFIH ha tre svincoli in F, in H e
G, a cui corrispondono tre CIR (i punti F ed H e la direzione orizzontale) non allineati, ed e’ pertanto un
CR non labile. Per rendere la struttura isostatica si puo’ (i) rimuovere il carrello a terra in E; (ii)
trasformare l’incastro in una cerniera, o (iii) trasformare l’incastro in un manicotto a scorrimento
verticale.
20. Esercizio
Quattro CR (12 GDL) con un vincolo doppio e tre vincoli semplici a terra (5 GDVE) e due vincoli doppi e
un vincolo quadruplo interni (8 GDVI). La cerniera in D collega le estremita’ di tre aste e pertanto e’ un
vincolo quadruplo. Il sistema e’ una volta iperstatico. La biella ED puo’ essere sostituita con un carrello
passante per il punto D e con retta d’azione orizzontale. L’anello BDG e’ un anello chiuso con tre svincoli.
I CIR (i punti D, G e la direzione inclinata a –/3) non sono allineati, e l’anello chiuso e’ un CR isostatico
non labile. La struttura risultante e’ vincolata a terra con quattro vincoli semplici (carrelli in D, C e A con
retta d’azione orizzontale e carrello in H con retta d’azione verticale) ed e’ una volta iperstatica
esternamente. Il grado di liberta’ di traslazione orizzontale e’ bloccato da tre carrelli con scorrimento
verticale. Per rendere isostatica la struttura si puo’ eliminare uno dei tre carrelli con scorrimento
verticale in A, C o D.
21. Esercizio
Tre CR (9 GDL) con un vincolo doppio e due vincoli semplici a terra (4 GDVE) e con tre vincoli doppi
interni (6 GDVI). Il carrello in D e’ interpretabile come un vincolo semplice esterno e vincolo doppio
interno. La struttura e’ una volta iperstatica. Relativamente al resto della struttura, le aste BI e ID
costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i tre CIR al finito in B, I e D non sono allineati) e possono
essere eliminate ai fini dell’AC. L’asta AE e’ vincolata a terra con una cerniera in A e due carrelli a
scorrimento orizzontale in E e in D, ed e’ iperstatica esternamente. Per renderla isostatica si puo’ (i)
eliminare il carrello in E o il carrello in B; (ii) trasformare la cerniera in A in carrello con scorrimento
verticale.
22. Esercizio
Quattro CR (12 GDL) con due vincoli doppi a terra (4 GDVE) e con tre vincoli relativi (uno semplice, uno
doppio e uno quadruplo, 7 GDVI). Il vincolo quadruplo e’ la cerniera in B che ha effetto sulle aste BA, BG
e BD. Il sistema e’ una volta ipostatico. Relativamente al resto della struttura, l’asta BD e’ una trave
cerniera-carrello non labile (la retta d’azione del carrello in D non passa per la cerniera in B) e puo’
essere eliminata ai fini dell’AC. L’asta GE e’ una biella con retta d’azione passante per G e per E, inclinata
+/4. L’asta AB e’ una biella con retta d’azione passante per A e per B. Ne segue che l’asta BG e’
vincolata a terra con due carrelli a scorrimento in direzione -/4. Cinematicamente e’ come se fosse
vincolata a terra con un pattino a scorrimento in direzione -/4. Il grado di liberta’ residuo e’ una
traslazione di BG nella direzione -/4, a cui corrisponde una rotazione antioraria dell’asta GE intorno a E
e una rotazione oraria dell’asta AB intorno ad A. La struttura puo’ essere resa isostatica introducendo in
G, in C o in B un carrello a terra con piano inclinato a +/4.
Analisi del cinematismo. Per studiare il cinematismo associato al GDL residuo, occorre ridurre il sistema
a una struttura di semplice analisi eliminando tutte le parti isostatiche. Si individuano quindi i CIR
assoluti delle aste che costituiscono la struttura semplificata. In questo caso, ci si riduce alle tre bielle
AB,. BG e GE. Il CIR assoluto di AB e’ A. Il CIR assoluto di GE e’ E. Il CIR assoluto di BG e’ la direzione +/4,
l’asta puo’ solo traslare. Se si assegna una rotazione oraria - in A all’asta AB, il punto B si muove in
direzione –/4 della quantita’ √ e l’intera asta BG trasla rigidamente nella stessa direzione, incluso il
punto G. Per consentire il movimento di G, l’asta GE ruota in senso antiorario intorno alla cerniera in E di
un angolo .
23. Esercizio
Tre CR (9 GDL) con tre vincoli doppi e un vincolo semplice interni (7 GDVI). Il sistema e’ apparentemente
due volte isostatico. Non essendoci vincoli a terra, la struttura e’ tre volte ipostatica esternamente. Sono
presenti due anelli chiusi. Relativamente al resto della struttura, l’ asta DE e’ una trave cerniera-carrello
non labile (la retta d’azione del carrello in E non passa per il CIR della cerniera in D) e puo’ essere
eliminata ai fini dell’AC. L’anello costituito dalle aste AD e AB ha due svincoli interni con CIR in A e in B,
ed e’ una volta iperstatico. La struttura e’ una volta iperstatica internamente. Puo’ essere resa isostatica
esternamente vincolando a terra il punto C (o F) con un incastro, ed isostatica internamente e
introducendo una cerniera in D, cosi’ da trasformare l’asta ADB nelle due aste AD e DB. La cerniera in D
diventa pertanto un vincolo quadruplo che lega le tre aste DA, DB e DE.
Analisi del cinematismo. La struttura possiede tre GDL di moto rigido nel piano, due di traslazione ed
uno di rotazione. Non esistono cinematismi parziali.
24. Esercizio
Quattro CR (12 GDL) con un vincolo doppio e un vincolo semplice esterni (3 GDVE) e quattro vincoli
doppi interni (8 GDVI). Il carrello a terra deve essere visto come l’insieme di una cerniera interna che
agisce sulle aste CB e CF e un carrello esterno. Il sistema e’ una volta ipostatico. Le aste CB e BG sono un
arco a tre cerniere non labile (CIR in C, in B e direzione orizzontale, quindi non allineate) appoggiato al
resto della struttura e puo’ essere eliminato ai fini dell’AC. Le aste CF e FH costituiscono un cinematismo
detto biella-manovella, dotato di un grado di liberta’.
Studio del cinematismo. L’asta FH ha CIR assoluto in H. L’asta CF e’ vincolata a terra con un carrello in C
e con la biella FH, cinematicamente equivalente a un carrello a scorrimento orizzontale in F. E’ come se
CF fosse vincolata in modo assoluto con un manicotto a scorrimento orizzontale e puo’ solo avere
spostamenti orizzontali. Se il carrello in B e’ spostato di una quantita’ u, l’asta FH trasla rigidamente in
direzione orizzontale. Anche la cerniera in F si sposta in orizzontale inducendo una rotazione oraria -u/b
nella cerniera in H e il movimento della biella verticale.