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Analisi cinematica dei sistemi di travi
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.1
Analisi cinematica di una trave
Nel seguito si studiano i possibili campi di spostamento rigido piano per una
trave. Lo spostamento del generico punto P dell’asse della trave può essere
quindi espresso in funzione dello spostamento di un fissato punto Q della trave
e della rotazione ϕ che è ora indipendente dall’ascissa s del punto. Il campo
degli spostamenti rigidi infinitesimi di una trave piana è dunque descritto dai
tre parametri lagrangiani scalari u1 (Q), u2 (Q), ϕ. In questo senso una trave
piana libera ha tre gradi di libertà.
Si supponga che alla trave siano applicati a vincoli, ciascuno con molteplicità vi . Il numero totale di equazioni di vincolo sarà dato quindi da
v=
a
!
vi .
i=1
Se si esprimono queste equazioni in funzione dei parametri lagrangiani, si
ottiene un sistema di v equazioni omogenee lineari nelle tre incognite u1 (Q),
u2 (Q) e ϕ. Le soluzioni forniscono i parametri che definiscono i campi di
spostamento che eventualmente i vincoli applicati alla trave consentono. Il
sistema assume quindi la forma matriciale





c11 c12 c13 
0
u
(Q)
1
 c21 c22 c23 




  0 
(5.1)
 ... ... ...  u2 (Q) =  ... 
ϕ
cv1 cv2 cv3
0
La matrice [ C ] di dimensioni v × 3 prende il nome di matrice cinematica ed
ha rango
r[ C ] ≤ min{v, 3} .
Poiché il sistema è omogeneo, ammette sempre la soluzione banale (0, 0, 0)
corrispondente a spostamenti tutti nulli. Definendo il parametro l = 3 − v, a
seconda del rango della matrice [ C ], si possono verificare i seguenti casi:
1. r[ C ] = 3: in tal caso il sistema (5.1) ammette la sola soluzione banale
e si dice cinematicamente determinato; la trave non può dunque subire
spostamenti rigidi infinitesimi. In tal caso ci sono due possibilità:
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.2
Analisi cinematica di un sistema di travi
• se v = 3 (l = 0) il numero di vincoli è quello strettamente necessario
ad impedire tutti gli spostamenti rigidi infinitesimi, ed il sistema si
dice isostatico;
• se v > 3 (l < 0) il numero di vincoli è sovrabbondante, ed il sistema
si dice iperstatico;
2. r[ C ] < 3: in tal caso il sistema (5.1) ammette soluzioni diverse dalla
banale e si dice cinematicamente indeterminato e la trave può subire
spostamenti rigidi infinitesimi; in questo caso il sistema (5.1) è costituito
da equazioni linearmente dipendenti. In particolare
• se v = r (l > 0) il sistema si dice labile con grado di labilità 3 − v;
• se v > r (l ! 0) il sistema si dice labile a vincoli inefficaci, con
grado di labilità 3 − r.
5.2
Analisi cinematica di un sistema di travi
Si consideri un sistema di travi costituito da n tratti. Il campo degli spostamenti rigidi infinitesimi ui dell’i-esima trave è descritto dai parametri lagrangiani (ui1 (Qi ), ui2 (Qi ), ϕi ), dove Qi è il polo di riduzione degli spostamenti
dell’i-esima trave. Per ogni campo di spostamento risulta
u (P) = u (Qi ) + ϕ e3 × (P − Qi ) ,
i = 1, . . . , n ,
(
i = 1, . . . , n .
i
i
i
a
!
vj .
Analisi cinematica di un sistema di travi
Se vi sono inoltre b connessioni, ciascuna con molteplicità ck , il numero totale
di equazioni di connessione è
c=
b
!
ck .
k=1
Se si esprimono queste equazioni in funzione dei parametri lagrangiani, si
ottiene un sistema di m = v + c equazioni omogenee lineari in 3n incognite. Il
sistema assume quindi la forma matriciale:
 1

u1 (Q1 )
 


 1
u (Q ) 
c11 c12 c13 c14 ... c1 3n 
0
 2 1 
 c21 c22 c23 c24 ... c2 3n   ϕ1   0 


 



 
 ...
(5.2)
...
...
... ...
... 
  u21 (Q2 )  =  ... 

  ... 
 ...
...
...
... ...
...  


...

cm1 cm2 cm3 cm4 ... cm 3n 
0


...
n
ϕ
La matrice cinematica [ C ] di dimensioni m × 3n ha rango
r[ C ] ≤ min{m, 3n} .
ove s è la molteplicità totale delle sconnessioni, a seconda del rango della
matrice [ C ], si possono verificare i seguenti casi:
1. r[ C ] = 3n: in tal caso il sistema (5.2) ammette la sola soluzione banale e
si dice cinematicamente determinato; il sistema di travi non può dunque
subire spostamenti rigidi infinitesimi;
• se m = 3n (l = 0) il numero di vincoli è quello strettamente necessario ad impedire tutti gli spostamenti rigidi infinitesimi; il sistema
si dice isostatico;
j=1
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5.2
l = 3n − m = 3n − (v + c) = 3 + s − v ,
I parametri di spostamento sono dunque 3n. Si supponga che al sistema siano
applicati a vincoli, ciascuno con molteplicità vj . Il numero totale di equazioni
di vincolo è dato quindi da
v=
Analisi cinematica dei sistemi di travi
Poiché il sistema è omogeneo, esso ammette sempre la soluzione banale,
corrispondente a spostamenti tutti nulli. Introducendo il parametro
ossia
ui1 (P) = ui1 (Qi ) − ϕi (yP − yQi )
ui2 (P) = ui2 (Qi ) + ϕi (xP − xQi )
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.3
Metodo geometrico
• se m > 3n (l < 0) il numero di vincoli è sovrabbondante, ed il
sistema si dice iperstatico;
2. r[ C ] < 3n: in tal caso il sistema (5.2) ammette soluzioni diverse dalla
banale e si dice cinematicamente indeterminato e il sistema di travi può
subire spostamenti rigidi infinitesimi; il sistema (5.2) è costituito da
equazioni linearmente dipendenti;
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.3
Metodo geometrico
• cerniera: u(A) = 0 ⇒ CR ≡ A
(
)
u(A) = 0
• incastro:
⇒ ∃ CR .
ϕ=0
• se r = m (l > 0) il sistema si dice labile;
• se r < m (l ! 0) il sistema si dice labile a vincoli inefficaci.
Dunque risulta:
• se l = 0 la struttura può essere isostatica o labile a vincoli inefficaci;
• se l < 0 la struttura può essere iperstatica o labile a vincoli inefficaci;
• se l > 0 la struttura può essere labile o labile a vincoli inefficaci.
5.3
Metodo geometrico
Come già visto in precedenza, per classificare cinematicamente una trave o
un sistema di travi è necessario determinare il parametro l = 3n − (v + c) e
successivamente il rango della matrice cinematica. Sfruttando considerazioni
geometriche è possibile evitare quest’ultimo calcolo.
Si consideri una trave alla quale è applicata un vincolo esterno. Come visto
nel paragrafo 4.4, un vincolo impone delle limitazioni sugli spostamenti rigidi
possibili, ovvero impone delle condizioni sul possibile centro del campo degli
spostamenti assoluti della trave (centro assoluto, indicato in figura con CR ).
In particolare risulta (figura 5.1):
Fig. 5.1
Si osservi come i vincoli semplici consentano ∞1 possibili centri di rotazione, i vincoli doppi un solo possibile centro, mentre i vincoli tripli non lasciano
alcun possibile centro di rotazione (impediscono tutte le possibili componenti
di spostamento).
L’analisi cinematica di una trave può essere dunque condotta verificando
l’eventuale possibilità che esista un centro di rotazione compatibile con tutti i
vincoli. Si consideri ad esempio la trave in figura 5.2. Si ha l = 3 − (2 + 1) = 0,
• carrello o pendolo: u(A) · e = 0 ⇒ CR ∈ r
• pendolo improprio: ϕ = 0 ⇒ CR ∈ r∞
(punto improprio qualunque)
(
u(A) · e = 0
• doppio pendolo:
⇒ CR ≡ C∞
ϕ=0
(punto improprio della direzione di e)
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Fig. 5.2
per cui la trave può essere isostatica o labile a vincoli inefficaci. Il vincolo in
A impone che CR ≡ A, mentre il vincolo in B impone che CR ∈ r. Queste
due condizioni sono incompatibili in quanto A )∈ r, per cui u(P) = 0 per ogni
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.3
Metodo geometrico
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.3
Metodo geometrico
P e la trave è isostatica. Se il carrello avesse asse orizzontale (figura 5.3), la
condizione CR ≡ A sarebbe compatibile con entrambe le condizioni di vincolo,
per cui la trave potrebbe subire rotazioni intorno ad A e sarebbe dunque labile
a vincoli inefficaci.
Fig. 5.5
È possibile cosı̀ definire il campo degli spostamenti relativi tra il corpo j e il
corpo i:
Fig. 5.3
Si consideri la struttura in figura 5.4. Si ha l = 3− (1+ 1+ 1+ 1) = −1, per
cui la trave può essere iperstatica o labile a vincoli inefficaci. Ciascun pendolo
impone che il centro di rotazione si trovi sul proprio asse. Se gli assi non sono
ui,j (P) = uj (P) − ui (P) ;
se ui,j (P) = 0 per ogni P i due corpi sono solidali tra loro.
Fig. 5.6
Fig. 5.4
concorrenti in un unico punto, non esiste alcun centro, proprio o improprio,
compatibile con i vincoli, per cui la trave è iperstatica. Se gli assi sono concorrenti (figura 5.5), la struttura è labile a vincoli inefficaci. In particolare se
gli assi concorrono in un punto proprio, il campo degli spostamenti consentiti
è una rotazione, altrimenti se gli assi sono tutti paralleli, il centro è improprio
e lo spostamento consentito è una traslazione.
Si consideri ora un sistema di più corpi (figura 5.6). Per ciascuno è possibile
descrivere il campo degli spostamenti rigidi assoluti e definire il corrispondente
centro di rotazione assoluto:
ui (P) = ui (Qi ) + ϕi e3 × (P − Qi ) −→ Ci
uj (P) = uj (Qj ) + ϕj e3 × (P − Qj ) −→ Cj
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5.3
Metodo geometrico
Teorema. 5.1. Primo teorema delle catene cinematiche.
Ipotesi: Siano ui , uj campi di spostamento rigido infinitesimo
piano assoluto di due corpi i e j, e siano
ui )= 0 ,
uj )= 0 ,
5
Analisi cinematica dei sistemi di travi
Tesi: Il campo di spostamento relativo ui,j è anch’esso rigido infinitesimo piano, ed il suo centro Ci,j (centro di rotazione
relativo) è allineato con i centri assoluti Ci e Cj .
Si osservi che se ϕi )= ϕj allora ui,j è una rotazione propria intorno a Ci,j con
ϕi,j = ϕj − ϕi , altrimenti ui,j è una traslazione e Ci,j è un punto improprio.
Teorema. 5.2. Secondo teorema delle catene cinematiche.
Ipotesi: Siano ui,j )= 0 , uj,k )= 0 , uk,i )= 0 i campi di spostamento relativo di tre corpi i, j e k.
Tesi: I centri di rotazione relativi Ci,j , Cj,k , Ck,i sono allineati.
Si consideri la struttura in figura 5.7. È possibile individuare due distinti
campi di spostamento rigido per AB(I) e BC(II), per cui si ha l = 6 − (2 +
2 + 2) = 0 e la struttura può essere isostatica o labile a vincoli inefficaci. La
Metodo geometrico
Dunque B è il punto del campo di spostamento relativo che subisce spostamento nullo, ossia CI,II ≡ B. Dunque gli spostamenti compatibili con i vincoli
e la connessione sono quelli per cui
CI ≡ A
ui,j )= 0 .
5.3
CII ≡ C
CI,II ≡ B .
Si osservi che questi tre centri di rotazione non sono allineati, il che nega la
tesi del primo teorema delle catene cinematiche. Si deduce quindi che l’ipotesi
dello stesso teorema non può essere vera (se lo fosse, allora sarebbe vera anche
la tesi), dunque i tre campi di spostamento uI , uII e uI,II non possono essere
tutti diversi da 0. È facile verificare che questo implica che i tre campi di
spostamento sono tutti nulli, e cioè che la struttura è isostatica. Infatti, se ad
esempio si suppone uI = 0, si ha
uI,II = uII − uI = uII ,
dunque la condizione imposta dalla sconnessione su CI,II diventa una condizione su CII , ossia CII ≡ B. Quest’ultima condizione è incompatibile con la
condizione imposta dalla cerniera in C per cui anche il campo degli spostamenti uII è nullo e di conseguenza uI,II è nullo. In modo analogo si dimostra
che sono impediti gli spostamenti del sistema se si assume uII = 0, ovvero
uI,II = 0.
Affinché il sistema sia labile a vincoli inefficaci le tre cerniere devono essere
allineate. In tal caso i campi di spostamento consentiti sono raffigurati in figura
5.8.
Fig. 5.7
cerniera in A impone che il campo degli spostamenti assoluti uI , se diverso
da zero, abbia centro CI ≡ A, cosı̀ come la cerniera in C impone
* che CII ≡ C.
La cerniera in B è definita dall’equazione di connessione [[u]]*B = 0, per cui
risulta:
*
[[u]]*B = uII (B) − uI (B) = uI,II (B) = 0 .
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Fig. 5.8
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.3
Metodo geometrico
Si riassumono di seguito le condizioni imposte dalle connessioni sui possibili
centri relativi (figura 5.9):
*
• pendolo: [[u]]*B · e = 0 ⇒ CI,II ∈ r
• pendolo improprio: [[ϕ]] = 0 ⇒ CI,II ∈ r∞
(punto improprio qualunque)
*
(
[[u]]*B · e = 0
• doppio pendolo:
⇒ CI,II ≡ C∞
[[ϕ]] = 0
(punto improprio della direzione di e)
*
• cerniera: [[u]]*B = 0 ⇒ CI,II ≡ B
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
5.4
Esercizi
Esercizi
Si esegua l’analisi cinematica della struttura in figura 5.10.
La struttura senza vincoli ha 3 gradi di libertà. Ciascun vincolo sottrae un
singolo grado di libertà alla struttura stessa, per cui l = 3 − (1 + 1 + 1) = 0.
Dunque la struttura può essere isostatica o labile a vincoli inefficaci. Si studia
ora per quali valori dell’angolo α si ha labilità.
Fig. 5.10
Il versore della direzione dell’asse del carrello in C ha le seguenti componenti: e(− sin α, cos α). Si assumano come parametri lagrangiani (u1 (B), u2 (B), ϕ).
Lo spostamento di ciascun punto P appartenente alla trave può essere espresso
nella forma
(
u1 (P) = u1 (B) − ϕ(yP − yB )
(5.3)
u2 (P) = u2 (B) + ϕ(xP − xB ).
Fig. 5.9
Il vincolo in A impedisce la rotazione e la corrispondente equazione di
vincolo è quindi:
ϕ = 0.
(5.4)
Il vincolo in B impedisce lo spostamento della sezione in B nella direzione
efficace del carrello. La corrispondente equazione di vincolo è quindi
u2 (B) = 0.
(5.5)
Il vincolo in C impedisce lo spostamento della sezione corrispondente nella
direzione efficace del carrello, in particolare lungo la direzione del versore e.
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
L’equazione di vincolo è quindi
u(C) · e = 0
⇔
u1 (C)(− sin α) + u2 (C) cos α = 0.
Quest’ultima equazione va scritta in funzione dei parametri lagrangiani utilizzando le equazioni (5.3), per cui risulta
(
u1 (C) = u1 (B) − ϕ(yC − yB ) = u1 (B)
u2 (C) = u2 (B) + ϕ(xC − xB ) = u2 (B) + Lϕ.
⇒
−u1 (B) sin α + (u2 (B) + Lϕ) cos α = 0
(5.6)
Il sistema delle tre equazioni vincolari (5.4), (5.5) e (5.6), scritto in funzione
dei parametri lagrangiani prescelti, è quindi dato da:

 ϕ=0
(5.7)
u (B) = 0
 2
−u1 (B) sin α + u2 (B) cos α + (L cos α)ϕ = 0.
La matrice dei coefficienti è


0
0
1

[C] = 
0
1
0
− sin α cos α L cos α
5
Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
Si osservi che la terza equazione è combinazione lineare delle prime due per
cui, posto u1 (B) = ū, il sistema ammette le ∞1 soluzioni (u1 (B), u2 (B), ϕ) =
(ū, 0, 0).
Il campo degli spostamenti (5.3), nel caso in cui α = ᾱ, diventa quindi
(
u1 (P) = u1 (B) − ϕ(yP − yB ) = ū
(5.8)
u2 (P) = u2 (B) + ϕ(xP − xB ) = 0.
Ciascun punto P subisce uno spostamento pari a ū in direzione x e nullo in
direzione y, per cui il campo degli spostamenti è una traslazione in direzione
x (orizzontale).
Gli stessi risultati possono essere ottenuti per via geometrica. I tre vincoli
sono semplici, per cui ciascuno consente ∞1 possibili centri di rotazione per
il corpo rigido a cui sono collegati. In particolare il pendolo improprio in A
consente tutte le possibili componenti di traslazione, ossia consente tutte le
rotazioni intorno ad un qualunque punto improprio (CR ≡ C∞ ). Il carrello in
B consente tutte le possibili rotazioni intorno ad un punto del suo asse (CR ∈ r)
e lo stesso dicasi per il carrello in C (CR ∈ s). Conseguentemente, se α )= 0
(come in figura 5.11), non esiste nessun punto CR che sia compatibile con le
tre condizioni dettate dai vincoli. Infatti l’unico possibile centro di rotazione
Risulta
det C = sin α = 0
⇔
α = 0 + kπ.
L’angolo che rende la struttura labile a vincoli inefficaci è quindi ᾱ = 0, angolo
per il quale l’asse del carrello risulta verticale. Gli angoli che si ottengono per
k )= 0 corrispondono alla stessa disposizione del vincolo in C. Per α )= ᾱ il
rango di [C] è massimo e la struttura risulta isostatica.
Determiniamo il campo degli spostamenti rigidi in corrispondenza della condizione di labilità. Sostituiamo il valore α = ᾱ nel sistema (5.7) e
determiniamone le soluzioni

 ϕ=0
u2 (B) = 0

u2 (B) + Lϕ = 0.
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Fig. 5.11
K compatibile con i vincoli in B e C, non è compatibile con la condizione
impasta dal vincolo in A (infatti K non è un punto improprio). Se viceversa
α )= 0 (figura 5.12), il punto improprio della direzione verticale soddisfa le
tre condizioni (appartiene sia ad r che ad s ed inoltre è un punto impoprio),
per cui in tal caso il sistema ammette un centro di rotazione e la struttura è
labile a vincoli inefficaci. Il campo degli spostamenti possibili è una rotazione
intorno a tale punto improprio, ossia una traslazione in direzione orizzontale.
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
5
Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
Lo spostamento di ciascun punto P appartenente alla trave può essere espresso
nella forma
(
u1 (P) = u1 (A) − ϕ(yP − yA )
(5.9)
u2 (P) = u2 (A) + ϕ(xP − xA ).
Fig. 5.12
Si esegua l’analisi cinematica della struttura in figura 5.10.
La struttura senza vincoli ha 3 gradi di libertà. Il doppio pendolo in A è
un vincolo doppio e sottrae due gradi di libertà alla struttura, mentre i due
vincoli in C e D sono semplici e sottraggono ciascuno un g.d.l., per cui il
numero totale dei gradi di libertà è pari ad l = 3 − (2 + 1 + 1) = −1. Dunque
la struttura può essere iperstatica o labile a vincoli inefficaci. Si studia ora
per quali valori dell’angolo α si ha labilità.
Il vincolo in A impedisce la rotazione e lo spostamento orizzontale. La
corrispondenti equazioni di vincolo sono quindi
(
u1 (A) = 0
(5.10)
ϕ = 0.
Il vincolo in C impedisce lo spostamento della sezione corrispondente nella
direzione efficace del carrello, in particolare lungo la direzione del versore e.
L’equazione di vincolo è quindi
u(C) · e = 0
⇔
u1 (C) cos α + u2 (C) sin α = 0.
Quest’ultima equazione va scritta in funzione dei parametri lagrangiani utilizzando le equazioni (5.9), per cui risulta
(
u1 (C) = u1 (A) − ϕ(yC − yA ) = u1 (A) + Lϕ
u2 (C) = u2 (A) + ϕ(xC − xA ) = u2 (A) + Lϕ.
⇒
(u1 (A) + Lϕ) cos α + (u2 (A) + Lϕ) sin α = 0 .
(5.11)
Il vincolo in D impedisce lo spostamento della sezione in D nella direzione
efficace del carrello, in particolare in direzione orizzontale x. La corrispondente
equazione di vincolo è quindi:
u1 (D) = 0.
Dal momento che per le (5.9) si ha
u1 (D) = u1 (A) − ϕ(yD − yA ) = u1 (A) + 2Lϕ ,
Fig. 5.13
si ottiene:
Il versore della direzione dell’asse del carrello in C ha le seguenti componenti: e(cos α, sin α). Si assumano come parametri lagrangiani (u1 (A), u2 (A), ϕ).
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u1 (A) + 2Lϕ = 0
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(5.12)
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
Il sistema delle quattro equazioni vincolari (5.10), (5.14) e (5.12), scritto
in funzione dei parametri lagrangiani prescelti, è quindi dato da:

u1 (A)
= 0



ϕ
= 0
(5.13)
u (A) cos α + u2 (A) sin α + (L cos α + L sin α)ϕ = 0


 1
u1 (A)
+2Lϕ
= 0.
La matrice dei coefficienti è

1
0
0
 0
0
1
[C ] = 
 cos α sin α L(cos α + sin α)
1
0
2L




La matrice è di ordine 4 × 3, dunque perché abbia rango massimo , tutti i
minori di ordine 3 devono essere diversi da zero. Risulta
*
*
* 0
*
0
1
*
*
*
C1 = * cos α sin α L(cos α + sin α) ** = − sin α
* 1
*
0
2L
*
*
* 1
*
0
0
*
*
C2 = ** cos α sin α L(cos α + sin α) ** = 2L sin α
* 1
*
0
2L
*
*
* 0 0 1 *
*
*
C3 = ** 1 0 0 ** = 0
* 1 0 2L *
*
*
* 0
*
0
1
*
*
*
* = sin α
0
0
C4 = * 1
*
* cos α sin α L(cos α + sin α) *
dunque per
sin α = 0
⇔
α = 0 + kπ
la matrice ha rango minore di tre. L’angolo che rende la struttura labile a
vincoli inefficaci è quindi ᾱ = 0, angolo per il quale l’asse del carrello risulta
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
orizzontale. Gli angoli che si ottengono per k )= 0 corrispondono alla stessa
disposizione del vincolo in C. Per α )= ᾱ il rango di [C] è massimo e la struttura
risulta iperstatica.
Determiniamo il campo degli spostamenti rigidi in corrispondenza della condizione di labilità. Sostituiamo il valore α = ᾱ nel sistema (5.13) e
determiniamone le soluzioni

u1 (A) = 0



ϕ=0
u (A) + Lϕ = 0


 1
u1 (A) + 2Lϕ = 0.
Si osservi che la terza e la quarta equazione sono combinazioni lineari delle
prime due per cui, posto u2 (A) = ū, il sistema ammette le ∞1 soluzioni
(u1 (A), u2 (A), ϕ) = (0, ū, 0).
Il campo degli spostamenti (5.3), nel caso in cui α = ᾱ, diventa quindi
(
u1 (P) = u1 (A) − ϕ(yP − yA ) = 0
(5.14)
u2 (P) = u2 (A) + ϕ(xP − xA ) = ū.
Ciascun punto P subisce uno spostamento pari a ū in direzione y e nullo in
direzione x, per cui il campo degli spostamenti è una traslazione in direzione
y (verticale).
Gli stessi risultati possono essere ottenuti per via geometrica (5.14). Il
doppio pendolo è doppio, per cui fissa nel punto improprio della direzione del
→ il possibile centro di rotazione. Il vincolo in D è semplice, per cui
suo asse C∞
consente ∞1 possibili centri di rotazione, ossia tutti i punti appartenenti al
suo asse r. L’unico possibile centro compatibile con i vincoli in A e D è dunque
→ . Il carrello in C consente
il punto improprio della direzione orizzontale C∞
come possibili centri di rotazione tutti i punti appartenenti al suo asse s, per
→ , dunque C → è compatibile con tutti i vincoli e
cui per α = 0 s contiene C∞
∞
rappresenta il centro di rotazione per la struttura che è quindi labile a vincoli
inefficaci. Il campo degli spostamenti possibili è una rotazione intorno a tale
punto improprio, ossia una traslazione in direzione verticale. Per α )= 0 non
esiste alcun centro compatibile con i vincoli, e la struttura è iperstatica.
Si esegua l’analisi cinematica della struttura in figura 5.15.
La struttura è composta da due corpi rigidi (I – tratto ABC, II – tratto
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
5
Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
II
II
tratto (uI1 (A), uI2 (A), ϕI ) e per il secondo (uII
1 (E), u2 (E), ϕ ).
Il vincolo in A impedisce lo spostamento del corpo rigido I nella direzione
efficace del carrello e la corrispondente equazione di vincolo è:
uI1 (A) = 0.
(5.15)
Il vincolo in B impedisce lo spostamento della sezione in B nella direzione
di e. La corrispondente equazione di vincolo è quindi:
uI (B) · e = 0
⇔
uI1 (B) sin α + uI2 (B) cos α = 0.
Quest’ultima equazione va scritta in funzione dei parametri lagrangiani. Risulta
( I
u1 (B) = uI1 (A) − ϕI (yB − yA ) = uI1 (A) + ϕI H
uI2 (B) = uI2 (A) + ϕI (xB − xA ) = uI2 (A) ,
Fig. 5.14
CDE) e senza vincoli ha 6 gradi di libertà. I vincoli esterni in A, B, D sono
semplici e sottraggono ciascuno un grado di libertà alla struttura, mentre il
vincolo in E è doppio. La connessione in C è semplice, per cui l = 6 − (1 +
1 + 1 + 2) − 1 = 0. Dunque la struttura può essere isostatica o labile a vincoli
inefficaci. Si studia ora per quali valori dell’angolo α si ha labilità.
(uI1 (A) + ϕI H) sin α + uI2 (A) cos α = 0 .
(5.16)
*
II
I
*
La connessione semplice in C impone che [[u2 ]] C = u2 (C) − u2 (C) = 0.
Essendo
⇒
II
II
II
II
uII
2 (C) = u2 (E) + ϕ (xC − xE ) = u2 (E) − ϕ L
uI2 (C) = uI2 (A) + ϕI (xC − xA ) = uI2 (A) + ϕI L ,
si ha
II
I
I
uII
2 (E) − ϕ L − u2 (A) − ϕ L = 0 .
(5.17)
Il vincolo in D impedisce lo spostamento del corpo rigido II nella direzione
orizzontale:
uII
1 (D) = 0 .
Essendo
II
II
II
II
uII
1 (D) = u1 (E) − ϕ (yD − yE ) = u1 (E) + ϕ H ,
Fig. 5.15
Il versore della direzione dell’asse del carrello in B ha le seguenti componenti: e(sin α, cos α). Si assumano come parametri lagrangiani per il primo
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si ha
II
uII
1 (E) + ϕ H = 0.
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(5.18)
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
Il vincolo in E impedisce la rotazione e lo spostamento del corpo rigido II
nella direzione verticale:
( II
u2 (E) = 0
(5.19)
ϕII = 0.
Il sistema delle sei equazioni vincolari (5.15), (5.16), (5.17), (5.18) e (5.19)
è quindi dato da:
 I
u (A) = 0


 (u1I (A) + ϕI H) sin α + uI (A) cos α = 0


2

 II1
u2 (E) − ϕII L − uI2 (A) − ϕI L = 0
(5.20)
II
 uII
1 (E) + ϕ H = 0



 uII
(E) = 0

 2II
ϕ = 0.
La matrice dei coefficienti è

1
0
0
 sin α cos α H sin α

 0
1
−L
[C ] = 
 0
0
0

 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Risulta

0 0
0 0 

1 −L 

0 H 

1 0 
0 1
L
.
H
Per tan α = L/H la struttura è labile a vincoli inefficaci, per tan α )= L/H il
rango di [ C ] è massimo e la struttura risulta isostatica.
Determiniamo il campo degli spostamenti rigidi in corrispondenza della
condizione di labilità. Operiamo la sostituzione tan α = L/H nel sistema
(5.20) e determiniamone le soluzioni
 I
u (A) = 0

 1

L


(uI (A) + ϕI H) + uI2 (A) = 0


 1
H
II
I
I
uII
2 (E) − ϕ L − u2 (A) − ϕ L = 0
II
II


 u1 (E) + ϕ H = 0


II

 u2 (E) = 0

ϕII = 0.
det [ C ] = H tan α − L = 0
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tan α =
⇔
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
Posto ϕI = ϕ̄, il sistema ammette le ∞1 soluzioni
/
0
II
II
uI1 (A), uI2 (A), ϕI , uII
= (0, −ϕ̄L, ϕ̄, 0, 0, 0) .
1 (E), u2 (E), ϕ
Il campo degli spostamenti per il primo tratto è dato da
( I
u1 (P) = uI1 (A) − ϕI (yP − yA ) = −ϕ̄(yP − yA )
uI2 (P) = uI2 (A) + ϕI (xP − xA ) = −ϕ̄L + ϕ̄(xP − xA ).
Il centro di tale campo di spostamenti (centro assoluto del I tratto) è il punto
CI che subisce spostamento nullo
( I
(
u1 (CI ) = −ϕI (yCI − yA ) = 0
y CI = y A
⇒
⇒ CI ≡ K .
uI2 (CI ) = −ϕI L + −ϕI (xCI − xA ) = 0
xCI = xA + L
Il campo degli spostamenti per il secondo tratto è dato da
( II
II
u1 (P) = uII
1 (E) − ϕ (yP − yE ) = 0
II
II
u2 (P) = u2 (E) + ϕII (xP − xE ) = 0 .
Essendo il campo uII (P) identicamente nullo, il centro assoluto del II tratto
non esiste. Conseguentemente il campo degli spostamenti relativi coincide, a
meno del segno con il campo degli spostamenti assoluti del I tratto:
1
II
I
I
uI,II
1 (P) = u1 (P) − u1 (P) = −u1 (P) = ϕ̄(yP − yA )
I,II
I
I
u2 (P) = uII
2 (P) − u2 (P) = −u2 (P) = ϕ̄L − ϕ̄(xP − xA ) ,
per cui il centro relativo CI,II coincide con CI .
Per via geometrica si osserva che i due vincoli in D ed E sono sufficienti ad
impedire qualsiasi spostamento rigido infinitesimo per il secondo tratto. Infatti
il doppio pendolo impone che CII sia il punto improprio della direzione verticale, il carrello impone che CII appartenga alla sua retta efficace. Dal momento
che questa retta non contiene tale punto improprio, le due condizioni sono incompatibili, per cui CII non può esistere. Il pendolo in C impone che il centro
relativo CI,II appartenga alla retta verticale passante per C. Dal momento che
il campo degli spostamenti assoluti del secondo tratto è identicamente nullo,
gli spostamenti relativi dei due tratti coincidono con gli spostamenti assoluti
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Analisi cinematica dei sistemi di travi
5.4
Esercizi
del primo tratto, per cui la condizione imposta dal pendolo diventa una condizione sul centro assoluto CI . Infatti il punto in cui si annulla lo spostamento
relativo (centro relativo) coincide con il punto il cui si anulla lo spostamento
del tratto I (centro assoluto di I).
I carrelli in A e B impongono che CI appartenga ai rispettivi assi, per cui
se le tre rette passanti per A, B e C sono concorrenti esiste un possibile CI
compatibile con i tre vincoli e la struttura è labile a vincoli inefficaci (figura
5.16). In caso contrario la struttura è isostatica.
Fig. 5.16
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