Liceo Classico “S. Nilo” - Rossano (CS)
Matematica e Medioevo
Unità Didattiche di Matematica afferenti al
MODULO INTERDISCIPLINARE progettato per le classi del biennio:
“CULTURA E CIVILTÀ DEL MEDIOEVO: NILO DI ROSSANO”
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Etimo
Un po’ di storia
Cronologia
Storia dello Zero
Prof.ssa Francesca Russo
Etimo
 Mathma, atos: oggetto dell’apprendimento
(da mananw = imparare)
Secondo Anatolio (santo e vescovo di Laodicea,
studioso di
Matematica, 269 d.C), i Peripatetici (discepoli di Aristotele, IV sec. a.C.)
affermavano che “mentre la retorica, la poesia e la musica popolare
possono essere praticate anche senza essere studiate, nessuno può capire
le cose che vengono chiamate con il nome di matematica senza averle
prima studiate”, e per questa ragione “la teoria di queste cose è detta
Matematica”.
Un po’ di storia
La Matematica è sempre stata considerata genericamente come la
“Scienza dei Numeri”…
Una simile definizione è parziale, anche riferita solo al Medioevo,
durante il quale la Matematica era insegnata nelle Università come
arte liberale. Nelle facoltà di Filosofia, infatti, venivano apprese le arti
del Trivio (complesso delle discipline letterali, costituito da
Grammatica, Retorica, Logica) e del Quadrivio (complesso delle
discipline scientifiche, costituito dalla matematica “pura”: Aritmetica e
Geometria, e dalla matematica “mista”: Musica e Astronomia, viste
come loro rispettive applicazioni). Tale facoltà era la più importante
per il numero di studenti che la frequentavano, e che dopo aver
concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre
facoltà (Teologia, Diritto, Medicina)…
Un po’ di storia
Oggi sarebbe eccessivamente riduttivo definire la Matematica
come Scienza dei Numeri, considerato l’enorme numero di
discipline specifiche ma interdipendenti in cui essa si è
sviluppata e suddivisa a partire dal Rinascimento in poi.
Prima di prendere in considerazione il periodo storico su cui è
incentrato questo modulo interdisciplinare (secoli X e XI),
è comunque necessaria una panoramica cronologica che
cerchi di cogliere l’evoluzione del pensiero matematico nel
corso dei secoli.
E allora…
Un po’ di storia
LE ORIGINI della Matematica si perdono lontano nel tempo, nelle epoche più
antiche in cui visse l'uomo. Le prime nozioni quantitative familiari all'uomo
primitivo erano quelle legate all'esperienza quotidiana: il numero, la
grandezza, la forma… Il sistema di numerazione decimale che usiamo oggi
deriva probabilmente dal fatto “accidentale” che noi - come i nostri antenati possediamo dieci dita delle mani e dieci dita dei piedi. Alcune scoperte
archeologiche suggeriscono che l'idea di numero e di figura è molto più antica
rispetto alla nascita della civiltà e della scrittura: si è trovata traccia di
conteggi da parte dell'uomo di Neanderthal, oltre cinquantamila anni fa; si
sono scoperti disegni geometrici primitivi su rocce di oltre venticinque mila
anni fa, all'epoca dell'uomo di Cro-Magnon; particolarmente interessante è la
scoperta di ossa di animali, risalenti a quindici mila anni fa circa,
profondamente incise con intaccature riunite in gruppi di cinque o multipli di
cinque.
Un po’ di storia
AMERICA PRECOLOMBIANA
IV millennio a.C.: la civiltà Incas comprendeva un vasto
complesso di scienze matematiche che tuttavia non
possono essere stabilite con certezza, a causa della
mancanza di documentazione scritta dell’epoca.
Testimonianza più sicure ci sono nel caso dei Maya, che
approfondirono soprattutto il problema della misura del
tempo, del calendario e delle previsioni astronomiche.
Un po’ di storia
MESOPOTAMIA
Verso la fine del IV millennio a.C., una forma primitiva di scrittura
era stata sviluppata in modo indipendente e assai diverso dalle
popolazioni che vivevano lungo il Nilo e nella mezzaluna
compresa tra il Tigri e l'Eufrate. In Mesopotamia, terra ricca di
argilla, nacque la scrittura cuneiforme: si cominciarono a incidere
con uno stiletto segni dalla forma appuntita, su tavole di argilla che
venivano poi cotte. Il contenuto delle tavolette babilonesi è rimasto
un mistero fino a circa un secolo fa, per la grande difficoltà di
decifrare la scrittura cuneiforme.
Un po’ di storia
EGITTO
L'Egitto invece sviluppò la scrittura geroglifica: antica almeno quanto le
piramidi (più di tre mila anni a.C.), la numerazione egiziana si basava
su un semplice schema iterativo e di simboli, distinti per ciascuna
delle prime sei potenze di dieci (dieci, cento, mille ecc.). La natura dei
problemi matematici studiati nell'antico Egitto ci è nota grazie alla
scoperta di due importanti documenti matematici, il papiro di Mosca e
quello di Rhind (1700 a.C.), contenenti decine di problemi di vario
tipo.
Oggi sappiamo che la maggior parte dei problemi sia in Egitto che in
Mesopotamia era di natura economica: questi antichi popoli
conoscevano il numero "pi greco", le quattro operazioni, le equazioni
quadratiche, il calcolo dell'area di quasi tutte le figure piane e quello
del volume dei solidi (parallelelepipedi, cilindri, piramidi…).
Un po’ di storia
LA MATEMATICA GRECA
Attorno al VI secolo a.C., raccogliendo l'eredità dei matematici egiziani e
babilonesi, una nuova civiltà si preparava ad assumere l'egemonia culturale
tanto nella terra dei faraoni e nella Mesopotamia quanto nelle regioni che si
affacciavano sul Mediterraneo: la civiltà greca.
I greci sollevarono la Matematica dal piano pratico a quello filosofico; da mero
calcolo per risolvere problemi concreti, la matematica divenne anche pura
astrazione del pensiero fine a se stessa. Con gli studiosi ellenici nacquero i due
processi principali su cui si basa l'organizzazione logica della matematica:
l'astrazione (ricavare una regola generale dall'osservazione di fenomeni
particolari diversi) e la deduzione (partendo da alcune premesse, ricavare una
conclusione coerente con le assunzioni del ragionamento).
Un po’ di storia
NEL MONDO DI PITAGORA
Tra il VI e il V secolo a.C. apparve sulla scena un matematico
considerato oggi il fondatore della geometria, nonché il primo
filosofo: Talete, cui vengono attribuiti i teoremi sulla
similitudine dei triangoli, in particolare quello che porta il suo
nome.
Più o meno contemporanea è la figura di Pitagora, profeta, mistico
e matematico, fondatore di una scuola matematica, filosofica e
religiosa che svolse un ruolo cruciale per l'intera storia della
scienza dei numeri.
Con i pitagorici la matematica cominciò a essere più un prodotto
dell'amore per la scienza che la risposta a problemi della vita
pratica; i principi di questa disciplina divennero oggetto di
discussione filosofica.
Un po’ di storia
EUCLIDE
Nel V secolo a.C., un piccolo gruppo di matematici si mise in luce per la grande portata dei
problemi geometrici studiati, rispetto alla scarsità di strumenti a loro disposizione. Si
tratta di Ippocrate, che scrisse il primo trattato di geometria; Democrito, Eudosso e
Archita di Taranto che risolsero importanti problemi di geometria e aritmetica; e
Zenone, noto per i suoi paradossi (famoso quello di Achille e la tartaruga).
Nel Trecento a.C., la matematica greca raggiunse il massimo sviluppo. Con la morte di
Alessandro Magno il centro della cultura matematica si spostò da Atene ad Alessandria.
Nella scuola più prestigiosa del tempo fu chiamato a insegnare Euclide di Alessandria,
autore del più fortunato manuale di matematica della storia: gli Elementi, una raccolta
chiara, esauriente e rigorosa di tutto lo scibile matematico fino ad allora conosciuto.
La grande fama di Euclide è legata non a qualche teorema di sua concezione, bensì alla sua
chiarezza espositiva, chiave del successo degli Elementi: in tredici libri Euclide
organizzò tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca
dell'epoca, con una esposizione rimasta classica fino a oggi.
Gli Elementi, che fino al XIX secolo fu il testo più diffuso dopo la Bibbia, rappresentò così
la sistemazione delle conoscenze geometriche “elementari” e aprì la strada a ricerche di
carattere “superiore” quali quelle di…
Un po’ di storia
ARCHIMEDE DI SIRACUSA
Geniale inventore di congegni meccanici, a questi preferiva
tuttavia i "prodotti" della sua attività intellettuale. Archimede
può essere considerato il padre della fisica matematica: grazie
ai suoi studi sulla leva, sull'equilibrio dei piani e sui corpi
galleggianti, lo studioso individuò quella stretta relazione tra
la matematica e la meccanica destinata a diventare così
importante sia per la Fisica che per la Matematica. Archimede
si occupò anche di aritmetica, algebra e geometria, risolvendo
importanti problemi sulle equazioni cubiche e anticipando il
calcolo logaritmico e integrale.
Un po’ di storia
APOLLONIO E TOLOMEO
Tra il II secolo a.C. e il I secolo d.C. si gettarono le basi della trigonometria
piana e sferica, con Ipparco, e dello studio delle coniche, con Apollonio.
Nonostante le sezioni coniche fossero già note da un secolo e mezzo prima
degli studi di Apollonio, a questo matematico va il merito di aver derivato
tutte le sezioni coniche da un unico cono circolare obliquo a doppia falda e
di averle chiamate con nomi appropriati (parabola, iperbole, ellisse).
In quest'epoca Eratostene effettuò la più riuscita e famosa misurazione del
diametro della Terra, e Tolomeo scrisse l'Almagesto (l'opera trigonometrica
più significativa di tutta l'antichità). Dodici libri di questo trattato
contengono una bella costruzione della teoria planetaria dei cicli e degli
epicicli, nota come il sistema Tolemaico. Tolomeo postulava un universo
geometrico e geocentrico: in tal modo si potevano rappresentare facilmente i
movimenti apparenti dei corpi nello spazio. L'Almagesto rappresentò uno
strumento indispensabile per gli astronomi per più di mille anni.
Un po’ di storia
UNO SGUARDO ALL'ORIENTE
Tra il VI e il X secolo d.C. il centro degli studi matematici si spostò a Baghdad
e l'arabo diventò il linguaggio scientifico internazionale. I matematici arabi
tradussero i testi principali della matematica greca, sperimentarono nuovi
settori di ricerca e misero in contatto la matematica occidentale con quella
indiana. Per questo probabilmente il nostro sistema di numerazione - basato
sulla notazione posizionale - viene erroneamente considerato un'invenzione
degli arabi. La vera origine va cercata in India; merito degli arabi è di aver
diffuso la numerazione indiana. Quel che l'Europa imparò dagli arabi è
invece quella branca della Matematica nota come algebra, grazie all'opera
più importante di Al-Khuwarizmi, il testo Al-jabr wa'l muqabalah, dal cui
titolo il termine Algebra fu appunto coniato.
Degli indiani è inoltre l’invenzione e la chiara definizione del numero
zero.
Un po’ di storia
IL MEDIOEVO
I PRIMI SECOLI del periodo medievale, dal VI fino al XII d.C., sono
generalmente classificati come l'Età buia della Scienza.
Tra l'Europa e il vasto sapere arabo si ergeva inespugnabile la barriera linguistica.
Finalmente, agli inizi del 1200, un dilagare di traduzioni permise agli studiosi
europei di riscoprire il patrimonio di conoscenze matematiche, fisiche e
astronomiche sia degli antichi greci che della cultura musulmana.
Agli Arabi siamo debitori, oltre che del nostro sistema di numerazione, di tecniche
per la fusione dei metalli, e dei mulini ad acqua.
Ed anche astronomia, alchimia, medicina hanno una matrice araba…
Un po’ di storia
FIBONACCI
Nel XI secolo il Papa Silvestro II aveva introdotto in Europa le tecniche arabe
di calcolo con uno strumento detto abaco. L'Europa medioevale, dopo le
crociate contro gli infedeli, studiava la loro scienza!
Il secolo XII, dicevamo, è l'epoca delle traduzioni che porteranno poi alla
compilazione delle "enciclopedie" del Medioevo.
Il libro di maggior successo in questo senso fu completato nel 1202 dall'italiano
Leonardo Pisano, noto con il nome di Fibonacci. Nella sua opera, il Liber
abaci, descriveva in modo esauriente i metodi e i problemi algebrici arabi,
oltre alle "nove figure indiane" più lo zero. Fibonacci, matematico abile e
originale, è noto oggi anche per la famosa serie che porta il suo nome.
Cronologia
Ma con Fibonacci abbiamo già oltrepassato
l’epoca su cui vogliamo concentrare la nostra
attenzione, e allora proviamo a ripercorrere le
principali tappe dell’evoluzione del pensiero
matematico attraverso una mappa cronologica
che “riassuma” (???) ben 51 millenni di storia…
Cronologia
- 50000
Traccia di conteggi da parte dell'uomo di Neanderthal
- 25000
Disegni geometrici primitivi da parte dell'uomo di
Cro-Magnon
-15000
Nell'attuale Libano, si sono trovate ossa di animali,
risalenti a questo periodo, che mostrano intaccature
riunite in gruppi di eguale cardinalità.
- 4241
Presunta origine del calendario egiziano
Cronologia
- 3000
Numeri geroglifici in Egitto
- 1850
Papiro di Mosca (notazione posizionale in Mesopotamia)
-1700
Papiro di Rhind (raccolta di 85 problemi)
- 600
Il greco Talete (624-546 circa) è considerato il fondatore
della geometria.
- 500
Il greco Pitagora (580-497 circa) è il fondatore di una
scuola matematica, filosofica e religiosa, con sede a
Crotone.
Cronologia
- 400
Il greco Ippocrate (460-377) scrive il primo trattato di
geometria. Democrito (460-370), Eudosso (408-353),
Archita di Taranto risolvono importanti problemi di
geometria e aritmetica). Zenone enuncia i famosi
paradossi.
- 300
Euclide organizza negli Elementi i teoremi di
geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla
cultura matematica greca dell'epoca. Procede per
definizioni, postulati e teoremi con una esposizione che
è rimasta classica per ogni tempo.
Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico.
Cronologia
- 200
Archimede di Siracusa (287-212) si occupa di
aritmetica, algebra, geometria, fisica; risolve importanti
problemi sulle equazioni cubiche; anticipa il calcolo
logaritmico e il calcolo integrale.
Ipparco (190-125) fonda la trigonometria piana e
sferica.
Apollonio studia le coniche.
Eratostene effettua la prima misurazione del diametro
della Terra.
+ 100
Tolomeo nell'Almagesto tratta problemi di
trigonometria piana e sferica.
Cronologia
200
Diofanto studia l'aritmetica, usa i simboli algebrici ed
enuncia le regole per risolvere le equazioni di primo e
secondo grado.
500
Il latino Boezio compie ricerche di logica e geometria,
commenta e traduce opere di matematica greca
600
Gli Indiani usano la notazione posizionale e i numeri
indù. I Cinesi introducono l'estrazione di radice
quadrata.
800
Gli Arabi diffondono la numerazione posizionale
indiana, detta poi arabica.
L'arabo Al-Khuwarizmi compone il trattato Al-jabr
wa'l muqabalah, da cui deriva il nome algebra, mentre
dal nome del matematico deriva il nome algoritmo.
Cronologia
1000
L'indiano Sridhara dà una chiara esposizione
dell'uso del numero 0, affermando che
a + 0 = a, a – 0 = a, a · 0 = 0, 0 · a = 0.
1200
L'italiano Fibonacci di Pisa (1175-1240) nel trattato
Liber abaci introduce in Europa il sistema di
numerazione arabo, nonché i risultati algebrici della
cultura musulmana.
…
…
Storia dello Zero
Come avrete appreso dalle lezioni di Storia su San Nilo, il
Patrono della nostra città (e del nostro Liceo) muore nel
1004.
Proprio in quel secolo la Matematica affronta una nuova
rivoluzione di pensiero, grazie al preziosissimo contributo
dell’indiano Srihdara che introduce quello che sarà un
nuovo “numero”, oltre che una nuova “cifra”: lo ZERO.
Storia dello Zero
Ai primordi della matematica si distingueva solamente tra "uno"
e "molti": un uomo delle caverne aveva una punta di lancia o
molte punte di lancia.
Successivamente si ebbero sistemi di numerazione a base
"quinaria" o, come nelle lingue indoeuropee, a base
"decimale".
Non c'era mai stato bisogno di tenere il conto di zero pecore o di
fare appello dei propri zero figli!
Siccome non serviva un numero per esprimere l'assenza di
qualche cosa, a nessuno venne in mente di collegare un
simbolo alla mancanza di oggetti: questa è la ragione per cui
la gente ha fatto tranquillamente a meno dello zero per così
tanto tempo…
Storia dello Zero
Gli Egizi, che pure erano dei raffinati matematici, mantennero la scienza
dei numeri su un piano tecnico-pratico senza trasformarla in un
sistema di logica astratta.
Furono i Greci a volgersi all'astrazione e al pensiero puro, ma non furono
tuttavia loro a introdurre lo zero.
Il sistema babilonese, pur essendo sessagesimale, era di gran lunga il
più evoluto e conosceva lo zero; esso non era però che un segnaposto,
rappresentando lo spazio vuoto dell'abaco, la colonna con tutte le
pallottole abbassate: serviva a fare in modo che le cifre cadessero al
posto giusto e non possedeva un valore numerico proprio.
I greci preferirono rimanere abbarbicati alla propria notazione pseudoegizia, piuttosto che adottare il ben più semplice sistema babilonese.
Storia dello Zero
Perché avevano paura dello zero?
Lo zero presentava alcune caratteristiche destabilizzanti, in quanto:
• non ha consistenza;
• sommato o sottratto non muta la quantità di partenza;
• zero volte qualsiasi quantità deve dare zero, in base alla proprietà
"distributiva" dei numeri.
A ciò si aggiungeva il fatto che lo zero contravveniva ad uno dei
principali assunti della filosofia di Aristotele, la cui importanza
derivava dal paradosso di Zenone: il vuoto non esiste…
( horror vacui)
Storia dello Zero
Se la Grecia rifiutò lo zero, la cultura indiana, già dedita
all'investigazione attiva del vuoto e dell'infinito, accettò lo
zero.
I matematici indiani non si limitarono a recepire lo zero: lo
trasformarono, mutandone il ruolo di mero segnaposto in
quello di numero in piena regola.
Nel VII secolo, i musulmani incorporarono rapidamente il
sapere dei popoli conquistati e divulgarono la notazione
indiana che comportò l'adozione dello zero, la cui
denominazione indiana sunya (che significa "vuoto")
presso gli arabi divenne sifr (che è la radice anche di
"cifra").
Storia dello Zero
Nella descrizione del nuovo numero fatta da alcuni dotti
occidentali essa mutò nel termine assonante latinizzato
zephirum, che è la radice della parola corrente. Se la
cristianità inizialmente respinse lo zero, il commercio lo
reclamò ben presto. Come già sappiamo, chi ne
introdusse il concetto in Occidente fu Leonardo da Pisa
che nel 1202 pubblicò il Liber abaci. Il libro dimostrava
la grande utilità di quel sistema nell'esecuzione dei
calcoli complessi, cosicché i banchieri e i mercanti
italiani ne fecero rapidamente tesoro, e lo zero cominciò
a venire utilizzato in qualità di numero.
Storia dello Zero
Indiano: “sunya”
Arabo: “sifr”
Latino:“zephirum”
Storia dello Zero
Accettato sul piano empirico, lo zero dovette ricevere l'imprimatur da parte delle
autorità filosofiche e teologiche.
Un libro interessante da leggere a proposito è:
“Zero. La storia di un'idea pericolosa”, di Charles Seife
(Bollati Boringhieri, 2002), euro 29
L'autore narra in modo avvincente la storia di coloro che si
batterono per il significato da dare al numero misterioso,
degli eruditi, dei mistici, degli uomini di scienza e di fede che
cercarono ognuno di comprendere lo zero. Così come la
storia dei tentativi, vani e talvolta violenti, fatti in Occidente
per isolare quel concetto venuto dall'Est.
Storia dello Zero
Alla fine però lo zero conobbe la sua definitiva
vittoria. Non solo i matematici non ebbero altra
scelta che imparare a convivere con lo zero e
l'infinito, ma anche i fisici (che avevano ritenuto
questo numero irrilevante per il funzionamento
dell'universo) cominciarono ad imbattersi nello
zero nel mondo reale.
Storia dello Zero
In termodinamica uno zero divenne la barriera insuperabile, la più
bassa temperatura possibile.
Nella storia della relatività di Einstein, uno zero divenne il buco
nero, capace di inghiottire interi sistemi solari.
In meccanica quantistica, uno zero è all'origine di una inverosimile
sorgente di energia infinita e diffusa ovunque, presente anche nel
vuoto siderale e di una forza fantasma esercitata dal nulla
assoluto.
Infine, se il Big Bang è all'origine dell'universo, il Big Crunch ne
sarebbe l'inevitabile destino…
Storia dello Zero
Ma vediamo ora un caso in cui lo ZERO è protagonista
assoluto e sa stupirci con le sue straordinarie proprietà…
Per l’occasione il nostro amico Zero indossa i panni di un
grande illusionista e ci dimostra che…
1+1=1
???
Storia dello Zero
Assegnamo ad x il valore 1:
x=1
Dovrebbe essere chiaro allora che vale l’uguaglianza:
x2 – 1 = x2 – x
Scomponendo dunque in fattori entrambi i membri
dell’uguaglianza si ottiene:
( x + 1) ( x – 1) = x ( x – 1)
Fin qui è tutto chiaro?
Storia dello Zero
Dividiamo adesso tutti e due i membri per (x – 1):
( x + 1) ( x – 1) = x ( x – 1)
Dunque avremmo:
x+1=x
Ma poiché abbiamo posto x = 1 allora vuol dire che:
1+1=1
Stupiti?
Ma certo, e fate bene. Immaginate quali conseguenze (comiche o
disastrose) scaturirebbero da un’affermazione del genere…
E allora… caccia all’errore!
Se siete arrivati a questa diapositiva, qualcuno di voi avrà
finalmente smascherato il trucco del nostro illusionista, magari
dopo qualche opportuno suggerimento che vi abbia ricordato
l’esatto enunciato dei principi di identità delle equazioni oppure
la legge di annullamento del prodotto, oppure ancora la
proprietà invarantiva della divisione ecc.
Insomma, qualcuno si sarà accorta che abbiamo diviso per zero!
Mai allora dimenticare che nessun numero moltiplicato per zero
sopravvive alla sua azione nullifica, e pertanto non è possibile
avere zero come divisore (o come denominatore! E qui rimando
alla discussione del campo di esistenza delle frazioni
algebriche, o alle condizioni per la risoluzione delle equazioni
frazionarie…)
“EX ABSURDIS SEQUITUR QUODLIBET”