Le superfici parametriche
Coordinate curvilinee di una superficie
Piano tangente ad una superficie.
Annamaria Mazzia
Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze Applicate
Università di Padova
[email protected]
Corso di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura
Le superfici parametriche
Definizione
f : D → R3
f di classe C p
D ⊂ R2 dominio (chiusura di un insieme aperto)
f si dice rappresentazione parametrica di una superficie S,
di classe C p in R3 .
f (D) si dice traccia della superficie
x = x(u, v)
y = y(u, v) forma scalare o equazioni parametriche della f
z = z(u, v)
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Superficie parametrica regolare


xu xv
Sia Jf = yu yv  la matrice jacobiana della f .
zu zv
Definizione
Data f superficie parametrica di R3 , f : D → R3 , f si dice
superficie parametrica regolare se
D è un dominio limitato
f è di classe C 1 (D)
o
Jf è di rango 2 in D (nell’interno di D)
o
f ristretta a D è una corrispondenza biunivoca con
o
f (D)
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...
Definizione
Si dicono punti singolari della superficie parametrica
o
regolare, quei punti isolati di D in cui vengono violate
queste condizioni.
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Superficie regolare standard
Definizione
Se D = T intervallo chiuso di R2 e se f : T → R2 è una
superficia parametrica regolare, allora si dice superficie
regolare standard.
Esempio: •
T = [0, 2π] × [0, π], r > 0:
x = x(φ, θ) = r sin θ cos φ
y = y(φ, θ) = r sin θ sin φ
z = z(φ, θ) = r cos θ
Si ha la superficie sferica x 2 + y 2 + z 2 = r 2
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Esempio
•
T = [0, 2π] × [−π/2, π/2], a, b, c ∈ R:
x = x(φ, θ) = a cos θ cos φ
y = y(φ, θ) = b cos θ sin φ
z = z(φ, θ) = c sin θ
Si ha l’ellissoide
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x2
y2
z2
+
+
=1
a 2 b2 c 2
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Superfici cartesiane e superfici
parametriche
Una superficie regolare cartesiana z = f (x, y) in un dominio
limitato si può vedere come una superficie parametrica
regolare di equazioni:
x = x(u, v) = u
y = y(u, v) = v
z = z(u, v) = f (u, v)
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Coordinate curvilinee su una superficie
Data una superficie regolare standard, f , si possono
considerare le famiglie di curve che si hanno fissando una
volta v0 e una volta u0 :
x = x(u, v0 )
y = y(u, v0 )
z = z(u, v0 )
x = x(u0 , v)
y = y(u0 , v)
z = z(u0 , v)
Abbiamo le curve coordinate della superficie.
Un punto Q0 = f (P0 ) con P0 = (u0 , v0 ) si trova
sull’intersezione delle curve coordinate per v0 e u0 e
(u0 , v0 ) si dicono coordinate curvilinee di Q0 .
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Piano tangente ad una superficie
Sia f : T → R3 una superficie regolare standard. Siano dati
P0 = (u0 , v0 ) un punto di T e la coppia di curve coordinate
passanti per Q0 = f (P0 ). Allora i due vettori tangenti in Q0
sono
~T1 (P0 ) = xu (P0 )c
~ 1 + yu (P0 )c
~ 2 + zu (P0 )c
~ 3 dalla curva in (u, v0 )
~T2 (P0 ) = xv (P0 )c
~ 1 + yv (P0 )c
~ 2 + zv (P0 )c
~ 3 dalla curva in (u0 , v)
I due vettori sono linearmente indipendenti (poiche Jf ha
rango 2) e, quindi, individuano un piano, passante per Q0
e tangente alla superficie.
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Osservazioni
Il piano tangente si può definire, alla stessa maniera,
considerando una superficie parametrica regolare, e
prendendo un punto interno al dominio.
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Proposizione
Proposizione
L’equazione del piano tangente ad una superficie
regolare in f (P0 ) è data da:
x − x(P0 ) y − y(P0 ) z − z(P0 )
xu (P0 )
yu (P0 )
zu (P0 ) = 0
xv (P0 )
yv (P0 )
zv (P0 ) cioè
(x−x(P0 ))(yu (P0 )zv (P0 )−yv (P0 )zu (P0 ))+(y−y(P0 ))(−xu (P0 )zv (P0 )+
(z − z(P0 ))(xu (P0 )yv (P0 ) − xv (P0 )yu (P0 )) = 0
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Dimostrazione
Dimostrazione.
Basta considerare l’equazione del piano passante per
f (P0 ) e ortogonale al prodotto vettoriale per i vettori
tangenti ~T1 (P0 ) e ~T2 (P0 ), che si ottiene imponendo
l’ortogonalità tra i vettori (P − f (P0 )) e ~T1 (P0 ) ∧ ~T2 (P0 ).
Si ha:
(x − x(P0 ))
∂(y, z)
∂(z, x)
∂(x, y)
+ (y − y(P0 ))
+ (z − z(P0 ))
=0
∂(u, v)
∂(u, v)
∂(u, v)
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Osservazioni
Per semplicità poniamo J1 (P0 ) =
∂(y, z)
∂(u, v)
∂(z, x)
∂(u, v)
∂(x, y)
J3 (P0 ) =
∂(u, v)
Allora
il piano tangente è:
J1 (P0 )(x − x(P0 )) + J2 (P0 )(y − y(P0 )) + J3 (P0 )(z − z(P0 ))
~T1 (P0 ) ∧ ~T2 (P0 ) = J1 (P0 )c
~ 1 + J2 (P0 )c
~ 2 + J3 (P0 )c
~3
J2 (P0 ) =
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Versore normale alla superficie
Ponendo
p
M(P0 ) = |~T1 (P0 ) ∧ ~T2 (P0 )| = |J1 (P0 )|2 + |J2 (P0 )|2 + |J3 (P0 )|2 , il
versore ortogonale (normale) alla superficie in f (P0 ) è dato
da
n(P0 ) =
~T1 (P0 ) ∧ ~T2 (P0 )
1
~ 1 +J2 (P0 )c
~ 2 +J3 (P0 )c
~ 3)
=
(J1 (P0 )c
M(P0 )
|~T1 (P0 ) ∧ ~T2 (P0 )|
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Piano tangente per superficie cartesiana
Proposizione
Nel caso di una superficie cartesiana regolare z = f (x, y), il
piano tangente ha equazione:
z − f (P0 ) = fx (P0 )(x − x0 ) + fy (P0 )(y − y0 )
Dimostrazione in aula
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Proposizioni
Proposizione
L’area del parallelogramma individuato dai vettori ~T1 (P0 ) e
~T2 (P0 ) è
p
M(P0 ) = |~T1 (P0 ) ∧ ~T2 (P0 )| = |J1 (P0 )|2 + |J2 (P0 )|2 + |J3 (P0 )|2
Proposizione
Se f è una superficie regolare definita in D ⊂ R2 , un
intervallo R ⊂ D con vertice in P0 = (uo , v0 ) (interno a D) e
lati paralleli agli assi di lunghezza h e k, viene trasformato
da f in una porzione di superficie che è un
parallelogramma S, individuato dai vettori h~T1 (P0 ) e k ~T2 (P0 )
con area data da
areaS = M(P0 )areaR
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Esercizio
Riconoscere la superficie data da
a
sin θ cos θ
c
b
y = y(φ, θ) = sin θ sin θ
c
z = z(φ, θ) = sin θ
x = x(φ, θ) =
con φ ∈ [0, 2π] e θ ∈ [−π/2, π/2] e a, b, c, ∈ R
y2
z2
x2
(cono ellittico 2 + 2 = 2 )
a
b
c
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Esercizio
Riconoscere la superficie data da
p
a
x = x(u, θ) = √ cos θ 1 + u 2
c
p
b
y = y(u, θ) = √ sin θ 1 + u 2
c
z = z(u, θ) = u
con u ∈ [u1 , u2 ] e θ ∈ [0, 2π] e a, b, c, ∈ R
x2
y2
z2
(iperboloide a una falda 2 + 2 − 2 = 1)
a
b
c
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