I.T.C. “Cassandro” Barletta
Corso SIRIO
Lezioni di
Matematica
Capitalizzazione
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
M C  I
M: montante
C: capitale iniziale
I: interesse
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
M C  I
L’ interesse è dato dalla formula:
I  C i t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
M C  I
L’ interesse è dato dalla formula:
I  C i t
INTERESSE = CAPITALE X TASSO X TEMPO
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Quindi:
M  C  C i t
C: capitale iniziale
i: tasso di interesse unitario
t: tempo
I  C i t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno riscuotiamo un interesse:
I = C*i*t = 1000 * 0,05 * 1 = 50 euro
oggi:
1000
(capitale)
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno riscuotiamo un interesse:
oggi:
1000
(capitale)
Al termine del 1°
anno:
+ 50 (interesse)
=1050 (montante)
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno riscuotiamo un interesse:
oggi:
1000
(capitale)
Al termine del 1°
anno:
Al termine del 2°
anno:
+ 50 (interesse)
+ 50
(interesse)
=1050 (montante)
=1100
(montante)
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno riscuotiamo un interesse:
oggi:
1000
(capitale)
Al termine del 1°
anno:
Al termine del 2°
anno:
Al termine del 3°
anno:
+ 50 (interesse)
+ 50
(interesse)
+ 50
(interesse)
=1050 (montante)
=1100
(montante)
=1150
(montante)
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
M  C  C i t
Il capitale impegnato cresce con legge
lineare al variare del periodo di impiego.
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Al termine del 1° anno:
Montante
montante 1050
1.150
1.100
1.050
1.000
0
1
2
3
anni
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Al termine del 2° anno:
Montante
montante 1100
1.150
1.100
1.050
1.000
0
1
2
3
anni
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Al termine del 3° anno:
Montante
montante 1150
1.150
1.100
1.050
1.000
0
1
2
3
anni
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Montante
1.150
1.100
1.050
1.000
0
1
2
3
anni
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
Oppure, mettendo in evidenza C:
M  C  1  i  t 
M: montante
C: capitale iniziale
i: tasso di interesse unitario
t: tempo
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
M  C  1  i  t 
M: montante
C: capitale iniziale
i: si ricava a partire dal tasso percentuale: i = r / 100
t: va espresso in frazioni di anno, se il tasso è annuo
ESEMPIO:
M  C  1  i  t 
M: montante
C: capitale iniziale
=?
1.000€
i: tasso di interesse unitario
0,05
t: tempo
6 mesi
(corrispondente al 5%)
svolgimento:
6

M  1000  1  0,05  
12 

M: montante
= 1.025 euro
Esercizio:
Calcolare il montante ottenibile
impiegando un capitale di 936 € per 115
giorni, al tasso del 4,5 % annuo.
Esercizio:
Calcolare il montante ottenibile
impiegando un capitale di 936 € per 115
giorni, al tasso del 4,5 % annuo.
M: montante
C: capitale iniziale
????
936
i: tasso di interesse unitario
0,045
t: tempo
115/360
N.B. anno commerciale di 360 giorni
svolgimento:
115 

M  936  1  0,045 

360 

M: montante
= 949,455 euro
arrotondati a 949,46 euro
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
La capitalizzazione è detta composta
quando gli interessi maturati alla fine di
ogni periodo vengono ricapitalizzati nei
periodi successivi (si dice che gli interessi
sono fruttiferi).
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno il montante si sarà incrementato del 5%:
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno il montante si sarà incrementato del 5%:
oggi:
1000
(capitale)
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno il montante si sarà incrementato del 5%:
oggi:
1000
(capitale)
Al termine del 1°
anno:
1000
(capitale)
+ 50 (interesse)
=1050 (montante)
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno il montante si sarà incrementato del 5%:
oggi:
1000
(capitale)
Al termine del 1°
anno:
Al termine del 2°
anno:
1000
1050
(capitale)
(capitale)
+ 50 (interesse)
+ 52,50 (interesse)
=1050 (montante)
=1102,50 (montante)
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
Facciamo un esempio: investiamo un capitale di
1000 € al tasso del 5% annuo. Alla fine di ogni
anno il montante si sarà incrementato del 5%:
oggi:
1000
(capitale)
Al termine del 1°
anno:
Al termine del 2°
anno:
Al termine del 3°
anno:
1000
1050
1102,50
(capitale)
(capitale)
(capitale)
+ 50 (interesse)
+ 52,50 (interesse)
+ 55,13 (interesse)
=1050 (montante)
=1102,50 (montante)
=1157,63 (montante)
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
Questa serie di operazioni si può sintetizzare
con un’ unica formula
oggi:
1000
(capitale)
Al termine del 1°
anno:
Al termine del 2°
anno:
Al termine del 3°
anno:
1000
1050
1102,50
(capitale)
(capitale)
(capitale)
+ 50 (interesse)
+ 52,50 (interesse)
+ 55,13 (interesse)
=1050 (montante)
=1102,50 (montante)
=1157,63 (montante)
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
M  C 1  i 
t
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
M  C 1  i 
t
M  1.000  1  0,05
3
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
M  C 1  i 
t
M  1.000  1  0,05  1157 ,63
3
M  C 1  i 
t
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
M  C 1  i 
t
Il capitale impegnato cresce con legge
esponenziale al variare del periodo di impiego.
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
Montante
0
1
2
3
anni
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA
Montante
montante composto
montante semplice
0
1
2
3
anni
All’ aumentare del tempo il montante composto aumenta più rapidamente
rispetto al montante semplice.
VALORE ATTUALE COMPOSTO
Si chiama “valore attuale” la somma che
devo investire oggi al tasso annuo composto
i per avere, dopo un tempo t, un montante C
VALORE ATTUALE COMPOSTO
Si chiama “valore attuale” la somma che
devo investire oggi al tasso annuo composto
i per avere, dopo un tempo t, un montante C:
V  C  1  i 
t
VALORE ATTUALE COMPOSTO
E il problema inverso rispetto al
problema del montante.
V  C  1  i 
t
M  C  1  i 
t
VALORE ATTUALE COMPOSTO
Nel problema del montante si vuole
conoscere la somma disponibile ad una
data futura.
?
tra 10 anni
oggi:
1000
(capitale)
VALORE ATTUALE COMPOSTO
Nel problema del valore attuale si vuole
conoscere quale capitale impiegato
oggi produrrà un montante noto.
?
oggi
tra 10 anni
2000
(montante)
VALORE ATTUALE COMPOSTO
Nel problema del valore attuale si vuole
conoscere quale capitale impiegato
oggi produrrà un montante noto.
Ovviamente è necessario conoscere il
tasso di interesse con cui viene effettuata l’
operazione finanziaria.
ESEMPIO
Fra 5 anni occorre restituire una somma
pari a 1231,35 €.
Anticipando ad oggi il saldo del debito,
determiniamo la somma da pagare nell’
ipotesi che venga applicato un tasso
annuo composto del 4,25 %.
ESEMPIO
Fra 5 anni occorre restituire una somma
pari a 1231,35 €.
Anticipando ad oggi il saldo del debito,
determiniamo la somma da pagare nell’
ipotesi che venga applicato un tasso
annuo composto del 4,25 %.
C = 1231,35 €.
r = 4,25 %
i = 0,045
t = 5 anni
ESEMPIO
C = 1231,35 €.
r = 4,25 %
i = 0,045
t = 5 anni
V  C  1  i 
t
V  1231,35  1  0,0425  
5
= 1.000 €
ESEMPIO
C = 1231,35 €.
r = 4,25 %
i = 0,045
t = 5 anni
V = 1.000 €
oggi:
1000
(valore attuale)