Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 dott. ing. Isaia Clemente, dott. ing. Chiara Bedon 4. RISPOSTA SISMICA DI SISTEMI MDOF Ottobre 2009 – v. 1.0 - Pag. 4.1 - Risposta sismica di sistemi MDOF 4.1 Fattore di struttura Secondo le NTC2008, il fattore di struttura q, che tiene conto le non linearità di materiale, può essere calcolato tramite la seguente espressione: q q0 KR, dove: q0 valore massimo del fattore di struttura, che dipende dal livello di duttilità attesa, dalla tipologia strutturale e dal rapporto Du/D1 tra il valore dell’azione sismica per il quale si verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tali da rendere la struttura labile e quello per il quale il primo elemento strutturale raggiunge la plasticizzazione a flessione, KR fattore riduttivo, che dipende dalle caratteristiche di regolarità in altezza della costruzione, pari a: 1 per costruzioni regolari in altezza, 0.8 per costruzioni non regolari in altezza. - Per le costruzioni regolari in pianta, qualora non si proceda ad un’analisi non lineare finalizzata alla valutazione del rapporto Du/D1, per esso possono essere adottati i valori indicati nelle NTC2008 per le diverse tipologie costruttive. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.2 - Risposta sismica di sistemi MDOF - Per le costruzioni non regolari in pianta, si possono invece adottare valori di Du/D1 pari alla media tra 1.0 ed i valori di volta in volta forniti per le diverse tipologie costruttive. La scelta del fattore di struttura deve essere in ogni caso adeguatamente giustificata. Il fattore di struttura q, in particolare, dipende da: - tipologia strutturale e sovraresistenza Quanto più una struttura è costituita da elementi con comportamento duttile (strutture a telaio) ed è iperstatica (telaio multipiano con più campate e più piani) tanto più avrà risorse in campo anelastico. La sovraresistenza è espressa dal rapporto tra il moltiplicatore di collasso e quello di snervamento e può essere calcolata mediante un’analisi statica non lineare con spostamento crescente con legge monotona. - classe di duttilità e quindi maggiore o minore rispetto delle gerarchie delle resistenze nella progettazione. - regolarità strutturale L’ipotesi di base del metodo della gerarchia delle resistenze è che la formazione di cerniere plastiche avvenga quasi contemporaneamente nelle diverse parti della struttura (plasticizzazione simultanea), in modo da massimizzare la dissipazione di energia e la duttilità globale e, allo stesso tempo, limitare il rischio di danno concentrato. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.3 - Risposta sismica di sistemi MDOF Dal punto di vista teorico, esistono diversi criteri mediante i quali è possibile determinare il valore del fattore di struttura q: 1. criterio di uguaglianza degli spostamenti Per elevati periodi di vibrazione (T > TC), se si considerano un sistema elasto – plastico ed il sistema elastico lineare (oscillatore semplice omologo al sistema non lineare) ad esso corrispondente, assoggettati allo stesso sisma, si osserva che questi presentano all’incirca lo stesso spostamento massimo G al variare di Fy. Per la similitudine dei triangoli risulta infatti: q Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 Fe Fy u max uy P Î q P - Pag. 4.4 - Risposta sismica di sistemi MDOF 2. criterio di uguaglianza delle energie (Newmark) Per piccoli periodi strutturali (TB < T < TC) si osserva che al variare di Fy i due sistemi omologhi (di uguale rigidezza K, quindi di pari periodo proprio T) presentano uno spostamento tale che l’energia assorbita sotto forma elastica o elasto – plastica può essere considerata all’incirca la stessa (uguaglianza delle aree). Risulta infatti: 1 Fe u e 2 1 Fe 2 Fy 1 F y u y F y u max u y 2 · u 1 §¨ u max e 1¸ ¸ u y 2 ¨© u y ¹ Fe u e u max 1 2 2 Fy u y uy q2 1 2 P Î Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 q 2 P 1 - Pag. 4.5 - Risposta sismica di sistemi MDOF 3. metodo di Newmark – Hall Osservando che il criterio di uguaglianza degli spostamenti (1) è valido nel caso di periodi di vibrazione alti, mentre il criterio di uguaglianza delle energie (2) è più attendibile nel caso di periodi di vibrazione più bassi, hanno proposto: q P q 2 P 1 q 1 Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 se T ! 0.5 s se 0.1 s d T d 0.5 s se T 0.1 s - Pag. 4.6 - Risposta sismica di sistemi MDOF Generalizzando quanto visto per il sistema SDOF elasto-plastico, il fattore di struttura q di un sistema MDOF può essere valutato, con riferimento ad una storia in accelerazione, come rapporto fra il picco di accelerazione relativo al collasso e quello che determina il raggiungimento del primo snervamento, attraverso un’analisi dinamica incrementale (IDA): q PGAu PGA y , oppure, attraverso un’analisi di pushover sotto una distribuzione di forze statiche equivalenti al sisma, come: Du q Dy . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.7 - Risposta sismica di sistemi MDOF 4.2 Analisi lineare dinamica Consideriamo un telaio piano ad n gradi di libertà e supponiamo che questo sia soggetto ad un moto traslazionale del supporto di assegnata accelerazione ug ug t . I dati sono K, M, [, Sd(T), con K p 12 EJ p h3 e K = 3Kp rigidezza di ciascun piano. Le matrici di rigidezza K e di massa M del sistema sono diagonali, essendo, nell’ipotesi di traversi infinitamente rigidi, le masse concentrate a livello di impalcato. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.8 - Risposta sismica di sistemi MDOF Sovrapposizione modale Per eseguire l’analisi modale ed applicare la tecnica di sovrapposizione modale, consideriamo la seguente trasformazione di coordinate: n u ) z ¦) i 1 (i ) zi , dove: ) è la matrice modale, è il vettore delle nuove coordinate modali (o normali), le cui componenti zi esprimono ognuna l’ampiezza dell’i-esimo modo di vibrare. z L’analisi modale richiede infatti, assegnate le matrici K ed M, la risoluzione di un problema agli autovalori e la determinazione degli n modi di vibrare del telaio, ortonormalizzati rispetto alla matrice delle masse M. Gli n modi di vibrare vengono quindi raccolti nella matrice modale ), calcolando le frequenze naturali Zi ad essi associate. Ipotizzando di trascurare eventuali fenomeni dissipativi, data l’equazione del moto del sistema lineare: Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.9 - Risposta sismica di sistemi MDOF M u C u K u M r ug , con r >1,1,...,1@ vettore di trascinamento (rappresentativo degli spostamenti statici dovuti ad una forza unitaria applicata alla base del telaio), lo spettro di progetto non è altro che lo spettro elastico ridotto mediante il fattore di struttura q (indice delle risorse plastiche del telaio sheartype). Sotto questo sisma ridotto, è necessario verificare che la struttura si mantenga elastica e non raggiunga la soglia plastica. T Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.10 - Risposta sismica di sistemi MDOF n L’equazione del moto, effettuando la trasformazione di coordinate u ) z ¦) (i ) zi i 1 e T moltiplicando per ) , diventa: T T T T ) M r ug . ) M ) z ) C ) z ) K ) z T Si osserva che per l’ortogonalità dei modi di vibrare rispetto K ed M, le quantità ) M ) e T ) K ) sono diagonali, mentre C* è diagonale solo nel caso di smorzamento “classico”. Allora: I z C * z : z T ) M r ug . Le equazioni del moto possono quindi essere disaccoppiate ipotizzando che lo smorzamento sia di tipo classico ed introducendo il vettore * (nx1) dei coefficienti di partecipazione (avente componenti Ji): I z C * z : z * ug , Essendo infatti le matrici I, C*, : diagonali, l’i-esima equazione disaccoppiata è del tipo: zi 2[Z i zi Z i2 z i J i ug , per i = 1, 2,…n. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.11 - Risposta sismica di sistemi MDOF n Il coefficiente di partecipazione dell’i-esimo modo di vibrare J i ¦) j 1 (i) j m j indica quindi quanto l’i-esimo modo partecipa al sisma. Osservazioni 1. L’i-esima equazione disaccoppiata, per i = 1, 2,…n, rappresenta l’equazione del moto di un oscillatore semplice con massa unitaria m, coefficiente di smorzamento [, frequenza naturale Zi, soggetto ad un moto del terreno che non è il moto ug cui è associato lo spettro, ma ad un moto J i ug . In questo senso è quindi possibile determinare quanto l’i-esimo modo partecipa al moto del terreno. Lo spettro relativo al moto J i ug è noto, perché è ottenuto moltiplicando per J i volte lo spettro di progetto. 2. Lo spettro rappresenta un’informazione povera rispetto all’accelerogramma, in quanto rappresentativo dei soli effetti massimi del sisma su determinati oscillatori semplici. Sulla base di uno spettro non è infatti possibile ricavare la storia della i-esima coordinata modale zi(t), ma è possibile conoscerne la massima ampiezza zi,max. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.12 - Risposta sismica di sistemi MDOF 3. A partire dallo spettro J i ug , il massimo spostamento zi, max raggiunto da ciascun oscillatore semplice può essere determinato entrando nello spettro relativo ad un certo smorzamento [ con il valore della frequenza naturale Zi caratteristica del modo di vibrare i-esimo considerato (essendo Ti = 2S/Zi). In questo modo è possibile infatti risalire alla pseudoaccelerazione Sd,i(Ti), essendo: z i , max J i S d ,i Ti Z i2 (i ) u max Î ) i z i , max )i J i S d ,i Ti . Z i2 4. I massimi spostamenti modali zi, max possono essere valutati per i = 1, 2, , n. Si osserva però che tali spostamenti non si realizzano nello stesso istante, di conseguenza per l’i-esimo (i ) modo di vibrare è possibile conoscere solo un vettore u max di massimi spostamenti relativi. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.13 - Risposta sismica di sistemi MDOF Effetti dell’azione sismica per ciascun modo di vibrare (i ) Noti i massimi spostamenti u max , si associa ad essi una distribuzione di forze statiche equivalenti all’i-esimo modo di vibrare, che applicate al telaio shear-type siano in grado di riprodurre (i ) (i ) l’effetto massimo u max noto. In particolare, si tratta di determinare le incognite F s tali che: (i ) Fs Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 (i ) K u max , - Pag. 4.14 - Risposta sismica di sistemi MDOF ovvero: (i ) Fs K) (i ) J i S d ,i Ti Z i2 Z i2 M ) ( i ) (i ) Fs Î M) J i S d ,i Ti Z i2 (i ) M) (i ) J i S d ,i Ti J i S d ,i Ti , essendo: K) (i ) Z i2 M ) ( i ) , con: ) (i ) i-esima forma modale, ordinata dello spettro di progetto corrispondente alla frequenza Zi, moltiplicata per il coefficiente di partecipazione J i . J i S d ,i Ti Essendo inoltre: (i ) Vb T 1 M) (i ) J i S d ,i Ti J i2 S d ,i Ti , Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.15 - Risposta sismica di sistemi MDOF risulta: (i ) Fs M) (i ) J i S d ,i Ti J i2 S d ,i Ti M) T (i ) 1 M) (i ) Vb( i ) M) (i ) n ¦m ) j (i ) j . j 1 (i ) Si osserva quindi che la distribuzione delle forze statiche equivalenti F s dipende dalla forma (i ) ) di ciascun modo di vibrare. La tecnica della sovrapposizione modale consente infatti di analizzare staticamente la struttura (i ) (i ) K u max (con i soggetta ad un sistema di n distribuzioni di forze statiche equivalenti del tipo F s = 1, 2,…, n), per ciascuna delle quali possono essere valutati separatamente i massimi effetti in termini di spostamento e caratteristiche della sollecitazione. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.16 - Risposta sismica di sistemi MDOF Combinazione dei massimi effetti relativi ai singoli modi di vibrare (CQC) Una stima dei massimi effetti di un sisma su una struttura, effettuata a partire dagli massimi (i ) spostamenti relativi u max associati a ciascun modo di vibrare, consiste nel valutare l’effetto complessivo E mediante una combinazione quadratica completa (CQC): E n T n ¦¦U E UE i 1 j 1 ij Ei E j , con i, j = 1, 2,…, n. Lo spostamento massimo del 2° piano del telaio, per esempio, sarà quindi dato da: n n ¦¦ U u 2 ,max i 1 j 1 ij ) ) u 2( i,max u 2( ,jmax , con i, j = 1, 2,…, n. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.17 - Risposta sismica di sistemi MDOF Quanti modi di vibrare è necessario considerare? Le NTC2008 richiedono che nella stima dei massimi effetti di un sisma si considerino: - Tutti i modi di vibrare con massa partecipante superiore al 5%, - Un numero di modi di vibrare necessario a raggiungere una massa partecipante superiore all’85%: m ¦J 2 i i 1 M tot t 0.85 Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 (troncamento modale). - Pag. 4.18 - Risposta sismica di sistemi MDOF m Dimostriamo ora che M tot ¦J 2 i i 1 . 2 Si pensi a J i come i-esima massa modale. Si consideri inoltre: n M tot ¦m m1 m 2 ... m n i 1 T i 1 M1. Nell’ipotesi che il vettore unitario 1 sia un vettore qualsiasi, per esempio 1 ) z , premoltiplicando si ottiene: T T ) M1 T ed essendo ) M ) I z Î T ) M )z , T ) M1 *. z Î Allora: 1 )z Î 1 )* , ) * M *) * I* * * pertanto: M tot T 1 M1 T T T T n ¦J i 1 2 i . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.19 - Risposta sismica di sistemi MDOF L’analisi lineare dinamica secondo l’Eurocodice 8 L’Eurocodice 8 propone una Modal Response Spectrum Analysis. Una prima differenza rispetto a quanto indicato dalle NTC2008 riguarda il troncamento modale. L’Eurocodice 8 richiede infatti di considerare: - Tutti i modi di vibrare con massa modale superiore al 5% della massa totale della struttura, - Un numero di modi di vibrare tale che la somma delle masse modali sia almeno pari al 90% della massa totale della struttura (85% per le NTC2008). Per quanto concerne invece la combinazione dei modi di vibrare, l’Eurocodice 8 prevede due diversi metodi per la stima dei massimi effetti dovuti a ciascun modo di vibrare (analogamente a quanto prevedeva l’OPCM3274/2003) SRSS (Square Root Sum Square, radice quadrata della somma dei quadrati) Applicabile solo quando i modi di vibrare sono sufficientemente disaccoppiati, ovvero quando ciascun periodo Tj differisce di almeno il 9% rispetto agli altri ( T j d 0.9 Ti , se T j d Ti ). La SRSS consente di stimare l’effetto complessivo di una data azione sismica, a patto che i vari modi di vibrare non siano troppo ravvicinati. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.20 - Risposta sismica di sistemi MDOF L’effetto complessivo EE può essere valutato come: ¦E EE T 2 Ei EE EE , dove: EE EEi effetto complessivo dell’azione sismica considerato (spostamento, caratteristica della sollecitazione,…), valore dell’effetto dell’azione sismica associato all’i-esimo modo di vibrare (contributo dell’i-esimo modo di vibrare). CQC (Complete Quadratic Combination, combinazione quadratica completa) Da applicare quando i modi di vibrare non sono sufficientemente disaccoppiati. L’effetto complessivo dell’azione sismica può essere stimato, in tal caso, come: T EE UEE . EE Si può dimostrare che la matrice di combinazione U, quando i modi di vibrare sono tra loro ben separati, tende a coincidere con la matrice identità I, pertanto la CQC diventa una SRSS. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.21 - Risposta sismica di sistemi MDOF 4.3 Analisi lineare statica E’ applicabile se la struttura è regolare in altezza e se T1, ovvero il periodo del modo di vibrare principale della struttura nella direzione in esame, è tale che: T1 d 2.5 TC T1 d TD In tal caso, i dati disponibili sono la matrice delle rigidezze K, il periodo proprio di vibrazione T1, il coefficiente di smorzamento [1 e l’ordinata spettrale espressa in termini di accelerazione Sd(T1). L’analisi si esegue applicando staticamente alla struttura le forze F s relative al primo modo di vibrare. Appare quindi evidente che l’analisi lineare statica non è altro che un’analisi modale approssimata, arrestata al primo modo di vibrare ed eseguita assumendo una forma modale ad andamento lineare con l’altezza. Le forze statiche equivalenti al primo modo di vibrare risultano infatti: (1) (1) Fs M ) J 1 S d T1 , essendo il taglio alla base relativo alle forze statiche equivalenti al primo modo di vibrare pari a: V (1) T (1) 1 Fs Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 T 1 M) (1) J 1 S d T1 J 12 S d T1 . - Pag. 4.22 - Risposta sismica di sistemi MDOF Le NTC2008 propongono per il calcolo del taglio alla base Fh la seguente espressione: Fh S d T1 W O , g da ripartire lungo l’altezza dell’edificio a livello dell’i-esimo piano come: Fi Fh zi W i n ¦z j W j . j 1 Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.23 - Risposta sismica di sistemi MDOF (1) T (1) Si può dimostrare che Fh | 1 F s , cioè Fi | F s ,i (il che equivale ad assumere una forma modale (1) del primo modo di vibrare ad andamento lineare, confondendo le ) i con le z i ). Infatti si ha: M) (1) Fs (1) J 12 S d T1 J1 M) (1) V0(1) n ¦) (1) j mj , j 1 con: V0(1) costante n ¦) (1) j mj ) (1) T , j 1 J1 n M1 ¦) j 1 M) (1) ª m1 « « « « ¬ m2 (1) j mj costante , º ) 1(1) ½ » ° (1) ° » °®) 2 °¾ » ° ... ° ... » m n ¼ °¯) (n1) °¿ Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 m1 ) 1(1) ½ ° (1) ° °m 2 ) 2 ° ® ¾ ° ... ° . °¯m n ) (n1) °¿ - Pag. 4.24 - Risposta sismica di sistemi MDOF (1) Di conseguenza, la i-esima componente F s ,i delle forze statiche equivalenti al primo modo di (1) vibrare F s è: m i ) i(1) (1) F s ,i n ¦) (1) j V0(1) | Fi mj . j 1 (1) (1) Si osserva che F s ,i { Fi solo se ) j { z j , essendo zj l’altezza del piano j misurata rispetto al piano di fondazione. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.25 - Risposta sismica di sistemi MDOF L’analisi lineare statica secondo l’Eurocodice 8 Come già accennato, l’OPCM prima e le NTC2008 successivamente hanno recepito quanto indicato dall’Eurocodice 8, pertanto non vi sono differenze significative tra quanto imposto dalle norme, almeno per quanto riguarda le indicazioni a carattere generale. L’analisi equivalente alla lineare statica è presentata, nell’Eurocodice 8, come Lateral Force Method of Analysis. Può essere applicata ad edifici la cui risposta non sia influenzata in maniera significativa dai contributi dei modi di vibrare superiori al primo, in ogni direzione principale (nel caso di analisi spaziale). Requisiti fondamentali delle strutture per poterle verificare mediante il Lateral Force Method of Analysis sono: - Regolarità in elevazione, 4 TC T d ® 1 . - Periodo proprio della struttura tale che ¯ 2 .0 s Il taglio sismico alla base Fb associato a ciascuna delle direzioni in cui si intende analizzare la struttura deve essere determinato mediante la seguente espressione: Fb Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 S d T1 m O , - Pag. 4.26 - Risposta sismica di sistemi MDOF dove: S d T1 T1 m O è l’ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo T1, è il periodo di vibrazione fondamentale della struttura, nella direzione considerata, è la massa totale della costruzione, è un fattore di correzione, pari a 0.85 se T1 d 2 TC e l’edificio ha almeno due piani, 1.00 negli altri casi. Per quanto riguarda la distribuzione del taglio alla base Fb a livello di ciascun piano e la stima del periodo di vibrazione fondamentale T1 della struttura non vi è alcuna differenza con quanto già osservato in riferimento alle NTC2008: Fi Fb zi mi n ¦z j mj , j 1 3 T1 C1 H 4 (H < 40 m), con: C1 = 0.085 per telai in acciaio, 0.075 per telai in c.a., 0.050 per qualsiasi altro tipo di struttura. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.27 - Risposta sismica di sistemi MDOF 4.4 Tipologie strutturali in zona sismica – Edifici multipiano La Normativa (NTC2008), con riferimento alle costruzioni in zona sismica, si pone l’obiettivo di conseguire una protezione “adeguata” nei confronti di quattro situazioni limite: - due Stati Limite Ultimi, con danno strutturale accentuato o SLC, che prelude al collasso sotto un sisma con probabilità di superamento del 5% nella vita di riferimento della struttura o SLV, sotto un sisma con probabilità di superamento del 10% nella vita di riferimento della struttura - due Stati Limite di Esercizio, con danno agli elementi non strutturali, le cui conseguenze sono di natura essenzialmente economica o SLD, sotto un sisma con probabilità di superamento del 63% nella vita di riferimento della struttura o SLO, con PVR 81%. L’elemento caratterizzante il sisma è uno spettro elastico relativo alla componente orizzontale di accelerazione Se(T), dal quale si passa allo spettro di progetto Sd(T) attraverso un fattore di riduzione q t 1 (fattore di struttura). Esiste ampia evidenza che le strutture progettate secondo le normative di nuova generazione posseggano ampi margini di resistenza che consentono loro di sopportare senza collasso azioni Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.28 - Risposta sismica di sistemi MDOF sismiche di livello ben superiore a quello di progetto. Questi margini derivano da regole supplementari di buona progettazione. 1. Il primo e fondamentale criterio (gerarchia delle resistenze) è quello di assegnare, in fase di progetto, una resistenza differenziata ai vari elementi strutturali, in modo che il cedimento di alcuni preceda e quindi prevenga quello di altri. Questi ultimi, ossia quelli da proteggere, sono gli elementi il cui cedimento è critico nei confronti del collasso globale della struttura (pilastri di un edificio). Il cedimento dei pilastri viene impedito fornendo ad essi una resistenza (di poco) superiore a quella delle travi che su di essi si innestano. Il criterio si estende a tutti gli elementi e meccanismi il cui cedimento è necessario evitare. 2. Il secondo criterio è quello di incrementare la duttilità degli elementi strutturali il cui cedimento è accettato, anzi voluto. Per cedimento si intende il raggiungimento e il superamento, da parte di un elemento elastico, della fase elastica e quindi reversibile, per entrare in quella delle deformazioni cicliche ripetute e di grande ampiezza in campo anelastico. L’obiettivo delle regole di dimensionamento è quello di consentire che tali deformazioni siano sopportate dagli elementi strutturali senza che essi perdano la loro integrità e la loro funzione statica. La capacità di deformazione anelastica si indica col termine “duttilità”. Le regole di duttilità contenute nella norma consentono di graduare con continuità questa caratteristica da conferire agli elementi strutturali, nella misura richiesta a ciascuno di essi dal suo ruolo nel meccanismo di deformazione globale della struttura. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.29 - Risposta sismica di sistemi MDOF I procedimenti di gerarchia delle resistenze e le regole di duttilità sono i cardini principali che consentono, a parità di azione sismica di progetto, di raggiungere livelli di protezione molto elevati, attraverso una visione globale ed una possibilità di controllo della risposta delle strutture. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.30 - Risposta sismica di sistemi MDOF La presenza di azioni orizzontali negli edifici multipiano (o edifici alti) condiziona sostanzialmente, ma in maniera diversa in relazione al materiale impiegato, la tipologia strutturale. Nel calcolo delle strutture in acciaio, infatti, corretti criteri di progettazione suggeriscono, anche in assenza di azioni orizzontali reali, l’introduzione di forze fittizie orizzontali, allo scopo di saggiare la deformabilità laterale della struttura come verifica indiretta nei riguardi dall’instabilità globale. Si può quindi affermare che la presenza di azioni orizzontali reali (sisma, vento), nel caso delle strutture in acciaio non modifica qualitativamente la tipologia strutturale, in quanto gli elementi controventanti sono comunque presenti per esigenze di elevata deformabilità laterale. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.31 - Risposta sismica di sistemi MDOF Per gli edifici in c.a. in zona sismica, invece, la tipologia strutturale risente in maniera determinante della presenza di azioni orizzontali, che in strutture non sismiche sono trascurabili per la già scarsa deformabilità in senso trasversale. Ne deriva la necessità di assorbire le azioni sismiche orizzontali attraverso idonee strutture di controventamento sia orizzontali che verticali. Quindi parleremo di strutture in c.a. antisismiche. Per tali strutture è quindi possibile operare una classificazione che prevede essenzialmente due categorie di schemi per i controventi verticali: a) strutture resistenti a telaio, b) strutture controventate con mensole. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.32 - Risposta sismica di sistemi MDOF Telai e mensole sono elementi resistenti verticali, cui è necessario accoppiare sistemi irrigidenti orizzontali (impalcati) qualitativamente simili nei due casi. E’ però indispensabile che gli impalcati siano sufficientemente rigidi nel loro piano. Solo se è soddisfatta tale ipotesi, infatti, il diaframma può essere immaginato come una trave orizzontale appoggiata su elementi resistenti verticali. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.33 - Risposta sismica di sistemi MDOF Al caso a (strutture resistenti a telaio) appartengono: 1. schemi a telaio spaziale, con travi alte o in spessore e solai orditi a scacchiera o a piastra, in modo da ottenere un impalcato isotropo, 2. schemi con telai principali con travi alte in una direzione e telai secondari, con collegamenti in spessore. L’orditura più razionale dei solai è parallela ai telai secondari, che risultano così alleggeriti delle forze verticali, conservando la sola funzione di irrigidimento trasversale. L’orientamento in pianta dei pilastri viene effettuato con l’intento di evitare disomogeneità nella ripartizione delle azioni orizzontali, con conseguente irrazionalità del contributo statico delle varie parti. La sezione più razionale per i pilastri di un impalcato isotropo è quella che presenta la stessa rigidezza flessionale in tutte le direzioni (sezione quadrata, circolare o a croce) Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.34 - Risposta sismica di sistemi MDOF Il caso b comprende strutture costituite sia da telai che da elementi verticali ad elevata rigidezza. Tali elementi hanno schema statico a mensola, elasticamente collegata agli schemi telaio, la cui sezione trasversale caratterizza i seguenti tipi: 1. mensole lamellari a sezione rettangolare (pareti o diaframmi o shear walls). Si tratta del tipo più semplice di mensola. Le pareti di taglio hanno pianta rettangolare allungata, incastrata alla base, e si sviluppano lungo tutta l’altezza dell’edificio. Possono avere o meno aperture. Gli elementi di questo tipo, collegati a livello di piano ad impalcati che generalmente possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano, presentano una sola rigidezza flessionale (EJn), pertanto funzionano come vincolo solo nella direzione del proprio asse principale. Al contrario, nella direzione ortogonale la loro rigidezza flessionale (EJmin) è pressoché nulla, pertanto non è possibile farvi affidamento. Per questo motivo, tenendo presente che l’azione sismica può essere comunque diretta rispetto agli assi planimetrici della costruzione, al fine di conferire alla struttura la necessaria resistenza alle azioni orizzontali secondo le diverse direzioni in pianta, è fondamentale disporre correttamente i controventi. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.35 - Risposta sismica di sistemi MDOF Considerando una parete di taglio avente spessore G = 25 - 30 cm e lunghezza B da definire, si osserva che: Jn J min B3 G 12 B G 3 12 Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 è l’unica rigidezza flessionale significativa, al pari della rigidezza torsionale, è trascurabile. - Pag. 4.36 - Risposta sismica di sistemi MDOF Essendo: V h3 V h 12 EJ n GA G V U, F la rigidezza U della parete, trascurando la deformabilità a taglio rispetto a quella flessionale, risulta: U 1 3 h h GA 12 EJ n 1 h3 12 EJ n 12 EJ n h3 , F Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.37 - Risposta sismica di sistemi MDOF dove: h E Jn G A F altezza della parete, modulo di elasticità normale, momento d’inerzia della sezione trasversale della parete, valutato rispetto l’asse neutro, modulo di elasticità tangenziale, area della sezione trasversale della parete, fattore di taglio (F = 1.2 per sezioni rettangolari). Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.38 - Risposta sismica di sistemi MDOF La disposizione dei vincoli deve essere tale che il sistema risulti quantomeno isostatico, meglio se iperstatico. 1) R1 = R2 = fy*Lx/2 R3 = R4 = 0 2) R1 = R2 = 0 R3 = R4 = fx*Ly/2 Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.39 - Risposta sismica di sistemi MDOF 3) R1 = R2 = (fx*Ly)*(Ly/2)/Lx (equilibrio alla rotazione attorno ad O) R3 = fx*Ly 4) Le tre condizioni di equilibrio non sono più sufficienti per determinare Ri Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.40 - Risposta sismica di sistemi MDOF 2. mensole a sezione aperta in parete sottile, dotate di rigidezza flessionale nelle due direzioni principali, ma di trascurabile rigidezza torsionale primaria, alla de Saint Venant. Questo tipo di elementi controventanti non è dotato di rigidezza torsionale (<<<), ma offre il vantaggio di possedere opportuna rigidezza flessionale nelle due direzioni ortogonali. Rispetto alle mensole di tipo (1), sono pertanto in grado di riprendere forze orizzontali provenienti da qualsiasi direzione. Possono infatti essere considerate come mensole lamellari di tipo (1) tra loro ortogonali, con rigidezze flessionali confrontabili nelle due direzioni principali. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.41 - Risposta sismica di sistemi MDOF 3. mensole a sezione chiusa (nuclei o core), dotate di rigidezze flessionali e torsionali. Rispetto alle mensole di tipo (1) e (2), oltre ad essere in grado di riprendere forze orizzontali provenienti da qualsiasi direzione, sono in grado di riprendere anche momenti torcenti. Coesistono quindi nello stesso organismo strutturale elementi atti a sopportare prevalentemente i carichi verticali (pilastri) ed elementi che assorbono quasi per intero le azioni orizzontali (mensole). Al variare dei rapporti fra le rigidezze dei pilastri e quelle degli elementi a mensola, si può ottenere una vasta gamma di schemi, che conducono al caso limite di pilastri labili nei riguardi delle azioni orizzontali e sollecitati esclusivamente a sforzo normale. Tale soluzione offre notevoli vantaggi dal punto di vista distributivo perché la pilastratura occupa il minor spazio possibile, mentre le mensole possono trovare un’ubicazione razionale nelle testate dell’edificio o nel vano scale. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.42 - Risposta sismica di sistemi MDOF Problemi connessi alla distribuzione in pianta degli elementi verticali di controvento. La distribuzione in pianta dei controventi verticali condiziona la sollecitazione dell’impalcato nei confronti delle azioni orizzontali. Considerando gli impalcati come travi orizzontali elasticamente vincolate alle strutture verticali, la concentrazione di elementi a mensola ne riduce il grado di vincolo, con conseguente aggravio delle condizioni di lavoro dell’impalcato. Si riportano in figura gli andamenti dei momenti flettenti per tre diverse disposizioni dei controventi verticali. a) b) c) Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.43 - Risposta sismica di sistemi MDOF a) mensole lamellari di controvento. L’impalcato si comporta come una lastra vincolata alle due pareti cedevoli, le quali riprendono l’azione sismica ma cedono elasticamente. L’impalcato si comporta quindi come una trave appoggiata-appoggiata che si inflette. b) Mensole lamellari di controvento con elemento irrigidente a nucleo. L’impalcato è assimilabile, in tal caso, ad una trave continua su più appoggi. Rispetto al caso (a), l’entità del momento sollecitante appare notevolmente ridotta. c) Telai controventanti. L’impalcato si comporta come una trave continua a molte campate. Esso è quindi sollecitato pressoché in modo uniforme, perché i telai di controvento sono molto ravvicinati. Di conseguenza, le sollecitazioni sull’impalcato appaiono significativamente più piccole rispetto a quelle dei casi (a) e (b). Per quanto visto, nella progettazione di costruzioni antisismiche è quindi bene rispettare: - Criteri generali: forme semplici, simmetriche, con organismi strutturali iperstatici e “regolari” - Regolarità strutturale: o in pianta: forma compatta, simmetrie di masse e rigidezze o in altezza: 1. elementi resistenti alle azioni orizzontali estesi a tutta l’altezza 2. variazione graduale di massa e rigidezza con l’altezza 3. rapporto tra resistenza di piano effettiva e resistenza richiesta uguale a tutti i piani Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.44 - Risposta sismica di sistemi MDOF Esempi di irregolarità strutturale 1. Discontinuità delle pareti di taglio 2. Piano soffice Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.45 - Risposta sismica di sistemi MDOF 3. Distribuzione irregolare degli elementi irrigidenti Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.46 - Risposta sismica di sistemi MDOF 4.5 Analisi spaziale del complesso strutturale Si è visto come l’effetto del sisma sull’edificio possa essere ricondotto a quello di opportune forze orizzontali applicate ai baricentri delle masse degli impalcati. Queste forze orizzontali vengono assorbite dalle strutture resistenti verticali, che possono essere telai, pareti taglianti,.... (ripartizione delle forze di piano fra gli elementi di controvento verticali) e che devono essere disposte in modo da fornire una sufficiente resistenza al complesso strutturali in tutte le direzioni. Il problema della determinazione del regime di sollecitazione nell’organismo strutturale sotto le forze sismiche convenzionali comporta l’analisi rigorosa dell’intero sistema tridimensionale in una complessa interazione di flessione e torsione fra i vari elementi resistenti. Nella maggior parte dei casi si opera una semplificazione del problema, sulla base di alcune ipotesi: - L’organismo strutturale viene schematizzato come un insieme spaziale di elementi di controvento verticali (telai, pareti,…) collegati ai vari piani da impalcati rigidi nel loro piano (ipotesi di indeformabilità piana degli impalcati), - Un’ulteriore ipotesi riguarda la trascurabilità delle deformazioni assiali delle travi e dei pilastri. Le deformazioni assiali delle travi vengono eliminate con l’ipotesi di impalcati Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.47 - Risposta sismica di sistemi MDOF infinitamente rigidi. Relativamente alle deformazioni assiali dei pilastri; si osserva che nei telai piani queste acquistano rilevanza statica solo nel caso di edifici molto alti. Il problema tridimensionale si riconduce così all’analisi di un complesso spaziale di sistemi piani di controvento (telai o pareti) collegati ai piani da diaframmi orizzontali rigidi, i solai. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.48 - Risposta sismica di sistemi MDOF Analisi lineare statica del modello spaziale Supponiamo che la struttura, ad n piani, sia provvista di m elementi di controvento, di tipo piano (mensola). Se si considera, a livello dell’i-esimo impalcato, il generico elemento di controvento, questo ha una propria traccia rettilinea nel piano dell’edificio. Assumendo un sistema di riferimento globale con origine in O, definiamo ui gli spostamenti in direzione X, vi gli spostamenti in direzione Y, Ti le rotazioni torsionali dell’i-esimo impalcato. La posizione dell’i-esimo impalcato, a deformazione avvenuta, è quindi definita dai tre parametri T di spostamento: U i >u i , vi ,T i @ . Di conseguenza, se n è il numero dei piani della struttura, questa possiede 3n gradi di libertà ed il vettore che ne descrive gli spostamenti è U >U 1 , U 2 ,..., U n @T . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.49 - Risposta sismica di sistemi MDOF La costruzione delle matrice di rigidezza K della struttura può essere effettuata a partire dalle matrici di rigidezza k’(j) degli m elementi (controventi verticali piani) nel riferimento locale: Q '( j ) k '( j ) q '( j ) , j = 1, 2,…m, ( j) essendo q ' (n) il vettore degli spostamenti del j-esimo controvento a livello di ciascun piano, ( j) sotto l’azione di Q ' (n). La struttura può infatti essere vista come un insieme di controventi piani connessi ad impalcati infinitamente rigidi nel proprio piano, i quali, muovendosi rigidamente, vincolano e condizionano gli spostamenti mutui dei controventi verticali. Lo spostamento del j-esimo controvento dovuto allo spostamento rigido (ui, vi, Ti) dell’i-esimo impalcato risulta (Dj: inclinazione del j-esimo controvento, dj: distanza del jesimo controvento dall’origine O del sistema di riferimento): q 'i( j ) Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 u i cos D j vi sin D j T i d j . - Pag. 4.50 - Risposta sismica di sistemi MDOF Noti gli spostamenti del j-esimo controvento a livello di ogni i-esimo impalcato, è quindi ( j) (n) in funzione degli possibile esprimere gli spostamenti del singolo controvento q ' spostamenti U (3n) della struttura. A tal fine, si introduce la matrice C(j) di congruenza o di connettività del j-esimo elemento di controvento verticale (nx3n): ( j) q '( j ) C U, essendo: C ( j) ªcos D j « 0 « « 0 « ¬« 0 sin D j dj 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 cos D j 0 sin D j 0 dj 0 0 cos D j ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... cos D j sin D j 0º 0 »» 0» » d j ¼» La matrice C(j) esprime il legame, valido per qualsiasi elemento di controvento, tra gli spostamenti del j-esimo controvento verticale e gli spostamenti della struttura. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.51 - Risposta sismica di sistemi MDOF Assemblaggio di K La matrice delle rigidezze K della struttura può essere assemblata utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali. Detto F s il vettore delle n forze statiche equivalenti al sisma applicate alla struttura, la componente F s ,i rappresenta la forza applicata a livello dell’impalcato i-esimo. Dal momento che l’azione sismica può avere una direzione qualsiasi, la generica F s ,i risulterà applicata al baricentro Gi dell’i-esimo impalcato secondo una retta d’azione assegnata. Di conseguenza, volendo ridurre F s ,i con polo l’origine O del sistema di riferimento, sarà necessario considerarne le componenti: F s ,i Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 Fs ,i , x ½ ° F ° s ® Fs ,i , y ¾ , ° ° ¯ M T ,i ¿ F s ,1 ½ ° ° °F s,2 ° ° ° ®... ¾ °... ° ° ° °¯ F s ,n °¿ - Pag. 4.52 - Risposta sismica di sistemi MDOF Il problema statico: Fs KU può essere risolto determinando K per assemblaggio delle k’(j), essendo noto per ciascun ( j) k '( j ) q '( j ) . elemento di controvento il legame Q ' Per il Principio dei Lavori Virtuali, in particolare, si considerano: - forze sul sistema reale F s (forze statiche equivalenti applicate alla struttura) Q ' ( j ) , per j = 1, 2,…m (forze di piano riprese dal j-esimo controvento) GU G q '( j ) - sistema di spostamenti virtuali (struttura) (j-esimo controvento) Risulta: m Lve GU T F s , ¦ G q' Lvi ( j )T j 1 Q '( j ) , Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.53 - Risposta sismica di sistemi MDOF da cui: m GU T F s ¦ G q' ( j )T j 1 Q '( j ) , con: m ¦ G q ' ( j )T Q ' ( j ) j 1 m ¦ G q ' ( j )T k ' ( j ) q ' ( j ) j 1 m m ¦ G q ' ( j )T k ' ( j ) C ( j ) U ¦C j 1 ( j )T j 1 G U T k '( j ) C ( j ) U . Quindi: GU T F s m ( j )T ( j) T ¦ G U C k '( j ) C U j 1 Fs Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 m · © j 1 ¹ G U , § m ( j )T ( j ) ( j ) · ¨¦C k ' C ¸¸U , ¨ j 1 ¹ © m Î § G U T ¨¨ ¦ C ( j )T k ' ( j ) C ( j ) ¸¸U K ¦C j 1 ( j )T ( j) k' C ( j) . - Pag. 4.54 - Risposta sismica di sistemi MDOF K, ottenuta per assemblaggio, tiene conto dei contributi dei j = 1, 2,…m elementi di controvento, noti ciascuno in termini di k’(j). Nota K, è immediato valutare: U 1 K Fs, da cui: Q '( j ) k '( j ) q '( j ) ( j) k '( j ) C U j 1,2,..., m . ( j) La conoscenza delle forze di piano Q ' agenti sul j-esimo controvento è detta ripartizione delle forze di piano tra gli elementi di controvento verticali. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.55 - Risposta sismica di sistemi MDOF Analisi lineare dinamica del modello spaziale Per poter condurre un’analisi lineare dinamica del modello spaziale della struttura la conoscenza di K non è sufficiente, essendo necessario esprimere le frequenze naturali ed i modi di vibrare della struttura: K uˆ Z 2 M uˆ . È infatti necessario introdurre la matrice delle masse M della struttura. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.56 - Risposta sismica di sistemi MDOF Con riferimento all’i-esimo impalcato (nell’ipotesi di densità di massa uniforme) siano T U i >u i , v i , T i @ le componenti di spostamento in un riferimento globale con origine in O. La matrice M può essere definita costruendo il legame fra le componenti di accelerazione T T U i >ui , vi , Ti @ e le componenti di forza d’inerzia Q i >Q x ,i , Q y ,i , M T ,i @ . Consideriamo ora il punto P di coordinate (x, y), appartenente all’i-esimo impalcato. Gli spostamenti e le accelerazioni del punto P nelle direzioni X ed Y sono date rispettivamente da: uP ui T i y , uP ui Ti y , vP vi T i x , vP vi Ti x . A livello dell’i-esimo piano vale la relazione: Q x ,i ½ ° ° ®Q y ,i ¾ ° ° ¯ M T ,i ¿ ui ½ ° ° m i ®vi ¾ , ° ° T ¯ i¿ FI cioè M U , dove mi (3x3) è la matrice di massa relativa all’i-esimo impalcato, mentre M (3nx3n) è la matrice di massa della struttura. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.57 - Risposta sismica di sistemi MDOF Le componenti di forza d’inerzia che nascono in corrispondenza del punto P per effetto dell’accelerazione associata alla massa elementare dm possono essere espresse come (d’Alambert): f I ,x PuP dA P ui Ti y dA , f I,y PvP dA P vi Ti x dA . Ciò è vero per ogni punto appartenete all’i-esimo impalcato. Allora si può pensare di esprimere la risultante delle forze d’inerzia agenti nell’impalcato. Tale risultante ha componenti Qx,i, Qy,i, MT,i (con polo O). Q x ,i ui m i Ti S x ,i , vi m i Ti S y ,i , ³ P ui Ti y dA ³ f I , y ³ PvP dA ³ P vi Ti x dA A M T ,i ³ PuP dA A Q y ,i ³ f I ,x f I ,x y f I , y x A A ³ >Py u i A A @ Ti y Px vi Ti x dA ui S x ,i Ti I x ,i vi S y ,i Ti I y ,i A Î M T ,i Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 ui S x ,i vi S y ,i Ti I 0 ,i . - Pag. 4.58 - Risposta sismica di sistemi MDOF In forma matriciale: Q x ,i ½ ° ° ®Q y ,i ¾ ° ° ¯ M T ,i ¿ ª mi « « 0 « S x ,i ¬ Q x ,i ½ ° ° ®Q y ,i ¾ ° ° ¯ M T ,i ¿ ªmi « « 0 «¬ 0 0 mi S y ,i S x ,i º ui ½ »° ° S y ,i » ®vi ¾ I 0 ,i »¼ °¯Ti °¿ 0 º ui ½ »° ° 0 » ®vi ¾ I 0 ,i »¼ °¯Ti °¿ 0 mi 0 se O z G i se O { G i , . Ricordando che F I M U , dalla matrice di massa mi (3x3) relativa all’i-esimo impalcato si esprime la matrice di massa M della struttura, avente dimensione (n colonne 3x3)x(n righe 3x3): M ªm1 «0 « «0 « «0 «0 ¬ 0 m2 0 0 0 0 0 0 º 0 0 0 »» ... 0 0 » » 0 ... 0 » . 0 0 m n »¼ Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.59 - Risposta sismica di sistemi MDOF Osservazioni: 1. La matrice di massa relativa all’i-esimo piano mi (3x3) fornisce il legame tra le componenti delle forze d’inerzia e le accelerazioni di piano. Non essendoci alcuna iterazione tra gli impalcati della struttura, questa deve essere determinata separatamente per gli n piani. 2. Dalla (1), la matrice di massa della struttura M risulta essere “diagonale”. 3. Solo se il sistema di riferimento è tale che O = Gi, la matrice M diventa effettivamente diagonale (Sx,i = Sy,i = 0). Per quel che riguarda l’analisi modale (determinazione delle frequenze naturali e dei modi di vibrare della struttura), il problema assume la forma: M U CU K U M rug , dove: M K U (3nx3n) è la matrice di massa della struttura (nota), (3nx3n) è la matrice di rigidezza della struttura (nota, ottenuta per assemblaggio), (3n) è il vettore degli spostamenti della struttura, Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.60 - Risposta sismica di sistemi MDOF ug r C rappresenta l’input sismico (terremoto di progetto ridotto di q), (3n) è il vettore di trascinamento (spostamenti statici dei piani conseguenti ad uno spostamento unitario della base), (3nx3n) è la matrice di smorzamento della struttura (non nota). Nelle ipotesi di smorzamento classico, C (diagonale) è tale che: T ) C) con [ 1 [ ª 2[ 1Z1 « « 0 « 0 « « 0 « 0 ¬ 0 2[ 2Z 2 0 0 0 º » 0 0 0 » ... 0 0 » », 0 ... 0 » 0 0 2[ nZ n »¼ 0 0 0 cost . Per effetto dell’azione sismica, il sistema strutturale presenterà in generale tre gruppi di modi propri di vibrare: - uno è costituito da vettori con le componenti di spostamento lungo X molto maggiori di quelle lungo Y, - il secondo è costituito da vettori che presentano il comportamento opposto, - il terzo costituito da vettori le cui componenti più significative sono quelle di rotazione. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.61 - Risposta sismica di sistemi MDOF E’ evidente che se, per esempio, il moto del terreno è diretto secondo X, i modi di vibrare più eccitati saranno quelli del primo gruppo, che occuperanno, nella successione dei modi, una posizione non prevedibile a priori. Per questo tipo di moto del terreno il vettore di trascinamento r (3n) sarà: r 1 ½ °0 ° ° ° °0 ° ° ° °1 ° ° ° ®0 ¾ °0 ° ° ° °1 ° °0 ° ° ° °¯0°¿ Sisma in direzione X Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 r 0 ½ °1 ° ° ° °0 ° ° ° °0 ° ° ° ®1 ¾ °0 ° ° ° °0 ° °1 ° ° ° °¯0 °¿ Sisma in direzione Y - Pag. 4.62 - Risposta sismica di sistemi MDOF 4.6 Ripartizione delle forze di piano tra gli elementi di controvento Il problema della ripartizione delle forze di piano fra gli elementi di controvento verticali può essere affrontato in maniera rigorosa solo considerando il comportamento spaziale dell’edificio. Ne potremo prescindere solo in casi particolari (costruzioni a pianta regolare, senza sensibili cambiamenti nella distribuzione delle rigidezze e delle masse da un piano all’altro). La ripartizione delle forze di piano è già stato analizzato nel caso di strutture di controvento piane (pareti di taglio). Estendiamo ora la trattazione ad altre tipologie di controventatura verticale. Elementi di controvento piane (telai) Consideriamo un edificio di n piani con orizzontamenti rigidi e telai orientati nelle direzioni X ed Y. La distribuzione di masse e rigidezze è considerata, per ipotesi, simmetrica rispetto X ed Y. Supponiamo che lì edificio sia soggetto a un moto del terreno in direzione X. Analogamente a quanto fatto nei confronti della parete di taglio, si individuano un angolo Dj ed una distanza dj che definiscano rispettivamente l’inclinazione del j-esimo telaio e la sua distanza rispetto all’origine O del sistema di riferimento adottato a livello dell’i-esimo impalcato. Per il j-esimo telaio orientato in direzione X, vale la relazione: Q ' (x j ) k ' (x j ) q ' (x j ) . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.63 - Risposta sismica di sistemi MDOF Dato che gli orizzontamenti sono stati ipotizzati infinitamente rigidi nel proprio piano si osserva infatti che: q ' (x j ) u x . Di conseguenza, una volta costruita la matrice K per assemblaggio, l’analisi sismica dell’edificio soggetto ad un moto del terreno in direzione X può essere condotta ponendo il problema nella forma: m F s,x Ku x ¦ k' j 1 Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 ( j) x ux . - Pag. 4.64 - Risposta sismica di sistemi MDOF Elementi di controvento a nucleo In presenza di elementi di controvento verticale più complessi rispetto a quelli di tipo piano, per esempio elementi di tipo nucleo caratterizzati da resistenza flessionale nelle due direzioni e resistenza torsionale, la matrice di rigidezza della struttura K viene definita in modo analogo a quanto già visto. In particolare, si osserva che il singolo elemento di controvento presenta una rigidezza flessionale dello stesso ordine di grandezza in due direzioni ortogonali, ed una non trascurabile rigidezza torsionale. Conviene pertanto introdurre per ogni elemento di controvento tre vettori di spostamento nel riferimento locale (spostamenti secondo X’, spostamenti secondo Y’, rotazioni torsionali). Nella relazione: Q'( j ) k '( j ) q'( j ) , Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.65 - Risposta sismica di sistemi MDOF si considerano quindi: Q'( j ) Q ( j ) ½ ° x' ° ° ( j) ° ®Q y ' ¾ ° ( j) ° °¯ M T ' °¿ k '( j ) q'( j ) vettore (3n) delle forze riprese dal j-esimo elemento di controvento a nucleo, a livello degli n piani, matrice di rigidezza del j-esimo elemento di controvento a nucleo, q ( j ) ½ ° x' ° ° ( j) ° ®q y ' ¾ ° ( j) ° °¯q T ' °¿ vettore (3n) degli spostamenti del j-esimo elemento di controvento a nucleo, a livello degli n piani. ( j) La matrice k ' può essere definita assimilando il controvento a nucleo a due mensole flessionali e ad una mensola dotata di rigidezza torsionale. Per quanto riguarda la rigidezza torsionale del nucleo, in particolare, è necessario determinare la ( j) matrice k T ' imprimendo rotazioni torsionali a livello di ciascun impalcato (sezioni della mensola). Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.66 - Risposta sismica di sistemi MDOF ( j) In realtà, si osserva che è più semplice calcolare k T ' (definita in funzione dei momenti torcenti che nascono a livello di ciascun impalcato quando si applica una rotazione torsionale unitaria ad uno di essi) come inversa della matrice di flessibilità: ( j) kT' 1 F , essendo: ( j) M T' ( j) k T ' T '( j ) , T '( j ) Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 F ( j) ( j) M T' . - Pag. 4.67 - Risposta sismica di sistemi MDOF (i ) Per costruire la prima colonna della matrice di flessibilità F : Per le altre colonne si procede in modo analogo. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.68 - Risposta sismica di sistemi MDOF ( j) La matrice di rigidezza k ' (3nx3n) del j-esimo elemento di controvento a nucleo assume quindi la forma: k '( j) ªk ( j ) « x' « 0 « ¬« 0 0 ( j) k y' 0 ª ( j) «k x ' « 0 « « 0 ¬ 0 º » 0 » ( j) » k T ' ¼» 0 ( j) k y' 0 º » 0 » ». ( j ) 1 » F ¼ 0 Elementi di controvento a sezione sottile aperta Rispetto al caso precedente, in tale circostanza la rigidezza torsionale dell’elemento di ( j) controvento verticale è nulla. La matrice di rigidezza k ' del j-esimo controvento a sezione sottile aperta può quindi essere ottenuta assimilando l’elemento controventante a due diaframmi piani (tra loro ortogonali), dotati ciascuno di una sola rigidezza flessionale significativa. ( j) In tal caso, la matrice k ' assume quindi la forma: k '( j ) ªk ( j ) « x' « 0 « 0 ¬ 0 ( j) k y' 0 0º » 0» . 0» ¼ Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.69 - Risposta sismica di sistemi MDOF 4.7 Metodi approssimati per la ripartizione delle forze di piano tra gli elementi di controvento Al fine di esaminare alcuni aspetti del comportamento delle strutture soggette ad azioni sismiche, facciamo riferimento a un edificio ad n piani, con solai infinitamente rigidi, tali che gli spostamenti degli impalcati consistano in moti piani di corpo rigido. Si ipotizza che l’edificio sia controventato con elementi irrigidenti verticali di tipo piano (parete, parte e telaio, telaio). Sia inoltre F s la forza statica equivalente all’azione sismica. Quando la distribuzione delle rigidezze e delle masse è uniforme o varia linearmente sull’altezza dell’edificio, è possibile ripartire le forze a livello dell’i-esimo piano. Indichiamo con F s ,i la componente di F s applicata all’iesimo piano. F s ,i ha una propria direzione e passa per il baricentro delle masse Gi dell’impalcato. Fissando un sistema di riferimento cartesiano con origine O, F s ,i può essere rappresentata come F s ,i >F sx ,i , Fsy ,i , M T ,i @ T . Lo spostamento rigido dell’i-esimo impalcato è invece dato da U i >u i , vi , T i @T . Costruiamo quindi la matrice di rigidezza della struttura K (metodo delle rigidezze). L’inversa di K , premoltiplicata per il vettore delle forze statiche equivalenti F s , fornisce infatti il moto dell’impalcato U . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.70 - Risposta sismica di sistemi MDOF ( j) Indichiamo con U i la rigidezza relativa al piano i-esimo della j-esima struttura piana di controvento. Nell’ipotesi che gli impalcati abbiano rigidezza sufficiente a impedirne le rotazioni di estremità: U i( j ) 1 h h , 1 .2 i 12 EJ GA 3 i ( j) mentre trascurando la deformabilità a taglio del controvento: U i 12 EJ hi3 . In presenza di più elementi di controvento piano a livello dell’i-esimo impalcato risulta inoltre (m elementi controventanti): m U i( j ) ¦U l 1 ( j) il . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.71 - Risposta sismica di sistemi MDOF Rigidezza del singolo controvento: U i( j ) Parete Telaio U i( j ) 12 EJ hi3 12 E J 1 J 2 ... J p hi3 (telaio a p pilastri) Parete e telaio U i( j ) 12 E J parte J telaio hi3 U i( j ) rappresenta quindi la forza che è necessario applicare al j-esimo controvento (a livello dell’i-esimo impalcato), affinché questo subisca uno spostamento unitario. Essendo la posizione nel piano del j-esimo controvento definita da Dj e dj (distanza dall’origine O), lo spostamento Gj in direzione Dj del j-esimo controvento, conseguente ad uno spostamento rigido dell’i-esimo impalcato, risulta: G j u i cos D j v i sin D j T i d j , pertanto la forza ripresa dal j-esimo controvento è: Fj U i( j ) G j U i( j ) u j cos D j v i sin D j T i d j . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.72 - Risposta sismica di sistemi MDOF Se all’i-esimo piano sono presenti m elementi di controvento, la risultante delle F j sarà quindi uguale all’i-esima componente F s ,i di F s : Per l’equilibrio: m ¦ U i( j ) G j cos D j Fx ,i j 1 m F y ,i ¦ U i( j ) G j sin D j j 1 m M T ,i ¦U m ¦F j cos D j , j sin D j , j 1 m ¦F j 1 m ( j) i G j d j j 1 ¦F j j 1 dj , cioè: m Fx ,i ¦ U ( j) i j 1 u i cos 2 D j U i( j ) v i sin D j cos D j U i( j ) T i d j cos D j , m F y ,i ¦ U ( j) i j 1 u i sin D j cos D j U i( j ) v i sin 2 D j U i( j ) T i d j sin D j , m M T ,i ¦ U j 1 ( j) i u i d j cos D j U i( j ) v i d j sin D j U i( j ) T i d 2j . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.73 - Risposta sismica di sistemi MDOF In forma matriciale: Fx ,i ½ ° ° ® F y ,i ¾ ° ° ¯ M T ,i ¿ m ª ( j) 2 « ¦ U i cos D j j 1 « « m ( j) «¦ U i cos D j sin D j « j 1m « U i( j ) d j cos D j « ¦ ¬ j1 m ¦ U i( j ) sin D j cos D j j 1 m ¦U ( j) i sin 2 D j j 1 m ¦U ( j) i d j sin D j j 1 º d j cos D j » j 1 » u i ½ m »° ° ( j) U i d j sin D j » ®v i ¾ ¦ j 1 » °¯T i °¿ , m ( j) 2 » Ui d j ¦ » j 1 ¼ m ¦U ( j) i cioè: F s ,i Ui G i , per i = 1, 2,…,n Î Fs K U . Per quanto detto, una volta calcolati gli spostamenti rigidi U degli impalcati soggetti ad una distribuzione F s di forze statiche equivalenti al sisma, è quindi possibile determinare la forza F j ripresa dal singolo elemento di controvento, a livello dell’i-esimo impalcato, essendo: Fj U i( j ) G j U i( j ) u i cos D j v i sin D j T i d j . Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.74 - Risposta sismica di sistemi MDOF 4.8 Baricentro delle rigidezze Si consideri un sistema spaziale ad un solo piano, caratterizzato da elementi di controvento piani diretti secondo le due direzioni principali: Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.75 - Risposta sismica di sistemi MDOF Direzione X I tre telai diretti secondo l’asse X (mx = 3) sono equivalenti ad un unico telaio, di rigidezza risultante pari a (U 1,x + U 2,x + U3,x), posto ad una distanza dy dall’asse X definita come: mx ¦U U 1, x U 2 , x U 3, x d y U 1, x d 1 U 2 , x d 2 U 3, x d 3 dy Î j,x dj j 1 mx ¦U . j,x j 1 Ciò significa, nell’ipotesi di impalcato rigido infinitamente rigido nel proprio piano, che se si applica una forza F con retta d’azione la retta dy, l’impalcato trasla in direzione X di una quantità dx. La forza F viene infatti ripresa dai tre controventi secondo una quantità proporzionale alle rispettive rigidezze: F U 3, x dx U 3, x ¦U j 1 Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 F F mx mx j,x ¦U U 1, x U 2, x U 3, x j,x j 1 - Pag. 4.76 - Risposta sismica di sistemi MDOF Direzione Y Supponendo che ci siano cinque telai diretti secondo l’asse Y (my = 5), la posizione dx del baricentro delle rigidezze Ci è definita come (Varignon): my ¦U j, y dj j 1 dx my ¦U j, y j 1 F dy U 1, y U 2 , y U 3, y U 4, y U 5, y Ciò significa che una forza F applicata in Ci con retta d’azione la retta dx, l’impalcato trasla in direzione Y di una quantità dy e la forza F viene ripartita tra i cinque controventi secondo F U j, y . quantità proporzionali alla rigidezza degli stessi, del tipo m ¦ U j, y y j 1 Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.77 - Risposta sismica di sistemi MDOF Osservazione: Ci è il baricentro delle rigidezze (o centro di torsione) dell’i-esimo impalcato. Nell’ipotesi che le masse siano distribuite sull’impalcato in modo uniforme, il baricentro delle masse Gi si troverà al centro dell’impalcato stesso. Essendo l’azione sismica una forza orizzontale applicata in Gi, se i due baricentri non coincidono ( Gi z C i ) l’impalcato trasla e ruota torsionalmente. Affinché l’azione sismica venga ripartita tra gli elementi controventanti è infatti necessario che questa sia applicata in Ci. Di conseguenza, il trasporto da Gi a Ci implica che i controventi stessi debbano riprendere anche un momento di trasporto. Il problema, che non sussiste quando Gi { C i , permette di comprendere perché sia preferibile realizzare, per quanto possibile, strutture simmetriche e regolari. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.78 - Risposta sismica di sistemi MDOF Per quanto riguarda la previsione del comportamento strutturale sotto sisma, la condizione ottimale è quella che prevede uniformità e simmetria delle masse e delle rigidezze rispetto ai due assi principali d’inerzia dell’impalcato. In tal caso infatti Gi { C i . In tale circostanza, le azioni riprese dai singoli controventi possono essere valutate in modo immediato, mentre l’impalcato compie una semplice traslazione. I due controventi in direzione X riprendono ciascuno metà dell’azione sismica Ax. I controventi in direzione Y non risultano invece sollecitati. Si osserva che una distribuzione di rigidezze non uniforme ( Gi z C i ) comporta un aggravio dei contributi sollecitanti di tutti i controventi (in entrambe le direzioni, per effetto del momento di trasporto). Tali contributi possono assumere entità piuttosto rilevanti, soprattutto negli elementi irrigidenti perimetrali. Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.79 - Risposta sismica di sistemi MDOF Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.80 - Risposta sismica di sistemi MDOF Esempio Si consideri un impalcato soggetto ad una forza Ay eccentrica rispetto al baricentro delle rigidezze Ci. Il momento di trasporto Mi, derivante dall’azione sismica Ay applicata in Gi e trasposta in Ci, provoca una rotazione torsionale T (incognita) dell’impalcato. Si osserva che mentre Ay è ripresa dai soli controventi aventi la stessa direzione dell’azione sismica, Mi comporta delle forze aggiuntive (Fi) in tutti i controventi, a prescindere dalla loro direzione rispetto l’azione sismica. Di conseguenza, sarà possibile individuare controventi nei quali l’effetto di Mi aggrava lo stato di sollecitazione (si sommano i contributi di Ay ed Mi) e controventi nei quali, per effetto di Mi, le sollecitazioni si riducono (contributi di segno opposto). Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 - Pag. 4.81 - Risposta sismica di sistemi MDOF Le forze indotte in ciascun controvento possono essere determinate una volta nota la rotazione rigida T dell’impalcato. Per l’equilibrio alla rotazione attorno a Ci: Mi U Î 1, x T d 1 d 1 U 2 , x T d 2 d 2 U 1, x T d 3 d 3 U 2 , x T d 4 d 4 , T U 1, x d 2 1 U Î Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10 2, x T d F1 2 2 Mi U 1, x T d 32 U 2 , x T d 42 , U 1, x T d 1 ,… - Pag. 4.82 -