Utilizzazione di software o di strumenti grafico – simbolici
nell’insegnamento dell’analisi
Popolazione a cui è rivolta la lezione:
studenti delle scuole di specializzazione per l’insegnamento
secondario
Prerequisiti richiesti:
conoscenza degli elementi di analisi matematica trattati in un
corso istituzionale di analisi in corsi di laurea che consentono
l’accesso ai ruoli per l’insegnamento della matematica presso le
scuole secondarie superiori
Inquadramento del tema nell’economia del corso:
1.
Gli strumenti come mediatori nei processi di acquisizione di conoscenza (2
ore)
2.
L’insegnamento dell’analisi e la ricerca didattica: problemi legati al concetto
di funzione, ostacoli epistemologici legati al concetto di limite, concept image
e concept definition, cognitive roots, generic organizer e cognitve unit … (6
ore in ambiente di laboratorio di matematica)
3. Uso di software e di strumenti grafico simbolici
nell’insegnamento dell’analisi (1 ora)
4.
Introduzione al concetto di funzione: presentazione e discussione di attività
(3 ore)
5.
Introduzione al concetto di derivata: presentazione e discussione di attività
(3 ore)
6.
Introduzione al concetto di integrale: presentazione e discussione di attività
(3 ore)
7.
La sistemazione dell’analisi matematica: presentazione e analisi critica di
percorsi diversi: Project of Calculus Reform, Progetto Prodi, Percorsi più
tradizionali, Percorsi fondati sull’analisi non standard… (6 ore)
8.
Applicazioni: attività su equazioni differenziali e sistemi dinamici (4 ore)
Uso di software e di strumenti grafico simbolici
nell’insegnamento dell’analisi
Gli studenti hanno il diritto di lasciare la scuola secondaria
superiore avendo un’idea del ruolo che l’analisi
matematica ha avuto e ha nella storia del pensiero, nello
sviluppo della scienza e di alcune sue significative
applicazioni
Gli insegnanti hanno il dovere di pretendere un
coinvolgimento intellettuale da parte degli studenti e di
utilizzare strategie pedagogiche e didattiche opportune per
costruire ambienti di insegnamento – apprendimento che
motivino gli studenti e consentano loro di compiere
esperienze significative
Un ambiente di insegnamento – apprendimento sensato
dovrebbe fare continuo riferimento alle radici cognitive
degli oggetti di studio utilizzando le diverse potenzialità
che le nuove tecnologie mettono a disposizione, favorendo
la transizione al formale come condensazione e non come
Esempi di attività con l’uso di software e di strumenti grafico –
simbolici per l’introduzione del concetto di funzione
I sensori di movimento (calcolatrici grafico – simboliche + sensori)
Acquisizione ed elaborazione di dati on line (calcolatrici grafico –
simboliche + sensori)
Studio di dati organizzati in tabelle (foglio elettronico)
Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni (CAS)
Uso di software di geometria dinamica
Studio degli effetti sui grafici di trasformazioni algebriche sulle
formule e loro interpretazione geometrica (GC)
Quali radici cognitive?
Quale concetto di funzione?
Esempi di attività con l’uso di software e di strumenti grafico –
simbolici per l’introduzione del concetto di derivata
L’uso della funzione Zoom delle calcolatrici grafico – simboliche per lo studio
della “piattezza locale” o della “rettificazione locale” del grafico di certe funzioni
Il calcolo della pendenza della retta scelta per approssimare localmente una
funzione
La linearizzazione di una funzione in un punto e l’idea di retta tangente come
migliore approssimazione lineare di una funzione in un punto
Aspetti numerici legati al calcolo del coefficiente angolare della retta tangente in
un punto di una funzione ivi linearizzabile
Aspetti formali legati alla derivabilità e alla derivata
Quali radici cognitive?
Quale concetto di derivata?
Esempi di attività con l’uso di software e di strumenti grafico –
simbolici per l’introduzione del concetto di continuità
L’idea di appiattimento – stiramento del grafico di una funzione continua
Si può iniziare a presentare l’idea di stirare un grafico
orizzontalmente con un software, mentre si lascia invariata la
scala verticale della finestra (il che corrisponde a fissare e) . Se la
funzione è continua in x0, allora è possibile determinare un
intervallo di ampiezza d centrato in x0 tale che la funzione appaia
piatta (ossia la sua oscillazione sia minore di e nell’intervallo di
ampiezza
d) e > 0 esiste d>0 t.c. per ogni x t.c. |x - x0| < d, si
Per ogni
ha: |f (x) - f (x0) | < e
Aspetto numerico (che cosa vuol dire conoscere f(x) se x è irrazionale?)
Quali radici cognitive?
Esempi di attività con l’uso di software e di strumenti grafico –
simbolici per l’introduzione del concetto di integrale (definito)
L’idea è quella di utilizzare la nozione di area per aiutare la comprensione
dell’integrazione secondo Riemann. Con un software come graphic calculus è
possibile effettuare un calcolo numerico dell’area della superficie sottesa al
grafico di una funzione coprendola con rettangoli.
E’ anche possibile utilizzare l’idea della continuità vista in precedenza e
quella di area per dare significato al teorema fondamentale del calcolo che
afferma che la variazione istantanea della funzione integrale è la funzione
integranda.
Per esempio, la seguente figura mostra l’area sottesa al grafico di sin x da 1 a
1.001. Il grafico del seno è stirato orizzontalmente fino ad apparire costante.
La figura richiama immediatamente che il valore dell’integrale è circa
f(x)*0.001
Quali radici cognitive?
Alcune riflessioni sull’uso delle tecnologie
nell’insegnamento – apprendimento
Gli studenti apprendono attraverso quello che fanno; il
software non è inerte, ma dà risposte talvolta inattese e che,
quindi, invitano alla riflessione su ciò che si sta facendo; il
software mette a disposizione risorse che modellano un
sapere teorico che è il vero oggetto di insegnamento –
apprendimento
Il problema della genesi strumentale
Il ruolo dell’insegnante
Un approccio embodied si fonda sulla percezione (non solo
visiva, ma anche quella pseudotattile del mouse). Questa
propsettiva è dirompente in matematica, perché suggerisce
che si possa accettare che la derivata di cos x è – sin x non a
causa di manipolazioni algebriche, ma perché la forma della
derivata di cos x sembra la stessa di quella del grafico di sin
Se è possibile scrivere
f ( x0  h) - f ( x0 )   ( x0 )h  he (h)
dove  ( x0 )dipende solo da f e da x0 e e (h) è un infinitesimo con
h, allora si ha un interessante strumento per il calcolo approssimato
di f(x0 + h) potendolo ridurre al calcolo di f(x0) e a quello di  ( x0 )
Radici cognitive:
l’area è un numero positivo o nullo
l’area di un rettangolo è il prodotto della base e dell’altezza
l’area di due figure congruenti è la stessa
se una regione piana viene divisa in due parti di area a1 e a2, l’area
complessiva è la somma delle aree a1 e a2.
Proprietà necessarie se si vuole che l’area sia un’estensione del concetto
elementare di area di un poligono:
l’area è una funzione monotona
è possibile calcolare l’area di una regione che si scompone in rettangoli.
L’estensione richiede che se io costruisco due classi di plurirettangoli che
costituiscono classi separate e contigue, il limite delle successioni delle
aree dei plurirettangoli può essere assunto come area della figura elemento
di separazione fra le due classi di plurirettangoli
La nozione di continuità come possibilità di stirare un grafico fino
ad appiattirlo, aiuta nella comprensione della dimostrazione
formale del teorema fondamentale del calcolo.
Sia A(x) l’area sottesa al grafico di una funzione continua
sull’intervallo [a,b] da a a un punto variabile x. Dal punto di vista
“embodied” l’area esiste, perché può essere calcolata con
l’approssimazione voluta; inoltre la continuità assicura che il
grafico della funzione può essere stirato quanto si vuole, ossia che
dato un e > 0 e una striscia di ampiezza f (x)  e, allora si può
determinare un valor d > 0 tale che il grafico, sull’intervallo
[x - d, x d] giace completamente nella striscia.
Quindi, per –d < h < d, l’area A(x+h)–A(x) giace tra (f(x)–
e)h e
(f(x)+ e)h, così, per h non nullo,
e e f(x)+ e.
giace tra f(x)–
f ( x0  h) - f ( x0 )   ( x0 )h  he (h)
f continua in I contenente a
x
H ( x) 
 f (t )dt
a
H '( x)  f ( x)
per ogni x di I