Modulazione QAM: idea base
I bit di x(t )sono rappresentati
Alternativamente da xi (te) da
xq (t )
Si riesce a trasmettere la stessa
informazione con un tempo di
bit effettivo doppio
Modulazione QAM: schema di principio


Il flusso di dati proveniente dalla sorgente viene diviso in due
rami ciascuno avente una bit rate
r  rb 2
L’informazione viene poi modulata nelle componenti in fase e in
quadratura e quindi trasmessa sul canale.
Modulazione QAM

Formalizziamo i concetti visti nei lucidi precedenti:

xc (t )  Ac xi (t ) cos(c t   )  xq (t ) sen (c t   )

Pertanto:
xi (t )   a2 k p(t  kT )
k
xq (t )   a2 k 1 p(t  kT )
k
Informazione
nella QAM
1
T   2Tb
r

Modulazione QAM: costellazione dei segnali



Si può rappresentare quanto fatto nella costellazione dei
segnali. Si ottiene:
A ciascun segnale (a ciascuna fase) è associata una coppia di bit
(un dibit).
I segnali sono codificati con un codice di Gray (due dibit vicini
si differenziano per un solo bit).
Modulazione QAM: calcolo dello spettro

IPOTESI
a kequiprobabili e scorrelati;



Forme d’onda rettangolari polari NRZ di ampiezza 1.
xi (t ) e xq (t hanno
)
uno spettro identico che si può determinare dallo spettro
della PAM. Si può facilmente verificare che:
1
1
mxi  mxq  1   (1)
2
2

 x2   x2  1
i
Pertanto lo spettro equivalente passa basso sarà dato da :
q
2
2 f 
Glp ( f )  Gi ( f )  Gq ( f )  2  r P( f )  sinc  
r
r
2
Modulazione QAM: calcolo dello spettro

Quindi lo spettro passa banda della QAM è dato da:


Ac2
Ac2 
2 ( f  fc )
2 ( f  fc ) 
Gc ( f ) 
Glp ( f  f c )  Glp ( f  f c ) 
sinc

sinc

4
2r 
r
r

Modulazione QAM: occupazione di banda

Come nel caso della ASK la banda è infinita. Tuttavia, siccome
anche in questo caso si ha un rolloff del secondo ordine, la
banda può essere approssimata a:
BT  r

L’occupazione di banda di una QAM è uguale a quella della ASK.
Modulazione QAM: efficienza spettrale

Calcoliamo ora l’efficienza spettrale:
rb
BT  r 
2



rb
rb
 2
BT rb
2
bps / Hz 
L’efficienza spettrale raddoppia in quanto in pratica si hanno 2
sorgenti (una associata alla componente in fase, l’altra alla
componente in quadratura) che trasmettono nella stessa banda
di una ASK.
OSSERVAZIONE: nello spettro non ci sono impulsi  miglior
uso della potenza di trasmissione rispetto alla ASK.
Modulazione digitale di fase (PSK)


L’informazione del segnale digitale è contenuta nella fase della
portante.
Caso particolare: M = 2, variazione di fase =  radianti 
Phase Reversal Keying (PRK).
Modulazione PSK

Consideriamo il caso di una PSK M-aria:
xc (t )  Ac  cos(ct     k ) p(t  kT )
k

Dove:
{0, 1}
k  
( 2 ak  N )
M
ak  0,1,...., M  1
Numero di livelli
Della PSK M-aria
Modulazione PSK: costellazione dei segnali

Esempi di costellazioni dei segnali (M=2)
PRK  Phase Reversal
Keying (è un caso
particolare della PSK binaria
in cui la fase può avere
shift di  radianti)
Modulazione PSK: costellazione dei segnali

Esempi di costellazioni di segnali (M=4)
Modulazione PSK: calcolo dello spettro

Valutiamo lo spettro di densità di potenza della PSK (per
semplicità si consideri  = 0):
xc (t )  Ac  (cos  k cos ct  sen k senct ) p(t  kT )
k

In questo caso si ha:
xi (t )   cos  k p (t  kT )   I k p (t  kT )
k
k
xq (t )   sen k p (t  kT )   Qk p (t  kT )
k

k
Vediamo come è fatto lo spettro di entrambe le componenti.
Modulazione PSK: calcolo dello spettro

Scegliendo le fasi in accordo a quanto riportato a pag 10, si ha:
I k  Ecos  k   0

1
  E cos  k 
2
Pertanto:
2
Ik


Qk  Esen k   0
2
Gi ( f )  Gq ( f ) 

2
Qk

r
1
2
 f 
P( f ) 
sinc 2  
2
2r
r 
Glp ( f )  Gi ( f )  Gq ( f ) 

1
 E sen  k 
2
2
1
 f 
sinc 2  
r
r 
Modulazione PSK: calcolo dello spettro

Anche in questo caso la componente in fase e quella in
quadratura sono scorrelate ( Ecos  k  sen j   0 ) per cui si può
scrivere:
Ac2
Ac2 
Glp ( f  f c )  Glp ( f  f c ) sinc 2  ( f  f c )   sinc 2  ( f  f c ) 
Gc ( f ) 
4
4r 
 r

 r


Lo spettro che si ottiene è analogo a quello di una QAM:
Modulazione PSK: occupazione di banda

La banda risultante è infinita. Tuttavia, essendo il rolloff del
secondo ordine, la banda può essere approssimata a:
BT  r

È importante osservare che, come nella ASK, il valore di M non
influisce sull’andamento spettrale.
Modulazione PSK: efficienza spettrale

Calcoliamo ora l’efficienza spettrale:
BT  r

rb
 log 2 M
BT
rb  r log 2 M


Nella PSK la banda di trasmissione e l’efficienza spettrale sono
uguali al caso della ASK.
La PSK ha miglior efficienza nell’uso della potenza di
trasmissione alla ASK (nello spettro non è presente l’impulso
alla frequenza di portante).
Modulazione PSK: costellazione dei segnali

Esempio di calcolo della costellazione: caso M=4, N=0.
k  
( 2ak  N )
a
 k
M
2
ak  0,1,2,3
 cos  k  1
ak  0   k  0  
sen k  0
cos  k  0

ak  1   k   
2
 sen k  1
i  cos  k
cos  k  1
ak  2   k    
 sen k  0
q  sen k
 cos  k  0
3
ak  3   k    
2
sen k  1
Modulazione PSK: costellazione dei segnali
( 2ak  N )
a
 k
M
2
ak  0,1,2,3
k  
Modulazione digitale di frequenza

L’informazione del segnale digitale è contenuta nella frequenza
della portante.
Modulazione digitale di frequenza

Esistono due tipologie di modulazione digitale di frequenza:


Frequency Shift Keying (FSK): il segnale modulato risulta essere
discontinuo ad ogni istante di commutazione. Con opportuni accorgimenti,
è possibile rendere il segnale continuo nel tempo, ma non nella fase.
Continuos Phase Frequency Shift Keying (CPFSK): il segnale modulato
risulta a fase continua anche negli istanti di commutazione.
Modulazione FSK


Una FSK M-aria può essere rappresentata da uno schema di
principio di questo tipo:
Problema: se le ampiezze, le fasi e le frequenze degli oscillatori
non sono scelte accuratamente, ad ogni istante di commutazione
xc (t )
t=kT il segnale modulato
può risultare discontinuo.
Modulazione FSK: condizione di continuità

Supponiamo che tutti gli oscillatori abbiano la stessa ampiezza
Ac e fase  e che le loro frequenze siano date da:
M pari
f k  f c  f  ak
ak  1,3,......,( M  1)
xc (t )  Ac  cos(ct     ak t ) p(t  kT )
k

La continuità di

Con N numero intero.
  2f 
negli istanti di commutazione è garantita se:
xc (t )
2T  2N
Modulazione FSK: condizione di continuità

Infatti la condizione per avere continuità nel tempo è:
cosc (t  T )   ak (t  T )  cosc (t  T )   ak 1 (t  T )
ciò è vero se:
 akT   ak 1T  2N  (ak  ak 1 )T  2N
ak  1,3,.....,( M  1)
se c’è commutazione, al minimo
vale 2
2T  2N
se varia velocemente varia
comunque di un multiplo
Modulazione FSK


In generale il calcolo analitico dello spettro di una modulazione
FSK è molto complicato.
Nel seguito della trattazione verranno analizzati due casi
particolari:

FSK di Sunde;

FSK M-aria ortogonale.
FSK di Sunde

La FSK di Sunde è una modulazione binaria caratterizzata da:
M 2

1
ak  1 T  Tb 
rb
rb
f 
2
Vediamo se con tali parametri viene soddisfatta la condizione di
continuità:
verificata
rb
2T  2N  2  2   Tb  2N  2  2N 
per N  1
2
FSK di Sunde: calcolo dello spettro

Vediamo come si può fare per ricavare lo spettro della FSK di
Sunde. Supponiamo =0 e Ac=1:
xc (t )   cos(ct   ak t ) p(t  kTb ) 
k
  cos  ak t cos ct  sen ak tsenct p(t  kTb )
k
1
xi (t )   cos  ak tp(t  kTb )  cos  t  Non dipende dal simbolo trasmesso
k
xq (t )   sen ak tp(t  kTb )   ak sen tp(t  kTb )
k
k
FSK di Sunde: calcolo dello spettro

Allora abbiamo che:
xq (t )   ak sen t p(t  kTb )
La presenza di questo
Termine complica le
cose
k

Se avessimo avuto:
xq (t )   ak sen (t  kTb )p(t  kTb )
k
xq (t )
la componente
sarebbe sta un segnale PAM con
forma d’onda data da:
z (t ) 
ˆ sent  p(t )  senrbt  p(t )
FSK di Sunde: calcolo dello spettro

Vediamo allora come riportarci a tale situazione. Osserviamo
che:
sen (t  kTb )  sen t cos  kTb  cos  tsen kTb 
rb
rb
rb
rb
 sen 2 t cos 2 kTb  cos 2 t sen 2 kTb 
2
2
2 
 2

0
 senrbt cos k  (1) k senrbt  (1) k sen t
sent 
sen (t  kTb )
k

(

1
)
sen (t  kTb )
k
(1)
FSK di Sunde: calcolo dello spettro

Pertanto possiamo scrivere:
può essere vista come
l'espressione di una PAM con
forma d'onda z(t)

xq (t )   (1) k ak z (t  kTb )
k

Ricapitolando:
xi (t )  cos  t  cos rb t
xq (t )   (1) k ak z (t  kTb )
k
FSK di Sunde: calcolo dello spettro



Per ricavare lo spettro di xc (t ) ricaviamo prima lo spettro
equivalente passa basso
eGlppoi
( f ) effettuiamo la sua traslazione
in frequenza.
xi (t ) e xq (t ) sono indipendenti 
Glp ( fè) dato dalla somma dei
contributi determinati da tali componenti.
Per quanto riguarda
xi (tabbiamo:
)
X i ( f )  cos rb t  
rb 
rb
1 


f



f




2  
2
2

Gi ( f )  X i ( f )  X i* ( f ) 



rb 
rb 
1 


f



f





4  
2
2 

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

Per quanto riguarda
scrivere:
spettro della PAM possiamo
xq ,(tdallo
)
Gq ( f )  rb Z ( f )  (rb mxq )
2
2
xq


mxq  E (1) ak  0

k

2
 Z (nr )
b
n  

2
 ( f  nrb )

  E (1) ak   mx  Eak2   1
2
xq
Pertanto:
Gq ( f )  rb Z ( f )
2
k
2
q
FSK di Sunde: calcolo dello spettro

Resta solo da calcolare
Z (: f )
2
2
Z ( f )  senrb t  p (t )
2

rb

f


1 
2
 2 sinc 
4rb 
 rb



2
 j 
 f 
rb  
rb    1
    f      f    *  sinc   
2 
2    rb
 rb 
 2 
r



f b
2
  sinc 

 rb










2
Le due sinc si compenetrano
FSK di Sunde: calcolo dello spettro


Nel caso di FSK di Sunde lo spettro di
seguente andamento:
Lo spettro equivalente passa basso
xqha
(t )quindi il
Glpè( dato
f)
da:
rb  
rb 
1 
2
Glp ( f )  Gi ( f )  Gq ( f )    f      f    rb Z ( f )
4 
2 
2 
FSK di Sunde: calcolo dello spettro

Lo spettro di
xc (tè) quindi dato da (Ac=1):
Gc ( f ) 

1
Glp ( f  f c )  Glp ( f  f c )
4

FSK di Sunde: calcolo dello spettro



Anche in questo caso, a rigore, la banda sarebbe infinita. Si può
però fare riferimento al lobo principale dello spettro.
La larghezza del lobo principale è maggiore di quella di un sinc2.
Tuttavia, il rolloff è del quarto ordine (si ha uno smorzamento
in frequenza più veloce rispetto al caso di ASK e PSK)  la
banda è determinata considerando una porzione minore del lobo
principale:
BT  rb  2 f 
La presenza di 2 impulsi nello spettro evidenzia un “cattivo” uso
della potenza di trasmissione (la componente in fase non porta
informazione e fa sprecare potenza).
FSK di Sunde: efficienza spettrale

L’efficienza spettrale di una FSK di Sunde vale quindi:
BT  rb


r
1
BT
bps / Hz 
Nella FSK di Sunde la banda di trasmissione e l’efficienza
spettrale sono uguali al caso di una ASK binaria e di una PSK
binaria.
FSK M-aria ortogonale


Consideriamo adesso un altro caso particolare di FSK: FSK Maria ortogonale.
Nella FSK M-aria ortogonale le M frequenze che rappresentano
gli M livelli della PAM sono equispaziate ad una distanza pari a:
2 f 

1
r

2T 2
Tralasciamo l’analisi spettrale della FSK M-aria ortogonale
perché è molto complessa. E’ possibile dimostrare che
l’occupazione di banda di tale modulazione è data da:
r
BT  M  2 f   M
2
FSK M-aria ortogonale: efficienza spettrale

L’efficienza spettrale è quindi data da:
rb r log 2 M 2 log 2 M


r
BT
M
M
2

vale 1 per M  2 e per M  4

è inferiore a 1 per M  4
L’efficienza spettrale di una FSK M-aria è peggiore di quella di
una ASK o di una PSK M-aria.
Modulazione CPFSK



La CPFSK, al contrario della FSK, mantiene la continuità della
fase negli istanti di commutazione.
Una modulazione CPFSK può essere rappresentata con uno
schema di questo tipo:
Per realizzare la CPFSK si invia il segnale digitale ad un
modulatore FM.
Modulazione CPFSK

Supponiamo il segnale digitale in banda base

x(t )   ak p (t  kT )
k 0

xnullo
(t ) per t<0:
ak  1,3,....,( M  1)
L’espressione del segnale modulato CPFSK è la seguente:
t


xc (t )  Ac cos c t      x( )d   p(t  kT )
0


t0
Modulazione CPFSK

Consideriamo nel dettaglio quanto vale l’integrale nell’argomento
del cos:
t

t
 x( )d   a  p(  kT )d
0

k 0
k
0
Integrando per parti si ottiene:


0t T
 a0 t
t


x
(

)
d


a0T  a1 (t  T ) T  t  2T
0

 k 1 
  a j T  ak (t  kT )
kT  t  (k  1)T


 j 0 
Modulazione CPFSK

Il segnale modulato può quindi essere scritto come:

xc (t )  Ac  cosc t    k   ak (t  kT ) p(t  kT )
k 0

Dove:
k 1
k ˆ T  a j
j 0
Modulazione CPFSK

Una modulazione CPFSK è caratterizzata da:

Una frequenza istantanea
FSK:
delf tutto analoga a quella di una modulazione
k
f k  f c  f  ak

Una fase
kT  t  (k  1)T
che
dipende dai simboli precedentemente trasmessi:
k
k 1
k  T  a j

k garantisce la continuità
istanti di commutazione.
j 0
della fase del segnale modulato anche negli
Modulazione CPFSK: spettro


L’informazione sui simboli precedentemente trasmessi
k della CPFSK complica molto il calcolo
contenuta nella fase
analitico dello spettro di densità di potenza.
Per semplicità, ci limitiamo ad analizzare l’andamento dello
spettro (senza dimostrazione) in un caso particolare che è
quello della modulazione binaria Minimum Shift Keying (MSK).
Modulazione MSK

La MSK è una modulazione CPFSK binaria caratterizzata da:
M 2

ak  1
rb
f 
4
k 

k 1
a

2
j 0
j
In questo caso, la deviazione di frequenza
è pari a metà di
quella della FSK di Sunde. Questo permette f di ottenere uno
spettro molto compatto.
Modulazione MSK: spettro

Si può dimostrare che lo spettro della MSK è dato da:

rb

f
1
4
Glp ( f )  sinc 
rb 
 rb


 2
rb



f
4
  sinc 

 rb



 2






2
Modulazione MSK: efficienza spettrale


La banda può essere approssimata a:
r
BT  b
2
L’efficienza spettrale è quindi data da:
rb
rb

2
BT rb
2

bps / Hz 
Rispetto alla FSK di Sunde, la MSK non presenta impulsi nello
spettro  migliore uso della potenza di trasmissione. Inoltre si
ha un’efficienza spettrale doppia.
Modulazione MSK


La MSK rappresenta un modello di riferimento (è il meglio che
si può fare nel caso binario).

k 1
j
Poiché k 2 
non
c’è mappatura diretta tra simbolo
j 0
trasmesso e fase  la complessità hardware della MSK è
elevata
 
a
Modulazioni miste: Amplitude Phase Keying
(APK)


Le modulazioni “combinate” di ampiezza e fase sono tecniche
molto efficienti per la trasmissione di segnali numerici.
Nelle modulazioni APK, l’informazione del segnale digitale è
contenuta sia nella fase sia nell’ampiezza della portante.
Modulazione APK: costellazione dei segnali

Vediamo due esempi di possibili costellazioni dei segnali per una
modulazione APK M-aria con M=16
Modulazione APK: costellazione


A parità di energia media di trasmissione, con la APK si possono
distanziare maggiormente i segnali nella costellazione rispetto a
quanto è possibile fare con le altre tecniche viste.
Ciò comporta una diminuzione della probabilità di errore
rispetto alle altre tecniche.
Pbe

Complessità hardware molto elevata.
Modulazione APK: efficienza spettrale

Lo spettro può essere calcolato in modo analogo a quello usato
per calcolare lo spettro di una PSK M-aria, pertanto:
BT  r

Quindi l’efficienza spettrale risulta:
BT  r

rb  r log 2 M
rb
 log 2 M
BT