Pitagora
Rapporti armonici
numerici
ottava
( do – do)
quinta
(do – sol)
quarta
(do – fa)
Rapporti
2:1
3:2
4:3
Credo pitagorico
Tutto è razionale
Greco
logo =
latino
ratio =
italiano
rapporto
Linguaggio = pensiero = matematica
Musica
Problema : comma pitagorico :
5 ottave ≠ 12 quinte
Soluzione : temperamento
Tono = radice 12a di 2
ma che non è un numero razionale
Vedi
www.orianapagliarone.it/proporzioni
/musica
Unità didattica realizzata perchè gli alunni possano completare i loro
programmi in Turbo Pascal con commenti musicali scritti da loro, nota
per nota.
Ho organizzato il lavoro in 5 schede con i seguenti obiettivi:
mettere i ragazzi in grado di calcolare:
•la frequenza di un semitono
•la frequenza della nota più bassa del pianoforte
•la frequenza di una nota qualsiasi
•la frequenza di una nota qualsiasi nella forma opportuna per
l'inserimento nella procedura in Turbo Pascal
•la frequenza di tutte le note necessarie per implementare una semplice
melodia
Una volta calcolate le frequenze delle note , aiutandosi con spartiti
semplificati ,gli alunni sono arrivati ad implementare le procedure che
permettono al calcolatore di suonare alcuni semplici brani musicali
Vediamo le schede nel dettaglio:
Scheda di lavoro n.1
In una scala musicale temperata 2 ottave successive stanno tra
loro come 1 sta a 2
Ossia se x è la frequenza del do di un'ottava ,
2x è la frequenza del do dell'ottava successiva
Inoltre le frequenze delle note formano una progressione
geometrica di ragione q=semitono
Ricordando che in un'ottava ci sono 12 semitoni (tra tasti bianchi
e neri) calcoliamo la frequenza di un semitono :
a1 = x
a13 = 2 x
a13 = a1 q12
2 x = x q12
q = (2)1/12
Scheda di lavoro n.2
Sapendo che 440 è la frequenza del la dell'ottava
centrale (dopo 48 note da quella avente
frequenza più bassa ,calcoliamo la frequenza
della nota più bassa :
440= Nota_ più_ bassa ∙(2)48/12
Nota_più_ bassa = 440/24 = 27.5
Scheda di lavoro n.3
Ora sapendo il valore del semitono e della
frequenza della nota più bassa , possiamo
calcolare la frequenza di una qualunque
nota ( dopo x note da quella più bassa ):
frequenza = Nota_più_bassa ∙ 2x/12
Scheda di lavoro n.4
Per implementare una procedura che calcoli
le frequenze delle note è opportuno
trasformare la formula precedente in:
frequenza = Nota_più_bassa ∙ ex(log2)/12
Ora è possibile scrivere la procedura per calcolare le frequenze delle note
dell'ottava centrale :
Procedure lenote;
function nota(x:integer):integer;
begin
rapp:=ln(2)/12;
nota : = round(notapiùbassa* exp(rapp*x));
end;
begin
notado:=nota(52);
re:=nota(54);
mi:=nota(56);
fa:=nota(57);
sol:=nota(59);
la:=nota(61);
si:=nota(63);
end;
Ora adoperando uno spartito semplificato
dell'Inno alla gioia di Beethoven,
adoperando l'istruzione sound per il suono di
una nota , nosound per sottolineare la fine di
una battuta
e delay per la durata delle note , passiamo alla
procedura che permetterà agli alunni di
suonare con il calcolatore l'Inno alla gioia:
program gioco7s;
{$i graph.p}
const notapiubassa=27.5;
semitono=1.05946;
var n,domande,esatte:integer;
risposta:char;
rispo:char;
var notado,re,mi,fa,sol,la,si,do2,re2,si2,re3,fa2,sib,la2,sol2,re1,mi1,fa1,si1:integer;
rapp:real;
procedure lenote;
function nota(x:integer):integer;
begin
rapp:=ln(2)/12;
nota:=round(notapiubassa*exp(rapp*x));
end;
begin
notado:=nota(52);
re:=nota(54);
re3:=nota(55);
mi:=nota(56);
fa:=nota(57);
fa2:=nota(58);
sol:=nota(59);
la:=nota(61);
si:=nota(63);
do2:=nota(64);
re2:=nota(66);
si2:=nota(51);
sib:=nota(50);
la2:=nota(49);
sol2:=nota(47);
re1:=nota(42);
mi1:=nota(44);
fa1:=nota(46);
si1:=nota(39);
end;
procedure ritornello;
begin
sound(si);
delay(6400);
nosound;
sound(si);
delay(6400);
nosound;
sound(notado);
delay(6400);
nosound;
sound(re);
delay(6400);
nosound;
sound(re);
delay(6400);
nosound;
sound(notado);
delay(6400);
nosound;
sound(si);
delay(6400);
nosound;
sound(la);
delay(6400);
nosound;
sound(sol);
delay(6400);
nosound;
sound(sol);
delay(6400);
nosound;
sound(la);
delay(6400);
nosound;
sound(si);
delay(6400);
nosound;
sound(si);
delay(9600);
nosound;
sound(la);
delay(3200);
nosound;
sound(la);
delay(12800);
nosound;
end;
Matematica
Il teorema di Pitagora
egiziani
babilonesi
greci
indiani
cinesi
La prima dimostrazione del teorema di Pitagora è riportata da Platone nel Menone
In questo dialogo Platone racconta come sia possibile duplicare l’area di un quadrato,
che risulta un caso particolare del teorema di Pitagora
Prima dei greci nessuno aveva costruito dimostrazioni rigorose. Molti problemi venivano
risolti dicendo semplicemente quale era la soluzione, ma senza dimostrarlo
La prima dimostrazione del teorema di Pitagora nella sua formulazione generale
si trova negli Elementi di Euclide
Tante altre dimostrazioni del teorema di Pitagora
Questa è la dimostrazione del teorema di Pitagora che si trova nei libri di testo
di geometria
Duplicazioni
La dimostrazione della duplicazione del quadrato è semplice e intuitiva
Non altrettanto si può dire per la duplicazione del volume di un cubo ossia il
cosiddetto….
Problema di Delo
Delo è un'isola dell'arcipelago greco, patria di Apollo.
Durante una pestilenza ad Atene , gli abitanti mandarono un
emissario a chiedere all'oracolo di Apollo a Delo cosa fare.
L'oracolo rispose che la pestilenza sarebbe cessata non appena
gli Ateniesi avessero raddoppiato la grandezza dell'altare di
Apollo ( di forma cubica)
La pestilenza non cessò perché gli Ateniesi non seppero
costruire ,con riga e compassa , unici strumenti che
possedevano, un cubo di lato la radice cubica di 2 , per
raddoppiare un cubo di lato 1
Numeri irrazionali
Pitagora per la duplicazione del quadrato, o se si vuole per il calcolo della diagonale
di un quadrato aveva incontrato per la prima volta i numeri irrazionali
La dimostrazione dell’irrazionalità della diagonale del quadrato si trova negli
Analitici Primi di Aristotele in cui si dimostra rigorosamente che la diagonale del
quadrato non è un numero razionale
Tale affermazione mandò in crisi i Pitagorici del tempo che giurarono di non rivelare
tale scoperta a nessuno,perché il credo pitagorico era “tutto è razionale”
ma un certo Ippaso di Metaponto tradì il segreto, i pitagorici lo
maledirono e Giove fece affondare la nave su cui viaggiava Ippaso che morì.
Ormai però il segreto era stato svelato e tutto il mondo venne a conoscenza dei
numeri irrazionali, ossia che non ammettono una rappresentazione sotto forma di
rapporto.
Tali numeri vennero detti surdi assurdo ossia ciò che non ammette una
rappresentazione sotto forma di rapporto .la loro presenza scardino il mondo dei
Pitagorici aprendo però nuove frontiere del sapere.