Sonia Taras
Sonia Spanu
Andrea Pittorra










Cosa sono le equazioni
Classificazione delle equazioni.
Struttura delle equazioni di I grado.
La soluzione.
Classificazione in base al numero delle soluzioni.
Equazione ridotta a forma normale.
Primo principio di equivalenza.
Secondo principio di equivalenza
Risoluzione di una ‘equazione di primo grado
Verifica soluzioni di un’equazione.
2x+5x-2=-4x+3-7x
Trasportiamo al primo membro tutti i termini
che contengono l’incognita cambiandoli di segno
2x+5x +7x + 4x -2=-+3
Trasportiamo al secondo membro tutti i termini
noti cambiandoli di segno
2x+5x +7x + 4x =+3 +2
A cura di:
Frau Francesco
Pala Francesca
Patta Simona Francesca
Che cosa sono?
Formula risolutiva
I 3 tipi di equazioni
Trinomio di secondo grado
Regola di Cartesio
L’ equazione di secondo grado è un trinomio eguagliato a zero.
Ax2+bx+c=0
Esempio:
4x2+4x+1=25
Si può notare che il primo membro dell’equazione è il quadrato di un binomio
Quindi si può scrivere anche:
(2x+1)2=
25
2x+1= +/-5
2x=+5-1
2x= -5-1
X=2
X= -3
Formula risolutiva
La formula risolutiva è il metodo che utilizziamo in
una equazione di 2° grado per trovare x1 e x2. Una
volta trovati i valori suddetti, l’equazione è stata
completata.
X1,2: -b+/-√b2 -4(a)(c)
2(a)
Pura
Spuria
I 3 tipi di
equazione
Completa
Si dice equazione quadratica spuria un'equazione quadratica
che manca del termine noto, ossia avente la forma:
ax2+bx=0
Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente
tramite scomposizione:
X= (ax+b)=0
Per la legge di annullamento del prodotto quest’equazione
è equivalente alle due:
X= 0
ax+b=0
E in definitiva le sue soluzioni sono:
X=- b
a
Si dice equazione quadratica pura un'equazione
polinomiale di secondo grado che manca del termine
di primo grado, cioè che è della forma:
ax2+c = 0
Portando c al secondo membro e dividendo
per a si ottiene:
x2=-c/a
l'equazione non ammette soluzioni reali (ma
due soluzioni immaginarie); viceversa, se:
-c/a > 0
l'equazione è risolta da:
X = +-√-c/a
Consideriamo il polinomio completo di secondo grado:
ax2+bx+c
e supponiamo anche che il discriminante dell'equazione che si
ottiene uguagliando a zero il polinomio sia positivo. Motiplicando e
dividendo per a si ottiene:
a (x2 + b x + c )
a
a
Dunque:
Abbiamo già trovato prima che
X1 + x2 = - b
a
e
X1*x2=c
a
A [x2 +- (x1+x2) x + x1x2] = a [ x2 – x1x – x2x +
x1x2]
= a [ x (x – x1) – x2 (x –
x1)]
=
a (x – x1) (x – x2)
Regola di Cartesio
Si considerino i coefficienti a, b, c di un'equazione di secondo grado
avente radici reali, si dice che si ha una permanenza se due coefficienti
consecutivi sono concordi, si ha una variazione se sono discordi.
La regola di Cartesio permette di ricavare i segni delle soluzioni di
un'equazione di secondo grado essa afferma:
In un'equazione di secondo grado avente radici reali il numero di di
soluzioni negative è uguale al numero di permanenze, mentre il numero
di soluzioni positive è uguale al numero di variazioni.
Esempio: x2-5x+6=0, siccome a=1 b=-5 c=6 ci sono due
variazioni si hanno due soluzioni positive infatti esse sono
x1=2 e x2=3.
Attenzione a regola di Cartesio si applica solo se il
discriminante non è negativo, infatti in tal caso le
radici sono immaginarie.
A cura di:
Canu Andrea
Costaggiu Claudio
Dessì Chiara
I punti che toccheremo
Definizione di equazione di 3° e
4° grado
Come risolvere un equazione di
3° e 4° grado
Esempio di equazione di 3° e 4°
grado
Esistono due tipi di equazione di
3° grado:
Equazioni reciproche di 3° grado
di prima specie.
 Equazioni reciproche di 3° grado
di seconda specie.

Definizione di un equazione
di 3° grado di prima specie
•Un equazione di terzo grado
reciproca di prima specie è un
polinomio di terzo grado ordinato e
completo, in cui i coefficienti dei
termini estremi e di quelli
equidistanti dagli estremi sono
uguali, uguagliato a zero.
ax3+bx2+bx+a=0
Risoluzione di un equazione di 3°
grado di prima specie.








ax3+bx2+bx+a=0
a(x3+1)+bx(x+1)=0
a(x+1)(x2-x+1)+bx(x+1)=0
(x+1)[a(x2-x+1)+bx]=0
(x+1)[ax2-ax+a+bx]=0
Legge di
2
(x+1)[ax +(b-a)x+a]=0
annullamento del
{x+1=0
prodotto
{ax2+(b-a)x+a=0

x1=-1
x2=-(b-a)+

x3=-(b-a)- 2a(b-a)2-4 a2

2a
(b-a)2-4a2
Risolvendo le
rispettive
operazioni
otterremo i risultati
delle X.
Esempio numerico di equazione
di 3° grado di prima specie










6x3+5x2+5x+6=0
6(x3+1)5x(x+1)=0
6x2-x+6=0
6(x+1)(x2-x+1)+5x(x+1)=0
(x+1)[6(x2-x+1)+5x]=0a= 6
(x+1)[6x2-6x+6+5x]=0
b= 1
(x+1)[6x2-x+6]=0
c= 6
X+1=0
6x2-x+6=0
x1=-1
X2,3=-b + - b2-4ac
2a
Risolvendo la
rispettiva
operazione
otterremo i risultati
delle X.
Definizione di un equazione di 3°
grado di seconda specie
Un equazione di terzo grado
reciproca di seconda specie è
un polinomio di terzo grado
ordinato e completo, in cui i
coefficienti dei termini estremi
e di quelli equidistanti dagli
estremi sono opposti,
uguagliato3 a zero.
ax +bx2-bx-a=0
Risoluzione di un equazione di 3°
grado di seconda specie

ax3+bx2-bx-a=0
a(x3-1)+bx(x-1)=0
a(x-1)(x2+x+1)+bx(x-1)=0
(x-1)[a(x2+x+1)+bx]=0
(x-1)[ax2+ax+a+bx]=0
x-1=0
ax2+(b+a)x+a=0

x1= +1

x2= -(b+a)+






(b+a)2-4a2
2a

x3= -(b+a)-
(b+a)-4a2
2a
Legge di
annullamento del
prodotto
Risolvendo le
rispettive
operazioni
otterremo i
risultati delle X
Esempio numerico di equazione
di 3° grado di seconda specie










12x3-37x2+37x-12=0
12(x3-1)37x(x-1)=0
12(x-1)(x2+x+1)-37x(x-1)=0
(x-1)[12(x2+x+1)-37x]=0
(x-1)[12x2+12x+12-37x]=0
(x-1)[12x2-25x+12]=0
x-1=0
12x2-25x+12=0
x1=1
x2= 4
3

x3=
3
4
Esistono due tipi di equazioni di
4° grado:
Equazioni reciproche di 4° grado
di prima specie.
 Equazioni reciproche di 4° grado
di seconda specie.

Definizione di un equazione di 4°
grado di prima specie

L’equazione di quarto grado di
prima specie, è un polinomio di
quarto grado ordinato e
completo, in cui i coefficienti
dei termini estremi e di quelli
equidistanti dagli estremi sono
uguali, uguagliato a zero.
ax4+bx3+cx2+bx+a=0
Risoluzione di un equazione di 4°
grado di prima specie…

ax4+bx3+cx2+bx+a=0
x2

x2
x2
x2 x2
ax2+bx+c+b+a=0
1
x x2
 a(x2+ x2
1
)+b(x+
x
1
 a[(x+x
1
x
)2 -2]+b(x+



a[y2-2]+by+c=0
ay2-2a+by+c=0
ay2+by-2a+c=0
)+c=0
)+c=0
y1
ottengo =
y2
…continuo equazione di 4° grado di
prima specie(2)…

Le y le abbiamo ottenute con la seguente formula
risolutiva:
+

Y1,2= -b
2a b2-4ac
=
Ora bisogna sostituire a : x +
x+
1
x
y1
=
1
x
i valori delle y.
Otteniamo con il m.c.m.
y2 Otteniamo con il m.c.m.
X2-Y1X+1=0
X2-Y2X+1=0
…continuo equazione di 4° grado di
seconda specie(3).


Ora risolvendo le due equazioni
di secondo grado otteniamo i
risultati delle x .
x1
x2-y1x+1=0
x2

x2-y2x+1=0
x3
x4
Esempio numerico di equazione
di 4° grado di prima specie…

6x4-5x3-38x2-5x+6=0

4-5x3-38x2-5x+6=0
6x
2
x
x2 x2
x2 x2

x x2
6x2-5x-38-5+6=0
1
x2





6(x2+
1
x
)-5(x+
1
1
x
x
6[(x+
)2-2]-5(x+
6(y2-2)-5y-38=0
6y2-12-5y-38=0
6Y2-5Y-50=0
Divido tutti i
termini per x2
)-38=0
)-38=0
…continuo equazione di 4° grado di
prima specie(2)…

Y1.2= 5 ±
25-1200
12
5+35

12
5±35
12
535
12
40
10
12
3
36
5
12
2
m.c.m
x+
1 10
=
x
3
;
x+
1
5
= x
2
m.c.m
2x2+2=-5x= 2x2+5x+2=
0
3x2+3=10 = 3x210x+3=0
…continuo equazione di 4°grado
prima specie(3).

3x2-10x+3=0
18
 X1.2

= 10 ± 100-36
6
x3.4= -5 ±
25-16
4
=
10±8
6
6
=
2
=
6
2
=
-5±3
4
=
= 3
4
8
4
1
3
= -
= 2
1
2
Definizione di un equazione di 4°
grado di seconda specie

L’equazione di quarto grado di
prima specie, è un polinomio di
quarto grado ordinato e
completo, in cui i coefficienti dei
termini estremi e di quelli
equidistanti dagli estremi sono
opposti, uguagliato a zero.
ax4+bx3-bx-a=0
Risoluzione di un equazione di 4°
grado di seconda specie












ax4+bx3-bx-a=0
a(x4+1)+bx(x2-1)=0
a(x2-1)(x2+1)+bx(x2-1)=0
(x2-1)[a(x2-1)+bx]=0
(x2-1)[ax2-a+bx]=0
(x2-1)[ax2+bx-a]=0
x2-1=0
ax2+bx-a=0
x 1=
x2=
x 3=
x 4=
Esempio numerico di equazione
di 4° grado di seconda specie








2x4+5x3-5x-2=0
2(x4-1)5x((x2-1)=0
2(x2-1)(x2+1)+5x(x2-1)=0
(x2-1)[(2(x2+1)+5x]=0
(x2-1)[2x2+2+5x]=0
(x2-1)[2x2+5x+2]=0
Legge di
2
x -1=0
annullamento del
prodotto
2
2x +5x+2=0
…continuo equazione di 4° grado
di seconda specie(2).

Ora risolviamo l’equazione: 2x2+5x+2=0
-5+3

x3.4 =-5+-
25-4*2(2)
4
=
-5+-3
4
4
-5-3
4
= = 2
1
2
EQUAZIONI
PARAMETRICHE
Roberta Floris
 Elisabetta Melinu
 Cristina Carta

Un’ equazione di secondo
grado si dice parametrica se
almeno uno dei coefficienti
dipende da una o più variabili
dette parametri.
Ecco un’esempio di
equazione parametrica:
x² +Kx+2k=0
Dove b è uguale a k e c
é uguale a 2k.
Data l’equazione parametrica:
x² +Kx+2k=0
trovare i valori di k in modo che
le radici
siano reali.
La condizione da verificare
è:
Nel nostro caso,
a=1, b=k, c=2k,
per cui:
k²-4(1)(2k)≥0
K²-8k≥0
K(k-8)≥0 da cui
k≤0 o K≥8
K≤0 o K≥8
+ + + + + +
0-
- - - - + +
8
Data l’equazione parametrica
x²-(k-2)x+k+1=0,
determiniamo i valori di k in modo
che, essendo le soluzioni reali:
A) Una radice sia l’opposto dell’altra.
B) Una radice sia uguale a 2.
C) Una radice sia l’inverso dell’altra.
D) Il prodotto delle radici sia uguale a
A)UNA RADICE SIA L’OPPOSTO DELL’ALTRA
SE:
X1= -X2 cioè X1- X2=0 ma X1+ X2=
-b/a, basta quindi imporre che sia
k-2= 0
k=2
Per questo valore di k, tuttavia,
le soluzioni non
sono reali e dobbiamo concludere
che il
problema non ha soluzioni.
B) UNA RADICE SIA UGUALE
A2
Basta sostituire 2 al posto di X e
risolvere l’equazione in k così
ottenuta:
4-2(k-2)+k+1=0
k=9
Questa volta il valore trovato di k
appartiene all’insieme definito
dalla condizione di realtà delle
radici (9>8)
èd è quindi la soluzione del
C) UNA RADICE SIA L’INVERSO
DELL’ALTRA SE:
X 1= 1/X2 cioè X1*X2= 1 ma
X1*X2= c/a,
basta quindi imporre che sia
k+1=1
k=0
per questo valore di K le soluzioni
sono reali e
sono anche coincidenti;ne
D)IL PRODOTTO DELLE RADICI SIA UGUALE A -6
Deve essere c/a -6 cioè k+1= -6
k= -7
anche questo valore di k è
accettabile
perché è minore di 0.