ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I
SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO E
ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE
“B. STRINGHER”- UDINE
LE EQUAZIONI DI SECONDO
GRADO
a cura dei prof. Roberto Orsaria e
Monica Secco
Cosa è un’equazione di secondo
grado?
Un’equazione di secondo grado è
un’equazione in cui l’incognita (usualmente
indicata con la lettera x) compare con
esponente al massimo pari a 2.
Ad esempio sono equazioni di secondo
grado:
x2-3x=4
4x2-1=0
3x2-2x+4=0
Cosa significa risolvere
un’equazione?
Significa trovare gli eventuali valori
numerici che assegnati all’incognita
rendono l’equazione un’uguaglianza
sempre vera.
Questi valori vengono dette soluzioni o
radici dell’equazione.
Quante sono le soluzioni di
un’equazione di secondo grado?
Un’equazione di secondo grado può avere:
1) due soluzioni reali distinte
determinata
2) due soluzioni reali coincidenti
3) nessuna soluzione
impossibile
4) infinite soluzioni
indeterminata
Nei casi 1) e 2) l’equazione si dice determinata,
mentre nel caso 3) si dice impossibile e nel caso 4)
si dice indeterminata
Cosa si intende per forma normale
dell’equazione di secondo grado?
Data un’equazione di secondo grado, essa può
essere sempre ricondotta, effettuando opportuni
passaggi algebrici, alla forma:
ax2+bx+c=0
questa è detta “forma normale”.
Ad esempio nell’ equazione 4x2=+5x-12,
trasportando tutti i termini al primo membro
(ricordandosi di cambiarne il segno) otteniamo
l’equazione in forma normale: 4x2-5x+12=0
Classificazione delle equazioni di
secondo grado
In base alla loro forma le equazioni di
secondo grado vengono così classificate:
equazioni pure: ax2+c=0
equazioni spurie: ax2+bx=0
equazioni complete: ax2+bx+c=0
Le equazioni pure e spurie sono dette anche
incomplete
Come si risolve un’equazione
pura?
Considera l’equazione pura:
ax2+c=0
isola il termine con x2:
ax2= -c
dividi per a:
x2= -c/a
a questo punto si possono verificare due casi:
10 caso: il termine –c/a è positivo:
si può allora estrarre la radice quadrata e si
ottengono due soluzioni distinte (una
positiva e l’altra negativa)
x1,2= ±-c/a
20 caso: il termine –c/a è negativo:
in questo caso non si può estrarre la radice
quadrata e l’equazione non ha soluzioni
reali (è impossibile).
Ad esempio considera l’equazione:
4x2-16=0
isola il termine x2:
4x2 = 16
dividi tutto per 4 e ottieni:
x2 = 4
e quindi estrai la radice quadrata di +4 (ricordati
che ci sono due soluzioni di segno opposto)
x1,2= ± 2
Considera ora l’equazione pura seguente:
2x2+50=0
isola il termine x2 e ottieni:
2x2 = -50
dividi tutto per 2:
x2 = -25
osserva ora che al secondo membro dell’equazione
hai un numero negativo, per cui non è possibile
estrarre la radice quadrata e quindi l’equazione è
priva di soluzioni reali, cioè impossibile.
Come si risolve un’equazione spuria?
Consideriamo l’equazione spuria
ax2+bx=0
raccogli a fattor comune la x:
x(ax+b)=0
applica la legge di annullamento del prodotto (il prodotto
di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori
è nullo)
e otteni che deve essere:
10 fattore uguale a zero
x=0
20 fattore uguale a zero:
ax+b=0, da cui x= -b/a
quindi un’equazione spuria ha sempre due
soluzioni distinte, di cui una vale sempre zero.
Esempio se devi risolvere l’equazione spuria:
3x2+5x=0
devi raccogliere a fattor comune la x:
x(3x+5)=0
e così ottieni le due soluzioni:
x1=0
e
x2= -5/3
Come si risolve un’equazione completa?
Per risolvere un’equazione completa
ax2+bx+c=0
devi applicare la formula risolutiva seguente:
x1,2 = (-b±b2-4ac)/2a
Il termine che compare sotto radice viene
chiamato discriminante e indicato usualmente con
la lettera greca  (delta).
Quale è il ruolo del discriminante?
Il discriminante gioca un ruolo molto importante
ai fini della determinazioni delle soluzioni
dell’equazione. A seconda del suo segno si
possono verificare tre casi:
1o caso: >0
in questo caso sotto il simbolo di radice si ha un
numero positivo, per cui è possibile estrarre la
radice quadrata e si ottengono due soluzioni reali
distinte
x1,2 = (-b±b2-4ac)/2a
2o caso: =0
se il discriminante è nullo, la radice
quadrata è pure nulla e quindi si ottengono
due soluzioni reali coincidenti:
x1 = x2 = -b/2a
3o caso: <0
se il discriminante è negativo, sotto radice
abbiamo un numero negativo e quindi non è
possibile estrarre la radice quadrata, per cui
l’equazione non ha soluzioni reali (è
impossibile)
Esempi
1) Considera l’equazione completa
x2+3x+2=0
risulta:
a=1 b=3 c=2
calcola il discriminante b2-4ac: = 32-4·1· 2= 9-8=1
esso è positivo per cui l’equazione ammette due soluzioni
reali distinte:
calcola la radice quadrata del discriminante:
 = 1
ottieni allora le due soluzioni:
x1= (-3+1)/2= -1 e
x2= (-3-1)/2=-2
2) Considera l’equazione completa:
x2-10x+25=0
risulta: a=1
b=-10
c=+25
calcola il discriminante:
= (-10)2-4· 1· 25= 100-100=0
esso è nullo e quindi l’equazione ammette
due soluzioni reali coincidenti:
x1=x2= 10/2=5
3) Considera l’equazione completa
x2-7x+13=0
risulta: a=+1
b=-7
c=+13
calcola il discriminante:
= (-7)2-4· 1· 13= 49 – 52 = -3 <0
il discriminante è negativo e quindi
l’equazione non ammette soluzioni reali,
cioè è impossibile.