CAPITOLO 20
L’utilità attesa come strumento
decisionale normativo
• Una giustificazione della procedura del
modello dell’utilità attesa
• Quale tipo di comportamento è ragionevole?
• I motivi per essere sospettosi
• ARGOMENTI DI QUESTA
LEZIONE (1)
•
•
Questa lezione analizza il modello dell’utilità
attesa dal punto di vista normativo ossia di
strumento decisionale. Il protagonista non è
un decisore astratto, ma siete voi.
Giustifichiamo l’utilizzo del modello dell’utilità
attesa presentando cinque assiomi qualitativi
relativi al comportamento che, se verranno da
voi accettati, implicano che dovreste prendere
decisioni in condizioni di incertezza
massimizzando la vostra utilità attesa.
• Giustificazione della procedura
del modello dell’utilità attesa (1)
• Negli esempi che presentiamo i premi
sono sempre monetari, ma ciò che
dimostriamo vale in generale per le
scommesse caratterizzate da probabilità
oggettive e qualsiasi tipo di premi.
• Nell’insieme dei possibili oggetti di scelta
introduciamo anche le lotterie composte,
sequenza di eventi casuali prima di
giungere al premio
Esempio di lotteria composta (2)
Se esce 1 o 2, vincete € 500,
se esce il 3, lanciamo in aria una moneta: se esce testa vincete € 400,
se esce croce rilanciamo la moneta; se esce testa ottenete € 500, se esce
croce non vincete nulla.
Se nel primo lancio del dado fate 4, 5 o 6, pagate € 10 per ogni unità del
numero che esce.
1/3
€ 500
0,5
1/6
€ 400
0,5
€ 500
0,5
0,5
1/6
1/6
1/6
€0
- € 40
- € 50
- € 60
• Giustificazione della procedura
del modello dell’utilità attesa (2)
•
Vi chiediamo di confrontare le scommesse a due a due e di
indicare se considerate la prima altrettanto vantaggiosa della
seconda e se ritenete che la seconda sia altrettanto
vantaggiosa della prima:
1. non precludiamo la possibilità che formuliate lo stesso
giudizio per entrambe le scommesse, nel qual caso siete
indifferenti tra le due;
2. non precludiamo la possibilità, per ora, che non siate
disposti a esprimere un giudizio né in un senso né
nell’altro;
3. quando affermate che la scommessa A è altrettanto
vantaggiosa di B, ma non affermate che B è altrettanto
vantaggiosa di A preferite strettamente A a B.
4. Ipotizziamo che vogliate correlare le vostre preferenze con
le vostre scelte nel seguente modo: se dovete scegliere
una scommessa all’interno di un insieme, ne scegliete una
che giudicate altrettanto vantaggiosa di tutte le altre
• Giustificazione della procedura
del modello dell’utilità attesa (3)
•
Che cosa possiamo aggiungere a proposito delle
vostre preferenze?
• Vi presentiamo un elenco di cinque proprietà che
potrebbero avere: domandatevi se volete che le
vostre preferenze le soddisfino.
1. riduzione delle scommesse composte.
– Siete indifferenti nella scelta tra qualsiasi
scommessa composta e la scommessa semplice
(a una fase) cui quella composta si riduce
applicando le regole della teoria delle probabilità
• Giustificazione della procedura
del modello dell’utilità attesa (4)
2. Completezza: per qualsiasi coppia di
scommesse A e B, siete disposti a ritenere che A sia
altrettanto vantaggiosa di B oppure che B sia
altrettanto vantaggiosa di A.
–
Per la maggior parte delle persone è difficile esprimere
preferenze, ma vogliamo solamente sapere se desiderate
essere in grado di esprimere un giudizio per ogni coppia di
scommesse e non se effettivamente siete in grado di farlo.
3. Transitività: Se ritenete che la scommessa A sia
altrettanto vantaggiosa della scommessa B, e che B
sia altrettanto vantaggiosa di C, allora ritenete che A
sia per voi altrettanto vantaggiosa di C.
–
La transitività non dovrebbe crearvi problemi
• Giustificazione della procedura
del modello dell’utilità attesa
(5)
4. Continuità: supponiamo che
A≥B≥C allora esiste una
probabilità p tale che:
(A,C; p,(1-p))~ B
• Giustificazione della procedura
del modello dell’utilità attesa (6)
5. Sostituzione:
•
•
Supponiamo A sia strettamente meglio di B.
Considerate qualsiasi altra scommessa C e qualsiasi
probabilità p > 0 e costruite le due seguenti
scommesse composte:
–
–
•
D porta alla scommessa A con probabilità p e alla
scommessa C con probabilità 1  p;
E porta alla scommessa B con probabilità p e alla
scommessa C con probabilità 1  p.
Secondo questa proprietà poiché preferite
strettamente A a B e poiché p > 0, dovete preferire
D a E.
• Giustificazione della procedura
del modello dell’utilità attesa (7)
•
Se decidete che queste cinque proprietà sono desiderabili,
possiamo offrirvi una sorprendente conclusione:
•
Qualsiasi insieme di preferenze tra scommesse
conforme alle cinque proprietà precedenti è coerente
con il modello dell’utilità attesa nel senso che una
scommessa viene preferita a un’altra se e solo se la
prima fornisce un’utilità attesa maggiore, data la
funzione di utilità U definita per la gamma dei premi.
Inoltre, qualsiasi insieme di preferenze conforme alla
massimizzazione dell’utilità attesa per una data
funzione di utilità U deve rispettare le cinque
suddette proprietà.
•
• Giustificazione della procedura
del modello dell’utilità attesa (8)
•
Quindi, se ritenete che queste cinque proprietà siano
desiderabili in termini normativi, volete scegliere
massimizzando l’utilità attesa sulla base di una determinata
funzione di utilità U.
•
In prospettiva normativa, vi proponiamo (e voi accettate, se
ritenete che le cinque proprietà siano desiderabili ai fini di un
valido processo decisionale) di utilizzare esplicitamente i
calcoli dell’utilità attesa per migliorare il vostro processo
decisionale, altrimenti fallibile, in condizioni di incertezza.
•
Rimane da calcolare la vostra personale funzione di utilità U
Il calcolo della vostra funzione di utilità (2)
0,8
(A)
1
(B)
€ 6.000
0,2
0,3
0,5
(C)
€ 10.000
0,5
(D)
€ 3.800
0,5
0,2
0,07
0,23
- € 5.000
€ 13.000
€ 4.000
€ 2.000
- € 7.500
€ 1.000
(E)
0,32
0,32
€ 10.000
€ 6.000
€ 15.000
Supponiamo che
dobbiate scegliere tra le
scommesse della figura
seguente
• Ricaviamo la vostra funzione di
utilità per tale gamma di premi (3)
2. Quale somma di denaro certa sarebbe per voi
altrettanto vantaggiosa di una scommessa in cui
ricevete € 15.000 con probabilità ½ oppure ricevete
€ 2.000 con probabilità ½?
• Supponete che questo valore sia € 7.500.
3. Quale somma di denaro ricevuta per certo sarebbe
per voi altrettanto vantaggiosa di una scommessa in
cui perdete € 7.500 con probabilità pari a ½ o
ricevete € 2.000 con probabilità pari a ½?
• Supponiamo che la risposta sia - € 3.000.
• Il neretto indica che dovete sostituire la somma
evidenziata con la risposta che avete dato alla
domanda precedente.
• Ricaviamo la vostra funzione di
utilità per tale gamma di premi (4)
Ottenute le risposte a queste tre domande, possiamo
•
iniziare a costruire la vostra personale
funzione di utilità.
•
Determiniamo la scala in modo tale che
–
–
•
La prima risposta che avete dato stabilisce che, su tale scala
–
•
•
U(15.000) = 1
U(7.500) = 0.
U(2.000) = 0,5.
Per quale motivo?
Perché una scommessa in cui ottenete i premi € 15.000 o -€
7.500, ciascuno con probabilità ½, corrisponde all’utilità
attesa 0,5 sulla scala che abbiamo fissato e questa
scommessa è per voi indifferente rispetto alla somma sicura
di € 2.000.
• Ricaviamo la vostra funzione di
utilità per tale gamma di premi (5)
•
La vostra seconda risposta stabilisce che su questa scala
–
•
la vostra terza risposta stabilisce che
–
•
•
•
U(7.500) = 0,75 e
U(3.000) = 0,25.
Per quale motivo?
Perché, se U(2.000) = 0,5, allora una scommessa con i premi
ugualmente probabili € 15.000 e € 2000 corrisponde all’utilità
attesa (0,5)[1] + (0,5)[0,5] = [0,75] e voi siete indifferenti tra
questa scommessa e la somma certa di € 7.500.
La scommessa con premi - € 7.500 o € 2.000, ciascuno con
probabilità ½, corrisponde all’utilità attesa 0,25 e voi siete
indifferenti tra questa scommessa e la perdita sicura di €
3.000.
1
0,75
0,5
0,25
-€5.000
€0
€5.000
€10.000
Possiamo
indicare in
un grafico i
cinque punti
della vostra
funzione di
utilità e a
partire da
questi punti
possiamo
tracciare
un’approssi
mazione
della vostra
funzione di
utilità
€15.000
• I motivi per essere sospettosi (1)
•
•
Esistono comunque alcuni buoni motivi per
essere sospettosi nei confronti della
desiderabilità normativa dell’adozione del
modello dell’utilità attesa.
Per esempio:
Gli effetti di portafoglio
• I motivi per essere sospettosi (2)
• Gli effetti di portafoglio
•
•
•
Supponiamo che possediate un portafoglio di azioni
comprendente un dato numero di azioni della Ford
Il vostro intermediario di borsa vi consiglia di
speculare sulle opzioni di acquisto della suddetta
società. Acquistando le opzioni, otterrete un
guadagno quando le azioni della Ford andranno
bene e perderete quando il loro prezzo scenderà.
Potreste considerare le conseguenze della
speculazione che vi è stata proposta come una
scommessa, quindi confrontarne l’utilità attesa con
l’utilità attesa di investire il vostro denaro in altro
modo.
• I motivi per essere sospettosi (3)
•
Questa tuttavia non è la procedura corretta da
seguire, in quanto il guadagno derivante da tale
scommessa è direttamente correlato al valore del
vostro portafoglio di azioni:
–
–
–
–
nei periodi in cui siete relativamente più ricchi, questa
scommessa vi offre un buon rendimento;
nei periodi in cui siete relativamente più poveri, vi fornisce
rendimenti scarsi.
In altri termini, questo rischio incrementa il rischio che
state già affrontando.
In tali casi non potete valutare il rischio isolatamente, ma
dovete considerarlo in combinazione con il vostro intero
portafoglio di attività.
• I motivi per essere sospettosi (4)
•
Questo tipo di problema non è limitato agli
investimenti finanziari.
• In molti casi il valore che attribuite ai premi dipende
dallo “stato” in cui ricevete il premio:
• Se confrontate due iniziative imprenditoriali che
hanno esattamente la stessa distribuzione di
probabilità dei premi, ma differiscono perché
– il guadagno di una è maggiore nei periodi migliori
e
– il guadagno dell’altra è maggiore nei periodi
peggiori,
• forse attribuite un valore maggiore alla seconda.
• I motivi per essere sospettosi (5)
•
•
•
•
•
Che cosa è accaduto alle cinque proprietà in
questi esempi? Perché non sono più valide?
Nessuna delle cinque proprietà è errata, ma è
l’intero approccio al problema che è criticabile.
Il punto di partenza di questo approccio consiste
nell’affermare che, dinnanzi a una scommessa, tutto
ciò che importa sono i premi e le probabilità
In questi esempi non è corretto adottare tale
atteggiamento, in quanto lo “stato di natura” influisce
sul valore che voi attribuite ai premi
Due scommesse con premi e probabilità identici
potrebbero apparirvi piuttosto diverse se vi offrissero
i premi in circostanze molto diverse