Giovanni Della Lunga
Modelli Finanziari nel
Tempo Continuo
4
Prodotti di Volatilità
(prima parte)
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1
Prodotti di Volatilità (Prima Parte)






Il Principio di Assenza di Arbitraggio
Alberi Binomiali
Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein
Opzioni con Barriera
Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera
Alberi Trinomiali
2
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Il Principio di Assenza di Arbitraggio



Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho
appena comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un
paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho
scoperto che un altro concessionario per lo stesso
prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina
fornisce anche l’aria condizionata”.
Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che
modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi
che acquistiamo e consumiamo.
Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono
avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci
garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri
hanno un valore maggiore.
3
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Il Principio di Assenza di Arbitraggio


Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il
principio di arbitraggio, o nella colorita espressione
anglosassone, free-lunch (pasto gratis).
Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di
arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di
fondo:
Si definisce arbitraggio la possibilità di
ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in
alcun tipo di rischio.

E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di
diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono
essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché
non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie
che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio.
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4
Il Principio di Assenza di Arbitraggio

Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di
arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di
situazione.

La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter
ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro
vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un
guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;

Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un
arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un
altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia
zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e
supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi
consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la
vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna
perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed
avete compiuto un’operazione di arbitraggio.
5
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Il Principio di Assenza di Arbitraggio

Per mostrare in maniera semplice l’utilizzo dell’ipotesi di non arbitraggio
per la valutazione delle attività finanziarie utilizziamo un modello in cui il
rischio è rappresentato da un insieme discreto di possibili scenari, o stati di
natura.

L’esempio più semplice è quello di un mondo a due tempi e due stati.

Assumiamo che sul mercato vengano scambiati due titoli rischiosi, il cui valore
denotiamo X(t) e Y(t). I due titoli rischiosi assumono valori diversi nei due stati del
mondo H e L che si verificano al tempo T: abbiamo quindi X(H) > X(L) e Y(H) > Y(L).

Assumiamo che esista anche un titolo privo di rischio che alla scadenza T garantisce
un pay-off di un Euro: il titolo privo di rischio al tempo T assume lo stesso valore nei
due stati del mondo.

Il valore del titolo privo di rischio al tempo t è definito dalla funzione di
sconto P(t,T), discussa nel primo capitolo, mentre il prezzo del titolo
rischioso è Y(t).

Il problema è determinare il prezzo X(t) che esclude possibilità di
arbitraggio.
6
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Un modello binomiale
Tempo t
Tempo T
Tempo T
Stato
H
L
Y(t)
Y(H)
Y(L)
X(t)
X(H)
X(L)
P(t,T)
1
1
7
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Relazioni di arbitraggio tra i prezzi

Formiamo un portafoglio selezionando


Una posizione lunga (acquisto, segno +) in una unità di X
Una posizione corta (vendita, segno -) in  unità di Y
Valore Attuale  X (t )  Y (t )


Se scegliamo
X ( H )  X ( L)

Y ( H )  Y ( L)
Il valore del portafoglio all’istante T nei due stati finali sarà pari a
X ( L)  Y ( L)  X ( L) 
X ( H )  X ( L)
X ( L)Y ( H )  X ( H )Y ( L)
Y ( L) 
Y ( H )  Y ( L)
Y ( H )  Y ( L)
X ( H )  Y ( H )  X ( H ) 
X ( H )  X ( L)
X ( L)Y ( H )  X ( H )Y ( L)
Y (H ) 
Y ( H )  Y ( L)
Y ( H )  Y ( L)
8
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Relazioni di arbitraggio tra i prezzi


Con questa scelta il valore del portafoglio è lo
stesso sia in H che in L, indichiamolo con ;
Il portafoglio è quindi privo di rischio;




infatti assume lo stesso valore in tutti gli stati del mondo.
Come possiamo replicare questo portafoglio?
Acquistando in t  unità del titolo privo di
rischio.
Per il principio di assenza di arbitraggio due
attività finanziarie che hanno lo stesso
valore ad un tempo futuro T, devono avere
lo stesso valore anche oggi.
9
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Relazioni di Arbitraggio fra i Prezzi

Indicando con  il valore del portafoglio
all’istante T, il principio di assenza di
arbitraggio implica a t:
X (t )  Y (t )  P(t , T )
X (t )  Y (t )  P(t , T )
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Un esempio importante:
Put call parity


Consideriamo un’opzione call alla scadenza

C(T) = max(0, S(T) -K)

essendo S il valore del sottostante e K il valore dello strike price (prezzo di
esercizio)
… che può essere scritta nella forma


C(T) = S(T) – min(S(T),K)
È facile verificare che le due scritture sono
perfettamente equivalenti!
11
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Un esempio importante:
Put call parity

Dalla relazione precedente


Allo stesso modo si può verificare per la put


C(T) + K = P(T) + S(T)
Per l’assenza di arbitraggio questa relazione deve essere
valida anche oggi per cui


P(T) - K = -min(S(T), K)
Da questa relazione otteniamo


C(T) – S(T) = -min(S(T),K)
c(t) + K  exp[-r(T-t)] = p(t) + S(t)
Questa relazione è come put-call parity
12
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Relazioni arbitraggio tra i prezzi

Riprendiamo la relazione di arbitraggio




X (t) = Y(t) + P(t,T)
Poiché ci sono due stati del mondo all’istante T, possiamo
scrivere

X(H) = Y(H) + 

X(L) = Y(L) + 
da cui:

 = (X(H) – X(L))/(Y(H) – Y(L))

= -(X(H) Y(L) – X(L) Y(H))/(Y(H) – Y(L))
Sostituendo i valori di alfa e delta nella prima relazione e
raccogliamo i termini X(H) e X(L) otteniamo...
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Relazioni arbitraggio tra i prezzi
X t   Pt , T  H X H    L X L 
con
Y t  / Pt , T   Y L 
 H  
Y H   Y L 
Y H   Y t  / Pt , T 
 L  
Y H   Y L 
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La misura risk-adjusted

Si noti che



Y(L) < Y(t)/P(t,T) < Y(H)  *(H), *(L) > 0
*(H) + *(L) = 1
* è una misura di probabilità e il prezzo di X(t) è
X t   Pt , T X H   1   X L  Pt , T E X T 

Si può verificare agevolmente che


Y(t) = P(t,T) E *[Y(T)]
N.B.: la misura * deriva dal non-arbitraggio
15
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La misura risk-adjusted

Per analizzare le proprietà della misura di probabilità
 è immediato osservare che
 X T   X t 
 X T  
E 
 E 
 1 

X t 


 X t  
1
1

E [ X (T )]  1 
 1  Rf
X (t )
Pt , T 

dove Rf è il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio sul
periodo da t a T.
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La misura risk-adjusted





Sotto la misura di probabilità , quindi, il rendimento atteso del titolo
rischioso X è pari al tasso d'interesse privo di rischio.
Si può verificare che anche il rendimento dell'altro titolo rischioso è
pari al tasso privo di rischio!
Si tratta quindi di una prerogativa della misura di probabilità  : sotto
questa misura, il rendimento di tutti i titoli rischiosi è pari al
rendimento del titolo privo di rischio.
E' come se i rendimenti dei titoli venissero calcolati senza tenere
conto del loro livello rischio.
Per questo motivo questa misura di probabilità è nota nella
letteratura come "misura neutrale rispetto al rischio", oppure "misura
aggiustata per il rischio".
17
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La misura risk-adjusted

Un altro modo di caratterizzare la misura aggiustata per il rischio è il
seguente. Misuriamo i titoli rischiosi, ad esempio il titolo X, utilizzando quello
privo di rischio come numerario. Definiamo così una nuova variabile
X t 
Z t  
Pt , T 

Dalle proprietà della misura aggiustata per il rischio otteniamo adesso
 X T  
X t 
Z t  
 E 
 E Z T 

Pt , T 
 PT , T  




dove abbiamo usato la proprietà della funzione di sconto P(T,T) = 1.
In altri termini, il valore futuro atteso della nuova variabile Z(t), misurato
utilizzando la misura aggiustata per il rischio è uguale al valore corrente.
Questa caratteristica è nota nella teoria dei processi stocastici come
proprietà di "martingala".
Per questo la misura di probabilità  è nota anche come misura di
martingala equivalente (equivalent martingale measure, o EMM).
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Il Teorema Fondamentale della Finanza
(Harrison e Kreps, 1979 e Harrison e Pliska, 1981, 1983)
Nel mercato non esistono possibilità di
arbitraggio se e solo se esiste una misura di
probabilità sotto la quale i prezzi di tutte le
attività finanziarie, misurate utilizzando il titolo
privo di rischio come numerario, sono
martingale.
Se questa misura è unica, il mercato è detto
completo.
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Valutazione di un’opzione call
Tempo t
Tempo T
Tempo T
Stato
H
L
Y(t)
Y(H)
Y(L)
C (Y,t;T,K)
Max(Y(H)-K,0)
Max(Y(L)-K,0)
P(t,T)
1
1
20
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Relazioni arbitraggio tra i prezzi

Consideriamo un portafoglio con
 Una posizione lunga in una unità di C
 Una posizione corta in  unità di Y

Calcoliamo
C ( H )  C ( L) max[ Y ( H )  K ,0]  max[ Y ( L)  K ,0]


Y ( H )  Y ( L)
Y ( H )  Y ( L)

Al tempo T


Max(Y(H) – K,0) -  Y(H) = 
Max(Y(L) – K, 0) -  Y(L) = 
21
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Replica di un’opzione call

Se K < Y(L) < Y(H)


Se K > Y(H) > Y(L)


=0e=0
Se Y(L) < K < Y(H)


=1e=-K
 0 <  < 1 e  = -Y(H) 
Replica di un’opzione call
C(Y,t;T,K) =  Y(t) +  P(t,T)
22
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Prodotti di Volatilità (Prima Parte)






Il principio di Assenza di Arbitraggio
Alberi Binomiali
Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein
Opzioni con Barriera
Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera
Alberi Trinomiali
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Alberi Binomiali



Una tecnica utile e diffusa nel pricing delle opzioni è
rappresentata dagli alberi binomiali i quali definiscono in
modo discreto il possibile percorso dell’attività finanziaria
sottostante all’opzione durante la vita della stessa e
consentono di derivare il valore del derivato in oggetto;
La modellizzazione della possibile evoluzione del titolo
sottostante all’opzione avviene all’interno di un prefissato
intervallo temporale;
Il periodo di tempo considerato è suddiviso in intervalli di
tempo intermedi e il modello descrive il sentiero dei possibili
movimenti del prezzo da un intervallo temporale all’altro.
24
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Alberi Binomiali


Il principio di base del modello binomiale è naturalmente
la valutazione dell’opzione in un mondo neutrale rispetto
al rischio;
Questo significa che disponendo di due attività
finanziarie connesse come le opzioni e i relativi titoli
sottostanti può essere realizzata dall’investitore una
posizione coperta ossia priva di rischio nella quale ogni
variazione di prezzo del titolo sottostane si riflette in una
variazione del valore dell’opzione di pari entità ma di
segno opposto in modo tale da determinare una
compensazione fra utili e perdite.
25
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Alberi Binomiali

Un modello monoperiodale



Consideriamo un solo periodo
temporale che inizia all’istante
corrente e termina all’istante
temporale
T
(scadenza
dell’opzione);
assumiamo che il prezzo del
sottostante possa muoversi in
due sole direzioni;
Conoscendo la tipologia di
opzione (call o put) possiamo
determinare
il
payoff
a
scadenza nei due stati del
mondo finali fu e fd.
Su
fu
S
f
Sd
fd
0
T
26
Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006
Alberi Binomiali
Su
fu
S
f


Sia S il valore del sottostante e f il valore
dell’opzione scritta su di esso.
Formiamo un portafoglio con una posizione
lunga in  unità del sottostante e una corta in
un’opzione call.

Il valore del portafoglio nei due stati del
mondo sarà pari a
Sd
fd

Determiniamo il valore di  che rende uguali
questi due valori
S0 u  f u
S0 d  f d
fu  f d
S0 u  f u  S0 d  f d   
S0 u  S0 d
27
Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006
Alberi Binomiali


Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di
evitare possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve
eguagliare il tasso di rendimento risk-free.
Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno
dei due stati del mondo futuri deve eguagliare il valore
attuale oggi, ovvero
S0   f  S0 u  f u e  rT  f  S0   S0 u  f u e  rT
sostituendo ...
f  e rT  pf u  (1  p) f d 
dove
e rT  d
p
ud
28
Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006
Alberi Binomiali
Opzione CALL su ENEL
Su = 5.630
fu = 0.630
S = 5.414
f = 0.432
Sd = 5.2
fd = 0.2
Data Valutazione
8/11/2003
Consegna
19/11/2003
Strike
= 5.00
S
= 5.414
Var% giornaliera
= 1.18%
tasso risk free
~ 1%
Variazione a scadenza stimata al 4%
t = 11/365 ~ 0.03
e rT  d e0.010.03  0.96 0.04
p


 1/ 2
ud
0.08
0.08
f e
 rT
0.630  0.2
 pf u  (1  p) f d  
 0.415
2
29
Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006
Alberi Binomiali

L’estensione a più periodi



1a ipotesi: albero non ricombinante
Un movimento verso l’alto
seguito da un movimento
verso il basso non riporta il
titolo al livello iniziale
L’albero non ricombinante
ha una forma del tipo

H
Y(HH)
1-H
Y(HL)
Y(H)
Y(0)
1-
L
Y(LH)
1-L
Y(LL)
Y(L)
30
Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006
Alberi Binomiali

Problemi con gli Alberi non ricombinati

Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero solo
dopo 100 steps genera
1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi

Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti,
spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e
diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo
stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)

Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi
31
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Alberi Binomiali

Alberi Ricombinanti


Sostituendo un albero a
cespuglio con un albero
“ricombinante” rinunciamo
alle informazioni sui singoli
sentieri che portano allo
stesso nodo;
H

L’informazione può essere
rilevante per



Y(HH)
valutare opzioni con pay-off
path-dependent
modelli della dinamica
tasso di interesse
del
Y(H)
1-H
Y(0)
Y(HL)Y(LH)
L
1-
Y(L)
Alcuni programmi di ricerca
sono
dedicati
a
metodologie per ridurre la
crescita dei bushy-trees
1-L
Y(LL)
32
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Generalizzazione a più livelli
33
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Prodotti di Volatilità (Prima Parte)






Strategie in Opzioni
Alberi Binomiali
Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein
Opzioni con Barriera
Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera
Alberi Trinomiali
34
Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006
Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein

Riprendiamo la definizione
di probabilità risk-neutral

Poniamo

Inoltre ricordiamo che
Y (t )
 Y ( L)
P (t , T )
* 
Y ( H )  Y ( L)
Y (t )  S
Y ( H )  Su
Y ( L)  Sd
P(t , T )  e
 r (T t )
35
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
rt

Possiamo quindi scrivere

Come determiniamo i fattori u e d?

In funzione della volatilità del sottostante
 t
ue

e d
* 
ud
1
d
u
La scelta d = 1/u garantisce che l’albero si sviluppi attorno al
prezzo corrente del sottostante (infatti con questa posizione si
ha (Su)d = S)
36
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
ST
2
2  ST
r
 1   (r )   
S0
 S0
 ST
 (r )  E 
 S0
2
 ST
E 
 S0
 ST
E 
 S0
   ST
   E 
   S0
2



2

   2 t

La scelta di u e d si
giustifica ricordando che
la
volatilità
del
rendimento dell’azione,
nel nostro modello deve
essere pari a 2t

  u  (1   )d

2

  u 2  (1   )d 2

37
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
 2 (r )  u 2  (1   )d 2   2u 2  (1   ) 2 d 2  2 (1   )ud 
u 2 (1   )   (1   )d 2  2 (1   )ud 
 (1   )(u 2  d 2  2ud )   (1   )(u  d ) 2 
 u  e rt 
rt
rt
2
)
e

u
)(
d

e
(

)
d

u
(


 ud 
 e rt (u  d )  ud  e 2 rt
e rt  d
ud
Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo...
e rt (u  d )  ud  e 2 rt  (1  rt )(u  d )  1  1  2rt  (1  rt )(u  d  2)
38
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein


Verifichiamo che la posizione
u  e
t
,
d  e
t
porta al risultato desiderato.
Sviluppando al primo ordine in t abbiamo infatti
1 2
1 2
u  1   t   t , d  1   t   t
2
2
da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine)
(1  rt )(u  d  2) 
1 2
1 2


(1  rt ) 1   t   t  1   t   t  2    2 t
2
2


39
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
125.5
120.8
116.3
112
107.9
103.9
100
112
107.9
103.9
100
96.29
116.3
107.9
103.9
100
96.29
92.72
s(0, 0) = PrezzoSottostante
For n = 1 To NumeroSteps
For j = n To 1 Step -1
s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1)
Next j
s(0, n) = d * s(0, n - 1)
Next n
100
96.29
92.72
89.28
92.72
89.28
85.97
Per ogni livello tutti i nodi tranne
l’ultimo derivano dal corrispondente
nodo precedente moltiplicato per il
coefficiente u. L’ultimo nodo deriva
dal precedente moltiplicato per d.
85.97
82.78
79.71
40
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein
For j = 0 To NumeroSteps
V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall)
Next j
For n = NumeroSteps To 1 Step -1
For j = 0 To n - 1
V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto
21.12
Next j
120.8
16.8
Next n
116.3
12.86
112
9.482
107.9
6.766
103.9
4.691
100
5.975
103.9
2.53
96.29
8.013
107.9
5.054
103.9
3.073
100
1.821
96.29
1.058
92.72
16.48
116.3
12.33
112
8.763
107.9
3.941
100
25.62
125.5
1.968
100
1.006
96.29
0.514
92.72
0.263
89.28
0
92.72
0
89.28
0
85.97
0
85.97
0
82.78
0
79.71
41
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Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein

Esercizio Anticipato

Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di tipo
europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza;

Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la
scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale;

Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra

il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro
(continuation value)

il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff)
For n = NumeroSteps To 1 Step -1
For j = 0 To n - 1
V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _
* FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall))
Next j
Next n
42
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Esempio
Programmazione
VBA
Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale
43
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Prodotti di Volatilità (Prima Parte)






Il principio di Assenza di Arbitraggio
Alberi Binomiali
Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein
Opzioni con Barriera
Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera
Alberi Trinomiali
44
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Opzioni con Barriera

Le opzioni con barriera sono opzioni il cui valore
finale dipende dall’eventualità che il prezzo
dell’asset finanziario sottostante raggiunga o meno
un certo livello (cosiddetto barriera) durante il
periodo di vita dell’opzione;

Le opzioni con barriera possono essere distinte in

Opzioni barrier knock-in

Opzioni barrier knock-out
45
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Opzioni con Barriera

Opzioni barrier knock-in


Sono opzioni che si attivano solamente nel caso in cui
il prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga
un determinato valore;
A seconda della posizione della barriera rispetto al
prezzo del sottostante si distinguono:


Opzioni down-and-in. Si tratta di opzioni in cui la barriera è posta
al di sotto del prezzo del titolo sottostante al tempo in cui esse
iniziano a decorrere;
Opzioni up-and-in. Sono opzioni in cui la barriera è posta invece
al di sopra del prezzo del sottostante all’istante iniziale.
46
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Opzioni con Barriera

Opzioni barrier knock-out


Sono opzioni che cessano di esistere nel caso in cui il
prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga un
determinato valore;
A seconda della posizione della barriera rispetto al
prezzo del sottostante si distinguono:


Opzioni down-and-out. Si tratta di opzioni in cui la barriera è
posta al di sotto del prezzo del titolo sottostante al tempo in cui
esse iniziano a decorrere;
Opzioni up-and-out. Sono opzioni in cui la barriera è posta invece
al di sopra del prezzo del sottostante all’istante iniziale.
47
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Opzioni con Barriera: Knock-in
Opzione down-and-in
L’opzione si attiva
Opzione up-and-in
L’opzione si attiva
48
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Opzioni con Barriera: Knock-out
Opzione down-and-out
L’opzione cessa di esistere
Opzione up-and-out
L’opzione cessa di esistere
49
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Opzioni con Barriera



Le opzioni con barriera possono prevedere un compenso (il
cosiddetto rebate) nel caso in cui il percorso del prezzo
dell’attività finanziaria sottostante si riveli sfavorevole al
detentore dell’opzione;
Ad esempio l’acquirente di un’opzione knock-in riceverà una
somma fissa (il rebate appunto) se la barriera non si è attivata
mentre il contrario è previsto per un’opzione knock-out;
La differenza fra le due tipologie di opzioni non risiede soltanto
nella condizione di attaversamento o no della barriera ma anche
nel fatto che nelle knock-out il rebate viene pagato appena c’è il
raggiungimento della stessa mentre nelle knock-in occorre
attendere la scadenza per essere certi del non attraversamento.
50
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Simmetria opzioni con barriera

E’ immediato verificare che per escludere possibilità di
arbitraggio deve essere verificata la seguente relazione
Opzione plain vanilla = Down(Up)-and-in + Down(Up)-and-out

Ogni opzione con barriera può quindi essere rappresentata
con

Una posizione lunga in un’opzione plain vanilla

Una posizione corta nell’opzione con simmetrica
51
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Barriere discrete



Mentre le formule per la valutazione di opzioni con barriera
assumono che la barriera venga monitorata nel tempo continuo, il
processo di monitoraggio è attuato a tempi discreti. In certi casi
questa caratteristica può addirittura fare parte del contratto.
Tener conto di questa caratteristica conduce a valutazioni in forma
chiusa, che però richiedono la stima di distribuzioni congiunte
normali standard di dimensioni pari al numero delle volte in cui la
barriera viene verificata (Heynen e Kat, 1996)
Broadie,
Glasserman
e
Khou
1997
propongono
un’approssimazione basata sullo spostamento della barriera,
ponendo H* = exp(0.58261/2) per barriere up e H* = exp(–
0.58261/2) per barriere down, dove  è il tempo tra una verifica
della barriera e l’altra.
52
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Prodotti di Volatilità (Prima Parte)






Il principio di Assenza di Arbitraggio
Alberi Binomiali
Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein
Opzioni con Barriera
Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera
Alberi Trinomiali
53
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Alberi Binomiali e Barriere






Se, per valutare un’opzione con barriera, si usa un albero
binomiale standard la convergenza è lenta;
per ottenere un risultato accurato è necessario usare un numero
elevato di intervalli;
la ragione di questa lenta convergenza è che la barriera
ipotizzata dall’albero è diversa da quella effettiva.
Definiamo barriera interna la barriera formata dai nodi
immediatamente all’interno della barriera effettiva e barriera
esterna la barriera formata dai nodi immediatamente all’esterno
della barriera;
i calcoli standard assumono implicitamente che la barriera
esterna coincida con la barriera effettiva;
Il problema può essere affrontato cercando di posizionare
accuratamente i nodi nulle barriere.
54
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Alberi Binomiali e Barriere
55
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Alberi Binomiali e Barriere


Una possibile soluzione è la seguente;
Supponiamo di voler porre esattamente m livelli (per ogni
intervallo n) fra la barriera H e il valore iniziale S del
prezzo; avremo
H  Su m , u  e
t
 H  Se m

 H
ln  S
 
2
t
n
m T

2 2
  m  t 
n

2
2
m T
2
2
  H 
ln  S 
  
2
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Esempio
Programmazione
VBA
Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale
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Prodotti di Volatilità (Prima Parte)






Il principio di Assenza di Arbitraggio
Alberi Binomiali
Il modello Binomiale di Cox, Ross e
Rubinstein
Opzioni con Barriera
Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera
Alberi Trinomiali
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Alberi Trinomiali

In alternativa agli alberi binomiali, si possono
usare gli alberi trinomiali
59
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Alberi Trinomiali
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Esempio
Programmazione
VBA
Un Esempio di Albero Trinomiale
61
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Bibliografia

S. Benninga “Modelli Finanziari – La finanza con Excel”
McGraw-Hill (2001)

U. Cherubini, G. Della Lunga “Matematica Finanziaria –
Applicazioni con VBA per Excel” McGraw-Hill (2001)

U. Cherubini, G. Della Lunga “Il Rischio Finanziario”
McGraw-Hill (2000)

E. Gaarder Haug “The Complete Guide to Option
Pricing Formulas” McGraw-Hill (1998)

M. Jackson, M. Staunton “Advanced Modelling in
Finance using Excel and VBA” Wiley Finance (2001)
62
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