Per docenti degli Istituti Comprensivi della Liguria
Domingo Paola
Liceo scientifico Issel di Finale Ligure
G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova
Genova 2 Marzo 2006
Avvertenza: non è necessario prendere appunti!

Riflessioni di carattere generale relative al
problema della continuità curricolare

Due esempi di attività che consentono di
inserire elementi di continuità nel
curriculum di matematica

Indicazioni operative su dove reperire
materiali utili a costruire attività simili a
quelle presentate
Riflessioni di carattere generale relative al problema
della continuità curricolare
didattica lunga, tesa alla costruzione di
significati per gli oggetti di studio, attenta alla
gestione delle necessarie discontinuità che
caratterizzano ogni significativo processo di
insegnamento – apprendimento
attenzione rivolta ai processi di pensiero degli
studenti e quindi motivare gli studenti a produrre
e a fare e ad ascoltare e discutere le idee che
emergono durante il lavoro in classe
Riflessioni di carattere generale relative al problema
Noi conosciamo fatti e possediamo
un sapere
della continuità
curricolare su di essi
soltanto quando, contemporaneamente, sappiamo perché i
giudizi corrispondenti sono veri. Altrimenti parliamo di
sapere intuitivo o implicito, di un sapere pratico di come si
fa qualcosa. Ci si può benissimo intendere di qualcosa
senza sapere che cosa è che costituisce queste
competenze.
Invece
l’espresso
sapere nella
qualcosa
è
costruzione
di attività
sensate,
triplice
implicitamente
legato
a un sapere
perché
e rimanda,
accezione di
ragionevoli,
legate
agli
aspetti per
questo, a potenziali giustificazioni. […] Naturalmente ciò
sensibili, alla percezione e guidate
non significa che opinioni o convinzioni razionali siano
dall’intelletto,
dalle
teorie
sempre
composte di
giudizi
veri. Chi condivide opinioni che
si dimostrano non vere non è ipso facto irrazionale;
irrazionale
è chi un
difende
dogmaticamente
le proprie
opinioni
condividere
concetto
di razionalità
più ampio
e le mantiene, pur vedendo che non può motivarle. Per
di quello che in genere si individua con il termine
qualificare un’opinione come razionale basta che essa, nel
razionalità
scientifica
contesto di giustificazione
dato,
possa con buone
motivazioni essere ritenuta vera, ossia accettata
razionalmente
Habermas
Riflessioni di carattere generale relative al
della continuità curricolare
problema
un uso adeguato e consapevole degli
strumenti come mediatori nei processi di
insegnamento – apprendimento
un uso consapevole di forme e modalità di
valutazione diversificate e adeguate alla
necessità di valutare non solo i prodotti, ma
anche i processi
Due esempi di attività che consentono di inserire
elementi di continuità nel curriculum di matematica
Geometria
e misura
Relazioni
e funzioni
Secondo esempio
Primo esempio
Argomentare e
congetturare
Numeri e
operazioni
Due esempi di attività che consentono di inserire
elementi di continuità nel curriculum di matematica
Le attività argomentative in cui si
producono ipotesi o si generano
condizionalità sono riconducibili a due
modalità principali […] caratterizzate dal
diverso modo con cui il soggetto si
rapporta al mondo esterno rispetto al suo
mondo interno. La prima modalità è
caratterizzata dalla produzione di
congetture interpretative di ciò che si
percepisce, per esempio al fine di
organizzarlo. La seconda è caratterizzata
dalla produzione di congetture previsionali
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Secondo – Terzo anno di scuola primaria
“Il Signor O deve andare dal punto A al punto C che si
trovano a una stessa distanza da una strada rettilinea.
Un’auto sta passando sulla strada e deve consegnare un
pacco al Signor O. Quest’auto può viaggiare solo sulla
strada, e può fermarsi nel punto indicato dal Signor O per
incontrarlo e consegnargli il pacco. Siccome il Signor O è
molto pigro, vuole compiere il cammino più breve
possibile dal punto A al punto C passando per il punto in
cui gli sarà consegnato il pacco sulla strada. Qual è il
punto in cui deve farsi consegnare il pacco il Signor O
per compiere il cammino più breve possibile?
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Quarto – Quinto anno di scuola primaria
Che cosa cambia se i punti A e C si trovano a
diversa distanza dalla strada? Dove dobbiamo
far posare il pacco? Quale sarà il percorso più
breve per il Signor O?”
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Scuola primaria
Sotto osservazione:
gli alunni capiscono la consegna?
Sanno costruire un modellino della situazione
con materiale povero (cartoncino, spilli…)?
Producono congetture, ipotesi, come le
validano?
Come cambiano i ragionamenti dalla prima alla
seconda situazione?
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Scuola secondaria di primo grado
Lo stesso problema con Cabri, suggerendo anche
possibili interpretazioni sul piano cartesiano della
variazione della distanza AF+FC al variare di F.
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Scuola secondaria di primo grado
Sotto osservazione:
che cosa cambia nelle modalità di
esplorazione con Cabri?
Che cosa cambia nella comunicazione delle
osservazioni e delle scoperte (gesti,
metafore, segni …)
Come cambiano le modalità di validazione?
Quali difficoltà nella “lettura” del grafico?
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Biennio scuola secondaria di secondo grado
Il punto F si determina costruendo il punto A’
simmetrico di A rispetto alla retta su cui giace F e
congiungendo C con A’: perché?
Richiesta di una dimostrazione
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Biennio scuola secondaria di secondo grado
Sotto osservazione:
Come cambiano le modalità di validazione?
Apprezzano la potenza della dimostrazione e
della generalizzazione?
Che cosa cambia nella comunicazione delle
osservazioni e delle scoperte? (gesti,
metafore, segni …)
Presentazione del primo esempio di attività
didattica in continuità verticale
Più ancora delle risposte che vengono
fornite alle domande del tipo perché? è il
senso, il significato di queste domande a
essere importante: è necessario lavorare
costantemente e sistematicamente ai
fianchi gli alunni per portarli a
comprendere il significato delle domande
del tipo perché. Le risposte a queste
domande possono darsi solo ricorrendo
alla teoria, ossia a un sistema di
conoscenze organizzate, nel quale certi
fatti sono utilizzati per spiegarne altri.
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
(Quinta elementare)
Sull’isola di Itaca, Penelope sta aspettando da tanti anni il ritorno di
Ulisse, suo marito, dalla guerra di Troia. Tuttavia, a Itaca, alcuni
uomini vorrebbero prendere il posto di Ulisse e sposare Penelope.
Un giorno la dea Minerva dice a Penelope che Ulisse sta ritornando
e che la sua nave avrebbe impiegato 50 giorni per arrivare a Itaca.
Penelope riunisce immediatamente i pretendenti e dice loro: “Ho
deciso: sceglierò il mio sposo tra di voi e il matrimonio sarà
celebrato non appena avrò terminato di tessere la tela per il letto
nuziale. Inizierò a tessere oggi stesso e lo farò a giorni alterni.
Quando avrò terminato, la tela sarà la mia dote”. I pretendenti
accettano. Penelope, come promesso, inizia immediatamente a
tessere e, ogni volta che tesse, completa una spanna di tela; in gran
segreto, però, ogni giorno in cui non avrebbe dovuto tessere, disfa
mezza spanna. Sapendo che la tela deve essere lunga 15 spanne,
riuscirà Penelope ad attendere il ritorno di Ulisse senza sposarsi?
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Fase 1. L’insegnante legge la storia, per verificare se gli alunni
comprendono il testo; quindi dà inizio al lavoro in piccoli gruppi
collaborativi lasciando a disposizione degli alunni diversi materiali (fogli
di carta, matite e penne colorate, pezzi di tela, forbicine, colla, …). Gli
alunni producono uno scritto che riporta non solo la risposta, ma anche
le diverse strategie risolutive proposte, discusse e intraprese.
Fase 2. L’insegnante raccoglie le differenti produzioni scritte, ne
analizza le strategie, le difficoltà, gli errori commessi, le idee interessanti
e produce un poster che raccoglie gli aspetti più significativi e
interessanti di ogni lavoro di gruppo, in modo da impostare la
discussione alla presenza dell’intera classe.
Fase 3. Si chiede agli studenti di produrre tabelle numeriche e grafici
che possano rappresentare e descrivere la storia e la soluzione. Gli
studenti lavorano individualmente utilizzando anche strumenti
informatici come Excel per aiutarsi a produrre tabelle e grafici.
Fase 4. Una discussione finale di bilancio è condotta dall’insegnante alla
presenza di tutta la classe.
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Come gli studenti riescono a gestire il doppio registro
del trascorrere del tempo e della variazione della
lunghezza della tela? Che tipo di, gesti, metafore, segni,
disegni, diagrammi utilizzano?
Quando e come riescono a utilizzare il frame dei
multipli di 4 per risolvere il problema? Che tipo di
algoritmi utilizzano (tabelline, multipli, sottrazioni
successive, …)?
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Il figlio di un re, ormai diventato grande, era curioso di visitare e di
conoscere l’immenso regno del padre. Un giorno decise di partire
insieme a tutto il suo seguito: cavalieri, servi, carri, tende e viveri.
Ogni giorno percorrevano 50 chilometri e alla sera si accampavano
per la notte. Temendo che il viaggio fosse lunghissimo, il figlio del re,
già dopo la prima notte di sosta, chiamò il cavaliere più fidato e gli
disse: “Tu hai il compito di fare avanti e indietro dalla nostra
postazione al castello, per portarmi notizie di mia madre, di mio
padre e riferirmi che cosa succede. Io intanto continuerò ad andare
avanti”. Così si salutarono e il figlio del re riprese a cavalcare,
allontanandosi sempre più dal castello. Ogni giorno il figlio del re
percorreva 50 chilometri e il suo messaggero ne percorreva 100…
Dobbiamo scoprire quanti giorni intercorrono tra due successivi
incontri del principe con il cavaliere …
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Che tipo di strategie risolutive utilizzano gli studenti? In
quali registri? (gestuale, in lingua naturale, con disegni,
numerico, grafico, formale …) C’è una rappresentazione
esplicita di un asse del tempo? Come gestiscono le
difficoltà concettuali legate alla compresenza di due
leggi orarie? Comprendono che, quando si muovono in
senso opposto, la distanza tra i due personaggi aumenta
ogni giorno di 150 chilometri mentre, quando riprendono
a procedere nello stesso senso, la distanza via via
diminuisce di 50 chilometri? Li aiuta l’uso di uno
strumento di calcolo automatico come un foglio
elettronico? Riescono a trovare la risposta e come la
giustificano?
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Supponiamo di trovarci all’n-esimo incontro, a una distanza d(n) dal
castello (che coincide con la posizione nel sistema che ha come
origine il castello); il cavaliere, prima di incontrare nuovamente il re,
deve ripassare dalla posizione d(n) e quindi percorrere una distanza
2*d(n). Nello stesso tempo il re, che si muove a una velocità che è la
metà di quella del cavaliere, ha percorso una distanza d(n)
Se si rappresentano le due
trovandosi
quindicon
in vantaggio
leggi orarie
le corrette di d(n) rispetto al cavaliere. Questi,
muovendosi
a velocità
doppia
pendenze,
basta contare
i del re, lo raggiungerà dopo aver
quadretti
per scoprire
che reQuindi il cavaliere, dopo ogni incontro,
percorso
una distanza
2*d(n).
e cavaliere
si incontrano
in mentre il re una distanza 2*d(n).
percorrerà
una distanza
4*d(n),
giorni che sono i successivi
Entrambi,
essendo partiti dalla posizione d(n), si troveranno, al
multipli di 3
prossimo incontro, nella posizione 3*d(n). Quindi la legge ricorsiva
d(1)
= 50
d(n+1)
= 3*d(n)
dàrappresentare
le posizionispazio
dei successivi
incontri.
Viene
utilizzata
un’unica
retta per
e tempo. Per
il re ogniLa
punto
n
legge
esplicita
è d(n)un= evento
50 * 3individuato
con n numero
naturale.
Analoga
legge
della retta
rappresenta
da due numeri
(giorno
e posizione,
che
coincide
i chilometri
percorsi);
per con
il cavaliere,
va avantit(n)
e indietro,
sonon
varrà
percon
i tempi
t(n+1)
= 3*t(n)
t(1) = che
1. Quindi
= 3n con
utilizzati naturale.
diversi numeri che rappresentano i giorni, perché il cavaliere passa per la
numero
stessa posizione in giorni diversi.
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio e il
suo dottore le ha prescritto un farmaco antinfiammatorio.
Deve prendere una pastiglia da 440 mg ogni 8 ore per 10
giorni. A ogni nuova assunzione il suo rene ha filtrato il 60%
del farmaco.
Quanto farmaco c’è al massimo nel suo
organismo dopo 3 giorni? E dopo 5 giorni? Cercate di studiare
l’evoluzione della quantità massima di farmaco presente nel
sangue; Come evolve la presenza del farmaco se, dopo dieci
giorni, la studentessa non lo assume più? Quanto tempo
impiega a ridursi a 1/100 del farmaco presente dopo dieci
giorni?
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Provate a costruire una tabella del tipo
n
Giorno Tempo
(ore)
0
1
2
3
…
n
1
1
1
2
…
F(n) Farmaco
rimane (mg)
che
0
8
16
24
…
Riprendete in considerazione le varie
domande che vi sono state poste nel testo
del
problema
…
ovviamente,
per
rispondere, aiutatevi anche con la
calcolatrice… ricordate eventuali problemi
simili già svolti
Ricordate che
organizzare i
dati in modo
intelligente
aiuta … per
esempio a
definire una
funzione che
rappresenti
l’andamento
della presenza
del farmaco
nell’organismo
della
studentessa…
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Alcune idee degli studenti
“se la studentessa continuasse a prendere le pillole, la
quantità massima di farmaco tenderebbe a stabilizzarsi,
perché anche se aumenta del 40%, il suo rene filtra il
60% che è sempre maggiore… è come se diamo delle
palate di sabbia e dal mucchio, sempre più grande,
leviamo sempre il 60%, ossia una quantità sempre più
grande…prima o poi quello che aggiungo è uguale a
quello che levo e il processo si stabilizza”
“la concentrazione del farmaco cresce sempre, ma
sempre meno, ossia, la pendenza diminuisce”
“parte da 440 e poi filtra il 60%, quindi abbiamo 440 + il
40% di 440 e poi il 40% di questo più 440 e così via …”
La difficoltà è tradurre tutto ciò formalmente
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
F(0) = 440
F(1) = 0.4 F(0) + 440
F(2) = 0.4F(1) + 440
…..
F(n) = 0.4F(n-1)+440
Per rispondere alla seconda domanda, gli studenti
scrivono
G(0) = 733,33
G(2) = 0,4G(1)
G(1) = 0,4G(0)
.......
G(n) = 0,4G(n-1)
Non si accorgono che, in tal caso, è semplice trovare una
forma chiusa
G(n) = 0,4n G(0)
Ma capiscono subito che si tratta di una curva la cui
pendenza è negativa e diminuisce in valore assoluto, anche
se non raggiungerà mai lo 0
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
F(3)?
714.56
F(3) = 0.4*F(2)+440
686.4
F(2)?
F(2) = 0.4*F(1)+440
F(1)?
616
F(1) = 0.4*F(0)+440
F(0)=
440
Presentazione del secondo esempio di
attività didattica in continuità verticale
Come determinare il valore di equilibrio?
X = 0.4*X + 440
Invece, per rispondere alla domanda quanto
tempo impiega la concentrazione a ridursi a
1/100 del valore iniziale si deve risolvere
l’equazione
7,33 = 0,4 n 733,33.
La soluzione si può trovare per tentativi o
graficamente.
Conclusioni
Conclusioni
http://www.dm.unibo.it/umi/italia
no/Matematica2001/matematica
2001.html
http://www.dm.unibo.it/umi/italia
no/Matematica2003/matematica
2003.html
Conclusioni
http://didmat.dima.unige.it/
Conclusioni
Conclusioni
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