Esercizio 9.1
De Paulis-Manfredi
Costruzione di Macchine
SOLUZIONE ESERCIZI CAPITOLO 9
9.1 - La ruota di un carrello deve essere libera di ruotare su due boccole. Nota la
forza esterna scegliere il materiale con cui realizzare le boccole, assegnare le dimensioni
d
e l . Si conosce il diametro
D
= 125 mm e la forza
F
= 150 kN.
Svolgimento
Su ciascuna boccola agisce la forza 75 kN.
Per queste applicazioni, il rapporto l/d si sceglie nell'intorno dei valori
0, 8 ≤ l/d ≤
1, 8.
Presupponendo che il perno sia abbastanza rigido e le sedi ben allineate, si può
porre
l
= 160 mm.
d
si assume = 110 mm.
La pressione convenzionale
pc =
75000
= 4, 26MPa
ld
Scegliendo una boccola in bronzo, con bassi valori per la velocità periferica, si ha
pamm = 5.
La tolleranza nell'accoppiamento perno cuscinetto è H7/g6 (Ma anche H7/f7, H7/e8,
H7/d8 secondo DIN). Con il valore del diametro
(-12 , -34 ) da cui il gioco minimo
gmin
d
= 110 mm, H7
→
(+55 , 0 ) e g6
= 0,012 mm e il gioco massimo
mm. Il gioco più probabile è il valore medio
gmedio
= 0,0405 mm.
gmax
→
= 0,069
2
ψ = (D − d)/d: valori consigliati ψ = 0, 001 ÷ 0, 002
ψ = 0, 0015 ÷ 0, 0025 per metalli sinterizzati, ψ = 0, 003 ÷ 0, 0045
Il gioco diametrale relativo
per leghe metalliche,
per materie plastiche.
Per l'accoppiamento H7/g6
ψ
= 3 10
−4
.
Per ottenere un accoppiamento bloccato non smontabile, in particolare contro la reciproca rotazione sotto l'azione di un momento torcente viene consigliato l'accoppiamento
H6/n5. Con il valore del diametro
) da cui l'interferenza minima
Imin
D
= 125 mm, H6
→
(+25 , 0 ) e n5
→ (+45 , +27
Imax = 0,045
= 0,002 mm e l'interferenza massima
mm.
Supponendo innitamente rigida la parete della ruota si ha una pressione di contatto
data dalla formula
c =
σc
prm
u
=
=
rm
E
Et
in cui
•
•
raggio medio
t
spessore
Ponendo
u
rm
= 58,75 mm,
= 7,5 mm.
=
Imax
si ottiene
pmax '
10,7 MPa, ponendo
u
=
Imin
si ottiene
pmin '
0,478 MPa.
I due valori della pressione danno le tensioni circonferenziali
σc min '
σc max '
84 MPa,
4 MPa entrambe di compressione.
Il valore reale sia della pressione che della tensione sarà un valore intermedio ai valori
determinati, con tendenza al valore medio che è quello più probabile.
Si noti che la alesatura del foro della boccola dopo il montaggio forzato altera lo stato
di tensione e quindi modica il valore della pressione di contatto dovuta al forzamento.
Commento
La verica sul valore della pressione convenzionale non completa lo studio delle
boccole adottate.
Avendo scelto il diametro interno
d
= 110 mm occorre calcolare la inessione del
perno, in particolare le rotazioni che si hanno in corrispondenza delle boccole.
Se si assume la lunghezza del mozzo pari a
medie delle boccole è
Lo sbalzo
a
2b
L
= 0,400 m la distanza fra le sezioni
= 400 160 = 240 mm.
si assume uguale a 62 mm.
La rotazione in corrispondenza della sezione media della boccola si calcola, ad esempio, con il teorema di Castigliano.
Si applica nella sezione in cui si vuol conoscere la rotazione un momento ettente
Mo
e l'equazione generale è
Z
ϕ =
0
L
M ∂M
dx.
EI ∂Mo
Fissato un sistema di assi ortogonale di riferimento con la origine a metà ruota si
hanno le caratteristiche di sollecitazione riportate nella gura 9.1.1.
•
Per la forza
nell'intervallo
nell'intervallo
F:
−(a + b) ≤ −b: M = (F/2)(x + a + b)
−b ≤ +b: M = (F/2)a
3
nell'intervallo
b ≤ b + a: M = −(F/2)(x − a − b)
•
Mo :
−(a + b) ≤ −b: M = 0
−b ≤ +b: M = (Mo /2b)(x + b)
b ≤ b + a: M = 0
Per il momento
nell'intervallo
nell'intervallo
nell'intervallo
Nell'intervallo
−b ≤ +b il momento ettente totale è M = (F/2)a + (Mo /2b)(x + b)
Mo ∂M/∂Mo = (x + b)/2b pertanto
e la derivata rispetto a
+b
Z +b
Z +b
F
Mo
x+b
1
F x+b
a +
(x + b)
dx =
a
dx + Mo
....dx
2
2b
2b
EI −b 2
2b
−b
1
ϕ =
EI
Z
Ponendo
Mo = 0
−b
1 Fa
ϕ =
EI 4b
Z
+b
−b
+b
1 F a x2
1 Fa 2
1
(x + b) dx =
+ bx
=
2b =
F ab
EI 4b 2
EI 4b
2EI
−b
F ab
= 1, 75 10−4 radianti = 0, 01 gradi.
2EI
Con il gioco diametrale medio gmedio = 0,0405 mm tra boccole e
essionale è accettabile perchè lsenϕ = 0,027 < gmedio .
ϕ =
perno la rotazione
4
Figura 9.1.1 - Caratteristiche di sollecitazione
5
Esercizio 9.2
9.2 - La puleggia sollecitata da una forza
F
= 5 kN deve essere montata su due
cuscinetti. I cuscinetti a sua volta saranno montati su un perno che deve essere ssato ai
bracci
A.
Scegliere i cuscinetti, determinare la loro durata ed eseguire il disegno tecnico
del montaggio. Il foro sull'elemento
A
ha diametro
d
= 25 mm, inoltre
L
= 120 mm,
D
= 100 mm.
Svolgimento
Se si scelgono cuscinetti a strisciamento, la soluzione sarà analoga a quella dell'esercizio 9.1. Scegliendo invece cuscinetti a sfere ad una sola corona questi possono essere
•
di esecuzione base;
•
con le tenute laterali:
- con schermi non striscianti (vedere gura);
- con guarnizioni a basso attrito;
- con guarnizioni striscianti;
•
con scanalatura sulla supercie cilindrica esterna per un anello di ancoraggio.
Esistono poi i cuscinetti radiali a sfere ad una corona con taglio sfera (Fig. 9.2.1
tipo b) che hanno un intaglio assiale sulle piste per la introduzione delle sfere che hanno
diametri maggiori rispetto ai normali cuscinetti a sfere. Il numero delle sfere utilizzato
6
per questi cuscinetti è più grande rispetto agli altri tipi. La capacità di sopportare forze
radiali è maggiore mentre assialmente la forza può assumere solo valori piccoli; non sono
in grado di raggiungere le elevate velocità dei cuscinetti radiali a sfere senza intaglio
assiale.
Possono essere con schermi oppure con scanalatura sulla supercie cilindrica
esterna per l'anello di ancoraggio. La rotazione del cuscinetto rispetto ad un diametro
0
0
deve essere limitata tra 2 e 5 .
Come si vede la scelta è molto ampia; una limitazione importante è costituita dal
costo.
Si riportano di seguito i dati dei cuscinetti esaminati sul Catalogo SKF a parità di
diametro esterno
D:
a) Cuscinetti radiali a sfere ad una corona
Appellativo
d
D
B
C
Co
Pu
N
Lubrif. a grasso
6309
6211
16013
0
mm
mm
mm
N
N
N
giri/1
45
100
100
100
25
52 700
31 500
1340
6 700
21
43 600
29 000
1250
6 300
18
30 700
25 000
1060
6 300
55
65
b) Cuscinetti radiali a sfere ad una corona con schermo/i
Appellativo
d
D
B
C
Co
Pu
N
Lubrif. a grasso
6309-2Z
6211-2Z
6013-2Z
0
mm
mm
mm
N
N
N
giri/1
45
100
100
100
25
52 700
31 500
1 340
6 700
21
43 600
29 000
1250
6 300
18
30 700
25 000
1060
6 300
55
65
c) Cuscinetti radiali a sfere ad una corona con guarnizioni a basso attrito
Appellativo
d
D
B
C
Co
Pu
N
Lubrif. a grasso
61816-2RZ
0
mm
mm
mm
N
N
N
giri/1
80
100
10
12 700
11 200
610
6 000
7
d) Cuscinetti radiali a sfere ad una corona con guarizioni striscianti
Appellativo
d
D
B
C
Co
Pu
N
Lubrif. a grasso
mm
mm
mm
45
100
100
100
100
100
6309-2RS1
62309-2RS1
6211-2RS1
62211-2RS1
6013-2RS1
45
55
55
65
0
N
N
N
giri/1
25
52 700
31 500
1 340
4 500
36
52 700
31 500
1 340
4 500
21
43 600
29 000
1250
4 300
25
43 600
29 000
1250
4 300
18
30 700
25 000
1 060
4 000
e) Cuscinetti radiali a sfere ad una corona con taglio sfera
Appellativo
d
D
B
C
Co
Pu
N
Lubrif. a grasso
mm
mm
mm
N
N
N
giri/1
45
100
100
25
55 000
44 000
1850
5000
21
48 400
44 000
1860
4500
309
211
55
0
f ) Cuscinetti radiali a sfere ad una corona con taglio sfera e schermi
Appellativo
d
D
B
C
Co
Pu
N
Lubrif. a grasso
mm
mm
mm
N
N
N
giri/1
45
100
100
25
55 000
44 000
1860
5000
21
48 400
44 000
1860
4500
309-2Z
211-2Z
55
0
Poichè non vi sono spinte assiali si scelgono due cuscinetti radiali a sfere ad una corona
con schermi di protezione e con diametro esterno
mm, carico dinamico
C
= 43,6 kN, carico statico
D = 100 mm, diametro interno d = 55
Co = 29 kN, carico limite di fatica Pu
= 1,25 kN.
Velocità di base con lubricazione a grasso = 6 300 giri al minuto.
La forza su un singolo cuscinetto vale
P
= F/2 = 2 500 N.
Se il cuscinetto ruota con continuità la durata nominale, con adabilità del 90%, è
L10 =
C
P
p
=
43, 6
2, 5
3
= 5304 milioni di rivoluzioni (o di giri)
8
Fig. 9.2.1 a) Cuscinetto radiale a sfere ad una corona con schermo,
b) Cuscinetto radiale a sfere ad una corona con taglio sfera.
Per la durata eettiva occorre calcolare i coecienti
a1
l'adabilità deve essere del 95% allora il fattore correttivo è
Per il calcolo del coeciente
aSKF
e
a1
aSKF .
Ad esempio, se
= 0,62.
si
• si sceglie il lubricante;
• si considerano le condizioni operative;
• si stima la temperatura di esercizio e quindi il valore della viscosità;
• si calcola il rapporto κ = ν/ν1 , in cui ν1 è la viscosità cinematica dell'olio lubricante
che, alla temperatura di esercizio, assicura una lubricazione adeguata;
Si tiene conto della contaminazione con un coeciente
ηc
che varia fra 0 (contami-
nazione massima) a 1 (Dimensioni delle particelle presenti dell'ordine di grandezza del
velo lubricante).
•
•
calcolare
ηc · Pu /P ;
determinare sui diagrammi il valore di
aSKF
in funzione di
ηc · Pu /P
ed essendo
κ
parametro.
In Tabella 1 vengono riportati i valori di
ηc .
Si noti la grande inuenza della contam-
inazione sulla durata del cuscinetto e quindi la grande importanza dei ltri nel circuito
di alimentazione dell'olio lubricante.
In Tabella 2 vengono dati i coecienti
a1
in funzione dell'adabilità.
Commento
Per queste applicazioni spesso la velocità di rotazione, la direzione ed il verso di
applicazione del carico sono costanti ma varia solo il modulo della forza fra un valore
minimo
Fmin
e un valore massimo
FM ax .
In questi casi si denisce un carico equivalente
9
Tabella 1: Valori di
ηc
ηc
Condizioni di lavoro
Molto pulite
1, 0
Dimensione particelle dell'ordine
dello spessore del velo lubricante
Pulite
0, 8
Condizioni tipiche dei
cuscinetti lubricati a vita
e con guarnizioni striscianti
Normali
0, 5
Condizioni tipiche dei
cuscinetti lubricati a vita
e schermati
Contaminate
0, 5...0, 1
Condizioni tipiche dei
cuscinetti senza tenute integrali,
ltraggio grossolano del lubricante
e/o ingresso di particelle
Fortemente contaminate
Tabella 2: Coecienti
Adabilità ( % )
Lna
90
L10a
L5a
L4a
L3a
L2a
L1a
95
96
97
98
99
0
a1
a1
1
0,62
0,53
0,44
0,33
0,21
10
con la espressione
Fmin + 2FM ax
.
3
Peq =
e con questo carico si calcola la durata.
Questa formula per calcolare
Feq
dà un risultato abbastanza vicino a quello che si
ottiene dalla relazione tratta dal criterio di Miner Palmgren (vedi Cap.5) se si suppone
che il carico minimo agisca per il 50% dei casi e quello massimo nei restanti casi (con
Fmin = Fmax /2
i risultati quasi coincidono).
La formula data dai manuali assume un qualche danneggiamento cumulativo di tipo
semi gaussiano.
Se l'elemento tubolare con la sua supercie interna è a contatto con la supercie
esterna del perno in ogni suo punto. Ciò si ottiene assegnando le tolleranze sulle quote
tipo H6/h5 (centratura con precisione, scorrevole assialmente con montaggio a mano)
e con le tolleranze geometriche di rettilinearità, cilindricità, coassialità. Si può denire
quindi una pressione di contatto
p̄c =
F
LT diT
con
• LT
• diT
lunghezza di contatto del tubo,
diametro interno tubo.
A questa pressione di contatto corrisponde una forza per unità di lunghezza
F
LT
q = p̄c diT =
Il modello statico a trave appoggiata fornisce un momento ettente massimo a metà
trave
Mf max = q
L2
8
e un taglio massimo in corrispondenza di metà supporto
Tmax = q
L
2
In queste espressioni, che forniscono i massimi valori delle caratteristiche di sollecitazioni,
L
rappresenta la lunghezza della trave, ossia la distanza fra i due appoggi.
La massima tensione normale è data da
σmax =
Mf max
Mf max
=
Wf
0, 1d3
La massima tensione tangenziale è data da
τmax =
4 Tmax
4 Tmax
=
3 A
3 0, 25πd2
Per le frecce/rotazioni occorre considerare l'insieme tubo/perno come un composito. Se
i materiali del tubo e del perno sono gli stessi (stesso modulo di elasticità
si semplica.
E ) il problema
11
9.2.2 - Soluzione costruttiva: in rosso le parti rotanti, in blu le parti sse
Le veriche non si esauriscono con quanto scritto sopra: non può essere ignorato il
contatto perno/bracci
contatto.
A
di sostegno.
Qui occorre limitare il valore della pressione di
12
9.3 - Un cuscinetto che funziona a regime idrodinamico ha il perno, con diametro
e lunghezza
l
( = 0,5
Il gioco radiale
∆T /2
c
d
), che ruota a
giri al minuto ed è sottoposto ad una forza
d
P.
viene assegnato. Si conosce l'olio lubricante e la temperatura media
del lubricante nel cuscinetto.
Usando i diagrammi di
il valore minimo
ho
Dati:
r
= 45 mm,
c
Raimondi − Boyd
disponibili nel sito Pearson calcolare:
dello spessore del meato d'olio, il coeciente di attrito
della pressione massima
P
N
pmax ,
la portata
= 0,02 mm,
N
Q
f , il valore
Qs .
e la portata laterale
= 3000 giri/minuto, olio SAE 20,
∆T /2
◦
= 50
C,
= 5 kN.
Svolgimento
Per la dipendenza della viscosità dalla temperatura si sceglie un olio SAE: il diagram-
µ(T ) riporta per diversi oli (da SAE10 a SAE70) la viscosità in millipascal secondo
10−3 pascal secondo) in funzione della temperatura in gradi centigradi e l'interval◦
◦
di temperatura considerato va da 10 a 145 C. La legge µ(T ) è la stessa legge (9.1)
ma
(ossia
lo
riportata nel testo con la viscosità dinamica al posto della viscosità cinematica.
Secondo A. S. Seireg, S. Dondage
1 si ha la curva di interpolazione
9/5 b + 32
µ = µo exp
9/5 T + 127
in cui
T
è in gradi
◦
C e le costanti
µo
e
Grado SAE
b
sono nella seguente tabella
Viscosità
mPa
s
µo
costante
◦
b
C
10
0,109
635,3
20
0,094
688,7
30
0,097
737,8
40
0,083
801,3
50
0,117
820,9
60
0,129
851,1
Per il calcolo del perno lubricato con dimensioni nite si fa uso dei diagrammi di
Raimondi-Boyd. I diagrammi preparati da questi autori contengono
- il parametro rapporto lunghezza/diametro del cuscinetto
(l/d)
con i valori 1/4, 1/2
e 1.
- l'angolo
β
che individua la zona lubricata che varia da 60
◦
a 360◦.
Questi diagrammi consentono di determinare il coeciente di attrito
momento resistente è
1
M
=
fPr
e la potenza dissipata in calore
W
=
f
Empirical Design Procedure for the Thermodynamic Behaviour of Journal Bearing
Technology, vol. 104, aprile 1982, pp. 135-148
e quindi il
M Ω.
, Lubrication
13
I diagrammi si riferiscono alla soluzione numerica dell'equazione di Reynolds, quindi
ad un meato compreso fra due cilindri con gli assi non coincidenti e di lunghezza nita.
I diagrammi di Raimondi e Boyd vengono dati con sull'asse delle ascisse il numero di
Sommerfeld
S =
µNs r 2
pc
c
in cui
µ è la viscosità in Pa s,
Ns è il numero di giri al secondo,
- pc è la pressione convenzionale = P/2rl,
- r è il diametro nominale del perno,
- c è il gioco radiale, dierenza tra il raggio della boccola e del perno, che rappresenta
-
un valore medio o più probabile di un certo accoppiamento tollerato con gioco.
S
Nei diagrammi il numero di Sommerfeld
Nel caso dell'esercizio con
d = 2r
varia fra 0 e 10.
= 90 mm se si adopera l'accoppiamento H7/g6 si
hanno le tolleranze H7 = (+35/0), g6 = (-12/-34) da cui i valori dei giochi sul diametro:
•
•
•
gM ax = 69 µm,
minimo gmin = 12 µm,
medio gmedio = 40,5 µm.
gioco massino
gioco
gioco
Il gioco medio sul raggio vale pertanto
con
c
gmedio raggio
= 20,25
µm
valore coincidente
assegnato.
Oltre alle tolleranze sulle quote, devono essere assegnate tutte le tolleranze geometriche anchè la geometria del meato corrisponda al modello teorico.
ho dipende dalla nitura superRa = 0, 8 µm, ma si può rendere necessaria
Il valore minimo ammissibile dell'altezza del meato
ciale, ossia dalla rugosità. Usando la rettica
una ulteriore lavorazione (lappatura) per le superci che delimitano il meato.
Se i carichi variano rapidamente, calcoli semplicati basati sull'ipotesi che i valori
massimi del carico restano costanti portano a valori di
ho
a circa un terzo dei valori
eettivi; calcoli più precisi devono tenere conto della lubricazione per accostamento.
Il lubricante che entra nel cuscinetto ha una portata
Q
3
in litri/s o m /s: una parte
di questa portata esce dal cuscinetto con un usso laterale (Qs ) che asporta una parte
di calore generato, il resto del lubricante uisce nella zona caricata del cuscinetto e
allontana la parte restante del calore generato.
Le ordinate dei diagrammi di Raymondi e Boyd rappresentano i parametri adimensionali
-
Rf = (r/c) f ,
Rp = p/pmax ,
RQ = Q/(rlcNs ),
RQs = Qs /Q.
Una delle ipotesi fatta da Raymondi e Boyd nella soluzione numerica della equazione
di Reynolds è che la viscosità del lubricante rimanga costante nel cuscinetto. A causa
14
della viscosità la temperatura dell'olio è maggiore quando abbandona la zona portante
rispetto alla temperatura
to della temperatura.
Ti
che si ha nell'ingresso. La viscosità diminuisce con l'aumen-
Si presenta il problema di conoscere il valore della viscosità da
utilizzare per determinare le grandezze di interesse. Per questa ragione il calcolo non è
diretto ma iterativo come illustrato nello schema di gura 9.11 del testo: si calcola la temperatura che si ha con un certo valore della viscosità del lubricante usato e con questa
temperatura si ricalcola il nuovo valore della viscosità del lubricante no a raggiungere
il valore della temperatura di equilibrio.
Per il valore della viscosità da utilizzare nel calcolo si impiega il valore che compete
alla temperatura media fra quella di ingresso e quella di uscita nel meato.
Si indica con
∆T
l'aumento di temperatura del lubricante dall'ingresso
attivo (sottoposto a pressione) all'uscita
Tu
Ti
nel meato
della stessa zona.
La temperatura media del lubricante si scrive
Tm =
Tu
Ti
∆T
Ti + Tu
= Ti +
−
= Ti +
2
2
2
2
Se la variazione di temperatura fra ingresso nel meato e uscita dal meato è
∆T
la
quantità di calore associata per unità di tempo è
H0 = Cp ρ (Q − Qs ) ∆T,
mentre la quantità di calore associato all'olio che esce lateralmente per unità di tempo è
H00 = Cp ρ Qs
∆T
.
2
La quantità di calore totale, sempre per unità di tempo, deve essere uguale alla potenza
dissipata
H = H0 + H00 = M Ω = (P f )rΩ
Le grandezze
ρCp
ρ
e
Cp
sono funzioni della temperatura, per gli oli minerali il prodotto
è sensibilmente costante al variare della temperatura ed è
ρCp = 1, 36
MPa
◦C
La quantità di calore (energia termica) per unità di tempo è uguale alla potenza
dissipata
∆T
∆T
+ ρCp (Q − Qs )
= ΩP f r(2π Ns )P f r
2
2
1 Qs
c
ρCp Q∆T 1 −
= (2π Ns )(2rlpc )f r
2 Q
c
ρCp Qs
in cui il secondo membro è stato moltiplicato e diviso per
(4π Ns )(rlpc )c
c
e che si riscrive:
rf
c
Si ha pertanto
ρCp Q∆T
1 Qs
1 −
2 Q
= (4π Ns )(rlpc )c
rf
c
15
(4π Ns )(rlpc )c
1 Qs
rf
ρCp ∆T Q
1 −
=
(4πpc ) Ns rlc
2 Q
c
1
ρCp ∆T
RQ 1 − RQs = Rf
4πpc
2
Dividendo ambo i membri per
ρCp ∆T
Rf
=
4πpc
RQ (1 − RQs /2)
ρ
Sostituendo i valori medi di
= 862 kg/m
120522
Se
pc
3
e
Cp
= 1757 J/(kg
·◦ C
)
Rf
∆T
=
pc
RQ (1 − RQs /2)
si misura in MPa si ha
0, 12
Per un rapporto assegnato
i valori di
Rf , RQ
e di
l/d
RQs
Rf
∆T
=
pc
RQ (1 − RQs /2)
e per un valore di
S
(1)
dai diagrammi è possibile conoscere
e quindi dalla 1 il valore di
∆T .
La temperatura dell'olio quando si ha equilibrio termico può essere calcolata usando
i diagrammi redatti da Raimondi-Boyd reperibili in letteratura.
Per il perno di cui è noto il rapporto
l/d
e per un valore di
Raymondi e Boyd si possono conoscere i valori di
valore di
R f , RQ
e di
RQs
S
dai diagrammi di
e quindi dalla ( 1) il
∆T .
r = 45 mm, l = 45 mm, c = 0,02 mm, poichè viene assegnato ∆T /2 occorre
Ti .
serie discreta di valori di Ti si calcola:
Con i dati
determinare per tentativi il valore della temperatura
Con una
•
•
•
•
µ,
S,
Rf , RQ
il valore della viscosità
il numeri di Sommerfeld
i valori dei parametri
il valore di
∆T
e
RQs ,
e questo valore si confronta con il valore assegnato.
Ti = 67 ◦ C consente di ottenere il valore assegnato ∆T /2 = 50 ◦ C. Risulta
◦
pertanto Tm = Ti + ∆T /2 = 117 C e con questo valore l'olio lubricante SAE 20 ha
una viscosità media di µ = 0,0034 Pa s.
Il valore
Con il valore della pressione
pc =
si ottene il numero di Sommerfeld
gono i valori dei parametri:
- Parametro
Rf
= 15,4,
S
F
= 1, 234 MPa
2rl
= 0,707 e con questo valore dai diagrammi si otten-
16
- Parametro
- Parametro
RQ = 4,39,
RQs = 0,56.
Con il numero di Sommerfeld uguale a 0,707 si ha il rapporto
rapporto
pc /pmax
ho /c
= 0,57 ed il
= 0,42.
Quindi l'altezza minima del meato è
ho
= 0,57
·
0,02 = 0,0114 mm; il valore di
ho
dovrebbe soddisfare una relazione empirica dovuta a Trumpler:
ho ≥ 0, 005 + 0, 00004 D = 0, 0086 mathrmmm
ed è soddisfatta in questo esercizio.
Questa relazione è valida se la supercie del perno ha una rugosità inferiore a 0,005,
con tolleranze geometriche di circolarità, parallelismo e cilindricità di buona precisione.
Essenziale è anche la pulizia dell'olio usato.
La pressione massima:
pmax
= 1,234
·
6
10
/ 0,42 = 2,92 MPa.
Dai valori dei parametri dedotti delle tabelle si ottiene:
•
•
•
f = cRf /r = 0,0002,
Q = RQ rlcNs = 8 ·10−3 litri/s,
−3
laterale Qs = RQs Q = 5 ·10
litri/s.
il coeciente di attrito
la portata
la portata
Con i dati assegnati, dallo studio eettuato con i diagrammi di Raymondi e Boyd,
risulta che il lubricante introdotto nel cuscinetto deve avere una portata totale
Q + Qs = 13 · 10−3 litri/s
e la sua temperatura di ingresso deve essere di
Con riferimento allo schema della Fig.
Ti
Qt =
= 67
◦
C.
9.15 del testo deve essere curato il circuito
idraulico per il controllo della temperatura e per il ltraggio dell'olio lubricante.
genere i ltri industriali trattengono quasi tutte le particelle di 3, 10 o 25
µm
In
a seconda
della nezza del ltro stesso. Per il cuscinetto idrodinamico qui esaminato la scelta è per
quello più ne, da mettere sulla mandata (corpo del ltro in pressione, ma non tutti i
produttori lo consentono).
17
9.4 - Diagramma di
ho , f , Q
in funzione di
c
9.4 - Con i dati dell'esercizio 4, si faccia variare il gioco radiale
nell'intervallo (0,01
l, µ, N
e
P.
÷
c in maniera discreta
ho (c), f (c), Q(c), Qs (c) essendo costanti d,
funzione ho (c) ha il massimo ? Quali informazioni
0,15) e si rappresenti
Per quale valore di
c
la
può desumere un progettista da questo diagramma ?
Svolgimento
Con i valori
r
= 45 mm,
l
pc = 1,234 MPa, Ns = 50 s−1 , µ = 0.007815 mPa s sono
S , ho , f , Q, e Qs al variale di c. Questi valori sono riportati
= 45 mm,
stati calcolati i valori di
nella seguente gura in cui le ordinate hanno scale dierenti a seconda della grandezza
sica considerata.
Le portate
Q
e
Qs
hanno un andamento quasi lineare.
diminuisce con l'aumentare di
assume un valore massimo
c.
hmax
= 0,012 mm per
In genere viene consigliato di assegnare un
con un valore di
il gioco radiale
c
ho
Il coeciente di attrito
Dalla gura si ha che l'altezza minima del meato
c
c
f
ho
= 0,031 mm.
in modo da far funzionare il cuscinetto
poco inferiore al valore massimo. L'usura infatti può far aumentare
facendo aumentare quindi il valore di
ho .
I valori più elevati di c hanno giusticazione per la rappresentazione graca perchè
assegnato nei dati, da un punto di vista sico sono valori irrealistici.
Con
ho avente un valore elevato esiste un maggiore margine per sostenere sovraccarichi
impulsivi grazie al fenomeno della lubricazione per accostamento.
18
Esercizio 9.5
9.5 - L'albero ha un diametro
d = 30 mm e ruota con numero giri N = 300 al minuto.
Le forze sui cuscinetti sono
Fa1 = 0;
Fr1 = 3, 5 kN
Fa2 = 4 kN;
Fr2 = 7 kN
I cuscinetti sono lubricati a grasso.
Per il cuscinetto
1: X = 1
e
Y =0
P = Fr1 = 3, 5 kN.
d = 30 mm e diametro esterno D = 45 mm;
quindi il carico equivalente vale
Si sceglie un cuscinetto con diametro interno
da Catalogo risulta
Co = 7, 35 kN,
Il rapporto
C/P
C = 11, 2 kN.
3, 20 da cui la durata di base
3
C
L10 =
= 3, 23 = 32 milioni di giri ≈ 1 800 h.
P
vale
Si vuole scegliere il cuscinetto
2
in modo che abbia la stessa durata del cuscinetto
1.
Svolgimento
Il calcolo si eettua senza considerare i coecienti correttivi per la durata, supponendo che entrambi i cuscinetti siano nelle stesse condizioni operative.
Sul cuscinetto 2 agisce sia una forza radiale che una forza assiale. Il loro rapporto
vale
e
Fa2 /Fr2 = 0, 57.
X=1eY =0
P = Fr2 . Si fa questo perchè per calcolare i coecienti X e Y della relazione
denitiva: P = X Fr2 + Y Fr1 occorre calcolare il rapporto Fa2 /Co e per fare questo
calcolo occorre conoscere Co , ossia ssare le dimensioni del cuscinetto 2.
Con questo valore del carico equivalente si determina il carico dinamico di riferimento C
necessario, imponendo la stessa durata nominale di base L10 ; risulta
Con un primo calcolo si suppone che la forza assiale sia nulla e quindi
da cui
C = 3, 2 · P = 22 kN.
19
Si sceglie il cuscinetto avente le dimensioni
d
= 30 mm e
D
= 72 mm che è compatibile
con le condizioni di interfaccia (ovvero di montaggio) rappresentate in gura e possiede
un carico dinamico di riferimento C superiore al valore di cui sopra.
Con le dimensioni scelte si hanno i carichi di riferimento
Co = 16 kN,
Si ottiene
C = 28, 1 kN.
Fa2
= 0, 25.
Co
Con le Tabelle fornite dal Catalogo, considerando un gioco normale, si ottengono i valori
X = 0, 56,
e = 0, 37,
(X è costante per tutti i possibili valori di
Se il valore del rapporto
Fa2 /Co
Fa2 /Co
Y = 1, 2,
).
non è in Tabella, per ottenere
e
e
Y
occorre interpolare
linearmente.
Nel presente caso il carico equivalente è
P = 0, 56Fr2 + 1, 2Fa2 = 8, 72 kN.
Per avere la stessa durata del primo cuscinetto occorre che sia
C = 3, 2 · P = 16 kN.
Si sceglie il cuscinetto con
C = 28, 1kN, valore che con il carico equivalente P = 31, 48kN,
fornisce una durata nominale
L10 = 33, 4 milioni di giri ≈ 1859 h,
valore confrontabile con quello del primo cuscinetto.
La durata eettiva per entrambi i cuscinetti si calcolerà con il coeciente correttivo per
l'adabilità e con il coeciente correttivo
a23
per il materiale e per il lubricante, coef-
cienti normalmente forniti dal produttore in funzione:
- del rapporto tra la viscosità cinematica
ν
eettiva del lubricante alla temperatura di
esercizio ed un valore di viscosità cinematica
ν1
di riferimento per il costruttore relativa-
mente a quella dimensione e quel certo numero di giri;
- del grado di pulizia nelle procedure di montaggio e di manutenzione, ecacia delle
tenute e del sistema di ltraggio, che determinano il livello di contaminazione dovuta
soprattutto a particelle dure;
- del rapporto tra il carico limite di fatica
Pu
del cuscinetto e quello equivalente
P
cal-
colato.
La durata eettiva si sceglie inoltre in funzione dell'adabilità voluta, che di regola è
maggiore del 90% insito nella denizione di
ciente
a1 ,
L10 .
A tale scopo si introduce un coe-
che è concettualmente analogo al coeciente
proposito della resistenza dei materiali. I valori di
distribuzione non gaussiana delle durate
L
a1
CR
denito nei Capitoli 4 e 5 a
dipendono anche dalla forma della
dei cuscinetti a rotolamento.
I diagrammi si utilizzano anche per i grassi con olio base minerale, essendo
viscosità cinematica dell'olio base.
ν1
la
20
Per un olio lubricante con VI = 85 viene anche data la dipendenza della viscosità
cinematica dalla temperatura.
Si consulti il sito web:
http://www.skf.com/portal/skf/home/products/maincatalogue
21
Esercizio 9.6
9.6 - Nel montaggio di Fig. 9.6 con due cuscinetti obliqui a sfere (1 e 2) si conosce la
forza assiale che agisce sull'albero
A = 300 N .
I due cuscinetti hanno stesse dimensioni
e sono lubricati con grasso. Si conosce la curva sperimentale
F = f (δ)
riportata nella
Fig. 9.6.1. Si chiede la rigidezza del sistema costituito dai due cuscinetti.
Soluzione
Si risolve il problema considerando il caso che i due cuscinetti siano uguali fra loro.
L'esercizio del testo sarà risolto dallo studente.
Da Catalogo i cuscinetti uguali fra loro assialmente hanno il legame fra forza e
spostamento assiale dato da
F = 14 δ 1,75 .
Qualche produttore di cuscinetti suggerisce di assumere come valore del precarico un
terzo della forza assiale
A
oppure
0, 03 ÷ 0, 04
del carico dinamico
C
del cuscinetto più
grande.
Nella presente soluzione si assume il valore del precarico come un terzo della forza
assiale
Fi ≈ A/3 = 100 N .
Il precarico sarà assegnato misurando il momento resistente.
rigidezza della ghiera e
Fi
K2
in funzione della frazione
γ
del passo
Fi =
p
Fi
K1
è la
della lettatura è dato da
K1 K2
γp
K1 + K2
Questa relazione dimostra che, a piccole variazioni di
vata di
Si noti che se
la rigidezza assiale dell'albero-anelli del cuscinetto, il precarico
γ,
corrisponde una variazione ele-
a causa dell'alto valore della frazione che compare a secondo membro.
Assegnando il precarico
Fi
i due cuscinetti subiscono uno spostamento assiale
δ =
3, 07 µm.
L'interferenza è
i = 6, 14 µm.
Con questi valori si può disegnare il diagramma triangolare.
In Fig. 9.6bis a) le due curve rappresentative delle forze date dai cuscinetti vengono
rappresentate sull'intervallo di spostamenti assiali uguale alla interferenza
i.
22
Fig. 9.6.1 - Diagramma triangolare per i cuscinetti
Introducendo la forza
Fe
occorre determinare la posizione del segmento rappresen-
tativo di questa forza nel diagramma triangolare mistilineo.
In Fig. 9.6.1 b) la curva che si riferisce al cuscinetto
intersezione con la curva
2
1 viene traslata di Fe ;
il punto di
consente di individuare la posizione della forza e, in ascisse, i
corrispondenti spostamenti.
Risulta
secondo
A
δ1 = 4, 40µm e quindi le forze sul primo cuscinetto è F1
F2
= 187,2 N, mentre nel
= 37,2 N e la dierenza fra queste forze è uguale alla forza assiale assegnata
= 150 N.
Poichè la curva caratteristica non è lineare, la rigidezza varia con lo spostamento
Essa è data dalla derivata
δ.
dF/dδ .
In corrispondenza dei punti individuati dalla forza assiale le rigidezze (assiali) dei due
cuscinetti hanno lo stesso valore
K1 = 56, 8 N/µm
quindi la rigidezza complessiva del
sistema costituito dai due cuscinetti è
K = K1 + K2 = 113, 6 N/µm
La soluzione può essere determinata utilizzando un qualsiasi programma di calcolo
che consenta anche la rappresentazione graca dei risultati.
Commento
In questo esercizio la rigidezza dei cuscinetti è stata determinata nel punto individuato dalla forza
Fi .
Variando il valore di
Fi ,
cambiano i valori delle rigidezze
K1
e
K2 .
La conseguenza è che la rigidezza del sistema dipende dal valore del precarico assegnato.
Nel caso dell'esercizio del testo lo studente utilizzerà le curve caratteristiche dei due
cuscinetti date in gura 9.6.2.
Si analizzi il montaggio riportato nella gura 9.5 del testo e lo si modichi supponendo
23
9.6.2 - Curve caratteristiche cuscinetti Esercizio 9.6
di voler variare il valore del precarico ricorrendo ad un anello calibrato oppure ad un
elemento elastico.