Alunno:
Docente:
Prof. Pietro Nastasi
Fabio Cacioppo
Sommario
• Cenni storici
• Il sistema numerico
• Le moltiplicazioni e le divisioni
• I problemi
• Plimpton 322
• Conclusioni
2
Cenni storici:
Il Regno di Babilonia (babilonese Babil, "porta di Dio") è
un antico regno della Mesopotamia; conosciuto
inizialmente come Sumer e in seguito come Sumer e
Accad, si estendeva su un territorio tra il Tigri e l'Eufrate a
sud dell'odierna Baghdad, in Iraq.
Sviluppatasi dal XVIII al VI secolo a.C. , la
civiltà babilonese fu, come quella sumera
che la precedette, una civiltà di carattere
urbano. Nella regione si potevano contare
più di una dozzina di città circondate da
villaggi. A capo della struttura politica vi era il
re, monarca assoluto che esercitava potere
legislativo, esecutivo e giudiziario. Sotto di lui
vi era un gruppo di governatori e
amministratori. A un consiglio degli anziani
della città era delegata l'amministrazione
locale.
3
La cultura babilonese, complessa e articolata, influenzò quelle dei
paesi confinanti, come il regno assiro (Assiria). Gli scavi
archeologici hanno restituito molte tavolette d'argilla incise con
caratteri cuneiformi, documenti preziosi della letteratura babilonese.
La conoscenza della matematica babilonese è relativamente recente e
si basa principalmente sui lavori di Otto Neugebauer (1899-1990).I
testi matematici babilonesi, incisi anch’ ‘essi su delle tavolette di
creta si possono classificare in due gruppi principali:
– tavolette contenti tabelle numeriche (il gruppo più numeroso)
– tavolette contenenti problemi (di natura sia algebrica che
geometrica)
4
Il sistema numerico:
Il sistema numerico babilonese, almeno quello scientifico (in quanto
quello quotidiano usa spesso anche quello additivo per
giustapposizione) presenta due caratteri originali, che non si
riscontrano in alcun altro sistema antico e che sono rimasti ancor
oggi nell’ uso astronomico:
– il sistema numerico babilonese è un sistema posizionale .
– il sistema numerico babilonese è in base sessagesimale.
La notazione posizionale è del tutto opposta a quella additiva (per
giustapposizione) diffusa in tutto il mondo antico, che ritroviamo ad
esempio nelle cifre romane.
Una “appropriata” spaziatura fra gruppi di cunei permetteva di
distinguere posizioni che, lette da destra a sinistra, corrispondevano
a potenze crescenti della base (qui potenze di 60). Ciascun gruppo
di simboli cuneiformi avevano un valore locale .
5
Infatti, volendo fare un paragone, a meno dei simboli usati
per indicare i numeri della base, avremo ad esempio:
243 in base decimale
34,8,12 1 in base sessagesimale
che interpreteremo nel modo seguente:
2
34
4
8
3
12
=
=
2 x 102 + 4 x 101 + 3 x 100
34 x 602 + 8 x 601 + 12 x 600
=
=
243
122892
Ma il sistema babilonese presentava un rilevante svantaggio:
quello di non essere un sistema posizionale assoluto a causa della
mancanza dello zero.
Questa mancanza porta a due notevoli ambiguità:
La prima è quella di non riuscire a collocare le cifre del numero nella
giusta posizione;
Per es. il numero 2 12 poteva essere interpretato senza alcuna
obiezione (se non contestuale) in varie maniere, tra cui :
useremo proprio il simbolo “,”
per indicare le diverse posizioni mentre il simbolo “;”
lo useremo come separatore dei numeri interi dai numeri decimali
1
6
2
2
12
12
2
12
=
=
=
2 x 60 + 12
2 x 602 + 12 x 60
2 x 60-1 + 12 x 60-2
=
=
=
132
7920
0,036667
La seconda è quella di non avere neanche un simbolo (funzione svolta
sempre dallo zero) per indicare che in una data posizione del
numero non viene considerato alcun valore.
Per esempio sempre per il numero 2 12 a causa di uno spazio più o
meno vistoso si può interpretare ,erroneamente, in due maniere
diverse:
2
2
0
12
12
=
=
2 x 60 + 12
2 x 602 + 0 x 60 + 12
=
=
132
7212
E una simile ambiguità, forse non rilevante a prima vista, risulterà ,
come avremo la possibilità di vedere, decisiva in varie tavolette, tra
cui proprio la Plimpton 322 .
7
Le moltiplicazioni e le divisioni
Abbiamo già detto che la maggior parte delle tavolette arrivateci sono
tavole numeriche,e spesso erano di due tipi:
– tavole di moltiplicazione (fatte da 2 colonne: m, m x n)
– tavole di inversi (fatte anch’esse da due colonne: n, 1/n)
Questo deriva proprio dal fatto che le divisioni dei babilonesi, almeno
quelle per i numeri “regolari” 2,venivano fatte in due tempi;
L’operazione m:n veniva infatti fatta, come avrebbe detto uno scriba
babilonese al suo alunno, così:
cerca l’ “inverso” di n nella tavola degli inversi
moltiplica il numero trovato per m
2
8
La definizione di numero “regolare” data da Neugebauer è data nelle pagine seguenti
Uno scriba babilonese per moltiplicare ad esempio 12 per 12 userebbe
la tavola del 12,trovando immediatamente il risultato 2,24.
Per dividere 12 per 5 saprebbe, da una tavola di reciproci, che 1/5
corrisponde a 0,12 (infatti 1/5 = 12/60). Pertanto l’operazione 12 x 1/5
porta ancora a trovare il valore di 12 x 12, a meno della posizione,
ovvero 2;24.
Quindi il procedimento babilonese evitava completamente regole
speciali per il computo di frazioni (siano queste unitarie, come quelle
egizie, o no), ed esige che si ricordi correttamente il valore
posizionale di ciascun numero che interviene nel computo
(proprio come facciamo noi ad esempio nel calcolare la virgola
decimale).
Un’ ulteriore osservazione, riguardo il calcolo dei reciproci, è che la
divisione dell’unità per un numero n è un’operazione semplice se
i fattori di n sono, a meno di esponenti, quelli della base del sistema
di numerazione.
9
Come nel nostro sistema decimale la divisione dell’unità è immediata
per un numero nella forma con 2x ∙ 5y con x, y naturali,
analogamente lo è nel sistema sessagesimale per un numero nella
forma 2x ∙ 3z ∙ 5y con x, z, y naturali. Neugebauer ha chiamato questi
numeri “regolari”.
Quindi possiamo dire sinteticamente che i babilonesi, sfruttando al
meglio la flessibilità offerta dal loro sistema di numerazione, tramite
la combinazione di tavole di moltiplicazione e di reciproci, riuscivano
a calcolare “tutti” i prodotti a x 1/b.
Dire che riuscivano a calcolare “tutti i prodotti” tramite le loro tavole
non significa che queste erano perfettamente complete: oltre a
essere naturalmente finite (troviamo tavole che vanno da 2 a 1,21),
presentano chiaramente delle lacune.
Infatti nelle tavole dei reciproci non troviamo il reciproco di 7, 13,14….
Ma riflettendoci un momento la ragione è evidente:
In realtà, fissata una base del sistema numerico, se l’unità viene divisa
per numeri diversi da quelli regolari, il risultato non può essere
espresso con un numero finito di posti
10
Per es. prendiamo i numeri 25 e 9
Base decimale (i numeri regolari sono nella forma 2x ∙ 5y con x, y naturali)
25= 52
9= 32
n= 25
n= 9
num regolare
num non regolare
1/25=
1/9=
0,04
0,111111111
Base sessagesimale (i numeri regolari sono nella forma 2x ∙ 3z ∙ 5y con x, z, y
naturali)
25= 52
9= 32
n= 25
n= 9
num regolare
num regolare
1/25=
1/9=
0;2,24
0;6,40
Infatti per esempio se vogliamo esprimere 1/9 in sessagesimale,
essendo 9 regolare, basta fare dei semplici passaggi:
1
9
11
=
1
33
=
1 (22  22  5  5)
3  3  (22  22  5  5)
=
400
3600
=
(6  60)  40
60 2
=
6
40
+
60
60 2
Un’ ultima osservazione rilevante è la presenza di diverse espressioni
frazionarie: 1/2, 1/3, 2/3, 5/6. L’impiego di tali frazioni è un fatto
originale per la cultura preclassica, in cui era diffuso l’uso delle
frazioni unitarie.
12
I problemi
In questo paragrafo riportiamo alcuni dei problemi che ho ritenuto
interessanti nel mio studio.
Spesso in una stessa tavoletta, di cui riporterò l’etichetta all’inizio di
ogni problema (per esempio YBC 4652), vengono affrontati problemi
di un’ uguale tipologia: infatti, quando ciò accade, svilupperò solo
uno dei problemi della tavoletta, indicandone il numero che lo
identifica.
Ecco allora alcuni degli esercizi, inediti nel nostro corso, che ci
preparano anche ad affrontare l’argomento più vasto della tavoletta
Plimpton 322.
13
YBC 4652
Problema 21
Ho trovato una pietra, (ma) non l’avevo pesata; (dopo) ho sottratto un
sesto (e) aggiunto un terzo di un ottavo, ho pesato (essa): 1 ma-na.
Qual era (il peso) originale della pietra? (Il peso) originale della pietra
era 1 ma-na, 9 gin, 21 ½ ŝe , e un decimo di ŝe.
Cerchiamo di portare il problema in un linguaggio più idoneo al nostro.
Il peso della pietra è la nostra incognita x.
ho sottratto un sesto …. loro non intendono x-1/6 ma intendono
ho sottratto a x un sesto di x.
(e) aggiunto un terzo di un ottavo naturalmente sono un terzo di un
ottavo di “qualcosa”…
1 1
 x
potremmo interpretare un terzo di un ottavo di x ovvero
3 8
ma in realtà, sulla falsa riga degli esercizi precedenti della tavoletta ( il
numero 19 e 20), bisogna interpretare ciò come
14
1 1
1
 ( x  x)
3 8
6
Quindi in conclusione la nostra equazione è
1
1 1
1
( x  x)   ( x  x)  1
6
3 8
6
che svolgendo le operazioni, possiamo scrivere
1
1
24( x  x)  ( x  x)  24
6
6
x
 25( x 
1
x)  24
6
1
24
 x x 
6
25
 6x  x  6
6 24 144
19

 1
5 25 125
125
La parte finale del testo ci dice che
(Il peso) originale della pietra era 1 ma-na, 9 gin, 21 ½ ŝe , e un decimo
di ŝe.
Ora,tenendo presente, sempre dai due problemi precedenti, che 1 mana = 60 gin, dobbiamo riuscire a scoprire quanto sia per loro un ŝe.
Dopo aver ottenuto 1 ma-na più 19/125 di ma-na portiamo quest’ultima
frazione in sessantesimi
15
24
25
19
1 1140 1
3

 (9  )
125 60 125 60
25
(Il peso) originale della pietra era 1 ma-na, 9 gin,
21 ½ ŝe, e un decimo di ŝe.
ovvero otteniamo i nove gin più 3/25 gin
e quindi, stando sempre al testo dello scriba, dovrà essere che
3
1 1

21


gin
ŝe
25
2 10
dove facendo delle semplici operazioni otteniamo che
1 gin = 180 ŝe.
16
YBC 4186
Una vasca era 10 GAR quadrati, 10 GAR profondi.
Ho fatto uscire [?] l’acqua che conteneva: con quest’ acqua quanto
campo posso irrigare ad una profondità di 1 ŝu-si?
Metti (da parte) 10 e 10 che formano il quadrato.
Metti (da parte) 10, la profondità della vasca.
E metti (da parte) 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il campo.
Prendi il reciproco di 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il
campo, e (il risultato) 6,0 moltiplicalo per 10, la profondità della
cisterna, (e il risultato è) 1,0,0.
1,0,0 tienilo a mente.
(Il quadrato[?]) 10, che forma il quadrato, (e il risultato è) 1,40.
Moltiplica 1,40 per 1,0,0 che avevi tenuto a mente. Ho irrigato 1,40,0,0
(SAR) di campo.
17
Il testo assume una vasca di forma cubica, e la sua lunghezza L,
larghezza B, e profondità H sono 10 GAR ciascuno.
Il problema posto richiede il calcolo dell’area A del campo
irrigato ad una profondità HA di 1 ŝu-si dall’acqua
contenuta nella vasca.
Dopo la trasformazione di
HA = 1 ŝu-si = 0;0,10 GAR
H
LB  A
i calcoli vengono fatti in base alla formula
HA
Andiamo ad esaminare la “ricetta” per risolvere il problema data dallo
scriba
Prendi il reciproco di 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il campo,
vogliamo calcolare il reciproco di 0;0,10
(0;0,10)R in base sessagesimale = (10∙60-2)R in base decimale
(10∙60-2)R in base dec. = 10-1∙602 =(1/6∙60)-1∙602 = (6·60-1)·602 = 6∙601= 6,0
in base sessag.
18
e (il risultato) 6,0 moltiplicalo per 10, la profondità della cisterna,
(e il risultato è) 1,0,0.
6,0·10 = 1,0,0
H
Non abbiamo fatto altro che calcolare
della formula generale
HA
H
LB  A
HA
Ora dobbiamo moltiplicare questo per L e per B , ovvero come dice il testo
1,0,0 tienilo a mente.
(Il quadrato[?]) 10, che forma il quadrato, (e il risultato è) 1,40.
Moltiplica 1,40 per 1,0,0 che avevi tenuto a mente.
Quindi
1,0,0 ·10·10 = 10,0,0 · 10 = 1,40,0,0
Che concorda con il risultato dato dallo scriba
Ho irrigato 1,40,0,0 (SAR) di campo.
19
YBC 4608
Un triangolo. 6,30 è la lunghezza, (11,22),30 l’area; Non conoscevo (la
sua [?]) larghezza. 6 fratelli lo hanno diviso. La parte di un fratello
eccedeva (su quella) degli altri, ma di quanto eccedeva non lo
sapevo. Di quanto eccede la parte di questo fratello sulle altre?
Quando effettui (i calcoli), moltiplica l’area per due, (e il risultato è)
22,45,0. Il reciproco di 6,30 non è ottenibile. Quanto devo apporre a
6,30 affinché mi dia 22,45,0 ? Poni 3,30, (che è) la larghezza
superiore. Prendi il reciproco di 6, i fratelli, (e moltiplica il risultato)
0;10 per 6,30 e ( il risultato) 1,5 (è) la lunghezza che ogni (…)
35 GAR è la larghezza. 35 (da 3,30 …)
35 da 2,5(5…)
35 da 2,2(0…)
35 da 1,4(5…)
sottrai 35 da 1,10 (…)
sottrai 35 , e la lunghezza [?] (…)
20
Affrontiamo il problema passo passo:
Un triangolo. 6,30 è la lunghezza, (11,22),30 l’area; Non conoscevo (la
sua [?]) larghezza.
B1
B2
B3
B4
B5
B6
L = 6,30
B1 = ?
AT = 11,22,30
L
6 fratelli lo hanno diviso.
La parte di un fratello eccedeva (su quella) degli altri, ma di quanto
eccedeva non lo sapevo. Di quanto eccede la parte di questo fratello
sulle altre?
Seguiamo la ricetta dello scriba:
Quando effettui (i calcoli), moltiplica l’area per due, (e il risultato è)
22,45,0.
Il reciproco di 6,30 non è ottenibile. Quanto devo apporre a 6,30
affinché mi dia 22,45,0 ? Poni 3,30, (che è) la larghezza superiore
21
B1
B2
B3
B4
B5
B6
L = 6,30
B1 = ?
AT = 11,22,30
L
Ovvero sta usando la formula inversa dell’area del triangolo
2A
B1  T
L
Infatti 2AT = 2·11,22,30 = 22,45,0
Poiché il reciproco di 6,30 non lo trova nelle tavole, si domanda:
Quanto devo apporre a 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ?
Ovvero “per quante volte devo moltiplicare 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ?”,
non sta facendo altro che una divisione come l’inverso della moltiplicazione!
Proviamo ad effettuarla con il nostro algoritmo …
22
22,45,00 6,30
19,30
Proviamo a controllare effettivamente
quanto fa 6,30 x 30
3
3,
3,30
6,30 x
3,15
3,15,00
30=
3,15,00
3,15,00
0
Applicando semplicemente la proprietà distributiva, e indicando in
parentesi graffa la notazione decimale, si ha:
( 6,00 x 30 ) + ( 30 x 30 ) = ( {6 x 60} x {½ x 60} ) + {900} =
( {6 x ½} x {602} ) + 15,00 = 3,00,00 + 15,00 = 3,15,00
Effettivamente allora abbiamo trovato quante volte devo moltiplicare
6,30 affinché mi dia 22,45,0:
lo devo moltiplicare per 3,30 volte.
Poni 3,30, (che è) la larghezza superiore.
Possiamo ora continuare il problema.
23
B1
B2
B3
B4
B5
L
L = 6,30
B1 = 3,30
?
AT = 11,22,30
L1 = 1,5
B6
L1
Il testo prosegue
Prendi il reciproco di 6, i fratelli, (e moltiplica il risultato) 0;10 per 6,30 e
( il risultato) 1,5 (è) la lunghezza che ogni (…)
Non è che la banale divisione della base L del triangolo per 6, il numero
dei fratelli
(6)R = 0;10
6,30·0;10 = 6;30·10 = (6·10) + (0;30·10) = 1,0 + ( ½ · 10) = 1,5
A questo punto il passo successivo ci dice
35 GAR è la larghezza. 35 (da 3,30 …)
24
D
B1
C
F
B2
B3
B4
B5
L
B6
E L
1
O
L = 6,30
B1 = 3,30
AT = 11,22,30
L1 = 1,5
B6 = 35
Svolgendo il problema, anche in maniera autonoma, si trova che 35 è
proprio B6 e il testo sembra dire che 35 si ricava da 3,30 che ormai
sappiamo essere B1
Allora usando la similitudine dei triangoli OCD e OEF si ha la seguente
proporzione
L1 : L = B6 : B1
L1 1,5·3,30 (1,5·3,0)  (1,5·30) 3,15,00  32,30 3,47,30
B6  B1 · 



 35
L
6,30
6,30
6,30
6,30
25
35 da 2,5(5…)
35 da 2,2(0…)
35 da 1,4(5…)
sottrai 35 da 1,10 (…)
sottrai 35 , e la lunghezza [?] (…)
35 da 2,5(5…)
35 da 2,2(0…)
35 da 1,4(5…)
sottrai 35 da 1,10 (…)
sottrai 35 , e la lunghezza
[?] (…)
D
H
B1
C
B2
B3
B4
B6
B5
L
F
G
E L
1
O
L = 6,30
B1 = 3,30
AT = 11,22,30
L1 = 1,5
B6 = 35
Per trovare i restanti B5 B4 B3 e B2 basta continuare ad usare la
similitudine, questa volta tra OCD e OGH: e otteniamo
2L1 : L = B5 : B1
2L
 L 
B5  B1 · 1  2 B1 · 1   2 B6  2·35  1,10
L
 L
Ed alla stessa maniera si trova
3L1
 L1 
B4  B1 ·
 3 B1 ·   3B6  3·35  1,45
L
 L
B3  4 B6  4·35  2,20
B2  5B6  5·35  2,55
26
35 da 2,5(5…)
35 da 2,2(0…)
35 da 1,4(5…)
sottrai 35 da 1,10 (…)
sottrai 35 , e la lunghezza
[?] (…)
L = 6,30
B1 = 3,30
AT = 11,22,30
H
B1
F
L1 = 1,5
B2 B3 B4 B5 B6
B6 = 35
C
O
G
E L
B5 = 1,10
1
L
B4 = 1,45
Ci si domanda come invece lo scriba abbia ottenuto i risultati
B3 = 2,20
in ordine inverso. Basta verificare che
B2 = 2,55
D
B1  6B6  6·35  3,30
Risultato già trovato ma che ci fa notare che allora
B2  5B6  6 B6  B6  B1  B6  3,30  35  2,55
E quindi possiamo ottenere i risultati proprio nell’ordine dell’autore
B3  4 B6  5B6  B6  B2  B6  2,55  35  2,20
B4  3B6  B3  B6  2,20  35  1,45
B5  2B6  B4  B6  1,45  35  1,10
27
YBC 6967
L’ “igibum” supera l’ “igum” di 7.
Quanto (sono l’igum e) l’igibum ?
Quanto a te – dimezza 7, di cui l’igibum supera l’igum, e (il risultato è)
3;30.Moltiplica insieme 3;30 con 3;30, e (il risultato è) 12;15. A 12;15
, che hai come risultato, aggiungi ( 1,0,il prodotto,) e ( il risultato è)
1,12;15.Qual è (la radice quadrata di 1,)12,15? (Risposta:)
8;30.Metti da parte (8;30 e) 8;30, il suo uguale,e dopo sottrai 3;30, il
“takiltum”, da uno, aggiungi (questo) all’altro.Uno è 12. l’altro 5.
12 è l’igibum, 5 l’igum.
Il problema qui trattato appartiene ad una ben nota classe di equazioni
di secondo grado caratterizzate dai termini accadici “igibum” ed
“igum”. Questi termini si riferiscono ad una coppia di numeri che
oltre ad avere una relazione numerica che li lega sono uno il
reciproco dell’altro, più in generale numeri il cui prodotto è una
potenza di 60.
Prima di affrontare tale problema dobbiamo ricordare che i babilonesi
avevano una maniera ben precisa di risolvere questo tipologia di
problemi.
28
Loro se conoscevano la somma s e il prodotto p di due numeri x e y
oppure se conoscevano la differenza d e il prodotto p usavano le
formule
2
a)
2
s
s
x, y      p
2
2
b)
d
d 
x, y     p 
2
2
Da dove hanno ricavato tali formule?
Si pensa dalle formule del completamento del quadrato
c) ( x  y) 2  ( x  y) 2  4 xy
d) ( x  y) 2  ( x  y) 2  4 xy
infatti dalla c) ad esempio si ricava
2


d
d 
2
x  y  d  4 p  4  p   2    p
2
 4

2
da cui
2
1
d
d 
x  [( x  y )  ( x  y )]     p 
2
2
2
29
2
1
d
d 
y  [( x  y )  ( x  y )]     p 
2
2
2
e invece con lo stesso tipo di passaggi dalla d) si ricava
2
2
1
s
1
s
s
s
x  [( x  y )  ( x  y )]      p y  [( x  y )  ( x  y )]      p
2
2
2
2
2
2
Risultati che ci ricordano, e in effetti sono casi particolari, la nostra
formula per la soluzione delle equazione di secondo grado
ax 2  bx  c  0
dove a  1; b   s; c  p
infatti
2
 b  b 2  4ac s  s  4 p s
x, y 

 
2a
2
2
Torniamo al nostro problema.
30
2
s2
s
s
p    p
4
2
2
Possiamo seguire passo passo la ricetta dello scriba…
effettivamente è come se egli avesse la formula davanti
2
d
d 
x, y     p 
2
2
Quanto a te – dimezza 7, di cui l’igibum supera l’igum, e (il risultato è) 3;30.
Moltiplica insieme 3;30 con 3;30, e (il risultato è) 12;15.
A 12;15 , che hai come risultato, aggiungi ( 1,0,il prodotto,)
e ( il risultato è) 1,12;15.
Qual è (la radice quadrata di 1,)12,15? (Risposta:) 8;30.
Metti da parte (8;30 e) 8;30, il suo uguale,
e dopo sottrai 3;30, il “takiltum”, da uno, aggiungi (questo) all’altro.
Uno è 12. l’altro 5. 12 è l’igibum, 5 l’igum.
2
12
7
7

   1,0 
2
2
5
Ed ecco risolto il problema, avendo seguito le indicazioni dello scriba.
Gli stessi calcoli, a meno dell’estrazione di radice, risultano molto semplici.
31
YBC 4662
Problema 21
Una ki-lá. 7 ½ SAR è l’area, 45 SAR il volume; 3un settimo di quanto
la lunghezza eccede sulla larghezza è uguale a ½ .
Quali sono la lunghezza, la larghezza e la sua profondità?
Quando effettui (i calcoli), prendi il reciproco di 7 ½ SAR, l’area,
(moltiplica per) 45, (il volume, e) tu otterrai la sua profondità.
Dimezza 4il sette che è stato assunto prima , (e) otterrai 3;30.
Prendi il reciproco della sua profondità, (e) otterrai 0;10. Moltiplica
0;10 per 45 (SAR), il volume, (e) otterrai 7;30. Dimezza 3;30, (e)
otterrai 1;45 : 5 moltiplica insieme 1;45 con 1;45, (e) otterrai
3;3,45. Aggiungi 7;30 a 3;3,45, (e) otterrai 10;33,45 : così per
10;33,45, (prendi) la sua radice quadrata, (e) otterrai 3;15 : opera
con 3;15 (per due volte): aggiungi 1;45 all’uno, sottrai 1;45 all’altro,
(e) otterrai la lunghezza e la larghezza. 5 GAR è la lunghezza; (1 ½
GAR è la larghezza).
era tradotto “un settimo di quello per cui la lunghezza eccede la larghezza è la
sua profondità.”
4 era tradotto “l’un settimo”
5 era tradotto “moltiplica insieme 1;45 volte 1;45”
3
32
Sviluppiamo il problema come al solito seguendo le indicazioni dello
scriba
Una ki-lá. 7 ½ SAR è l’area, 45 SAR il volume; 3un settimo di quanto
la lunghezza eccede sulla larghezza è uguale a ½ .
Quali sono la lunghezza, la larghezza e la sua profondità?
Lo scriba continua
Quando effettui (i calcoli), prendi il reciproco di 7 ½
SAR, l’area, (moltiplica per) 45, (il volume, e) tu
otterrai la sua profondità.
Non sta facendo altro che usare la
formula
V
p
A
(7 ½ )R = (7 + 0;30)R
p = V·AR = 45·(7;30)R = 6
33
A=7½
V = 45
a=?
b=?
p=6
?
Dimezza 4il sette che è stato assunto prima , (e) otterrai 3;30. Prendi il
reciproco della sua profondità, (e) otterrai 0;10. Moltiplica 0;10 per
45 (SAR), il volume, (e) otterrai 7;30.
7:2 = 3;30
(p)R = (6) R = 0;10
V·(p)R = 45·0;10 = 7;30 = a·b = A
Effettivamente questi due ultimi passaggi sembrano inutili, in quanto il
prodotto a·b = A lo conosceva già! Si tratta forse di una svista dello
scriba.
A=7½
Dal prossimo passaggio lo scriba utilizza la formula, a noi ormai
V = 45
nota,con una certa variante,
a=?
2
d
b=?
d
x, y     p 
2
p=6
2
Infatti egli non conosce d = a – b ma sa che
3un
settimo di quanto la lunghezza eccede sulla
larghezza è uguale a ½ .
1
1
(a  b ) 
7
2
34
7
 d  (a  b)   3;30
2
Allora procede nel seguente modo
Dimezza 3;30, (e) otterrai 1;45 : 5 moltiplica insieme 1;45 con 1;45,
(e) otterrai 3;3,45. Aggiungi 7;30 a 3;3,45, (e) otterrai 10;33,45 :
così per 10;33,45, (prendi) la sua radice quadrata, (e) otterrai 3;15 :
opera con 3;15 (per due volte): aggiungi 1;45 all’uno, sottrai 1;45
all’altro, (e) otterrai la lunghezza e la larghezza. 5 GAR è la
lunghezza; (1 ½ GAR è la larghezza).
3;30  5
 3;30 


  7,30 
2
 2 
1;30
2
Una volta fatta un po’ di pratica non è più necessario
imbattersi in conti manuali in sessagesimale. Quindi
conviene, per controllare, riportarsi i conti in decimale
35
A=7½
V = 45
a=5
?
b = 1;30
?
p=6
BM 13901
Problema 10
Ho messo insieme le superfici di due miei quadrati: 21;15. Il lato di uno
è un settimo meno dell’altro.
Annota 7 e 6. Tu moltiplica 7 e7: 49. Tu moltiplica 6 e 6. Tu somma 36
e 49: 6 1,25. Il reciproco di 1,25 non può essere trovato. Per cosa
devo moltiplicare io 1,25 per darmi 21;15? 0;15. 0;30 il lato.
Tu moltiplica 0;30 per 7: 3;30 il primo lato.
Tu moltiplica 0;30 per 6: 3 il secondo lato.
I dati del problema sono semplicemente:
x 2  y 2  21;15
1
6
x y y  y
7
7
Vediamo che tecnica di risoluzione adotta seguendo, ancora una volta,
le istruzioni dello scriba …
6
36
era trascritto, per ogni sua occorrenza nel testo, come 1;25.
Annota 7 e 6. Tu moltiplica 7 e7: 49. Tu moltiplica 6 e 6. Tu
somma 36 e 49: 6 1,25.
6
7
7·7 = 49
6·6 = 36
x 2  y 2  21;15
1
6
x y y  y
7
7
36 + 49 = 1,25
Il reciproco di 1,25 non può essere trovato. Per cosa devo
moltiplicare io 1,25 per darmi 21;15? 0;15.
(1,25)R = ? n·1,25 = 21;15 ↔ 21;15 : 1,25 = n ,
ovvero n = 0;157
0;30 il lato.
0;15, per come è stato ottenuto, ha dimensione di un quadrato. Il suo lato
è allora
0;15  0;30
Tu moltiplica 0;30 per 7: 3;30 il primo lato.
Tu moltiplica 0;30 per 6: 3 il secondo lato.
37
7
0;30·7 = 3,30 = y
0;30·6 = 3,00 = x
Ormai i calcoli li effettuiamo col calcolatore solo come controllo
Per capire meglio il procedimento che ha seguito, osserviamo
come ha ottenuto ad esempio y
21;15
y
21;15
y7 2
 7·0;30   2
2
6 7
7
6  72
2

2
21;15
 y
   2
6  72
7

6 2 7 2
 y 2
2
   · 6  7  21;15   y    y   21;15
7  7 
7
 x 2  y 2  21;15
Ovvero non ha fatto altro che una sostituzione dove
6
x y
7
Ugualmente si ricava x dalla formula
39
21;15
x6 2
 6·0;30
2
6 7
x 2  y 2  21;15
1
6
x y y  y
7
7
Plimpton 322
La denominazione è dovuta al fatto che la tavoletta porta il numero
"322" nel catalogo della collezione di G.A. Plimpton della Columbia
University. La tavoletta risale ad un periodo imprecisato tra il 1900 e
il 1600 a.C. ( probabilmente al periodo del grande Hammurabi, 18°
secolo a.C. ).
La tavoletta è mutila e il suo bordo sinistro, danneggiato, porta tracce di
colla, segno che la tavoletta si è rotta dopo che era stata riportata
alla luce e che, incollata, le due parti si sono successivamente
separate.
Forse la parte mancante, giace da qualche parte in qualche museo.
40
Come molte altre simili tavolette, è stata interpretata inizialmente come
un inventario od un registro.
Proviamo innanzitutto a sfatare questa superficiale interpretazione della
tavoletta.
La parte restante della tavoletta, quella destra della tavoletta più ampia,
contiene 4 colonne.
Indicheremo le prime 3 colonne (la quarta non indica altro che il
numero della riga) rispettivamente con A, B,C.
Alla colonna A, nonostante i buchi dovuti all’erosione, sembrano
appartenere numeri in ordine decrescente. Si notano numeri di
lunghezza sia corta che lunga, apparentemente a caso.
Invece i numeri della colonna B e C sono piuttosto corti, e non si
notano forme di monotonicità.
Traduciamo i numeri in notazione arabica per incominciare a trovare
qualche modello
41
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
541
4961
45
1679
25921
1771
56
169
11521
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
53
Notiamo che
• Tranne che in due casi (riga 13 e 15) i numeri di
colonna B sono più piccoli di quelli di C
•
La colonna B contiene esattamente un numero
primo (541) mentre la C ben 8 primi
Nei primi 20.000 interi ci sono circa 2.300 primi
(pressappoco il 10%).
Se ci riflettiamo in una colonna di 15 interi ci
aspettiamo 1, 2 primi, non certo 8! Questo ci dice
subito che la tavoletta è di tipo matematico e non
soltanto aritmetica.
Stimolati da ciò continuiamo a cercare altri modelli, combinando ad
esempio i valori di B e di C.
Proviamo a sommare e sottrarre i valori creando le colonne C+B e C-B.
42
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
541
4961
45
1679
25921
1771
56
169
11521
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
53
C+B
288
14888
11250
31250
162
800
5832
2048
1310
13122
120
4608
26210
5000
109
C-B
50
8154
2048
5832
32
162
1250
450
228
3200
30
1250
-25632
1458
-3
(C+B)/2
144
7444
5625
15625
81
400
2916
1024
655
6561
60
2304
13105
2500
54,5
(C-B)/2
25
4077
1024
2916
16
81
625
225
114
1600
15
625
-12816
729
-1,5
√(C+B)/2
12
86,27862
75
125
9
20
54
32
25,59297
81
7,745967
48
114,4771
50
7,382412
√(C-B)/2
5
63,85139
32
54
4
9
25
15
10,67708
40
3,872983
25
#NUM!
27
#NUM!
Troviamo subito che in molti casi i numeri delle colonne create sono il
doppio di quadrati perfetti.
Infatti se C+B = 2a2 e C-B = 2b2 allora B = a2 - b2 e C = a2 + b2.
Sembra allora che i numeri della colonna B e C della tavoletta Plimpton
siano generati da delle coppie (a,b).
Riscriviamo le due colonne B e C con le relative coppie (a,b) nei casi in
cui è possibile.
43
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
541
4961
45
1679
25921
1771
56
169
11521
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
53
a
b
12
?
5,0
?
75
125
9
20
54
32
?
32,0
54,0
4,0
9,0
25,0
15,0
?
81
?
40,0
?
48
?
25,0
?
50
?
Notiamo di essere sulla giusta via in
quanto le coppie sono “buoni”
sessagesimali, ovvero
fattorizzabili in potenze di 2 3 e 5.
In 5 casi il modello fallisce e non
esistono le coppie.
Possiamo allora cominciare a
ipotizzare errori dello scriba che
ha prodotto tale tavoletta.
27,0
?
Studiamo i 5 casi di incompatibilità sul modello, ipotizzando
almeno uno dei due valori (di B o di C) corretto.
44
Riga 9:
B = 541, che è il solo primo nella colonna B.
Perciò consideriamo B sbagliato e C corretto.
Considerando C = 769 = a2 + b2,l’unica soluzione è la coppia
(25,12)
Così B = a2 - b2 = 481.
C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto?
Si:
{481} = 8;1 mentre {541} = 9;1… sembra un semplice errore di
copiatura.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
541
4961
45
1679
25921
1771
56
169
11521
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
53
Riga 13:
B = 25921 > C = 289
Perciò consideriamo B sbagliato e C corretto.
Considerando C = 289 = a2 + b2,l’unica soluzione “buona” è la coppia (15,8).
Così B = a2 - b2 = 161.
C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto?
Una risposta parziale è immediata:
(161)2 = 25921… sembra che lo scriba registri, per non sappiamo quale
45
motivo, il valore del quadrato di B piuttosto che di B.
Riga 15:
B = 56 > C = 53
Non sappiamo quale dei due sia sbagliato.
Se consideriamo C corretto allora da C = 53 = a2 + b2 otteniamo
l’unica soluzione (7,2).
Scartiamo questa ipotesi non essendo 7 un “buon”
sessagesimale.
Allora B = a2 - b2 = 56. Questa equazione ha due soluzioni
(15,13) e (9,5).
Prendiamo, naturalmente la seconda coppia (9,5).
Così C = a2 + b2 = 106.
C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto?
Una risposta parziale è immediata:
160:2 = 53… sembra che lo scriba registri, per non sappiamo
quale motivo, il valore dimezzato di B piuttosto che di B.
46
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
45
1679
161
1771
56
169
11521
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
53
Riga 2:
B = 3367, C = 11521
Non sappiamo quale dei due sia sbagliato.
Se consideriamo C corretto allora da C = 53 = a2 + b2 otteniamo
due soluzioni (100,39) e (89,60).
Scartiamo questa ipotesi non essendo né 39 né 89 “buoni”
sessagesimali.
Allora B = a2 - b2 = 3367. Questa equazione ha quattro soluzioni
(1684,1683), (244,237),
(136,123), (64,27).
Possiamo accettare l’unica coppia “buona” (64,27).
Così C = a2 + b2 = 4825.
C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto?
Non esiste una spiegazione immediata, e non sembra nemmeno
un errore di copiatura , essendo {4825} = 1,20,25 e 11521 =
3,12,1.
47
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
45
1679
161
1771
56
169
11521
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
106
Riga 11:
B = 45, C = 75
Non sappiamo quale dei due sia sbagliato.
È l’unico caso in cui B e C non sono primi fra loro.
Neugebauer interpreta ciò arbitrariamente:
Ricordiamo che C+B = 120 e C-B = 30
Ma in notazione sessagesimale C+B = {120} = 2,0 valore doppio
di 1,0 che si può scrivere pure come 1, quadrato perfetto.
Ugualmente C-B = {30} = 30 = 2·15 . A sua volta se scriviamo 15
come 0;15 = ¼ ,quadrato perfetto di ½ .
Ma a parer mio possiamo interpretare
B = {45} = 45 = 45,0 = 2700 (in quanto il sistema babilonese
non è posizionale assoluto)
C = {75} = 1,15 = 1,15,0 = 4500
Tutto torna al suo posto, poiché C = a2 + b2 e B = a2 - b2 allora
48
a
BC

2
b
BC
1800

 900  30
2
2
7200
 3600  60
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
45
1679
161
1771
56
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
106
Ecco allora la tabella corretta per le colonne B e C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
2700
1679
161
1771
56
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
4500
2929
289
3229
106
Affrontiamo ora un'altra domanda cruciale: qual è lo scopo della tavoletta?
Varie interpretazioni si sono date alla tavoletta Plimpton 322. Incominciamo
a chiederci se i numeri nella forma a2 + b2 , a2 - b2 hanno qualche
proprietà.
Una relazione piuttosto suggestiva ci viene data dalla formula
(a2 - b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2
(formula euclidea per la generazione di terne pitagoriche)
49
Quindi se noi introduciamo la colonna D = 2ab, D sarà insieme ad A e B, la
colonna dei numeri tali che B2 + D2 = C2, ovvero la tavoletta si configura
come una serie di triplette pitagoriche, generate dalle coppie di interi
(a,b).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
D
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
2700
1679
161
1771
56
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
4500
2929
289
3229
106
120
3456
4800
13500
72
360
2700
960
600
6480
3600
2400
240
2700
90
a
b
12
64
75
125
9
20
54
32
25
81
60
48
15
50
9
5
27
32
54
4
9
25
15
12
40
30
25
8
27
5
C = a2+b2
B =a2-b2
Non ci sono informazioni che mostrano che questa formula era conosciuta
al tempo in cui venne scritta la tavoletta, benché la loro algebra aveva
già dominato le soluzioni delle equazioni quadratiche.
50
Se la tavoletta effettivamente è connessa a questa interpretazione, la
colonna A deve avere una certa relazione col triangolo retto dato da B
C e D.
Il passo successivo sarà allora procedere come prima e tentare differenti
combinazioni di C B e D, nella speranza che una approssimi i valori
della colonna A.
C = a2+b2
B =a2-b2
2
Dopo un po’ di tentativi si trova che A = (B / D) .
A = (B/D)2
θ
Infatti la ricostruzione è stata difficoltosa soprattutto perché la colonna A è
quella che ha risentito di più dell’erosione.
Anche qui si riscontrano errori minori di copiatura:
Per esempio troviamo:
51
2
2
C = a +b
Riga 13:
B =a2-b2
θ
A = (B/D)2
Infatti ritroviamo
27,3,45
invece del valore esatto (B / D)2 27,0,3,45
ciò si pensa essere un’abitudine dello scriba non marcare tale presenza
dello 0, oppure ciò potrebbe essere la conseguenza di uno spazio
vuoto non abbastanza largo (notazione usata in alcuni testi babilonesi
per indicare la presenza di nessuna cifra in quella posizione).
Riga 8:
Troviamo
41,33,59,3,45
invece del valore esatto (B / D)2
41,33,45,14,3,45
è evidente l’errore fatto nel sommare i valori 45 e 14 piuttosto di scriverli
separati:
45 + 14 = 59.
Osserviamo allora la tavola ricostruita fino ad ora
52
C = a2+b2
B =a2-b2
A = (B/D)2
θ
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
0,9834027777777780
0,9491585520886920
0,9188021267361110
0,8862479067215360
0,8150077160493830
0,7851929012345680
0,7199836762688620
0,6927094184027780
0,6426694444444440
0,5861225661103490
0,5625000000000000
0,4894168402777780
0,4500173611111110
0,4302388203017830
0,3871604938271610
a
b
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
2700
1679
161
1771
56
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
4500
2929
289
3229
106
120
3456
4800
13500
72
360
2700
960
600
6480
3600
2400
240
2700
90
12
64
75
125
9
20
54
32
25
81
60
48
15
50
9
5
27
32
54
4
9
25
15
12
40
30
25
8
27
5
59
56
55
53
48
47
43
41
38
35
33
29
27
25
23
0
56
7
10
54
6
11
33
33
10
45
21
0
48
13
15
58
41
29
1
41
56
45
36
2
14
15
32
40
40
28
14
36
28
50
33
52
6
45
16
26
3
40
45
27
24
54
3
51
46
2
45
35
40
15
8 or
0,6927734375000000
799
1249
960
32
15
41
33
59
3
45
6
40
In questa tabella abbiamo aggiunto anche il valore di A in sessagesimale,
per poter notare meglio gli errori di copiatura appena affrontati,
includendo pure alla fine l’ottava riga originaria.
53
15
26
40
θ
C = a2+b2
B =a2-b2
A = (B/D)2
Neugebauer e Sachs non usano la notazione (B / D)2 ma piuttosto (C /D)2.
Nella notazione che abbiamo riportato noi non bisognerebbe far altro
che aggiungere un 1; all’inizio di ogni riga in quanto
(C / D)2 = (B / D)2 +1 ↔ C2 = B2 + D2
Ma i pareri degli studiosi che hanno esaminato la tavoletta sul valore
originale della colonna A come (B / D)2 o (C / D)2 rimangono separati.
Riesaminiamo alcuni nostri ragionamenti fatti.
Nelle righe 2,9,13,e 15 lo scriba registra l’esatto valore di A ma non quello
di B e C.
Questo suggerisce fortemente che A non è stato calcolato direttamente dai
valori di B e C, ma le tre colonne sono state calcolate
indipendentemente, e ciò accredita ancora di più l’ipostesi che i dati
della tabella nascono da valori non presenti nella tabella (ad esempio le
coppie (a,b) ). Potrebbe anche essere che la tavoletta Plimpton 322 sia
una copia di una tavola madre a noi non arrivata.
54
2
2
C = a +b
Ma nascono pure altre domande (argomentate dallo
B =a2-b2
θ
stesso Neugebauer).
A = (B/D)2
• Se effettivamente la tavoletta riporta una raccolta di
terne pitagoriche, perché non ritroviamo la colonna D?
• Perché è invece riportato il valore del quadrato della tangente
dell’angolo?
• E perché i dati sono proprio registrati in ordine decrescente per i valori
di A?
Alcuni studiosi ipotizzavano l’uso di tipo astronomico della tavoletta e
quindi una certa spiegazione per tale ordine dei valori in A. Ma tale
ipotesi non ha avuto riscontri.
Esiste una variante di tutta questa interpretazione.
Soffermiamoci sul fatto che il computo della tabella A avviene in maniera
decrescente da un angolo di circa 45° ad uno di circa 30°, ad intervalli
pressappoco di un grado l’uno.
È un caso?
Sopra un suggerimento di Bruins è stata più recentemente proposta
un’ipotesi da Voils.
55
Sappiamo benissimo che in molti testi scolastici erano proposti problemi
del tipo “igum”-“igibum”. Come abbiamo già detto questi termini si
riferiscono ad una coppia di numeri che oltre ad avere una relazione
numerica che li lega sono uno il reciproco dell’altro, più in generale
numeri il cui prodotto è una potenza di 60.
Inoltre abbiamo già visto che i babilonesi avevano una maniera ben
precisa di risolvere tale tipo di problemi, usando, secondo i casi le
formule
2
s
s
x, y      p
2
2
2
d
d 
x, y     p 
2
2
Voils collega questa classe di problemi alla tavoletta Plimpton in questo
modo:
Per prima cosa assume come Bruins che la tavola non è calcolata dalle
coppie (a,b) ma da un singolo parametro, il numero
x = a/b
Poiché sia a che b sono “buoni” sessagesimali il numero x e il suo
reciproco xr sono facilmente calcolabili da una tavola di reciproci.
x = a·br e xr = b·ar dove ar e br compaiono in una tavola standard di
56 reciproci.
Così osservando che.
B  a 2  b 2  (ab)( x  x r )
2
C  a 2  b 2  (ab)( x  x r )
B
1

A      ( x  x r )
D
2

2
notiamo come la tavoletta Plimpton potrebbe essere calcolata
semplicemente da una tavola di reciproci babilonese.
Voils osserva pure che il valore di A non sarebbe altro che il secondo
passo della soluzione algoritmica del problema igum-igibum!
Nell’esempio della tavoletta YBC 6967 trovavamo
L’ “igibum” supera l’ “igum” di 7.
Quanto (sono l’igum e) l’igibum ?
Quanto a te – dimezza 7, di cui l’igibum supera l’igum, e (il risultato è)
3;30. Moltiplica insieme 3;30 con 3;30, e (il risultato è) 12;15
Ovvero
Quanto a te – dimezza d, di cui x supera xr, e (il risultato è) ½ ·( x - xr).
Moltiplica insieme ½ ·( x - xr) con ½ ·( x - xr), e (il risultato è) [½ ·( x - xr)]2.
57
Quindi Voils presenta la tavoletta Plimpton 322 non come una tavoletta
di triplette pitagoriche o trigonometriche ma come tavola pedagogica
concepita come strumento di aiuto agli insegnanti di matematica del
periodo. Secondo lui è una tavoletta dalla quale possono scaturire
un largo numero di problemi igum-igibum, conoscendo a priori la
soluzione e il passo intermedio [½ ·( x - xr)]2 che coincide col valore
registrato in A.
Un’ulteriore possibile conferma di tale interpretazione è il seguente
fatto.
58
Supponiamo di volere una tavola graduale di numeri x e i propri
reciproci xr.
Cominciamo a costruire tutte le coppie di numeri (a,b) di interi coprimi
tali che
• b < a < 100,
• e ogni intero a e b sia “buono”, fattoriabile in potenze di 2,3 e 5.
Sarà poi facile trovare x e xr come x = a·br e xr = b·ar.
Costruendo una tabella di queste coppie tali che x sia decrescente, e
imponendo l’ulteriore restrizione
3  x  1 2
(ciò corrisponde alla limitazione dell’angolo θ del triangolo rettangolo
compreso tra C e D) 30    45
θ
Il risultato coincide con la tavoletta corretta vista precedentemente, a
meno delle coppie (125,54) e la coppia (60,30).
Dopo aver incontrato queste due interpretazioni, ho provato ad
approfondire questa ultima di cui ancora non testavo la costruzione.
59
C = a2+b2
B =a2-b2
A = (B/D)2
Innanzi tutto esaminiamo i valori di A della tavoletta.
θ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
0,9834027777777780
0,9491585520886920
0,9188021267361110
0,8862479067215360
0,8150077160493830
0,7851929012345680
0,7199836762688620
0,6927094184027780
0,6426694444444440
0,5861225661103490
0,5625000000000000
0,4894168402777780
0,4500173611111110
0,4302388203017830
0,3871604938271610
B
C
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
2700
1679
161
1771
56
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
4500
2929
289
3229
106
Valori di A in π
A in gradi
0,7812140874
44,760
0,7723547876
44,253
0,7642333634
43,787
0,7552268494
43,271
0,7343476676
42,075
0,7250884745
41,545
0,7036333589
40,315
0,6941232071
39,770
0,6757563765
38,718
0,6534020180
37,437
0,6435011088
36,870
0,6104462676
34,976
0,5908816743
33,855
0,5805297999
33,262
0,5565993180
31,891
Sperimentiamo effettivamente che il valore dell’angolo θ è proprio
30° < θ < 45°
Il passo successivo è quello di testare se effettivamente la seconda
costruzione delle terne funziona.
60
C = a2+b2
B =a2-b2
A = (B/D)2
Dobbiamo anzitutto cominciare a, come ci suggeriva il procedimento
costruire tutte le coppie di numeri (a,b) di interi coprimi tali che b < a < 100,
e ogni intero a e b sia “buono”, fattoriabile in potenze di 2,3 e 5.
Costruendo una tabella di queste coppie tali che x sia decrescente, e imponendo l’ulteriore
restrizione 3  x  1  2
Come costruiamo tali coppie?
Possiamo farci aiutare dal calcolatore.
Ecco che ho allora allegato i testi di alcune funzioni, scritte in sintassi
Matlab, ma facilmente leggibili per chi ha un minimo di nozioni di
programmazione.
Analizziamo le varie funzioni utilizzate, per arrivare alla funzione finale
“nicepair” che ci darà le coppie cercate
f = invt
Descrizione: La funzione, dato un vettore di valori inverte l’ordine dei
suoi elementi
Algoritmo: Si crea un nuovo vettore che viene “riempito” a cominciare
dall’ultimo elemento del vettore iniziale……
61
f = primo
Descrizione: Dato un intero la funzione restituisce l’intero stesso se è
primo, oppure il suo più piccolo divisore
Algoritmo: Un numero è primo se gli unici suoi divisori sono 1 e se
stesso. E quindi
N è un numero primo se e solo se
N  1  t  N  t  1 t  N  t  nondivide  N
f = coprimi2
Descrizione: Data una coppia di interi la funzione restituisce il valore 1
(= Vero) se sono coprimi, 0 (= Falso) se non lo sono
Algoritmo: Si controlla se, in ordine,
• Sono entrambi primi (allora saranno sicuramente coprimi)
• Sono uno divisore dell’altro (allora non saranno sicuramente
coprimi)
• Esistono divisori comuni a partire da 2 fino al valore più piccolo della
coppia
62
f = nicesd
Descrizione: Restituisce tutti i numeri interi compresi tra 2 e 99 che
siamo “buoni sessagesimali”
Algoritmo: Con l’aiuto delle funzioni precedenti
• Crea la lista dei numeri primi da 7 a 99 ( i numeri 2,3,5,6 sappiamo
già essere buoni sessagesimali)
• Controlla per ogni N,compreso tra 7 e 99, se sia divisibile per 2,3,5
• Se lo è controlla che N non sia divisibile per alcun primo minore
del numero stesso
f = nicepair
Descrizione: La funzione, utilizzando i numeri trovati da nicesd, crea
tutte le coppie (a,b) tali che a>b e a,b siano coprimi
Algoritmo: Con l’aiuto delle funzioni precedenti
• Inverte la lista di numeri trovata da nicesd per poter “lavorare
meglio”
• Con due cicli annidati crea le coppie (a,b) controllando che a e b
siano coprimi.
63
Così, come prefissatoci, siamo riusciti a
costruire tutte le coppie di numeri (a,b) di interi coprimi tali che b < a < 100, e ogni intero
a e b sia “buono”, fattoriabile in potenze di 2,3 e 5.
a
1
2
…
64
b
96
96
81
81
81
81
81
81
81
81
81
81
81
81
81
80
80
80
75
75
75
75
75
75
72
72
64
64
64
64
a
25
5
80
64
50
40
32
25
20
16
10
8
5
4
2
27
9
3
64
32
16
8
4
2
25
5
45
27
25
15
b
64
64
64
54
54
50
50
50
48
48
45
45
45
45
45
40
40
40
36
36
32
32
32
32
32
32
27
27
27
27
a
9
5
3
25
5
27
9
3
25
5
32
16
8
4
2
27
9
3
25
5
27
25
15
9
5
3
25
20
16
10
b
27
27
27
27
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
24
20
20
18
16
16
16
16
15
15
15
12
10
10
9
9
a
8
5
4
2
24
18
16 …
12 98
9 99
8 100
6
4
3
2
5
9
3
5
15
9
5
3
8
4
2
5
9
3
8
5
b
9
9
8
8
6
5
5
5
4
3
4
2
5
3
5
4
3
2
3
2
Ci rimane solo da
ordinarle in modo
tale che x = a·br
sia decrescente
Ecco la tabella ordinata
b
a
81
75
80
45
64
81
96
75
50
81
72
27
40
64
25
45
54
32
81
48
75
80
25
81
15
36
64
27
20
32
65
2
2
3
2
3
4
5
4
3
5
5
2
3
5
2
4
5
3
8
5
8
9
3
10
2
5
9
4
3
5
a/b
40,5000
37,5000
26,6667
22,5000
21,3333
20,2500
19,2000
18,7500
16,6667
16,2000
14,4000
13,5000
13,3333
12,8000
12,5000
11,2500
10,8000
10,6667
10,1250
9,6000
9,3750
8,8889
8,3333
8,1000
7,5000
7,2000
7,1111
6,7500
6,6667
6,4000
b
a
25
45
50
27
16
81
24
75
9
40
64
25
81
96
15
18
32
27
10
81
16
25
80
72
45
25
27
8
64
81
4
8
9
5
3
16
5
16
2
9
15
6
20
25
4
5
9
8
3
25
5
8
27
25
16
9
10
3
25
32
a/b
6,2500
5,6250
5,5556
5,4000
5,3333
5,0625
4,8000
4,6875
4,5000
4,4444
4,2667
4,1667
4,0500
3,8400
3,7500
3,6000
3,5556
3,3750
3,3333
3,2400
3,2000
3,1250
2,9630
2,8800
2,8125
2,7778
2,7000
2,6667
2,5600
2,5313
b
a
5
12
64
75
9
20
54
32
25
81
48
15
50
9
16
27
5
81
8
25
3
40
36
64
45
25
27
4
32
81
2
5
27
32
4
9
25
15
12
40
25
8
27
5
9
16
3
50
5
16
2
27
25
45
32
18
20
3
25
64
a/b
2,5000
2,4000
2,3704
2,3438
2,2500
2,2222
2,1600
2,1333
2,0833
2,0250
1,9200
1,8750
1,8519
1,8000
1,7778
1,6875
1,6667
1,6200
1,6000
1,5625
1,5000
1,4815
1,4400
1,4222
1,4063
1,3889
1,3500
1,3333
1,2800
1,2656
b
a
5
6
32
75
9
10
27
16
25
81
In cui riusciamo già a vedere le coppie (a,b) della Plimpton 322
4
5
27
64
8
9
25
15
24
80
a/b
1,2500
1,2000
1,1852
1,1719
1,1250
1,1111
1,0800
1,0667
1,0417
1,0125
Consideriamo uno scorcio della tabella più vicino a ciò che ci interessa
8
64
81
5
12
64
75
9
20
54
32
25
81
48
15
50
9
16
27
3
25
32
2
5
27
32
4
9
25
15
12
40
25
8
27
5
9
16
2,6666666667
2,5600000000
2,5312500000
2,5000000000
2,4000000000
2,3703703704
2,3437500000
2,2500000000
2,2222222222
2,1600000000
2,1333333333
2,0833333333
2,0250000000
1,9200000000
1,8750000000
1,8518518519
1,8000000000
1,7777777778
1,6875000000
1
2
3
4
6
7
8
9
10
12
13
14
15
12
64
75
9
20
54
32
25
81
48
15
50
9
5
27
32
4
9
25
15
12
40
25
8
27
5
5
125
54
11
60
30
Notiamo che come ben ci diceva l’autore troviamo, ordinate, le coppie
della tavoletta a meno delle righe 5 e 11.
Comunque ritroveremmo anche la riga 11 in veste della coppia (2,1) se
avessimo considerato anche il numero 1 come buon sessagesimale
per creare il valore x = a·br .
66
Ma a questo punto mi è sembrato opportuno chiedermi perché
dovevamo fermarci a 99 per cercare i buoni sessagesimali quando
ancora ci manca completamente la riga 5 perlopiù in cui figura una
coppia in cui uno dei due elementi, a, ha valore 125!
Quindi con una semplice, ma radicale, modifica alle funzioni “nicesd” e
“nicepair” in cui si estende il campo di ricerca a
b < a < 126
otteniamo il risultato sperato:
E oltre ad apparire la
5
2
2,5000000000
12
5
2,4000000000
1
12
5
coppia cercata
64
27
2,3703703704
2
64
27
75
32
2,3437500000
3
75
32
(125,54), troviamo
125
54
2,3148148148
4
125
54
al posto della
9
4
2,2500000000
5
9
4
20
9
2,2222222222
6
20
9
coppia (60,30), che
54
25
2,1600000000
7
54
25
esce a priori dal
32
15
2,1333333333
8
32
15
25
12
2,0833333333
9
25
12
modello matematico
81
40
2,0250000000
10
81
40
della tavoletta
125
64
1,9531250000
11
60
30
48
25
1,9200000000
12
48
25
avendo dei fattori
15
8
1,8750000000
13
15
8
comuni, la coppia
50
27
1,8518518519
14
50
27
9
5
1,8000000000
15
9
5
(125,64)
16
9
1,7777777778
67
125
72
1,7361111111
Il fatto di trovare un’altra coppia al posto di quella della riga 11 non deve
suscitare alcuno stupore. Infatti non abbiamo mai cercato di
individuare in un nostro modello la coppia “generatrice” della riga 11
appunto perché esce fuori dallo schema generale di tutta la tavoletta.
Ricordiamo inoltre che nella riga 11, in cui figurano i numeri
11
A
0,5625000000000000
B
2700
C
4500
appare sempre vero che essa è l’unica riga in cui B e C non sono primi
fra loro.
Teniamo sempre presente che effettivamente il valore di A all’ undicesima
riga porta essenzialmente ad escludere altri valori di B e C diversi dai
precedenti, essendo A il valore 0;33,45 = {0,56250} perfettamente
d’accordo con essi.
Volendo riassumere in una tabella quello che abbiamo trovato in questo
ultimo caso otteniamo la seguente tavola, in cui abbiamo “esteso” la
tavoletta fino a due righe successive:
68
Plimpton 322: ricostruzione
a
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
12
64
75
125
9
20
54
32
25
81
60
48
15
50
9
16
125
5
27
32
54
4
9
25
15
12
40
30
25
8
27
5
9
72
a/b
2,4000000000
2,3703703704
2,3437500000
2,3148148148
2,2500000000
2,2222222222
2,1600000000
2,1333333333
2,0833333333
2,0250000000
2,0000000000
1,9200000000
1,8750000000
1,8518518519
1,8000000000
1,7777777778
1,7361111111
11a
125
64
1,9531250000
θ
B
C
D
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
2700
1679
161
1771
56
175
10441
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
4500
2929
289
3229
106
337
20809
120
3456
4800
13500
72
360
2700
960
600
6480
3600
2400
240
2700
90
288
18000
(B/D)2 = A
0,9834027777777780
0,9491585520886920
0,9188021267361110
0,8862479067215360
0,8150077160493830
0,7851929012345680
0,7199836762688620
0,6927094184027780
0,6426694444444440
0,5861225661103490
0,5625000000000000
0,4894168402777780
0,4500173611111110
0,4302388203017830
0,3871604938271610
0,3692250192901230
0,3364644475308640
11529
19721
16000
0,5192103164062500
11a valore trovato seguendo l’algoritmo del modello
D colonna non presente (insieme ad a,b,a/b) nella tavoletta Plimpton 322
69
C = a2+b2
B =a2-b2
A = (B/D)2
Conclusioni
Abbiamo trovato numerosi problemi in cui vengono applicate regole
algebriche e geometriche, ma senza alcuna dimostrazione.
Probabilmente i matematici babilonesi non ne hanno mai sentito il
bisogno, e inoltre, tale carattere “pratico” della matematica, è
comune a tutta la matematica pre-classica greca.
Si tratta effettivamente di “ricette” per come risolvere i vari problemi
proposti, ma bisogna non dimenticare che questo non significa
affatto che la matematica babilonese sia puramente “aritmetica”:
Infatti abbiamo notato proprio come lo scriba descriva il
procedimento risolutivo delle equazioni quadratiche come se avesse
la nostra formula moderna davanti agli occhi.
Troviamo numerose tavolette in cui uno stesso problema è ripetuto
cambiando solamente i dati numerici. È probabile che questa era
proprio la tecnica adoperata, come ai giorni nostri, per insegnare agli
alunni formule e procedimenti.
70
Bisogna tenere presente la bassa conoscenza che si ha in materia di
tavolette babilonesi. Noi ne conosciamo poche e non sappiamo
effettivamente quante altre tavolette ci siano ancora da trovare o
da tradurre. La difficoltà di tale studio non è bassa: in casi come
ad esempio la Plimpton 322, in cui non compaiono altro che
numeri e scritte senza figure geometriche, la difficoltà aumenta.
Un’ultima considerazione sulla tavoletta Plimpton 322.
Subiamo effettivamente un certo fascino da entrambe le
interpretazioni, sia quella che vede la tavoletta come tavola di
triplette pitagoriche, sia quella che la assume come tavola
pedagogica per la creazione di problemi igum-igibum.
Credo che proprio quest’ ultima ricostruzione, oltre a riuscire a dare
risposte più adatte a quel che rimane della tavoletta Plimpton
originale (valori ordinati di A e coincidenza con un modello
matematico), sia anche la più vicina al pensiero ed alla cultura
dello scriba babilonese.
71
Bibliografia
The History of Mathematics: A Reader
Edited by John Fauvel and Jeremy Gray
At the Open University.