ELEMENTI DI TEORIA DEGLI
INSIEMI
Descrizione di insieme
Un insieme è una collezione di oggetti ben
distinti fra di loro e riuniti in un tutt’uno
RAPPRESENTAZIONE DEGLI
INSIEMI
Elenco
Esempi
{mele, pere, pomodori}
Diagrammi di Venn
Proprietà
{x| è nell’elenco}
Gli insiemi si indicano con lettere latine maiuscole
Gli oggetti in esso contenuti si dicono elementi
dell’insieme
Gli insiemi si indicano con lettere latine maiuscole
Esempi
Elenco
Diagrammi di Venn
Proprietà
A= {mele, pere, pomodori}
A
A={x| è nell’elenco}
L’insieme vuoto non contiene elementi e si indica
con Ø
Un insieme B è sottoinsieme di un insieme A
se tutti gli elementi di B sono contenuti in A
Esempi
B
{mele, pere}
A
{mele, pere, pomodori}
{x| è nell’elenco ed è giallo}
{x| è nell’elenco}
Si scrive
B A
Unione e intersezione
• Unione: l’insieme
degli elementi che
appartengono ad
almeno uno degli
insiemi considerati
• Intersezione:
l’insieme degli
elementi che
appartengono a tutti
gli insiemi considerati
RELAZIONI
Dato un insieme A non vuoto qualsiasi una
relazione in A è una legge che a ciascun
elemento o sottoinsieme di A fa corrispondere
uno o più elementi di A
RELAZIONI: esempio
Esempio: sia A l’insieme degli studenti presenti
relazione “essere nati nello stesso anno”
Lo studente x è in relazione con lo studente y
se sono nati nello stesso anno.
Osservazione: ogni studente è in relazione con
sé stesso ed eventualmente con altri
APPLICAZIONI
Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama
applicazione dell’insieme A nell’insieme
B una legge che a ciascun elemento di A
fa corrispondere un ben determinato
elemento di B e si scrive
f :AB
OSSERVAZIONE
Elementi necessari per costruire una funzione:
Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama
applicazione dell’insieme A nell’insieme B
una legge che a ciascun elemento di A fa
corrispondere un ben determinato elemento
di B
Quindi la legge da sola non basta
APPLICAZIONI
Inoltre se all’elemento
x A
L’applicazione f associa
yB
Si dice che y è l’immagine di x per f
e si scrive
y  f ( x)
x
y
DIFFERENZE TRA RELAZIONI E
APPLICAZIONI
Dato
x A
Una relazione associa uno o più elementi dello
stesso insieme
Una applicazione associa UN SOLO elemento,
eventualmente di un altro insieme.
Esempi di applicazioni
x
A
y
B
z
x
A
y
B
z
A
t
x
y
B
•
•
A
x
NO
t
B
y
f ( A)
codominio di f
è l’immagine di tutti gli elementi di A
è un insieme
A
f
B
f(A)
f ( A)  B è contenuto in B
f ( A)
codominio di f
A
f
B
f ( A)  { y  B : x  A : f ( x)  y} 
 { y  B tale che esiste x  A con
f(A)
y  f ( x )}
Casi particolari: funzioni iniettive
f
z
A
t
xx
f(A)
y
B
Posso definire l’”applicazione
inversa”
-1
f
Se y è diverso da t allora x è diverso da z
f
-1
z
A
x
t
y
B
f(A)
Se l’applicazione non è iniettiva
z
x
A
y
B
Non posso invertire
NO
z
A
x
y
B
Immagini inverse
A
f
f -1(C )
B
• Dato un insieme
C  f ( A)
CC
f(A)
C  f ( A)
• L’immagine inversa di C tramite f
1
f (C )  {x  A : f ( x)  C}
• Osservazione:
f 1 ( f ( A))  {x  A : f ( x)  f ( A)}  A
Caso particolare: applicazioni
suriettive o surgettive
A
f
• se
B= f(A)
B  f ( A)
Se l’applicazione è iniettiva e suriettiva
allora si dice biunivoca o 1-1
Se A e B sono sottoinsiemi di
numeri reali
A  R, B  R
f :AB
f è una funzione
Se A e B sono sottoinsiemi di numeri
reali
f :AB
f è una funzione
Notazioni
•
L’elemento y che corrisponde all’elemento x tramite legge f (la funzione)
si indica con
x y
E la funzione si indica anche con
y  f (x)
Note:
1.
si legge: y uguale ad effe di x
y è immagine di x tramite f
x è antiimmagine o controimmagine di y tramite f
2. f rappresenta la funzione e tutto ciò che è in parentesi si chiama argomento
della funzione: in questo caso quindi x è l’argomento della funzione.
Esempio:
f(x) = -1+x+x2
La funzione assegnata è un polinomio di grado 2.
Insieme di definizione
In generale la funzione assegnata non può
essere calcolata sempre.
L’insieme dei numeri reali per i quali la
funzione può essere calcolata prende il
nome di insieme di definizione della
funzione.
Chiamare l’insieme di definizione campo di
esistenza (CE) è un abuso di linguaggio.
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
f ( x)  x
• Condizione di definizione
x 
• Insieme di definizione
 ,
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di definizione
• Insieme di definizione
1
f ( x) 
x
x0
 ,0   0,
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di definizione
• Insieme di definizione
1  2x  x2
f ( x) 
1 x
1 x  0 
x  1
 ,  1   1,
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di definizione
1  2 x  x2
f ( x) 
3  x2
3  x2  0
x 2  3
x 
• Insieme di definizione
(,)
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di definizione
• Insieme di definizione
f ( x) 
x
Il numero sotto radice deve
essere
0
0,
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di definizione
• Insieme di definizione
f ( x) 
1
x
x0
0,
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di definizione
• Insieme di definizione
f ( x)  e x
x 
 ,
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di definizione
• Insieme di definizione
f(x) = log (1+x)
1 x  0
 x  1
(1,)
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di definizione
f ( x)   1  x  x 2
 1  x  x2  0
radici :
x1, 2 
• Insieme di definizione
1 5
2

1  5 
  ,


2 

 1  5


, 
 2

Richiami sull’equazione di II grado
Zeri di un polinomio di grado 2
• Si ricorda che gli zeri di un qualsiasi
polinomio di grado 2, cioè i valori per i
quali il polinomio si annulla, sono le radici
dell’equazione :
ax  bx  c  0
2
Radici di un polinomio di grado 2
• Le radici si calcolano mediante la formula:
x1, 2
 b  b 2  4ac

2a
Esempio: x 2  x  1  0
• Per la funzione assegnata si ha : a=1, b=1, c=-1,
quindi
x1, 2
 b  b 2  4ac

2a
x1, 2
 1  12  4 *1*1  1  5


2 *1
2
Segno di un polinomio
• Si ricorda che un qualsiasi polinomio di
grado 2 assume sempre il segno del
coefficiente del termine di grado più
elevato (cioè il segno di a) tranne che
nell’intervallo tra le radici.
• Quindi il polinomio assegnato è sempre
positivo tranne che per i valori di x tra
1 5

1

5
•
e
2
2
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
f ( x) 
• Condizione di definizione
• Insieme di definizione
1  x  x2
1 x  x  0
2
(,)
1 x  x  0
2
• Per la funzione assegnata si ha : a=1, b=1, c=1, quindi
 1  12  4 *1*1  1   3
x1, 2 

2 *1
2
• Poiché il numero sotto radice è negativo il polinomio non
ha radici reali e quindi non si annulla mai.
• Inoltre poiché un qualsiasi polinomio di grado 2 assume
sempre il segno del coefficiente del termine di grado più
elevato (cioè il segno di a) tranne che nell’intervallo tra
le radici si ha che il polinomio risulta sempre positivo.
Esempi di insiemi di definizione
• funzione
• Condizione di
definizione
2
f(x) = log(1+x+x )
1+x+x >0, x 
• Insieme di definizione
2
(,)
Grafico di una funzione
f :AB
G ( f )  {( x, y ) : x  A, y  B e y  f ( x)}
Il grafico si può rappresentare su un piano cartesiano
Costruzione del grafico per punti
Si disegna un punto di coordinate (x,y) se y=f(x)
• Esempio
f ( x)
f ( x)  2 x  1
x
f(x)
½
2
¾
5/2
7/8
11/4
3/2
4
5/4
7/2
9/8
13/4
0
½ ¾
3/2
x