Per docenti di quinta elementare
Domingo Paola
Liceo scientifico Issel di Finale Ligure
G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di
Genova
Modena 8 Novembre 2005
Il nucleo di processo “argomentare e
congetturare” caratterizza le attività
che preparano alla dimostrazione,
ossia a una delle attività che
caratterizzano il pensiero matematico
maturo, quale sarà acquisito nella
scuola secondaria di secondo grado.
Si considerano perciò quei processi
eminentemente discorsivi che concernono il
pensiero matematico; essi risultano da un
intreccio tra rappresentazioni simboliche (i segni
dell’aritmetica, le figure della geometria) e le
attività discorsive su questi con cui il soggetto dà
significato agli enunciati matematici che sono
generalmente di tipo misto (segni specifici del
linguaggio simbolico proprio della matematica e
parole del linguaggio naturale).
Il significato dei segni matematici è
analizzabile a due livelli: il primo
significato riguarda principalmente gli
oggetti matematici (per esempio un
numero naturale); il secondo le relazioni
tra questi (per esempio la relazione
“essere maggiore di”)
Le attività argomentative in cui si
producono ipotesi o si generano
condizionalità sono riconducibili a due
modalità principali […] caratterizzate dal
diverso modo con cui il soggetto si
rapporta al mondo esterno rispetto al suo
mondo interno. La prima modalità è
caratterizzata dalla produzione di
congetture interpretative di ciò che si
percepisce, per esempio al fine di
organizzarlo. La seconda è caratterizzata
dalla produzione di congetture previsionali
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Seconda - Terza elementare
“Il Signor O deve andare dal punto A al punto C che si
trovano a una stessa distanza da una strada rettilinea.
Un’auto sta passando sulla strada e deve consegnare un
pacco al Signor O. Quest’auto può viaggiare solo sulla
strada, e può fermarsi nel punto indicato dal Signor O per
incontrarlo e consegnargli il pacco. Siccome il Signor O è
molto pigro, vuole compiere il cammino più breve
possibile dal punto A al punto C passando per il punto in
cui gli sarà consegnato il pacco sulla strada. Qual è il
punto in cui deve farsi consegnare il pacco il Signor O
per compiere il cammino più breve possibile?
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Quarta – Quinta elementare
Che cosa cambia se i punti A e C si trovano a
diversa distanza dalla strada? Dove dobbiamo
far posare il pacco? Quale sarà il percorso più
breve per il Signor O?”
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Scuola primaria
Che cosa possiamo aspettarci come
risposte a domande di questo tipo?
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Scuola primaria
Sotto osservazione:
gli alunni capiscono la consegna?
Sanno costruire un modellino della situazione
con materiale povero (cartoncino, spilli…)?
Producono congetture, ipotesi, come le
validano?
Come cambiano i ragionamenti dalla prima alla
seconda situazione?
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Scuola secondaria di primo grado
Lo stesso problema con Cabri, suggerendo anche
possibili interpretazioni sul piano cartesiano della
variazione della distanza AF+FC al variare di F.
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Scuola secondaria di primo grado
Che cosa possiamo aspettarci come
risposte a domande di questo tipo?
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Scuola secondaria di primo grado
Sotto osservazione:
che cosa cambia nelle modalità di
esplorazione con Cabri?
Che cosa cambia nella comunicazione delle
osservazioni e delle scoperte (gesti,
metafore, segni …)
Come cambiano le modalità di validazione?
Quali difficoltà nella “lettura” del grafico?
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Biennio scuola secondaria di secondo grado
Il punto F si determina costruendo il punto A’
simmetrico di A rispetto alla retta su cui giace F e
congiungendo C con A’: perché?
Richiesta di una dimostrazione
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Biennio scuola secondaria di secondo grado
Che cosa possiamo aspettarci come
risposte a domande di questo tipo?
Presentazione di un esempio di attività
didattica in continuità verticale
Un esempio di attività “in verticale”
Biennio scuola secondaria di secondo grado
Sotto osservazione:
Come cambiano le modalità di validazione?
Apprezzano la potenza della dimostrazione e
della generalizzazione?
Che cosa cambia nella comunicazione delle
osservazioni e delle scoperte (gesti,
metafore, segni …)
Attività 4. Come eravamo: il valore del denaro nel tempo
(quinta elementare)
Prima fase: racconto di esperienze personali
Seconda fase: progettazione e realizzazione di un cartellone
murale con una striscia del tempo dal 1946 a oggi e
progettazione e realizzazione di una copia personale in scala
Terza fase: raccolta di documenti e informazioni
Quarta e quinta fase: rappresentazione con adeguati
diagrammi cartesiani delle variazioni dei prezzi di vari
prodotti e uso di adeguati indici per effettuare confronti
Importanza degli strumenti come mediatori nel
processo di costruzione di conoscenza
Che cos’è una
circonferenza?
Le calcolatrici nella scuola elementare
Le operazioni in
colonna sì o no?
Come è possibile utilizzare
sensatamente le risorse che
le calcolatrici mettono a
disposizione?
Che cosa si perde e che cosa si guadagna?
Al di fuori della scuola, la calcolatrice viene
utilizzata come protesi che potenzia le nostre
limitate capacità di calcolo e rende i risultati
più affidabili. Questo schema d’utilizzazione
è appropriato per la scuola elementare?
Se l’obiettivo è quello di far conoscere agli alunni
l’aritmetica elementare, come può essere utile
uno strumento che nasconde i processi di calcolo
e le proprietà delle operazioni limitandosi a
fornire un risultato? Lo schema d’uso sociale
della calcolatrice che viene fatto al di fuori della
scuola non è adatto a essere importato nelle aule
scolastiche dei primi anni della scuola elementare
è necessario pensare ad altre modalità di
utilizzazione che consentano di perseguire
l’obiettivo prefissato, magari ponendo nuovi
problemi
esplorazione, osservazione, produzione e
validazione di congetture per motivare,
infine, a porsi e a rispondere a domande
del tipo “ma perché è così?”
Esempi di attività
Attività 1. (con la calcolatrice) Parti da 0 e
aggiungi 5. Continua così, aggiungi sempre 5 al
risultato che ottieni. Riuscirai mai a raggiungere il
numero 37? E il numero 72? E se, invece, parti dal
numero 2? E dal numero 3?
Attività 2 (inizialmente senza la calcolatrice) Date
nel tempo più breve possibile, senza usare la
calcolatrice, due numeri che si avvicinino al
risultato di 112 . 3. Il primo numero deve essere più
piccolo del risultato di 112.3, mentre il secondo
numero deve essere maggiore. Lo scopo è di
rendere più piccola possibile, nel breve tempo
concesso, la differenza tra i due numeri forniti.
Più ancora delle risposte che vengono
fornite alle domande del tipo perché? è il
senso, il significato di queste domande a
essere importante: è necessario lavorare
costantemente e sistematicamente ai
fianchi gli alunni per portarli a
comprendere il significato delle domande
del tipo perché. Le risposte a queste
domande possono darsi solo ricorrendo
alla teoria, ossia a un sistema di
conoscenze organizzate, nel quale certi
fatti sono utilizzati per spiegarne altri.
Software
di
geometria
dinamica
e
insegnamento – apprendimento della geometria
nella scuola elementare
Caratteristiche di questo ambiente:
Fogli di lavoro già costruiti dall’insegnante e sui
quali gli studenti possano effettuare esplorazioni
e osservazioni limitandosi all’uso del mouse.
Menu “equilibrato”, costruito sull’esperienza
degli studenti.
Aspetto delicato: acquisizione dello schema
d’uso del trascinamento.
attività di questo tipo, se inserite in un
ambiente di insegnamento – apprendimento
opportuno, potrebbero aiutare
significativamente l’evoluzione
dall’esplorazione e osservazione di “fatti
geometrici”, alla verbalizzazione di quanto
osservato e alla produzione e formulazione
di congetture
Ma che cosa vuol dire ambiente di
insegnamento – apprendimento
opportuno?
didattica lunga, tesa alla costruzione di
significati per gli oggetti di studio
attenzione dell’insegnante rivolta ai processi
di pensiero degli studenti
motivare gli studenti a produrre pensiero e
ad ascoltare e discutere le idee che
emergono con il lavoro in classe.
condividere un concetto di razionalità più
ampio di quello che in genere si individua
con il termine razionalità scientifica
Noi conosciamo fatti e possediamo un sapere su di essi
soltanto quando, contemporaneamente, sappiamo perché i
giudizi corrispondenti sono veri. Altrimenti parliamo di
sapere intuitivo o implicito, di un sapere pratico di come si
fa qualcosa. Ci si può benissimo intendere di qualcosa
senza sapere che cosa è che costituisce queste
competenze. Invece l’espresso sapere qualcosa è
implicitamente legato a un sapere perché e rimanda, per
questo, a potenziali giustificazioni. […] Naturalmente ciò
non significa che opinioni o convinzioni razionali siano
sempre composte di giudizi veri. Chi condivide opinioni che
si dimostrano non vere non è ipso facto irrazionale;
irrazionale è chi difende dogmaticamente le proprie opinioni
e le mantiene, pur vedendo che non può motivarle. Per
qualificare un’opinione come razionale basta che essa, nel
contesto di giustificazione dato, possa con buone
motivazioni essere ritenuta vera, ossia accettata
razionalmente
Habermas
Ma che cosa vuol dire didattica sensata?
Sensatus : giudizioso, ragionevole
Sensus :
sentire per mezzo dei sensi
Didattica sensata:
ragionevole e legata ai sensi
Galileo Galilei, quando parlava di sensata
esperienza, si riferiva alla necessaria
compresenza, per lo studio del mondo, di
aspetti percettivi e di aspetti razionali.
“Il sogno di Galileo è un’immagine del sapere.
In essa si dice che gli uomini possono
conoscere il mondo facendo appello
solamente alle dimostrazioni matematiche e
agli esperimenti […] Secondo Galileo, infatti, i
discorsi nostri hanno a essere intorno al
mondo sensibile e non sopra un modo di
carta”
E. Bellone
I nostri studenti possono conoscere il
mondo facendo appello ai sensi e alle
teorie: quelli per percepire e fondare, sulle
percezioni, i significati degli oggetti di
studio, quelle per aiutare a orientarci nel
labirinto delle percezioni, per sistemare e
organizzare le nostre conoscenze in modo
da poter rispondere ai perché.
Da modalità di insegnamento –
apprendimento ricostruttivo – simboliche
a modalità percettivo – motorie