Politecnico di Torino.
Applicazioni Lineari.
Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto
delle lezioni.
Aquila non captat muscas
Argomenti:
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Basi e coordinate.
Applicazioni lineari.
Matrici come applicazioni lineari.
Nucleo, immagine e controimmagine.
La matrice di f rispetto a basi in V1 e V2 .
La matrice di un endomorfismo.
Cambiamento di base.
Altra dimostrazione del Teorema del rango.
Esercizi:
• http://cantor.polito.it/didattica/index2.php?percorso=Geometria/Applicazioni%
20lineari
• http://calvino.polito.it/~spreafico/materiale_comune/al_rn.pdf
• http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/geometria/pdf/svolti6.pdf
1
Basi e coordinate
−
−
−
Una base B di uno spazio vettoriale V e’ un insieme ordinato B = (→
v 1, →
v 2, · · · , →
v n ) di
generatori linearmente independenti (L.I) di V, cioe’ per dare una base bisogna indicare:
−
−
−
−
−
−
i) i vettori L.I. →
v 1, →
v 2, · · · , →
v n che generano V,cioe’ V = L(→
v 1, →
v 2, · · · , →
v n );
ii) l’ordine tra questi vettori, cioe’ quale e’ il primo vettore della base, quale e’ il
secondo e cosi’ via.
Il numero n di vettori di una base di V e’ la dimensione di V e si indica dim(V) = n.
Esempio 1.1. Sia V = R2,3 lo spazio vettoriale delle matrici 2 × 3. Le sei matrici :
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
sono un sistema di generatori L.I. di V. Con queste 6 matrici si possono formare
6! = 720 basi diversi di V poiche’ ci sono 720 modi diversi di ordinare sei oggetti. Ecco
Applicazioni Lineari
1
Geometria
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tre di queste 720 basi:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
C=(
,
,
,
,
,
)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A=(
,
,
,
,
,
)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
B=(
,
,
,
,
,
,)
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
1 0 0
−
−
−
−
Data la base B = (→
v 1, →
v 2, · · · , →
v n ) di V ogni vettore →
v ∈ V si associa con la sua
colonna di coordinate:
 
c1
 c2 
 
→
−
B [ v ] =  .. 
.
cn
dove i c1 , c2 , · · · , cn sono i coefficienti della combinazione lineare
→
−
−
−
−
v =c →
v +c →
v + ··· + c →
v .
1
1
2
2
n
n
−
−
−
Si dice che la colonna B [→
v ] rappresenta il vettore →
v rispetto alla base B o che B [→
v ] e’
→
−
la colonna delle componenti o coordinate di v rispetto alla base B .
1 0 0
→
−
Esempio 1.2. Sia v =
e siano A, B e C le tre basi dello esempio precedente.
0 0 0
Allora
 
 
 
0
0
1
0
0
0
 
 
 
0
0
0
→
−
→
−
→
−
 
 
 
A[ v ] =  
B[ v ] =  
C[ v ] =  
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Esempio 1.3. Come fa vedere l’esempio precendente normalmente la colonna che rap→
−
presenta un vettore cambia quando si cambia la base. Ma il vettore nullo 0 e’ sempre
rappresentato dalla colonna nulla rispetto a qualsiasi base. Ad esempio se dim(V) = 4
allora
 
0


→
−
0
B[ 0 ] =  
0
0
Applicazioni Lineari
2
Geometria
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per qualsiasi base B .
→
−
Il vettore nullo e’ l’unico vettore di uno spazio vettoriale la cui colonna B [ 0 ] e’
−
sempre la stessa rispetto a qualsiasi base. Infatti, un vettore →
v non nullo appartiene
sempre a un sistema di generatori linearmente independenti. Dunque esiste unabase

1
0
 
 
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
A = ( v , v 2 , · · · , v n ) dove v e’ il primo vettore e dunque la sua colonna A [ v ] = 0 .
 .. 
.
0
 
0
1
 
 
→
−
→
−
−
Invece rispetto alla base B = (v2 , v , · · · , vn ) la colonna B [ v ] = 0 poiche’ →
v e’ il
 .. 
.
0
secondo vettore della base B .
−
−
−
Esercizio 1.4. Sia C = (e1 , e2 , e3 ) la base canonica di R3 e sia B = (→
v 1, →
v 2, →
v 3 ) la
3
base di R dove
→
−
−
−
v 1 = (1, 1, 1) ; →
v 2 = (0, 1, 1) ; →
v 3 = (0, 0, 1)
Calcolare le seguenti colonne:
→
−
−
−
v 1 ] , B [→
v 2 ] e B [→
v 3 ].
(a)
B[
(b)
C[
(c)
C [e1 ]
, C [e2 ] e C [e3 ].
(d)
B [e1 ]
, B [e2 ] e B [e3 ].
→
−
−
−
v 1 ] , C [→
v 2 ] e C [→
v 3 ].
−
−
−
−
−
(e) Sia →
w = e1 + →
v1−→
v 3 . Calcolare le colonne B [→
w ] e C [→
w]
−1 2 0
Esercizio 1.5. Sia m =
. Calcolare le tre colonne
4 8 π
dove A, B, C sono le tre basi del Esempio 1.1.
2
A [m]
, B [m] e C [m]
Applicazioni lineari
Una funzione f : V1 → V2 tra due spazi vettoriali e’ una applicazione lineare se:
Applicazioni Lineari
3
Geometria
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−
−
−
−
f (→
v +→
w ) = f (→
v ) + f (→
w)
−
−
f (r→
v ) = rf (→
v)
−
−
per ogni vettori →
v ,→
w ∈ V e qualsiasi numero r . Questo e’ equivalente ad dire che f
rispetta combinazioni lineari, cioe’
−
−
−
−
−
−
f (c1 →
v 1 + c2 →
v 2 + · · · + cn →
v n ) = c1 f (→
v 1 ) + c2 f (→
v 2 ) + · · · + cn f (→
v n)
Nota: Una funzione lineare f applica o trasforma il vettore zero nel vettore zero,
→
−
→
−
cioe’ f ( 0 ) = 0 .
Dizionario: Una applicazione lineare si dice anche funzione lineare od operatore
lineare o transformazione lineare.
Esempio 2.1. Una base B di V si puo pensare come una applicazione lineare da V allo
−
−
−
spazio vettoriale delle colonne. Infatti, se n = dim(V) e’ B = (→
v 1, →
v 2, · · · , →
v n ) allora
−
f (→
v ) = B [v]
e’ una applicazione lineare.
−
Esempio 2.2. Sia f : V1 → V2 la funzione costante uguale a zero, cioe f (→
v ) = 0 per
→
−
qualsiasi v ∈ V1 . Allora f e’ una applicazione lineare chiamata applicazione nulla,
zero o banale.
Esempio 2.3. La derivata f (x) → f 0 (x) e’ una applicazione lineare dello spazio V1
delle funzioni che ammetono derivate nello spazio V2 delle funzioni.
Dizionario: A volte si usano queste parole:
morfismo = omomorfismo= applicazione lineare.
endomorfismo= applicazione lineare di V in se stesso.
epimorfismo = applicazione lineare suriettiva.
monomorfismo = applicazione lineare iniettiva.
isomorfismo= monomorfismo + epimorfismo.
automorfismo = isomorfismo + endomorfismo.
−
−
Esempio 2.4. La applicazione identica o identita’ id : V → V definita da id(→
v)=→
v
e’ un automorfismo di V.
Esempio 2.5. Sia f : R2 → R3 la funzione f (x, y) = (x + 2y, 3x + 4y, 5x + 6y). Allora
f e’ una applicazione lineare.
Applicazioni Lineari
4
Geometria
2.1 Matrici come applicazioni lineari
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Se f : Rn → Rm e’ la funzione
f (x1 , · · · , xn ) = (f1 (x1 , · · · , xn ), · · · , fm (x1 , · · · , xn ))
allora f e’ una applicazione lineare se e soltanto se tutte le fi : Rn → R sono lineari,
cioe’ del tipo:
ax1 + bx2 + · · · + cxn .
Ad esempio la f : R2 → R3 del esempio precedente e’
f (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y), f3 (x, y))
dove


f1 (x, y) = x + 2y ,
f2 (x, y) = 3x + 4y ,


f3 (x, y) = 5x + 6y
Esempio 2.6. Sia f : R2 → R2 la funzione f (x, y) = (x, y 2 ) non e’ applicazione lineare
poiche compare y 2 .
Esempio 2.7. Sia f : R3 → R2 la funzione f (x, y, z) = (x + y + z, 7x + 8z + 9y + 3)
non e’ applicazione lineare poiche’ c’e’ la costante 3 e dunque f (0, 0, 0) = (0, 3) non e’
il vettore zero.
Esercizio 2.8. Quale delle seguenti funzioni f : R → R e’ una applicazione lineare?
i) f (x) = 3x,
ii) f (x) = 5x + 1,
iii) f (x) = log(x2 + 1),
iv) f (x) = ex .
→
−
→
−
Esercizio 2.9. Sia f : V1 → V2 una applicazione lineare. Per che f ( 0 ) = 0 ?
2.1
Matrici come applicazioni lineari
Una matrice A ∈ Rm,n determina una applicazione lineare fA : Rn → Rm tramite
la moltiplicazione
  matrice per colonna.
  Le n-uple X = (x1 , · · · , xn ) si pensano come
x1
x1




.
colonne 1  ..  . Il prodotto A  ...  e’ una colonna di m elementi che da il risultato
xn
xn
1
Molte persone quando parlano degli elementi di Rn come vettori li pensano sempre come colonne
anziche come n -uple.
Applicazioni Lineari
5
Geometria
2.1 Matrici come applicazioni lineari
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

x1
 
fA (X), cioe’ fA (X) = AX dove X e’ la colonna  ...  .
xn
Se A = (aij ) allora fA in formule e’:
fA (x1 , · · · , xn ) = (
n
X
a1k xk ,
k=1
Esempio 2.10. Se A =
n
X
, a2k xk , · · · ,
k=1
n
X
amk xk )
k=1
1 2 3
allora fA e’
4 5 6
fA (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + 3x3 , 4x1 + 5x2 + 6x3 )
 
x1
x1 + 2x2 + 3x3
1 2 3  
x2 =
.
Infatti,
4x1 + 5x2 + 6x3
4 5 6
x3
 
2
−1 0 1

0  . Calcolare la colonna AX .
Esercizio 2.11. Sia A =
e sia X =
3 3 7
−5
Calcolare fA (2, 0, −5). Trovare le formule fA (x1 , x2 , x3 ).
Esercizio 2.12. Sia fA (x1 , x2 , x3 ) = (−x1 + x3 , 3x1 + 3x3 + 7x3 ). Trovare la matrice
A. Trovare la matrice Jacobiana di fA .
Esercizio 2.13. Sia fA (x, y, z) = (−x+z, 3z +3y +7z). Trovare la matrice A. Trovare
la matrice Jacobiana di fA .
Esercizio 2.14. Sia fA (u, v, w) = (u + w, 0). Trovare la matrice A. Trovare la matrice
Jacobiana di fA .


0 0
Esercizio 2.15. Sia A =  1 0  . Trovare le formule fA (x1 , x2 ) e calcolare fA (2, 3).
0 1
Ecco due esempi da ricordare:
cos(θ) − sin(θ)
Esempio 2.16. La matrice
determina una rotazione di angolo θ in
sin(θ) cos(θ)
senzo antiorario nel piano R2 .
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6
Geometria
2.2 Nucleo, immagine e controimmagini di f
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Esempio 2.17. Le matrice




1
0
0
cos(θ) 0 − sin(θ)
cos(θ) − sin(θ) 0
0 cos(θ) − sin(θ)  0
1
0   sin(θ) cos(θ) 0
0 sin(θ) cos(θ)
sin(θ) 0 cos(θ)
0
0
1
determinano rispettivamente rotazioni di angolo θ rispetto agli assi x, y e z nello spazio
R3 .
Esercizio 2.18. Calcolare le matrici che ruotano 30, 45, 60 e 90 gradi in senzo orario
R2 .
1 2
In realta’ una matrice come A :
si puo usare anche per definire una ap3 4
plicazione lineare LA dello spazio R2,3 in se stesso, cioe’ LA : R2,3 → R2,3 . Eccola
qui:
LA (X) = AX
dove X ∈ R2,3 .
1 0
Esercizio 2.19. Sia A :
e sia LA : R2,3 → R2,3 come spiegato precedente0
1
1 0 −1
mente. Calcolare LA (
).
2 −6 5
2.2
Nucleo, immagine e controimmagini di f
Data una applicazione lineare f : V1 → V2 ci sono due sottospazi importanti: il nucleo
ker(f ) e l’immagine im(f ). L’immagine e’ semplicemente l’immagine di f , cioe’
−
−
l’insieme im(f ) = f (V1 ) = {f (→
v):→
v ∈ V1 }. Ecco il nucleo
−
−
ker(f ) = {→
v ∈ V1 : f (→
v ) = 0}
dunque il nucleo e’ il sottoinsieme di vettori che dove f fa zero.
Osservare che ker(f ) e’ un sottospazio del dominio V1 di f invece im(f ) del codominio V2 .
Il nucleo di f serve per determinare se f e’ iniettiva: dim(ker(f )) = 0 se e soltanto se
f e’ iniettiva.
L’immagine f serve per determinare se f e’ suriettiva: dim(im(f )) = dim(V2 ) se e
soltanto se f e’ suriettiva.
Applicazioni Lineari
7
Geometria
2.2 Nucleo, immagine e controimmagini di f
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Esempio 2.20. Sia V1 uno spazio vettoriale di dimension 4 e sia V2 uno spazio vettoriale di dimension 3. Esiste una applicazione lineare f : V1 → V2 iniettiva ?. Risposta:
No, poiche’ dim(im(f )) non puo’ essere maggiore di 3.
Esempio 2.21. Sia V1 uno spazio vettoriale di dimension 15 e sia V2 uno spazio
vettoriale di dimension 20. Esiste una applicazione lineare f : V1 → V2 suriettiva?.
Risposta: No, poiche’ 20 = dim(V2 ) > 15 = dim(V1 ) ≥ dim(im(f )).
Esempio 2.22. Sia fA l’applicazione lineare associata alla matrice A. Allora ker(fA )
e’ l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo A.X = 0. Dunque dim(ker(fA )) = p
dove p e’ il numero di parametri liberi della soluzione generale di A.X = 0. Invece
im(fA ) e’ il sottospazio generato dalle colonne della A, cioe’ im(fA ) = CA . Dunque
r = rango(A) = dim(im(fA )) = dim(CA ). Quindi A ha n = r + p colonne.
El esempio precedente e’ un caso particolare dell’equazione2 :
dim(V1 ) = dim(ker(f )) + dim(im(f ))
Esempio 2.23. Sia V1 uno spazio vettoriale di dimension 8. Esiste una applicazione
lineare f : V1 → V2 tale che dim(ker(f )) = 4 e dim(im(f )) = 5 ?. Risposta: No,
poiche’ 8 6= 4 + 5.
Esempio 2.24. Sia V1 uno spazio vettoriale di dimension 17 e sia V2 uno spazio
vettoriale di dimension 12. Esiste una applicazione lineare f : V1 → V2 suriettiva e
dim(ker(f )) = 6 ?. Risposta: No, poiche’ 17 6= 6 + 12.
Se f : V1 → V2 e’ una applicazione lineare e b ∈ V2 la controimmagine f −1 (b) e’
il sottoinsieme di vettori di V1 che f applica su b, simbolicamente
f −1 (b) = {x ∈ V1 : f (x) = b}
Esempio 2.25. Sia fA : R3 → R2 la applicazione lineare definita dalla matrice
1 2 3
A=
.
2 4 6
La controimmagine fA−1 (b) e’ l’insieme delle soluzioni del sistema non homogeneo
AX = b .
2
In wikipedia questo e’ chiamato “Teorema del rango”: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_
del_rango
Applicazioni Lineari
8
Geometria
2.3 La matrice di f rispetto a basi in V1 e V2 .
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1
1
Ad esempio,
) = ∅ l’insieme vuoto poiche il sistema AX =
e’ incompat0
0
 
   
1
−2
−3
6
−1
ibile. Invece, fA (
) = 1 + L( 1  ,  0 ), cioe’ un piano passante per il
12
1
0
1
punto (1, 1, 1).
fA−1 (
Dizionario Il ”rango” della applicazione lineare f e’ la dimensione di im(f ). C’e’
gente che usa la parola rango per indicare anche il sottospazio im(f ).
2.3
La matrice di f rispetto a basi in V1 e V2 .
−
−
Sia A = (→
v 1, · · · , →
v n ) una base di V1 e B una base di V2 e sia f : V1 → V2 una
applicazione lineare. La matrice


···
−
−
−
B [f (→
v 1 )] B [f (→
v 2 )] · · · B [f (→
v n )]
···
e’ la matrice di f rispetto della base A in partenza (o del dominio) e B in arrivo (o del
codominio). Questa matrice se indica con il simbolo
B [f ]A
.
A volte si dice che B [f ]A rappresenta f rispetto alle basi A e B .
Osservare che B [f ]A ha n = dim(V1 ) colonne e m = dim(V2 ) righe.
Esempio 2.26. Sia V1 , dim(V
3 e V2 , dim(V2 ) = 2. La applicazione lineare nulla
1) = 0 0 0
da V1 in V2 ha matrice
rispetto a qualsiasi basi. Invece la applicazione
0 0 0


0 0
lineare nulla da V2 in V1 ha come matrice 0 0 rispetto a qualsiasi basi.
0 0
−
L’utilita’ della notazione B [f ]A e’ che permette calcolare il valore di f (→
v ) tramite
un prodotto matrice per colonna. Ecco la formula:
→
−
−
v )] = B [f ]A A [→
v]
B [f (
Una altra utilita’ della notazione si vede nella formula che collega composizione
di applicazioni lineari con il prodotto tra le loro matrici. Siano f : V1 → V2 e
Applicazioni Lineari
9
Geometria
2.3 La matrice di f rispetto a basi in V1 e V2 .
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g : V2 → V3 due applicazioni lineari e sia h = g ◦ f : V1 → V3 la loro composizione.
Siano A, B e C basi di V1 , V2 e V3 rispettivamente. Allora
C [h]A
= C [g]B B [f ]A
In parole povere, la composizione corresponde alla moltiplicazione delle matrici. Infatti, se A, B sono matrici allora
fA ◦ fB = fAB
dove fA (X) = AX e fB (X) = BX .
Nota: Precedentemente, sezione 2.1 ho spiegato che una matrice A ∈ Rm,n si puo
pensare come una applicazione lineare fA da Rn in Rm . Usando i simboli di questa
sezione la matrice A e’ in realta’ la matrice di fA rispetto alle basi canoniche di Rn e
Rm , cioe’
A = C [fA ]C
Esempio 2.27. Sia f : R2 → R3 la funzione lineare f (x, y) = (x + 2y, 3x + 4y, 5x + 6y).
Ecco la sua matrice rispetto alle basi canoniche


1 2
 3 4 
C [f ]C =
5 6
Esercizio 2.28. Sia f : R3 → R2 la applicazione lineare definita da f (x, y, z) =
(−x + z, 3z + 3y + 7z). Trovare la matrice di f rispetto alle basi canoniche. Trovare la
matrice Jacobiana di f .
Esercizio 2.29. Sia f la applicazione lineare del esempio precedente. Calcolare la
matrice C [f ]B dove B = ((1, −1), (1, 1)).
Esempio 2.30. Esiste una applicazione lineare f : R2 → R3 tale che ker(f ) = L((2, 3))
e im(f ) = L(0, 3, 8)?. Si, ecco perche. Consideriamo A = ((2, 3), (1, 0)) una base di R2
in cui il nucleo di f e’ generato dal primo vettore. Dunque la matrice


0 0
 0 3 
0 8
considerata come matrice C [f ]A determina una applicazione lineare f : R2 → R3 tale
che ker(f ) = L((1, −1)) e im(f ) = L(0, 3, 8).
A volte e’ facile trovare la f esplicitamente ecco un esempio.
Applicazioni Lineari
10
Geometria
2.4 La matrice d’un endomorfismo f
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Esempio 2.31. Esiste una applicazione lineare f : R2 → R3 tale che ker(f ) = L((1, −1))
e im(f ) = L(4, 2, −1)?. Si, ecco perche. La matrice A di f rispetto alle basi canoniche
ha due colonne e tre righe. Che il vettore (1, −1) sia in ker(f ) ci dice che le due colonne
dia A sono uguali, cioe’ A e’ una matrice del tipo


a a
 b b .
c c
Per fare che im(f ) = L(4, 2, −1) basta prendere a = 4, b = 2, c = −1, cioe’ f (x, y) =
(4x + 4y, 2x + 2y, −x − y).
2.4
La matrice d’un endomorfismo f
Quando f e’ un endomorfismo, cioe’ una applicazione lineare d’uno spazio vettoriale V
in se stesso allora una base A puo’ essere usata tanto in partenza come in arrivo. In
questa situazione la matrice A [f ]A se chiama matrice di f rispetto alla base A.
La notazione
A [f ]A
si puo abreviare con [f ] e dunque
A
→
−
v )] = [f ]
A
A [f (
→
−
v]
A[
Esempio 2.32. La matrice [id] della applicazione identica id : V → V e’ sempre la
A


1 0 0
matrice identica 1, cioe’ non dipende dalla base A. Ad esempio, 13 = 0 1 0 e’ la
0 0 1
matrice della applicazione lineare identica id se dim(V) = 3 rispetto a qualsiasi base di
V. In generale, la matrice d’un endomorfismo f cambia quando la base cambia.
1
ρ
Esercizio 2.33. Sia f : R2 → R2 e sia
la sua matrice rispetto la base
ρ 1
canonica. Sia A = ((1, 1), (1, −1). Calcolare le seguenti tre matrici:
C [f ]A
Applicazioni Lineari
11
A [f ]C
A [f ]A
Geometria
Politecnico di Torino.
2,3
Esempio 2.34.
→ R2,3 la applicazione lineare che si ottiene moltiplicando
A : R
Sia L
1 2
a sinistra per
. Ecco la sua matrice rispetto alla base C in Esempio 1.1:
3 4


1 0 0 2 0 0
 0 1 0 0 2 0 


 0 0 1 0 0 2 


[LA ] = 

3
0
0
4
0
0


C
 0 3 0 0 4 0 
0 0 3 0 0 4
Esercizio 2.35. Sia LA la applicazione lineare del esempio precedente. Scrivere le due
matrici
[LA ]
[LA ]
A
B
dove A, B sono le basi del esempio 1.1.
3
Cambiamento di base
Siano A e B due basi dello spazio vettoriale V. La matrice P di cambiamento di base3
dalla base A alla B e’ una matrice che permette ottenere la colonna che rappresenta un
−
−
vettore nella base B , cioe’ B [→
v ] conoscendo la colonna che rappresenta →
v nella base
A. Il cambiamento di base si fa moltiplicando la colonna per la matrice P , cioe’
→
−
v]=P
B[
→
−
v ].
A[
La matrice P si indica con il simbolo B CA e dunque l’identita’ precedente e’
→
−
−
v ] = B CA A [→
v ].
B[
Come calcolare B CA ?. Osservare che B CA e’ semplicemente la matrice della
applicazione identica id : V → V rispetto alla base A in partenza e B in arrivo. Simbolicamente
B CA = B [id]A
Dunque le colonne di B CA sono le colonne che rappresentano i vettori della base A
rispetto della base B . Simbolicamente se A = (v1 , v2 , · · · , vn ) allora
3
Anche detta matrice di passaggio dalla base A alla base B .
Applicazioni Lineari
12
Geometria
Politecnico di Torino.

···

B [v1 ] B [v2 ] · · ·
B CA =
···
Osservare che le matrici B CA e
A CB
B CA A CB

B [vn ]

sono una l’inversa dell’altra. Infatti,
= B CB = B [id]B = 1
Dunque a volte e’ piu’ facile calcolare B CA e’ dopo calcorare l’inversa
A CB :
Esempio 3.1. Ecco la matrice C CA dalla base A = ((2, 1), (1, −1)) di R2 alla base
canonica C = (e1 , e2 ):
2 1
C CA =
1 −1
Esempio 3.2. Ecco la matrice
di R2 :
A CC
dalla base canonica alla base A = ((2, 1), (1, −1))
A CC
= C CA
−1
=
−1 1 1 2 1
= 31 3 2
1 −1
−3
3
Esercizio 3.3. Sia A = ((1, 1), (1, −1)). Calcolare
di cambiamento di base
le matrici
3
→
−
→
−
2
. Calcolare x, y .
A CC e C CA . Sia v = (x, y) ∈ R tale che A [ v ] =
−5
Esercizio 3.4. Sia A = ((2, 2), (1, −1)). Calcolare
le matrici di cambiamento di base
1
→
−
→
−
−
2
. Calcolare A [→
v ].
A CC e C CA . Sia v ∈ R tale che C [ v ] =
0
Se A e B sono due basi di Rn ci sono due metodi per calcolare la matrice di cambiamento di base B CA . Entrambi metodi usano la base canonica C di Rn .
Metodo 1. Passando tramite la base canonica C : Si calcola B CC calcolando l’inversa
di C CB e dopo si fa il prodotto
B CA
= B CC C CA
Metodo 2. Si applica il metodo di Gauss-Jordan alla matrice :
C CB | C CA
per ottenere la matrice
1 |
Applicazioni Lineari
13
B CA
Geometria
3.1 La matrice di f in diverse basi
Politecnico di Torino.
Esempio 3.5. Calcolare B CA dove A = ((1, −1), (2, 0)) e B = ((3, 0), (2, 2)) sono due
basi di R2 .
3 2
Metodo 1. B CC e’ l’inversa di
, cioe’
0 2
1 −1 3
3
B CC =
0 12
dunque
B CA
= B CC C CA =
−1
3
1
2
1
3
0
1 2
−1 0
=
2
3
2
3
− 12 0
Metodo 2. Si fa Gauss-Jordan alla matrice
3 2 1 2
0 2 −1 0
e si ottiene
1 0 32 23
0 1 − 21 0
dunque
B CA
=
2
3
2
3
− 12 0
Esercizio 3.6. Siano A = ((1, 2), (0, 1)) e B = ((0, 2), (3, 6)). Calcolare le matrici di
cambiamento di base:
A CB
B CA
3.1
La matrice di f in diverse basi
Sia f : V1 → V2 una applicazione lineare. Siano A, A0 due basi di V1 e B, B 0 due basi
di V2 . Conoscendo B [f ]A si puo calcolare B0 [f ]A0 usando le matrici di cambiamento di
base:
(1)
B0 [f ]A0 = B0 CB B [f ]A A CA0
Se invece f e’ un endomorfismo la matrice [f ] si puo calcolare conoscendo [f ] :
A0
A
[f ] =
A0
Applicazioni Lineari
14
A0 CA
[f ]
A
A CA0
(2)
Geometria
3.2 Rotazioni in R3 rispetto ad un asse.
Politecnico di Torino.
Sia f : Rn → Rn una applicazione lineare. Sia x la colonna di coordinate rispetto
alla base V (vecchie coordinate) e sia u le nuove coordinate rispetto alla base N .
Usando:
1) la lettera F per la matrice di f rispetto alla base V ;
2) la lettera F0 per la matrice di f rispetto alla base N ;
3) la lettera P per la matrice di cambiamento dalla base N alla base V , cioe’ P = V CN
la formula precedente si scrive:
F0 = P−1 FP
Questa formula sara’ usata quando si parlera’ di diagonalizzazione di una matrice o
d’un endomorfismo. Si dice che le matrici F e F 0 sono matrici simili se esiste una
matrice P tale che F0 = P−1 FP e la matrice P si dice che e’ la similarita’.
Esercizio 3.7. Sia f : R2 → R2 la applicazione lineare al cui matrice rispetto alla base
canonica e’
1 ρ
F=
ρ 1
Sia A = ((1, 1), (1, −1)) una base di R2 . Calcolare la matrice F0 = [f ] .
A
Esercizio 3.8. Trovare la matrice C [f ]C dove f e’ la applicazione lineare del esempio
2.30. Dopodiche trovare le formule f (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y), f3 (x, y)).
1 b
1 a
Esercizio 3.9. Dimostrare che
e
sono matrici simili indipendemente
0 2
0 2
dei valori numerici a, b.
0 0
−x x
Esercizio 3.10. Quale sono i valori di x percui le matrici
e
sono
1 0
−x x
matrici simili ?.
3.2
Rotazioni in R3 rispetto ad un asse.
Supponiamo che ci serve la rotazione R d’angolo θ intorno ad un asse determinato dal
−
vettore →
a . Siccome una rotazione e’ una applicazione lineare bisogna trovare la sua
matrice. Normalmente si ha bisogno della matrice di R rispetto alla base canonica di
[R]
R3 , cioe’ ci serve la matrice
C
Ecco un modo per trovare questa matrice:
Applicazioni Lineari
15
Geometria
3.2 Rotazioni in R3 rispetto ad un asse.
Politecnico di Torino.
−
−
−
−
−
1) Si trovano due versori →
a 1, →
a 2 tale che →
a 1, →
a 2 e il vettore →
a siano tutti perpen−
→
−
−
−
−
a
dicolare tra di loro e define base A = (→
a 1, →
a 2, →
a 3 ) dove →
a 3 = ||−
, cioe’ l’asse della
→
a ||
rotazione R e l’asse determinato dal terzo vettore della base A.
2) Si calcolano le matrici di cambiamento di base C CA e la sua inversa
A CC
E’ importante osservare che la matrice di R rispetto alla base A e’


cos(θ) − sin(θ) 0
[R] =  sin(θ) cos(θ) 0
A
0
0
1
3) Dopodiche la matrice che ci serve e’ il risultato di moltiplicare tre matrici:
[R] = C CA [R]
C
A
A CC
cioe’


cos(θ) − sin(θ) 0
[R] = C CA  sin(θ) cos(θ) 0 A CC
C
0
0
1
Nota: Siccome il senzo dell’angolo di rotazione θ puo essere il contrario forse ci serve
R , cioe’ la rotazione di −θ intorno all’asse. Ma la matrice di R−1 e’ la sua trasposta,
cioe’
−1
[R−1 ] = [R]⊥
C
C
Esempio 3.11. Ecco come calcolare la rotazione R d’angolo θ rispetto all’asse deter−
minato dal vettore →
a = (1, 1, 1).
−
−
−
−1
−2
, 0), →
a 2 = ( √16 , √16 , √
) e →
a 3 = ( √13 , √13 , √13 ).
Passo 1. Prendiamo →
a 1 = ( √12 , √
2
6
Passo 2. Ecco la matrice

C CA
Applicazioni Lineari

=
16
√1
2
−1
√
2
0
√1
6
√1
6
−2
√
6
√1
3
√1
3
√1
3



Geometria
Politecnico di Torino.
ed ecco la sua inversa

A CC

=
√1
2
√1
6
√1
3
−1
√
2
√1
6
√1
3
0
−2
√
6
√1
3



Passo 3. La matrice di R rispetto alla base canonica di R3 e’ il prodotto
 1


  √1 √
−1
√
√1
√1
0
cos(θ) − sin(θ) 0
2
6
3
2
2
 √
 1
−1
1
1 
1
−2 
 2 √6 √3   sin(θ) cos(θ) 0  √6 √6 √6 
−2
√1
√1
√1
√1
0
0
1
0 √
6
3
3
3
3
ed eccola qui:


1
3
1
3
1
(1
3
+ 2 cos(θ))
√
1 − cos(θ) + √3 sin(θ)
1 − cos(θ) − 3 sin(θ)
1
3
1
3
√
1 − cos(θ) − 3 sin(θ)
1
(1 + 2 cos(θ))
3
√
1 − cos(θ) + 3 sin(θ)
Se l’angolo θ = 60◦ la rotazione e’
 2

3
2
3
− 31
− 13
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
√

1 − cos(θ) + √3 sin(θ)
1 − cos(θ) − 3 sin(θ) 
1
(1 + 2 cos(θ))
3

− 13 
2
3
Esercizio 3.12. Trovare la matrice della rotazione di 60◦ intorno all’asse determinato
dal vettore (1, 1, 0).
4
Altra dimostrazione del Teorema del rango
Sia A una matrice m × n. Sia RA il sottospazio generato dalle righe di A e sia CA il
sottospazio generato dalle colonne di A. Il rango righe di A e’ ρR (A) = dim(RA ) e il
rango colonne di A e’ ρC (A) = dim(RA ).
Ricordo che il Teorema del rango dice
ρR (A) = ρC (A)
Ecco una dimostrazione in tre passi. Prima di leggere la dimostrazione e’ conveniente leggere ancora l’esempio 2.22.
Applicazioni Lineari
17
Geometria
Politecnico di Torino.
e se A e A
e sono equivalenti per righe. Per
Passo 1 Dimostriamo che ρC (A) = ρC (A)
dimostrare questo consideriamo le applicazioni lineari fA , fAe : Rn → Rm . Siccome i
e = 0 sono equivalenti risulta ker(fA ) = ker(f e) ergo
sistemi omogenei A.X = 0 e A.X
A
dim(ker(fA )) = dim(ker(fAe)) .
Quindi usando le due formule
n = dim(ker(fA )) + ρC (A)
e
n = dim(ker(fAe)) + ρC (A)
e
risulta ρC (A) = ρC (A).
Passo 2 Dimostriamo che ρC (E) = ρR (E) per tutte le matrici Echelon E . Il rango
righe ρR (E) = r e’ il numero di righe non nulle di E . Osservare che il sottospazio
generato dalle colonne di E e’ contenuto nel sottospazio generato dalle prime r colonne
canoniche di Rm,1 (poiche’ tutte le righe nulle della matrice E si trovano al disotto la
r -esima riga per definizione di matrice Echelon). Quindi ρC (E) ≤ r . Ma le r colonne
che contengono gli r elementi speciali sono propio le prime r colonne canoniche di Rm,1 .
Dunque ρC (E) = r = ρR (E)
Passo 3 Finalmente dimostriamo il teorema del rango, cioe’
ρR (A) = ρC (A)
per qualsiasi matrice A. Sia E la matrice Echelon ottenuta da A via il metodo di
Gauss-Jordan. La matrice E e’ equivalente per righe ad A e dunque del Passo 1
ρC (A) = ρC (E) .
Usando il Passo 2 risulta
ρC (A) = ρC (E) = ρR (E) .
Siccome ρR (A) = ρR (E) risulta quello che vogliamo dimostrare ρC (A) = ρR (A). QED
Applicazioni Lineari
18
Geometria