Vertici, spigoli
e facce
di cubi
a più dimensioni
Ricerca delle formule relative
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26/07/2004
A cura di Ivana Niccolai
Formazione dei cubi
Ogni cubo può essere pensato come il risultato del movimento
di un cubo di dimensione inferiore.
• Un punto che si muove genera un segmento;
• un segmento che si muove genera un quadrato;
• un quadrato che si muove genera un cubo;
• un cubo che si muove genera un ipercubo;
• un ipercubo che si muove genera un pentacubo;
• un pentacubo che si muove genera un esacubo
Ecc.
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Formula per calcolare il numero dei vertici
Ogni volta che muoviamo un cubo per generare un cubo nella
dimensione successiva, notiamo che il numero dei vertici
raddoppia.
Ecco la formula che fornisce in modo diretto il numero dei
vertici di un cubo di uno spazio a n dimensioni:
2^n
In questo linguaggio, il numero dei vertici di un cubo a 0
dimensioni sarà:
2^0 = 1
Il numero dei vertici di un cubo a 2 dimensioni sarà:
2^2 = 4
3
Esempi
Il numero dei vertici di un cubo a tre dimensioni sarà:
2^3 = 8
Il numero dei vertici di un cubo a quattro dimensioni sarà:
2^4 = 16
Il numero dei vertici di un cubo a cinque dimensioni sarà:
2^5 = 32
Il numero dei vertici di un cubo a sei dimensioni sarà:
2^6 = 64
Ecc.
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Numero degli spigoli
Un quadrato ha quattro lati e quando si muove dalla posizione
iniziale a quella finale, ognuno dei suoi quattro vertici
percorre un segmento, che è un nuovo spigolo del cubo;
abbiamo, quindi, quattro spigoli relativi al quadrato iniziale,
quattro per quello finale e quattro generati dal movimento dei
vertici, per un totale di 12 spigoli. Questo modello può essere
generalizzato.
Se muoviamo una figura in linea retta, il numero di spigoli
della nuova figura generata da questo movimento sarà sempre
il doppio del numero di spigoli della figura originale più il
numero dei vertici in movimento.
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Esempi
Il numero degli spigoli di un cubo a quattro dimensioni sarà:
12 + 12 + 8 = 32
Il numero degli spigoli di un cubo a cinque dimensioni sarà:
32 + 32 + 16 = 80
Il numero degli spigoli di un cubo a sei dimensioni sarà:
80 + 80 + 32 = 192
6
Tabella
Dimensione del cubo
Numero
di
1
2
3
4
5
6
2
4
8
16
32
64
1
4
12
32
80
192
vertici
Numero
di
spigoli
7
Tabella
Dimensione del cubo
Numero
di
spigoli
1
2
3
4
5
6
1
2*2
3*4
4*8
5*16 6*32
Si nota che il numero di spigoli nella dimensione n è
sempre divisibile per n
8
Regola
Dalla considerazione che il numero di spigoli nella
dimensione n è sempre divisibile per n, viene suggerita la
seguente regola:
Il numero di spigoli di un cubo (di qualsiasi dimensione)
è uguale alla dimensione del cubo (preso in
considerazione), moltiplicata per la metà del numero di
vertici in quella dimensione
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Ragionamento generale per contare gli spigoli
Esiste un modo per determinare il numero degli spigoli di
un cubo di una data dimensione senza dover indovinare
alcuna regola: si tratta di un ragionamento generale per
contarli. In ogni vertice di un cubo tridimensionale si
incontrano tre spigoli; moltiplicando 3 per gli 8 vertici, si
ottiene 24. In tal modo, però, ogni spigolo è stato contato
due volte, una per ognuno dei due vertici che lo spigolo
collega.
Il vero numero dei vertici è perciò 12, cioè tre volte la metà
del numero dei vertici.
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Formula per calcolare il numero degli
spigoli
In generale, se vogliamo contare il numero totale di spigoli di
un cubo di una certa dimensione, possiamo osservare che
• il numero di spigoli uscenti da ogni vertice è uguale alla dimensione
del cubo n;
• il numero totale dei vertici è uguale a 2^n;
• con il prodotto di n * 2^n ogni spigolo viene contato due volte.
Il numero esatto di spigoli di un cubo di dimensione n è perciò
la metà di n * 2^n , che è come dire:
n * 2^(n-1)
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Esempi
• Il numero degli spigoli di un cubo a quattro dimensioni
sarà:
4 * 2^3 = 4 * 8 = 32
• il numero degli spigoli di un cubo a otto dimensioni sarà:
8 * 2^7 = 8 * 128 = 1024
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Numero dei quadrati in un ipercubo
L’ipercubo è così simmetrico che ogni vertice è interscambiabile
con tutti gli altri. Comprendendo ciò che accade a un vertice,
allora comprendiamo ciò che accade a tutti gli altri vertici.
A ogni vertice fanno capo tanti quadrati quanti sono i modi di
scegliere due spigoli fra i quattro che escono da quel vertice, cioè
6. Dato che ci sono 16 vertici , moltiplichiamo 6 * 16 e si ottiene
96, ma in questo modo ogni faccia è contata quattro volte, una
per ognuno dei suoi vertici.
Il numero dei quadrati in un ipercubo è perciò 96/4, cioè 24.
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Generalizzazione e concetto di K-cubo
Si può generalizzare questo risultato con una formula. Si indica
con Q(k,n) il numero di k-cubi contenuti in un n-cubo.
Si precisa che, in questo linguaggio:
un punto è uno 0-cubo,
un segmento è un 1-cubo,
un quadrato è un 2-cubo,
il cubo è un 3-cubo,
un ipercubo è un 4-cubo,
un pentacubo (cioè un cubo a cinque dimensioni) è un 5-cubo
ecc.
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Formula per calcolare il numero
delle facce quadrate
Per calcolare il numero delle facce quadrate di un n-cubo,
dobbiamo prima trovare quanti k-cubi ci sono a ogni vertice.
Il numero di k-cubi che passano per ogni vertice di un n-cubo
sarà :
C(k,n) = n!/ (k!(n-k)!),
cioè le combinazioni di n oggetti presi k a k.
Poiché ci sono C(k,n) k-cubi a ognuno dei 2^n vertici, si ha
un numero totale di k-cubi pari a (2^n)*C(k,n). In questo
conto, però, ogni k-cubo è contato 2^k volte e allora bisogna
dividere il risultato precedente per 2^ k, per ottenere la
seguente formula
Q(k,n) = (2^(n-k))*C(k,n)
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Esempi (1/2)
1. Se vogliamo calcolare le facce quadrate di un cubo, si
cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un cubo e si
applica la formula:
Q(k,n) = (2^(n-k))*C(k,n)
con k=2 e n=3
Q(2,3) = 2*C(2,3) = 2*3 = 6
2. Se vogliamo calcolare le facce quadrate di un ipercubo, si
cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un ipercubo e si
applica la medesima formula con k=2 e n=4
Q(2,4) = 2^2*C(2,4) = 4*6 = 24
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Esempi (2/2)
3. Se si desidera calcolare le facce quadrate di un cubo a 5
dimensioni, si cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un
pentacubo e si applica la formula:
Q(k,n) = (2^(n-k))*C(k,n)
con k=2 e n=5
Q(2,5) = 2^3*C(2,5) = 8*10 = 80
4. Se si vuole calcolare le facce quadrate di un cubo a 6
dimensioni, si cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un
esacubo e si applica la stessa formula con k=2 e n=6
Q(2,6) = 2^4*C(2,6) = 16*15 = 240
Ecc.
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