Routing egoistico
Riepilogo



Il dilemma del prigioniero è un gioco che ammette un
equilibrio in strategie dominanti (che è anche un
equilibrio di Nash), corrispondente al caso in cui i due
prigioneri si accusano vicendevolmente
La battaglia dei sessi è un gioco che ha due equilibri di
Nash, che corrispondono agli stati in cui entrambi i
giocatori scelgono la stessa azione.
Vediamo ora un caso di gioco puramente conflittuale
(che non ammette equilibri di Nash, e quindi nemmeno
equilibri in strategie dominanti).
2
Esempio: “Testa o Croce”
Due persone, ognuna delle quali ha una moneta, devono
simultaneamente mostrare un lato (Testa o Croce)
delle loro monete. Se entrambi mostrano lo stesso
lato, la seconda persona paga un euro alla prima
persona; se mostrano lati differenti, la prima persona
paga un euro alla seconda persona. Ogni persona è
attenta solo alla quantità di soldi che riceve e,
ovviamente, preferisce ricevere piuttosto che dare.
3
Equilibri di Nash – “Testa o croce”
Testa
Testa
Croce
Croce
1,-1
-1,1
-1,1
1,-1
In questo gioco, gli interessi dei giocatori sono
diametralmente opposti (un gioco del genere è detto
strettamente competitivo): il giocatore 1 preferirebbe
fare la stessa azione del giocatore 2, mentre quest’ultimo
preferirebbe fare un’azione diversa da quella del
giocatore 1.
4
Equilibri di Nash – “Testa o croce”
Controllando le quattro possibili coppie di azioni possiamo
immediatamente vedere che questo gioco non ha un NE:
•
(Testa,Testa) non può essere un equilibrio di Nash
perché all’agente 2 conviene passare da Testa a Croce
portando, così, il suo guadagno da -1 a +1.
•
(Croce,Croce) non può essere un equilibrio di Nash
perché all’agente 2 conviene passare da Croce a Testa
portando, così, il suo guadagno da -1 a +1
•
(Testa,Croce) non può essere un equilibrio di Nash
perché all’agente 1 conviene passare da Testa a Croce
portando, così, il suo guadagno da -1 a +1.
•
(Croce,Testa) non può essere un equilibrio di Nash
perché all’agente 2 conviene passare da Croce a Testa
5
portando, così, il suo guadagno da -1 a +1.
Esistenza di un NE
Teorema di Nash: Ogni gioco finito che ammette
strategie miste ha almeno un equilibrio di Nash.


gioco finito: gioco con un numero qualunque ma
finito di giocatori e di strategie.
strategia mista: insieme di strategie a ciascuna
delle quali l'agente può associare una
probabilità di successo (ovvero un guadagno
atteso), che governerà le sue scelte.
6
Prezzo dell’anarchia
Koutsoupias, Papadimitriou 1999
Definizione:
Dati un gioco G e una funzione sociale f (somma delle
funzioni di payoff di tutti i giocatori), sia N l’insieme
di tutti gli equilibri di Nash e sia OPT lo stato di
G che ottimizza f. Il prezzo dell’anarchia
del gioco G rispetto ad f è definito come:
G ( f )  sup
sN
f ( s)
f (OPT )
• Misura la perdita di ottimalità di un sistema non
regolato a causa della mancanza di cooperazione tra i
giocatori e di coordinazione centrale.
7
Equilibri di Nash – Prezzo dell’anarchia
Per spiegare come definire e misurare la qualità di uno
stato stabile, riprendiamo l’esempio del “Dilemma del
prigioniero”.
Se
i
due
sospetti
potessero
cooperare,
si
accorderebbero sullo stato ottimo (che massimizza f)
f(Don’t Implicate, Don’t Implicate)=-2,
Ne consegue che il prezzo dell’anarchia risulta essere:
 18
G ( f ) 
9
2
8
Subottimalità degli Equilibri di Nash
In generale, un comportamento egoistico di agenti che
popolano un sistema non cooperativo può risultare in
uno stato stabile, il cui valore sociale può essere
lontano dall’ottimo sociale.
9
Routing egoistico: Internet
 Un problema fondamentale nella gestione di traffico a
larga scala e nelle reti di comunicazione è quello del
routing del traffico per ottimizzare le prestazioni
della rete.
 Problema: Data una rete (un grafo orientato e pesato
sugli archi con una funzione di latenza), ed una
quantità di traffico da soddisfare tra un insieme di
coppie di nodi della rete, trovare i percorsi che
minimizzano la somma dei tempi di completamento dei
cammini (latenza totale).
 Risulta spesso difficile (quasi impossibile) indurre
strategie di routing ottimali o quasi-ottimali sul
traffico di una rete su cui operano agenti selfish.
10
Caratteristiche di Internet: Selfish routing
 Le componenti di Internet sono formate da



nodi dislocati in modo eterogeneo nel mondo
e sono caratterizzate da un’architettura
aperta che gli permette una continua e
incontrollata crescita;
gli utenti della rete si comportano,
generalmente,
in
maniera
“egoistica”
(selfish agents);
gli utenti della rete generano traffico;
il tempo di attesa per un collegamento è
dipendente dal carico del link (congestione
della rete).
11
Routing egoistico della rete
Modellizzazione del problema
Un tale sistema può essere ben modellato utilizzando la
teoria dei giochi.
giocatori
azioni
Assunzioni:
•
•
•
utenti della rete
possibili percorsi attraverso cui gli
utenti possono trasmettere il proprio
traffico
tutti gli utenti agiscono in modo del tutto
egoistico;
il traffico di un utente è inoltrato tutto su di uno
stesso percorso e contemporaneamente;
ogni utente controlla una frazione trascurabile
dell’intero flusso.
12
Modello di una rete
•
Un grafo diretto G = (V,E);
•
k coppie origine-destinazione ( s1 , t1 ), ..., ( sk , tk )
•
ammontare del traffico ri da si a ti , i = 1,2, ...,k;
•
un insieme Pi di cammini da si a ti ;
•
L’ insieme  
P
i
;
di tutti i cammini;
i
•
per ogni arco ej  E con traffico x, una funzione
di latenza  j (x) ;
•
•
 j (x) è non negativa, differenziabile e non
decrescente;
un vettore di flusso   (P ) specifica l’ammontare
del traffico rispetto ad ogni specifico cammino P
•
per ogni arco e  E il flusso assorbito dall’arco è:
•
un flusso

e  P:eP P
si dice ammissibile se per ogni i=1,…,k:

•
PPi
P  ri
chiamiamo la tripla (G, r , )
un’ istanza.
•
La latenza di un cammino P risulta essere:
 P ( )  eP  e (e )
•
Il costo totale del flusso f ( ) (latenza totale del
flusso), risulta essere:
f ( )    P ( )  P  eE  e (e )  e
P
 Flussi e Teoria dei giochi
 flusso
 latenza totale

la moltitudine di agenti non
cooperativi
funzione (o benessere)
sociale
Si può dimostrare che il problema del flusso
egoistico ammette un NE!
Esempio
Sia s un quartiere, t una stazione
ferroviaria, congiunte da 2 strade: una
strada lunga e larga (con tempo di
percorrenza di 1 ora indipendente dal
traffico), e una corta e stretta (con
tempo di percorrenza pari a x ore, dove
x è la frazione del traffico totale che
la strada assorbe). Mille conducenti
vogliono andare da s a t.
16
il ritardo dipende
dalla congestione
( x)  x
s
t
( x)  1
nessun effetto
di congestione:
la latenza è fissata
Come si comporteranno i conducenti?
Tenderanno a passare tutti sull’arco
superiore, la cui latenza diventerà pari a 1!
Tale scelta è un equilibrio di Nash.
Qual è il prezzo dell’anarchia di questo NE? La
soluzione ottima si ottiene minimizzando:


f()=x·x +(1-x)·1  f ’()=2x-1  OPT=1/2 
f(OPT)=1/2·1/2+(1-1/2)·1=0.75

1
4
G ( f ) 

.75
3
18
Routing egoistico-”Paradosso di Braess"
Paradosso di Braess
 Basta aggiungere strade per migliorare le
cose?
 NO! Esempio: Paradosso di Braess (1968)
 Assumiamo ora che ci siano due cammini (che non
interferiscono tra loro), ognuno comprendente una
strada lunga e larga (con tempo di percorrenza di 1 ora
indipendente dal traffico), e una corta e stretta (con
tempo di percorrenza pari a x ore, dove x è la frazione
di traffico che la strada assorbe).
19
Routing egoistico-”Paradosso di Braess"
v
x
1
1/2
0
s
1
1/2
Latenza di ciascun cammino=
0.5+1 =1.5
t
x
w
Il costo totale del flusso equipartito è:
2· (1/2·1/2+1·1/2)=1.5
Supponiamo ora, con l’obiettivo di diminuire i tempi, di
introdurre una strada molto corta e molto larga che
collega direttamente i punti intermedi delle due strade,
con funzione di latenza nulla (indipendente dalla
congestione della strada).
Routing egoistico-”Paradosso di Braess"
Come reagiscono i conducenti?
Ogni conducente può risparmiare circa 30 minuti di
viaggio (assumendo che gli altri conducenti non cambino
rotta), seguendo il cammino s → v → w → t.
v
x
1
0
s
1
Latenza del conducente che
cambia rotta=2·(501/1000) 1
t
x
w
Tutti i conducenti, volendo usare la nuova strada,
devieranno i loro cammini precedenti, per seguire il
cammino s → v → w → t.
Routing egoistico-”Paradosso di Braess"




A causa della forte congestione sui tratti (s, v) e (w,
t), tutti i conducenti impiegano 2 ore per andare da s
at!
Inoltre questa congestione implica che nessuno dei
due cammini precedenti risulti essere migliore (cioè,
è un equilibrio di Nash!); in questo modo nessuno dei
conducenti è incentivato a cambiare strada.
Ancora peggio, ogni altro modello di traffico è
instabile: tutti i conducenti sarebbero incentivati a
cambiare cammino.
E’ quindi ragionevole aspettarsi che tutti i conducenti
seguano il cammino s → v → w → t e che quindi
impieghino 30 minuti in più del modello originale. Ne
segue:
G ( f ) 
2
4

1.5
3
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia
 Teorema
Se (G,r,) ha funzione di latenza  lineare, allora
4
 (G , r , ) 
3
 Funzioni di latenza generiche
 Teorema
Sia (G,r,) un’istanza con V (G )  n
 (G, r , )  n / 2
, allora
Esempio “cattivo”

r=1, i>>1
xi
s
1
1-
1
0
t

Un flusso in equilibrio di Nash può
costare arbitrariamente di più del flusso
ottimo
24
Conclusione
Attualmente, non ci sono ulteriori risultati per istanze
con generiche funzioni di latenza, ma le buone
prestazioni di Internet, che osserviamo
quotidianamente, possono essere una prova che esiste
una modellizzazione per tali casi con un “ragionevole”
prezzo dell’anarchia .
25