LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
DEFINIZIONE
DI LIMITE
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Funzione:
f ( x)  (1  x)
Dominio: x≠0
1
x
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Poiché 0 non fa parte del dominio non
ha senso chiedersi quanto vale f(0)
Ha però senso la domanda:
A quale valore si approssima f(x)
quando x si approssima a zero?
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Possiamo arrivarci per tentativi
x
f(x)
1
2
0,1
2,593742
0,01
2,704814
0,001
2,716924
0,0001
2,718146
0,00001
2,718268
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
Si può dimostrare che la successione
dei valori di f(x) si avvicina
indefinitamente ad un numero
irrazionale detto NUMERO DI NEPERO
e=2,71828182845904523536....
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In questo caso non si scrive
f(0)=e
ma:
1
x
Lim (1  x)  e
x 0
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LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione
del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite
L per x tendente a Xo
Lim f ( x)  L
x xo
Se per ogni ε>0 esiste un intorno I di Xo tale che, per
ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:
| f ( x)  L | 
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Come si verifica il limite
Se si conosce il valore L del limite e si vuole
dimostrarne la correttezza:
• Si imposta la disequazione:
| f ( x)  L | 
• La si risolve
• Si constata che l’insieme delle soluzioni è un intorno
di Xo, ovvero è un intervallo aperto che contiene Xo (in
effetti, basta che l’insieme delle soluzioni contenga un
tale intorno; se c’è altro poco importa)
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Come si verifica il limite
La disequazione base:
| f ( x)  L | 
Equivale al sistema
 f ( x)  L  

 f ( x)  L  
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LIMITE FINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO
Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato,
si dice che la funzione f tende al limite L per x
tendente a più infinito
Lim f ( x)  L
x  
Se per ogni ε>0 esiste un numero N>0 tale che, per
ogni x maggiore di N, risulta:
| f ( x)  L | 
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Hai capito la definizione? Prova a completare…
Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato,
si dice che la funzione f tende al limite L per x
tendente a meno infinito
Lim f ( x)  L
x  
Se ……
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LIMITE INFINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione
di D, si dice che la funzione f tende a più infinito per x
tendente a Xo
Lim f (x)  
x  xo
Se per ogni M>0 esiste un intorno di Xo, I, tale che per
ogni x appartenente ad I, salvo al più Xo stesso:
f ( x)  M
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Prova a completare…..
Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato,
si dice che la funzione f tende a meno infinito per x
tendente a Xo
Lim f (x)  
x  xo
Se…
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LIMITE INFINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO
Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato,
si dice che la funzione f tende a più infinito per x
tendente a più infinito
Lim f (x)  
x  
Se per ogni M>0 esiste un numero N>0 tale che, per
ogni x maggiore di N:
f ( x)  M
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Scambiando + con – si possono daree altre tre
definizioni analoghe: prova a scriverle…
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UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE
La disequazione che compare nella definizione di limite
finito-finito:
 f ( x)  L  

 f ( x)  L  
Equivale a:
L    f ( x)  L  
Infatti, basta portare L a destra e usare la proprietà
transitiva
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UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE
Ma questa disequazione:
L    f ( x)  L  
Equivale ad affermare che il valore di f(x) cade
nell’intervallo (L-ε,L+ε), che è un intorno di L, anzi è
un arbitrario intorno di L, visto che ε è arbitrario.
Questo ci permette di dare una nuova definizione di
limite
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LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione
del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite
L per x tendente a Xo
Lim f ( x)  L
x xo
Se per ogni intorno H di L esiste un intorno I di Xo tale
che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo
stesso, f(x) appartiene a L
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INTORNI DI PIU’ E MENO INFINITO
La condizione x>M può anche essere detta così:
X appartiene all’intervallo (M,+∞)
Questo intervallo si dice INTORNO DI PIU’ INFINITO
La condizione X<-M può anche essere detta così:
X appartiene all’intervallo (-∞,-M)
Questo intervallo si dice INTORNO DI MENO INFINITO
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DEFINIZIONE DI LIMITE
Con queste convenzioni, la definizione data prima non
comprende solo il caso finito-finito, ma tutti i casi.
Si unificano in questo modo le quattro definizioni di
limite, anche se per praticità di calcolo di solito si
tengono distinte
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LIMITE DESTRO (FINITO-FINITO)
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione
del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite
L per x tendente a Xo da destra
Lim f ( x)  L
x  xo
Se per ogni ε>0 esiste un intorno destro I di Xo tale
che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo
stesso, risulta:
| f ( x)  L | 
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LIMITE SINISTRO (FINITO-FINITO)
Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione
del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite
L per x tendente a Xo da sinistra
Lim f ( x)  L
x  xo
Se per ogni ε>0 esiste un intorno sinistro I di Xo tale
che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo
stesso, risulta:
| f ( x)  L | 
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LIMITE SINISTRO E DESTRO (INFINITO-FINITO)
Prova a scrivere la definizione di limite infinito destro e
sinistro
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TEOREMI SUI
LIMITI
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TEOREMA DELL’UNICITA’ DEL LIMITE:
IL LIMITE, SE ESISTE, E’ UNICO
Ovvero: data una funzione f:D->R, un punto Xo e un
numero L, se:
Lim f ( x)  L
x xo
Allora non esiste un altro numero L’ diverso da L tale
che:
Lim f ( x)  L'
x  xo
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DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO:
COS’E?
Supponiamo per assurdo che esistano due limiti
distinti L ed L’: allora, in base alla definizione, per
ogni ε>0 dovrebbe esistere un intorno di Xo tale che
per ogni x appartenente all’intorno dovrebbero valere
entrambe le disuguaglianze:
| f ( x)  L | 
| f ( x)  L' | 
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Queste disequazioni sono equivalenti ai due sistemi:
 f ( x)  L  

 f ( x)  L  
 f ( x)  L'  

 f ( x)  L'  
Inoltre, poiché ε è arbitrario, lo possiamo scegliere
minore della semidifferenza tra L ed L’ (supponendo L’
maggiore di L)
L' L

2
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Isoliamo le due disequazioni che ci interessano
 f ( x)  L  

 f ( x)  L  
 f ( x)  L'  

 f ( x)  L'  
E cambiamo di segno alla seconda
f ( x)  L  
L' f ( x)  
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Sommiamo membro a membro
f ( x)  L  
L' f ( x)  
+
Ottenendo:
L'L  2
L
'

L
ovvero:…………………………………….

2
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Mettiamo ora insieme quanto ottenuto con quanto era
stato posto all’inizio:
Posizione iniziale
Risultato ottenuto
L' L

2
L' L

2
Queste due formule sono
CONTRADDITTORIE
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Quindi, poiché aver negato la tesi del teorema (cioè
aver supposto che possano esistere due limiti distinti
per una stessa funzione e per uno stesso valore di X,
Xo) porta a una contraddizione, allora la tesi è vera.
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HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? PROVA A RIFARLA
SUPPONENDO CHE L SIA MAGGIORE DI L’, E CHE
QUINDI ε SIA MINORE DI (L-L’)/2…
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TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
UNA FUNZIONE HA LO STESSO SEGNO
DEL SUO LIMITE
Ovvero: se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo
allora:
• se L è positivo allora esiste un intorno di Xo in cui la
funzione è positiva
• se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva
allora L è positivo o nullo
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DIMOSTRAZIONE DELLA PRIMA PARTE
In base alla definizione di limite per ogni ε>0 esiste un
intorno di Xo in cui vale che:
 f ( x)  L  

 f ( x)  L  
Inoltre, poiché ε è arbitrario, e poiché L è comunque
positivo per ipotesi, possiamo sceglierlo minore di L
 L
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 f ( x)  L  

 f ( x)  L  
Isoliamo la disequazione che ci interessa e scriviamola
così:
f ( x)  L  
Inoltre, scriviamo quanto avevamo posto, cioè:
 L
Così:
L   0
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f ( x)  L  
L   0
Confrontiamo le due disuguaglianze: per la proprietà
transitiva possiamo dire che:
f ( x)  0
E questo vale per ogni x appartenente all’intorno dato,
che era la tesi del teorema, prima parte
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DIMOSTRAZIONE DELLA SECONDA PARTE
Adesso, per ipotesi, abbiamo che in un intorno di Xo:
f ( x)  0
Scegliamo dalle due solite disequazioni date dalla
definizione di limite quella che ci interessa ora
 f ( x)  L  

 f ( x)  L  
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Confrontiamo queste due, opportunamente scritte:
f ( x)  0
L    f (x)
Otteniamo, per la proprietà transitiva:
L   0
Ovvero:
L  
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Ma se L è maggiore di qualsiasi numero negativo
L  
(infatti ε rappresenta un qualsiasi numero positivo,
perciò il suo opposto è un qualsiasi numero negativo)
Allora non può che essere un numero positivo o nullo,
che era la tesi
L0
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TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? ALLORA
PROVA A DIMOSTRARE QUESTO
se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora:
• se L è NEGATIVO allora esiste un intorno di Xo in cui
la funzione è negativa
• se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è
megativa allora L è NEGATIVO o nullo
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TEOREMA DEL CONFRONTO
UNA FUNZIONE COMPRESA TRA DUE
FUNZIONI CHE CONVERGONO ALLO
STESSO LIMITE CONVERGE
ANCH’ESSA ALLO STESSO LIMITE
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TEOREMA DEL CONFRONTO
Ovvero: date le tre funzioni f,g,h:D->R, se:
• esiste un intorno di Xo in cui risulta:
g ( x )  f ( x )  h( x )
• e se:
Lim g ( x)  Lim h( x)  L
x x0
x x0
• allora:
Lim f ( x)  L
x x0
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DIMOSTRAZIONE
Per definizione, come negli altri casi, risulta:
 h( x )  L  

h( x)  L  
 g ( x)  L  

 g ( x)  L  
Da ognuna prendiamo quella che ci interessa e la
riscriviamo modificata:
h( x )  L  
g ( x)  L  
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Prendiamo anche l’ipotesi del teorema ed estraiamone
le due disuguaglianze che ci interessano:
g ( x )  f ( x )  h( x )
f ( x)  g ( x)
f ( x )  h( x )
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Confrontiamole con le precedenti:
f ( x)  g ( x)
g ( x)  L  
f ( x )  h( x )
h( x )  L  
Per la proprietà transitiva:
f ( x)  L  
f ( x)  L  
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Combinandole in un unico sistema:
f ( x)  L  
f ( x)  L  
 f ( x)  L  

 f ( x)  L  
Che è appunto ciò che richiede la definizione di limite:
quindi anche f(x) ha come limite L
DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO
E’ una dimostrazione in cui si suppone che la tesi sia
falsa e, in base a questo, si mostra che l’ipotesi viene
contraddetta: ma siccome l’ipotesi è vera, la tesi non
può essere falsa e quindi deve essere vera (principio
del TERZO ESCLUSO)
Simbolicamente, anziché dimostrare
A => B
Si dimostra il suo equivalente logico
Non B => non A
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