Equazioni Differenziali con Derive 6
Marcello Pedone I.I.S.S.S. “A. De Pace”di Lecce
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derive 6 - Lamezia
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Presentazione
Vedremmo di seguito le potenzialità del
software Derive 6 per risolvere le
equazioni differenziali ordinarie .
Risolveremo le equazioni differenziali
più note nella letteratura della
matematica e tali equazioni saranno
collocate nel periodo storico nel quale
sono state formulate.
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Vedremmo infine le potenzialità del
software per trovare le
soluzioni approssimate di equazioni
differenziali ordinarie con il metodo di
Picard
e le confronteremmo con quelle trovate
con il metodo di
Taylor
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Premessa
Il software Derive 6 permette di evitare calcoli lunghi e
laboriosi per risolvere le equazioni differenziali. Tali
calcoli possono essere eseguiti con delle semplici
istruzioni; in questo modo lo studioso, anziché insegnare
ed imparare noiose tecniche di calcolo, potrà concentrarsi
realmente nella risoluzione di un problema nel quale sono
coinvolte le equazioni differenziali. Bisogna premettere
però che: per spostare l’esecuzione dei calcoli alla
progettazione di un percorso risolutivo per risolvere
un’equazione differenziale è necessario la conoscenza di
base del calcolo([8]).
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Contenuti
Saranno trattate brevemente, le seguenti equazioni differenziali:
•Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine,
•Equazioni differenziali a variabili separabili,
•Equazioni differenziali esatte,
•Equazioni omogenee del primo ordine,
•Equazioni differenziali lineari del primo ordine,
• Equazione di Bernoulli,
•Equazione di Clairaut,
•Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine,
• Equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a
coefficienti costanti,
•Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti
costanti.
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Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine
Ricordiamo che un’equazione differenziale ordinaria del
primo ordine è un’equazione nella quale figura come
incognita una funzione y=y(x) della variabile x e che lega la
variabile x, la funzione y e la derivata prima della funzione:
F(x, y, y’)=0 ([6]).
Nel software Derive 6 , il file FirstOrderODEs.mth contiene
le definizioni di alcune utili funzioni per trovare le soluzioni
esatte di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Le
definizioni di funzioni contenute in FirstOrderODEs.mth
vengono caricate automaticamente quando una di queste
funzioni viene chiamata per la prima volta ([1]).
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IL suffisso GEN
Le funzioni aventi il suffisso GEN restituiscono una soluzione generale in
termini di una costante simbolica. Funzioni con nomi senza il suffisso
GEN restituiscono una soluzione particolare se vengono specificate le
condizioni iniziali, oppure restituiscono una soluzione generale in termini di
condizioni iniziali simboliche se non sono stati assegnati dei valori alle
variabili per le condizioni iniziali.
La variabile x denota la variabile indipendente mentre y quella
dipendente. Inoltre la variabile x0 denota il valore iniziale di x mentre y0
quello iniziale di y. Non usare x o y come nomi di funzioni (dy/dx viene
abbreviata in y').
N.B. In Derive non si può usare il simbolo di apostrofo o di apice singolo per denotare le derivate.
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Soluzione carta e penna
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DSOLVE1_GEN(p, q, x, y, c) restituisce una soluzione generale di
un’equazione nella forma : p(x, y) + q(x, y)·y' = 0, in termini della costante
simbolica c.
DSOLVE1_GEN può risolvere equazioni esatte, lineari, separabili, omogenee o
omogenee-generalizzate ed anche equazioni aventi un fattore di integrazione che
dipende solo da x o solo da y.
DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0) è simile a DSOLVE1_GEN, ma restituisce una
soluzione particolare per la condizione iniziale y=y0 in x=x0. Queste condizioni
iniziali possono essere numeri, variabili o espressioni generali.
Nell’esempio precedente con la condizione iniziale y=1 in x=0:
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VECTOR(x ^2·y + y= - c , c, 0, 5, 0.5)
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VECTOR(e^x + y = c, c, 0, 5, 0.5)
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Nota storica
Il termine ”equazione differenziale” è dovuto a Leibniz e la distinzione
tra “ integrale generale e integrale particolare” è dovuta a Eulero.
Nel secolo XVIII si precisano le notazioni e le regole sulle equazioni
differenziali ([2]).
Le funzioni restanti di DERIVE 6 che vediamo di
seguito sono utili, soprattutto a scopo didattico
per risolvere alcune forme particolari di equazioni
differenziali.
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Equazioni differenziali a variabili separabili
(La separazione delle variabili fu proposta e risolta da Leibniz nel 1691 e da Bernoulli nel 1694)
Un’equazione differenziale a variabili separabili si può scrivere nella forma
y' = p(x)·q(y), dove p(x) è un’espressione che non contiene la y e q(y) è
un’espressione che non contiene la x ([3]).
Nel software Derive 6 , SEPARABLE_GEN(p, q, x, y, c) restituisce una
soluzione generale implicita di un’equazione nella forma y' = p(x)·q(y), dove p(x)
è un’espressione che non contiene la y e q(y) è un’espressione che non contiene
la x. .
SEPARABLE(p, q, x, y, x0, y0) è simile a SEPARABLE_GEN, ma
restituisce una soluzione particolare per la condizione iniziale y=y0 in x=x0.
Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,2) si ha
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Equazioni differenziali esatte
(Le equazioni differenziali esatte furono integrate da Clairaut nel 1740 ([4])).
Un’equazione differenziale esatta ha la forma p(x, y) + q(x, y) y' = 0 dove p e q
sono funzioni continue con le loro derivate prime.
Nel software Derive 6 , EXACT(p, q, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione
implicita dell’equazione differenziale nella forma p(x, y) + q(x, y) y' = 0, se
questa equazione differenziale è esatta, altrimenti restituisce il messaggio
"inapplicable". Questa equazione è esatta se e solo se dp/dy - dq/dx è
equivalente a 0.
EXACT_GEN(p, q, x, y, c)è simile a EXACT, ma restituisce una soluzione
generale in termini della costante simbolica c.
Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,2) si ha:
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Equazioni omogenee del primo ordine
Le equazioni omogenee del primo ordine furono integrate da Leibniz nel 1693 e da Bernoulli nel 1697 e Manfredi nel 1714
Un’equazione omogenea del primo ordine è un’equazione differenziale nella forma y' = r(x, y) con r è omogenea.
Nel software Derive 6 : HOMOGENEOUS(r, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione implicita
dell’equazione differenziale nella forma y' = r(x, y) se r è omogenea, altrimenti restituisce il
messaggio "inapplicable". In questo contesto, un’espressione si dice omogenea se, sostituendo
k·x a x e k·y a y nell’espressione, si ottiene un’espressione equivalente. Spesso le espressioni
omogenee consistono in un rapporto tra due polinomi in x e y, con gli esponenti di x e di y
completi in ogni termine. Gli argomenti di qualsiasi sotto-espressione irrazionale devono essere
anch’essi omogenei.
HOMOGENEOUS_GEN(r, x, y, c) è simile a HOMOGENEOUS, ma restituisce una soluzione
generale in termini della costante simbolica c se r è omogenea.
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Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,2) si ha:
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Equazioni differenziali lineari del primo ordine
L’equazione lineare fu presa in considerazione da Bernoulli nel 1726 ma già nel 1694
Leibniz aveva trovato la formula risolutiva.
Un’equazione differenziale del primo ordine si dice lineare quando la funzione
incognita y e la sua derivata prima y’ non figurano con esponente maggiore di
uno:
y’+ p(x)y=q(x)
dove p(x) e q(x) sono funzioni continue di x. Se q(x)=0 l’equazione si dice
omogenea.
Nel software Derive 6 : LINEAR1(p, q, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione
esplicita dell’equazione differenziale : y' + p(x)·y = q(x).
Quest’ equazione non deve essere lineare in x: deve essere lineare solo in y e nella sua
derivata.
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Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,-3) si ha:
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Equazione di Bernoulli
L’equazione lineare fu proposta e risolta da Bernoulli nel 1696 nello stesso anno Leibniz la
integro con due quadrature e poi con la riduzione ad un’equazione lineare.
Un’equazione differenziale del primo ordine si dice di Bernoulli se si presenta
nella forma:
y’+ p(x)y=q(x)yn
dove p(x) e q(x) sono funzioni continue di x in un certo intervallo ed n è un
numero reale.
Nel software Derive 6 : BERNOULLI_ODE(p, q, k, x, y, x0, y0) restituisce una
soluzione implicita dell’equazione di Bernoulli y' + p(x)·y = q(x)·y^k, dove k è una
costante.
BERNOULLI_ODE_GEN(p, q, k, x, y, c) è simile a BERNOULLI_ODE, ma restituisce
una soluzione generale in termini della costante simbolica c..
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Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,-3) si ha:
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Equazione di Clairaut
L’ equazione di Clairaut è un’equazione differenziale del tipo
y= xy’+ f(y’)
dove f(y’) è definita e continua in un intervallo nel quale f’’(y’)0
Nel software Derive 6 : CLAIRAUT(p, q, x, y, v, c) risolve l’equazione di Clairaut generalizzata, che ha
la forma p(x·v - y) = q(v), dove p e q sono delle funzioni qualsiasi e v è una variabile che rappresenta y'.
CLAIRAUT restituisce un vettore: la prima componente è una soluzione generale contenente una
costante arbitraria c; la seconda componente è un’equazione che si può provare a risolvere
algebricamente per v (se si riesce, sostituire l’espressione per v nell’equazione differenziale per ottenere
una soluzione particolare).
Risolvendo la seconda componente per v in termini di x e y, si ottiene:
Sostituendo il secondo membro di questo risultato a y' nell’equazione differenziale originale si
ottiene la soluzione particolare implicita.
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Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine
Ricordiamo che un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine è un’equazione nella quale
figura come incognita una funzione y=y(x) della variabile x e che lega la variabile x, la funzione y ,
la derivata prima e la derivata seconda della funzione ([6)]
F(x, y, y’,y’’)=0
Nel software Derive 6 : Il file SecondOrderODES.mth contiene le definizioni di alcune utili
funzioni per trovare le soluzioni esatte di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.
Le definizioni di funzioni contenute in SecondOrderODES.mth vengono caricate
automaticamente quando una di queste funzioni viene chiamata per la prima volta ([7]).
In Derive non si può usare il simbolo di doppio apice per denotare le derivate seconde.
DSOLVE2(p, q, r, x, c1, c2) restituisce una soluzione generale esplicita dell’0equazione
differenziale ordinaria del secondo ordine lineare
y" + p(x)·y' + q(x)·y = r(x)
in termini delle costanti arbitrarie c1 e c2. Notare che gli ultimi due argomenti possono essere
omessi se sono delle variabili e se per esse possono andare bene i nomi c1 e c2.
DSOLVE2 può trovare facilmente una soluzione se p e q sono due costanti numeriche. Se q è
una costante simbolica, il risultato avrà una forma più appropriata (sinusoidale anziché
esponenziale) se q è stata dichiarata positiva o negativa.
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Se si vuole trovare una soluzione particolare per certe condizioni iniziali o
al contorno numeriche o simboliche, è meglio usare DSOLVE2_IV o
DSOLVE2_BV che restituiscono direttamente soluzioni particolari.
Altrimenti, dopo aver trovato una soluzione generale con DSOLVE2, si
possono sostituire queste condizioni nella soluzione generale, risolverla in
c1 e c2 e poi sostituire questi valori nella soluzione generale.
DSOLVE2_BV(p, q, r, x, x0, y0, x2, y2) è simile a DSOLVE2, ma
restituisce una soluzione particolare che soddisfa le condizioni al contorno
y=y0 in x=x0 e y=y2 in x=x2.
DSOLVE2_IV(p, q, r, x, x0, y0, v0) è simile a DSOLVE2_BV, ma
restituisce una soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali
y=y0 e y'=v0 in x=x0.
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Equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti
(Le equazioni lineari a coefficienti costanti furono integrate da Eulero nel 1750).
Un’equazione differenziale omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti, è un
equazione del tipo: y" + p·y' + q·y = 0, con p e q numeri reali
Nel software Derive 6 : LINEAR1(p, q, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione
esplicita dell’equazione differenziale : y' + p(x)·y = q(x).
Quest’equazione non deve essere lineare in x: deve essere lineare solo in y e nella sua
derivata.
Si possono verificare tre casi dipendenti dalle soluzioni dell’equazione caratteristica.
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Equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti
Un’equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti non
costanti, è un’equazione del tipo :y" + p·y' + q·y = f(x), con p e q numeri reali.
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Conclusione
Nel risolvere un’equazione differenziale con il software Derive 6 è
necessario conoscere la teoria e come affermato nell’introduzione: per
spostare l’esecuzione dei calcoli alla progettazione di un percorso
risolutivo per risolvere un’equazione differenziale è necessaria la
conoscenza di base del calcolo.
Dice il Professor Bernhard Kutzler: Pe. C.A.S.( (Pedagogical
Computer Algebra System ovvero utilizzo pedagogico dei Sistemi di
calcolo algebrico) è, secondo me, un modo di utilizzare meglio questi
Sistemi di calcolo algebrico nell’insegnamento della Matematica,
migliorando sia l’insegnamento sia la qualità e la quantità di
Matematica che s’insegna. Importante è porre al centro di tutto il
processo lo studente: lo studente deve imparare matematica con i
CAS ([8]).
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Riferimenti bibliografici
1.AURELIA ORLANDONI, Derive nella scuola secondaria superiore,IRRE Emilia Romagna
2.BERNHARD KUTZLER & VASTA KOKOL-VOLJC , Introduzione a Derive 6 , Texas Instruments, Austria
2003.
3.CARL B.BOYER , Storia della matematica, Mondatori 1980
4.PAOLO MARCELLINI – CARLO SBORDONE , Esercitazione di matematica 2° volume Parte prima,
Liguori editore, 1995
5.G. ZWIRNER- L. SCAGLIANTI , Argomenti di analisi, Cedam,1995
6.MARCELLO PEDONE,Equazioni Differenziali con Derive 6:
http://www.matematicamente.it/derive/equazioni_differenziali.pdf
7.MARCELLO PEDONE ,Appunti di analisi matematica per l'università:
http://www.matematicamente.it/analisi/
8.MARCELLO PEDONE ,Problemi di Cauchy ed equazioni differenziali con
Derive:http://www.matematicamente.it/derive/
9.http://matematica.uni-bocconi.it/derive6/derive6.htm
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Soluzioni approssimate di
equazioni differenziali ordinarie
con il metodo di Picard
e
confronto con il metodo di
Taylor
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Di seguito si descrivono e si confrontano
i metodi di Picard e quello di Taylor per trovare
le soluzioni approssimate delle equazioni
differenziali ordinarie.
Per il confronto e il calcolo delle soluzioni
approssimate viene usato il software Derive 6,
con il quale saranno tracciate tutte le curve che
rappresentano sia le soluzioni esatte, sia quelle
approssimate delle equazioni differenziali prese
in esame.
In conclusione si mostrerà l’utilità del “campo
di direzioni”.
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Precedentemente abbiamo descritto i file
FirstOrderODES.mth e SecondOrderODES.mth e i
metodi per trovare le soluzioni esatte per le equazioni
differenziali ordinarie.
Di seguito sono riportate le istruzioni per risolvere
l’equazione differenziale (#1), con le condizioni
X0=0;Y0=1.
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Il grafico della soluzione trovata è il seguente:
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Talvolta capita che nessuno dei metodi conosciuti possa
essere applicato ad un’equazione oppure che il risultato
ottenuto non sia convertibile in una forma esplicita. Può
capitare che l’equazione differenziale in questione non sia
risolvibile mediante le funzioni di Derive, oppure che si
debba risolvere un sistema di equazioni differenziali.
Il file ODEApproximation.mth contiene le definizioni di
alcune funzioni per risolvere le più comuni equazioni
differenziali ordinarie e sistemi di tali equazioni mediante
sviluppi in serie troncati e metodi di approssimazione
numerica.
Le definizioni di funzioni contenute in
ODEApproximation.mth vengono caricate
automaticamente quando una di queste funzioni viene
chiamata per la prima volta(guida di Derive 6).
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Serie di Taylor troncata di ordine n
Per trovare le Soluzioni in serie per le equazioni differenziali
ordinarie si usa l’istruzione
TAYLOR_ODE1(r, x, y, x0, y0, n) che restituisce la serie di
Taylor troncata di ordine n della soluzione dell’equazione y' =
r(x, y) con le condizioni iniziali y=y0 e x=x0.
Di seguito sono riportate le serie di Taylor per
l’approssimazione dell’equazione differenziale #1. La #7 è
un’approssimazione al secondo ordine, la #9 al terzo ordine, la
#11 al quarto ordine e la #13 al quinto ordine.
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Per verificare che queste sono soluzione in serie che
approssimano la soluzione dell’equazione
differenziale, basta sostituire questa soluzione a y
nella differenza tra i due membri dell’equazione
senza semplificare. Poi usare il comando Calcola >
Serie di Taylor per verificare che la serie di Taylor di
tale differenza troncata al terzo grado vale 0.
TAYLOR_ODE1 restituisce ? se r non è
sufficientemente differenziabile per una serie
troncata di ordine n. In tal caso, provare con un
valore di n inferiore(guida di Derive 6).
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Nella figura che segue sono riportati i grafici per le cinque approssimazioni effettuate;
chiaramente all’aumentare dell’ordine di troncamento le curve si avvicinano sempre di
più alla curva che rappresenta la soluzione esatta (curva di colore rosso)
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Metodo di Picard
Il metodo di Picard costituisce una versione migliorata per la soluzione di
un’equazione approssimata in serie.
L’istruzione PICARD(r, p, x, y, x0, y0) restituisce una versione
migliorata della soluzione approssimata in serie dell’equazione y' = r(x, y),
data la soluzione approssimata in serie p(x). Di solito, sviluppando rispetto
a x, si ottiene una forma più utile che non semplicemente semplificando
l’espressione.
Il metodo di Picard utilizza l’integrazione di r(x, p(x)). Se non rimangono
integrali nel risultato semplificato, si può tentare un’altra iterazione usando
l’approssimazione migliorata per p, e così via. Se non si ha una buona
prima approssimazione, allora usare la costante y0.
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Consideriamo sempre la stessa equazione differenziale
con y=1 in x=0.
Utilizzando TAYLOR_ODE1 si ricava che il secondo membro dell’equazione è sufficientemente
differenziabile solo per la soluzione sviluppata in serie di Taylor troncata al primo ordine, +1. Di
conseguenza, usando questo come prima approssimazione, si ottiene:
Dove si è utilizzata la seconda approssimazione come secondo argomento
della funzione PICARD per ottenere una terza approssimazione
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Ora si può utilizzare questa terza approssimazione come secondo argomento della funzione PICARD per ottenere
una quarta approssimazione, e così via.
Notare che i termini di grado massimo generati col metodo di Picard sono spesso errati. Sono poco
attendibili i termini che non hanno gli stessi coefficienti in due iterazioni successive. Per questo
motivo e per motivi di efficienza, conviene scartare i termini di ordine superiore al primo termine
di ordine superiore rispetto all’iterazione precedente. Se qualche iterazione porta ad un risultato
contenente un integrale, si può provare ad approssimare r(x, p(x)) per poter eseguire l’integrazione.
(guida di Derive 6).
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Nella figura che segue sono riportati i grafici per le cinque approssimazioni effettuate,
chiaramente anche in questo caso con le successive approssimazioni le curve si avvicinano
sempre di più alla curva che rappresenta la soluzione esatta (curva di colore rosso) e in questo
caso rispetto al metodo precedente si nota già una migliore approssimazione.
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Nella figura che segue sono riportati i grafici ottenuti con le approssimazioni effettuate con i due
metodi, dal confronto si nota che all’aumentare dei vari passi(step) le curve si avvicinano sempre
di più alla curva che rappresenta la soluzione esatta (curva di colore rosso) e che con il metodo di
Picard si ha una migliore approssimazione.
L’istruzione PICARD può anche essere usata per trovare le soluzioni approssimate in serie
di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine.
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derive 6 - Lamezia
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Campo di direzioni
Un campo di direzioni serve per dare un’interpretazione “visiva” dell’equazione
.Se la soluzione passa per il punto P(0,1) allora l’equazione permette di calcolare
la derivata di y(x) in questo punto y’(0)=0-y(1), associamo dunque a tale punto la
direzione della corrispondente tangente a y(x) nel punto di ascissa 0. Al variare
del punto nel piano si determina un campo di direzioni.
Le soluzioni seguono in ogni punto la direzione associata, il passaggio per un
punto individua una sola soluzione
L’istruzione DIRECTION_FIELD(r, x, x0, xm, m, y, y0, yn, n) restituisce
una matrice di vettori a due componenti che quando vengono tracciati
rappresentano un campo di direzioni per l’equazione y'=r(x,y). x varia da x0 fino
a xm in m passi, mentre y varia da y0 fino a yn in n passi.
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Prima di tracciare il grafico, bisogna usare il comando
Opzioni > Visualizzazione > Punti della finestra grafica 2D per connettere
i punti finali dei segmenti tangenti e per usare punti piccoli.
Ad esempio, per tracciare un campo di direzioni per l’equazione
si approssima l’espressione
e poi si traccia il risultato in una finestra Grafica 2D, utilizzando punti piccoli e collegandoli.
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Marcello Pedone
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ViEquazioni
ringrazio
per avermi
ascoltato
Differenziali
con Derive
6
Marcello Pedone I.I.S.S.S. “A. De Pace”di Lecce
e
[email protected]
[email protected]
[email protected]
mi scuso se vi ho annoiato!
Marcello Pedone
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