Rette nel piano cartesiano
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Rette sulla Terra e in cielo
Pensate di trovare le rette soltanto in matematica?
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Equazione di una retta parallela all’asse x
La scia di un aereo fa pensare ad una retta generata da un punto che ‘va dritto senza
curvare’. L’animazione ‘scia_retta1.ggb’ visualizza l’idea sul piano cartesiano.
Un punto P si muove sul piano, perciò ha coordinate variabili (x, y).
In un primo caso P lascia come ‘scia’ una retta r parallela all’asse x.
Osservo le coordinate di P e noto che:
x varia durante il movimento;
y rimane sempre uguale a 2.
‘Traduco’ l’osservazione nel linguaggio matematico: La retta r ha equazione y = 2.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Equazione di una retta parallela all’asse y
Nell’animazione ‘scia_retta2.ggb’ P lascia come ‘scia’ la retta s parallela all’asse y.
Osservo le coordinate di P e noto che:
x rimane sempre uguale a 3;
y varia durante il movimento.
‘Traduco’ l’osservazione nel linguaggio matematico: La retta s ha equazione x = 3
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Equazione di una retta
Nella terza animazione, ‘scia_retta3.ggb’ la retta t non è parallela ad
uno degli assi cartesiani; come trovare l’equazione della retta t?
Rimane l’idea di osservare le coordinate (x, y) del punto P che
percorre la retta, ma ora conviene pensare un segmento della retta
come un tratto di strada da percorrere.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Attività 1
Come trovare un’equazione che ‘obbliga’il punto P a percorrere proprio
la retta t?
Per rispondere a questa domanda dividetevi in gruppi di 2 – 4
persone; ad ogni gruppo è data una scheda di lavoro da completare.
Avete 30 minuti di tempo
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Che cosa abbiamo trovato
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Pendenza di un segmento
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Pendenza di un segmento
File ‘Pendenza_segmento’
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Pendenza di un segmento
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Pendenza di una retta
File ‘Pendenza_retta’
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Equazione della retta per due punti
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Equazione della retta per due punti
File ‘Equazione_retta’
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Equazione della retta per due punti
Una prima conclusione di
carattere generale
L’equazione della retta che
passa per due dati punti
A(xA, yA) e B(xB, yB) si scrive
in una delle forme seguenti:
y = mx + q
se xA ≠ xB
x=k
se xA = xB = k
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Equazione della retta per due punti
Esempi e riflessioni
Equazioni del tipo ax + by + c = 0
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Equazione della retta in forma implicita
Una seconda conclusione di carattere gene rale
Si può sempre scrivere l’equazione di una retta
nella seguente forma
ax + by + c = 0
che prende il nome di equazione della retta in
forma implicita.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Equazione ax + by + c = 0
Casi particolari
Equazioni del tipo
y = mx + q
forma esplicita
Equazioni del tipo
x=k
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Caratteristiche delle equazioni di una retta
3
y =- x+ 2
5
y = 2x
y=0
x =- 5
x =0
2x - 3y + 3 = 0
Sono tutte equazioni di 1° grado: sono somme di
monomi con le lettere x e y che compaiono al
massimo al 1° grado.
Proprio perché rappresentano rette, le equazioni di
1° grado prendono anche il nome di equazioni
lineari.
Le lettere x e y indicano nel piano cartesiano le
coordinate variabili di un punto P che percorre la retta.
Idea alla base della GEOMETRIA ANALITICA dovuta a
due matematici francesi del XVII secolo.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Fermat e Cartesio ‘inventano’ la
geometria analitica
Fermat (1637)
«Ogni volta che due quantità incognite sono
legate da un’equazione, si ha una linea che
può essere retta o curva»
Cartesio (1637)
«Prendendo successivamente infinite
diverse grandezze per la linea x, se ne
troveranno altrettante infinite per la linea
y e così si avrà un’infinità di diversi punti
per mezzo dei quali si descrive la curva
richiesta».
Un’equazione in x e y stabilisce una
dipendenza fra due quantità variabili.
Daniela Valenti, Treccani Scuola