Coniche
Linee che possono ottenersi come intersezione di un piano
con una superficie conica rotonda a due falde.
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Mappa
clicca sul pulsante per
scegliere un argomento
Coniche
Note storiche
Parabola
Circonferenza
Ellisse
Iperbole
Luogo geom.
Luogo geom.
Luogo geom.
Luogo geom.
Costruzione
Equazione
Problemi
Equazione
Esempi
Costruzione
Eccentricità
Esempi
Equazione
Asintoti
Eccentricità
Curiosità
Iperbole equilatera
Curiosità
Proff. Cornacchia - De Fino
Fine
Lo studio delle coniche nel tempo
•
•
•
IV secolo a.C.: Menecmo fu il primo matematico a individuare le curve che si
potevano ottenere dalla sezione di una superficie conica con un piano, scoprì le
sezioni coniche mentre cercava di risolvere il problema della duplicazione del
cubo(*); Menecmo, maestro di Alessandro Magno, commentò con la celebre frase
“non esiste una via regale per lo studio della geometria” la richiesta del re di
trovare una scorciatoia per affrontare lo studio della matematica.
III secolo a.C.: Apollonio detto “Il Grande Geometra”, scrisse il trattato “Coniche”
che rimpiazzava i precedenti manuali (dovuti ad Aristeo ed Euclide) sullo stesso
argomento. Apollonio, per la prima volta, dimostrò che da un unico cono era
possibile ottenere tutte le varietà di sezioni coniche semplicemente variando il
piano di inclinazione.
Descartes (1591-1661), secondo Boyer ,“fornisce una base geometrica alle
operazioni algebriche” . Sostanzialmente però ha permesso l’identificazione di una
conica con una equazione algebrica di secondo grado in due incognite.
___________
(*) Il problema della duplicazione del cubo o problema di Delo è uno dei problemi classici dell’antichità: si tratta
di trovare (con riga e compasso) il lato di un cubo che abbia il volume doppio rispetto a quello del cubo dato.
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Parabola
La parabola si può definire come il luogo dei punti equidistanti da
un punto, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice.
I punti P1,P2, P3,….. P’1,P’2,
P’3 hanno ugual distanza
dal punto F e dalla retta d.
La retta passante per F e
perpendicolare alla
direttrice è asse di
simmetria per la parabola.
Il punto V dell’asse di
simmetria, equidistante da
F e da d, viene chiamato
vertice della parabola.
 =semiangolo di apertura
della superficie conica
=angolo tra il piano e l’asse
della superficie conica
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Costruzione di una parabola
(con riga e compasso)
Costruiamo la parabola di fuoco F e direttrice d.
Indichiamo con H il piede della
perpendicolare di F su d.
Il punto medio del segmento FH è
il vertice della parabola.
Tracciamo una retta m parallela a d e
indichiamo con r la sua distanza da d.
m
F
V
d direttrice
H
r
La circonferenza di centro F e raggio
r interseca la retta m in due punti che
appartengono alla nostra parabola.
Tracciamo altre rette parallele ad m (con
distanza da d maggiore di VH) e
ripetendo la costruzione precedente,
otteniamo tutti i punti della parabola.
Congiungendo i punti trovati disegnamo la parabola.
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Equazione
Per determinare l’equazione della parabola di fuoco F e direttrice d,
fissiamo un riferimento avente l’ asse x coincidente con la parallela alla
retta d condotta per il punto medio della distanza di F da d e l’ asse y
coincidente con la perpendicolare condotta da F alla direttrice.
F(0,k)
d: y=-k
P
F
k
d
Indicando con P(x,y) il generico punto
della parabola dovrà essere:
2
2
y

k

x

(
y

k
)
PH = FP 
Elevando al quadrato e
1 2
y

x
semplificando si ottiene:
4k
Se si pone
k
a
H
1 l’equazione diventa
4k
y  ax 2
Quando sulla parabola si opera una traslazione l’equazione si trasforma in:
y  ax 2  bx  c
N.B.: il valore di a resta invariato.
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Parabola con asse parallelo all’asse y:
y  ax  bx  c
2
Equazione dell’asse
b
x
2a
Con   b 2  4ac
Coordinate del vertice
 b 
V ;

 2a 4a 
Coordinate del fuoco
 b 1  
F
;

2
a
4
a


Equazione della
direttrice
1 
y
4a
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Problemi
1) Retta esterna
alla parabola
Dal sistema
2) Retta secante una
parabola
 y  ax 2  bx  c

 y  mx  q
3) Retta tangente
una parabola
 equazione della parabola
 equazione della retta
Ricaviamo l’equazione di 2° grado : ax2+(b-m)x+c-q=o
il cui discriminante indichiamo con .
•Se <0 allora si verifica il caso 1)
•Se >0 allora si verifica il caso 2)
•Se =0 allora si verifica il caso 3)
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Curiosità
Per le leggi di riflessione della luce, i raggi uscenti da una sorgente luminosa
posta nel fuoco di una parabola vengono da questa riflessi sotto forma di un
fascio di raggi paralleli e, viceversa, un fascio di raggi paralleli (per esempio quelli
provenienti da una sorgente infinitamente lontana) che colpiscono una parabola
danno luogo a un fascio di raggi riflessi che convergono nel fuoco di questa.
Nella realtà, invece di una parabola, si utilizza un
paraboloide rotondo che corrisponde alla
superficie ottenuta facendo ruotare di un giro una
parabola attorno al proprio asse.
Antenna per le
comunicazioni spaziali
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Circonferenza
Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto
centro. La distanza si dice raggio.
Vogliamo ora determinare l’equazione della circonferenza nel
piano cartesiano di centro C(,) e raggio r dati.
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
y
P(x,y)
Imponiamo che la distanza
di un punto P(x,y) da C(,)
sia uguale al raggio r.
r
C(,)
O
x
Ricordando la formula che
dà la distanza fra due punti,
avremo
2
2
r  (x   )  ( y   ) 2
Sviluppando i calcoli
r 2  x 2  2x   2  y 2  2 y   2
Otteniamo quindi l’equazione della circonferenza di centro
(,) e raggio r
x  y  2x  2 y      r  0
2
2
2
Proff. Cornacchia - De Fino
2
2
Mappa
Trovare l’equazione della circonferenza di centro
C(2,1) e raggio 2.
Esempio
(x-2)2+(y-1)2=22
Svolgendo i calcoli otteniamo l’equazione cercata
x  y  4x  2y  1  0
2
2
Viceversa, data una equazione del tipo
x  y  ax  by  c  0
2
2
è possibile affermare che essa rappresenta l’equazione di una
circonferenza?
Detto r il raggio, e C(,) le coordinate del centro, dovrà essere
 2  a
 2  b     r  c
2
Proff. Cornacchia - De Fino
2
2
Mappa
Pertanto sarà
a
b
 
 
2
2
a
 b
r          c
 2  2
2
2
Dall’ultima relazione, deduciamo che avremo una circonferenza
solamente se il radicando è positivo. In tal caso sarà:
 a b
C    , 
 2 2
a
 b
r          c
 2  2
2
Proff. Cornacchia - De Fino
2
Mappa
Per determinare l’intersezione di una retta con una circonferenza,
mettiamo a sistema l’equazione della retta con quella della
circonferenza. Se il sistema ha due soluzioni, la retta sarà secante,
se ne ha una sarà tangente, altrimenti sarà esterna.
Trovare l’intersezione della retta di equazione
Esempio
y=x+3 con la circonferenza x2+y2+4x-4y+7=0
che fornisce i punti
y=x+3
Impostiamo il sistema
x2+y2+4x-4y+7=0
A(-2,1);B(-1,2)
y
C
B
2
A
-2
O
In questo caso la retta
risulta secante.
x
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Per determinare l’intersezione di due circonferenze, mettiamo a
sistema le loro equazioni.
Esempio
Trovare l’intersezione delle circonferenze C1:
x2+y2+4x-4y+7=0 e C2: x2+y2-5=0
Impostiamo il sistema
x2+y2+4x-4y+7=0
x2+y2-5=0
Per risolvere questo sistema,
sottraiamo le due equazioni. Ci
riduciamo così al sistema equivalente
x2+y2+4x-4y+7=0
4x-4y+12=0
Che equivale a trovare l’intersezione
di una circonferenza con una retta.
Tale retta è detta asse radicale
delle due circonferenze. Nel nostro
caso le circonferenze sono secanti
Proff. Cornacchia - De Fino
y
C1
x
O
C2
Mappa
Per tre punti dati e non allineati, passa sempre una ed una sola
circonferenza.
Esempio
Trovare l’equazione della circonferenza
passante per i punti A(-3,3); B(1,-1); C(1;3).
Imponiamo che la circonferenza x2+y2+ax+by+c=0 passi per i punti dati
(-3)2+32+a(-3)+3b+c=0
12+(-1)2+a-b+c=0
12+32+a+3b+c=0
passaggio per A
passaggio per B
passaggio per C
a=2
b=-2
c=-6
Risolvendo:
y
Dunque la circonferenza
cercata ha equazione
x2+y2+2x-2y-6=0.
Ha centro in D(-1,1) e
raggio 2 2
A
3
C
2
D
-5
-4
-3
-2
1
O 1
-1
-1
Proff. Cornacchia - De Fino
2
B
x
Mappa
Ellisse
Luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle
distanze da due punti fissi detti fuochi.
F1
F
2
Osserviamo che se i due fuochi coincidono, otteniamo una circonferenza
Vogliamo ora determinare l’equazione dell’ellisse nel piano cartesiano
avente fuochi nei punti F1(-c,0) e F2(c,0) e tale che la somma costante
delle distanze dai fuochi valga 2a.
Mappa
Proff. Cornacchia - De Fino
In un triangolo, la somma di due lati è maggiore del terzo. Se P
è un punto dell’ellisse, deve essere PF1+PF2>F1F2, dunque 2a>2c,
e dunque a>c.
Posto b2=a2-c2, si dimostra che l’equazione dell’ellisse cercata è
y2
1
2 
2
b
a
x2
Ponendo x = 0, otteniamo y =  b; ponendo y=0, invece x = 
a, dunque l’ellisse incontra l’asse x nei punti A1(-a,0), A2(a,0)
e l’asse y nei punti B1(0,-b) e B2(0,b). Tali punti sono detti
vertici dell’ellisse.
y
B2
A1
F1
F2
B1
A2
Il segmento A1A2 è lungo 2a ed
è detto asse maggiore; il
segmento B1B2 misura 2b e viene
detto asse minore. Si noti che
x
l’ellisse è simmetrico rispetto
agli assi. L’intersezione degli
assi è detto centro dell’ellisse.
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Esempio
a 3
2
y2
x
Disegnare l’ellisse di equazione

1
9
4
c  94  5
b2
A1(-3,0); A2 (3,0); B1 (0,-2); B2 (0,2); F1 (0,- 5); F2 (0, 5).
y
B2(0,2)
A1(-3,0)
F1
F2
A2(3,0)
x
B1(0,-2)
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore è
detto eccentricità.
c
e 
a
Poiché 0<c<a, sarà sempre 0e1. L’eccentricità misura lo
schiacciamento dell’ellisse sul suo asse maggiore; più è prossima a
1, più l’ellisse è schiacciata. Se e = 0 la distanza focale diventa
nulla; i fuochi coincidono e l’ellisse coincide con una circonferenza.
y
e=0,8
x
e=0,6
e=0,1
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
L’ellisse ha la proprietà che un raggio luminoso che parte da uno dei
due fuochi, viene riflessa nell’altro fuoco. Questo vale anche per le
onde sonore. Se una persona parla in un fuoco di una stanza a volta
ellissoidale, un ascoltatore posto nell’altro fuoco riuscirà ad udire
anche i suoni più deboli. Questa proprietà è stata utilizzata nella
costruzione di alcuni palazzi rinascimentali, come quello di
Schifanoia a Ferrara.
Immagine tratta dalla mostra Oltre il compasso.
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Le leggi di Keplero governano il moto dei pianeti intorno al
sole. Esse affermano che ogni pianeta, nella sua rotazione
intorno al sole, descrive un’orbita a forma di ellisse, di cui il
sole occupa uno dei fuochi.
Immagine tratta da Enciclopedia Encarta
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Iperbole
Luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle
distanze da due punti fissi detti fuochi.
F1
F2
Vogliamo ora determinare l’equazione dell’iperbole nel piano cartesiano
avente fuochi nei punti F1(-c,0) e F2(c,0) e tale che la differenza
costante delle distanze dai fuochi valga 2a.
Mappa
Proff. Cornacchia - De Fino
In un triangolo ogni lato è minore della differenza degli altri
due; pertanto se P è un punto dell’iperbole, deve essere PF1PF2<F1F2, perciò 2a<2c, ed infine a<c.
Posto b2=c2 - a2, si dimostra che l’equazione dell’iperbole cercata è
y2
1
2 
2
b
a
x2
Ponendo y=0, si ha x =  a, dunque l’iperbole incontra l’asse x nei
punti A1(-a,0), A2(a,0). Tali punti sono detti vertici dell’iperbole.
Ponendo invece x=0 si ottiene una equazione impossibile. L’iperbole
non interseca dunque l’asse delle y.
Il segmento A1A2 è lungo 2a ed
y
è detto asse traverso. Detti
B2
B1(0,-b), B2(0,b), il segmento
B1B2 misura 2b e viene detto
asse non traverso. Si noti che
F1
F2
x
A1
A2
l’iperbole è simmetrico rispetto
B1
agli assi. L’intersezione degli
assi è detto centro dell’iperbole.
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Disegniamo le rette di equazione
Y 
b
b
x eY  x
a
a
Queste rette sono dette asintoti. Osserviamo che l’iperbole è
costituito da due rami contenuti nelle porzioni di piano delimitate
dagli asintoti. La curva si avvicina sempre di più agli asintoti, senza
mai intersecarli.
y
F1
F2
Proff. Cornacchia - De Fino
x
Mappa
Esempio
a 3
2
y2
x
Disegnare l’iperbole di equazione

1
9
4
c  9  4  13
b2
A1(-3,0); A2 (3,0); B1 (0,-2); B2 (0,2); F1 (0,- 13); F2 (0, 13).
Asintoti: y 
2
2
;y  
3
3
y
B2(2,0)
F1( 13,0)
F2 ( 13,0)
A1(-3,0)
A2(3,0)
x
B1(-2,0)
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse traverso è detto
eccentricità.
c
e 
a
Poiché c>a>0, sarà sempre e>1. L’eccentricità misura l’apertura dei
rami dell’iperbole; a valori maggiori, corrisponde maggiore
apertura dei rami dell’iperbole.
y
e=2
e=1,5
e=1,05
x
Proff. Cornacchia - De Fino
Mappa
Un’iperbole si dice equilatera se ha i semiassi uguali, ossia se a = b.
L’equazione dell’iperbole equilatera si può riscrivere come x2-y2=a2.
Gli asintoti hanno per equazione y =  x. Essi coincidono con le
bisettrici dei quadranti e sono tra loro perpendicolari.
L’eccentricità dell’iperbole equilatera vale 2 .
Scegliendo un sistema di riferimento in cui gli assi cartesiani
coincidono con gli asintoti, l’equazione dell’iperbole equilatera diventa
xy = h, con |h|=a2/2.
y
y
xy = h, h>0
x
Proff. Cornacchia - De Fino
xy = h, h<0
x
Mappa