Proposte didattiche
di Gianfranco Arrigo
Dipartimento dell’istruzione e della cultura, Bellinzona
Laboratorio di matematica
FIGURE
FIGURE
FIGURE
FIGURE
Scuola media
marzo 2001
Indice
Modo d’uso del file
Prima situazione
Seconda situazione
Terza situazione
Quarta situazione
Quinta situazione
Sesta situazione
Settima situazione
Modo d’uso del file
Dal menu “Presentazione”, attivare “Visualizza
presentazione”.
Tutte le diapositive sono automatizzate, perciò l’unica
azione che deve compiere il visitatore è un semplice
clic del mouse per passare da una diapositiva alla
prossima.
L’indice è un collegamento ipertestuale: basta
cliccare su ciò che si desidera vedere.
I bottoni verdi conducono all’indice.
Prima situazione
Calcolare i perimetri di
poligoni rettangoli
Problema 1: poligoni rettangoli
Vogliamo calcolare
il perimetro
dell’ottagono
rettangolo
disegnato a destra.
(misure in centimetri)
120
120
360
Attenzione:
vi è un modo
molto semplice
e veloce!
240
60
600
Problema 1: poligoni rettangoli
Il perimetro
dell’ottagono è
uguale a quello
del rettangolo
circoscritto…
360
600
Perimetro = (600+360)x2 = 1920 [cm]
Problema 1: poligoni rettangoli
500
Perimetro ?
160
45
175
Anche qui si
può trovare
un’interessante
scorciatoia
per il calcolo.
165
13
450
152
38
118
Problema 1: poligoni rettangoli
500
(misure in centimetri)
45
45
Perimetro P =?
13
450
13
P = (450 + 500) · 2 + 45 · 2 + 13 · 2 = (450 + 500 + 45 + 13) · 2 =
= 2016 [cm]
Problema 1a: poligoni a scala
Perimetro P =?
Attenzione: anche
qui esiste una
“super- scorciatoia”!
65
35
(misure in centimetri)
Problema 1a: poligoni a scala
65 · 6
35 · 6
65
35
P = (35 · 6 + 65 · 6) · 2 = (210 + 390) · 2 = 600 · 2 = 1200 [cm]
Problema 1b: la scala pazza
400
600
P = (600 + 400) · 2 = 2000 [cm]
Seconda situazione
Calcolare l’area di triangoli
inscritti in altre figure
Problema 2: triangolo inscritto in…
b
Il triangolo è inscritto
nel rettangolo.
a
Quale x corrisponde al triangolo di area massima?
Problema 2: soluzione
Tutti i triangoli hanno la stessa base e la
stessa altezza del rettangolo:
hanno quindi tutti la stessa area, metà di
quella dello stesso rettangolo.
Problema 2a: vale solo per il rettangolo?
Parallelogrammo qualunque
areaparallelogrammo  a h
areatriangolo
1
 a h
2
Tutti i triangoli hanno la stessa base e la
stessa altezza del parallelogrammo: hanno
quindi tutti la stessa area, metà di quella dello
stesso parallelogrammo.
Problema 2b: vale anche per il trapezio?
Trapezio
a2
areatrapezio
h
1
 a1  a 2 h
2
1
areatriangolo  a1 h
2
a1
Il rapporto fra le aree è:
areatriangolo
areatrapezio

a1
a1  a 2
(Per il triangolo: a1=a2, ritroviamo il rapporto 1/2)
Problema 2c: per qualunque
trapezio?
areatriangolo
areatrapezio
a1

a1  a 2
Sì!
Problema 2d: triangolo in semicerchio
?
Quale triangolo
ha area massima?
Problema 2d: triangolo in semicerchio
Area del triangolo:
1
 2 r h(x)  r h(x)
2
h(x)
x
2r
L’unica grandezza variabile è h(x), che assume il valore
massimo nella posizione centrale, corrispondente a x=0.
Nota didattica: questo problema si può anche trovare su
manuali di analisi! Non è proprio il caso di scomodare le
derivate…
Terza situazione
Strane superfici aventi
la stessa area di un
quadrato di partenza
Problema 3: stessa area di un quadrato…
… circoscritto a un cerchio. Si possono trovare
interessanti figure di stessa area.
Problema 3: stessa area di un quadrato…
Problema 3: stessa area di un
quadrato…
Problema 3: stessa area di un quadrato…
?
Chi trova la prossima?
La più bella?
La più originale?
Quarta situazione
Strane superfici a partire
da un quadrato e da un
cerchio
Problema 4: a partire da un quadrato…
Problema 4: a partire da un quadrato…
Anche questa
figura
ha la stessa area
del quadrato
di partenza.
Problema 5:
a partire da un cerchio e da un
quadrato inscritto…
Siano:
Q l’area del quadrato
C l’area del cerchio…
Problema 5: a partire da un cerchio e da un
quadrato inscritto…
La girandola
Problema 5: a partire da un cerchio e da un
quadrato inscritto…
Calcoliamo l’area
della girandola:
1
1
C Q
2
2

1
C  Q
2
Problema 5: a partire da un cerchio e da un
quadrato inscritto…
Calcoliamo l’area
colorata di rosso:
1
 1 
C  Q  C
 4 
4
1
 CQ
2
Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi
È possibile calcolare l’area di
ogni figura delimitata dalle
linee tracciate, che sono
archi di circonferenze di
raggio r.
Basta sfruttare il fatto che la
figura ha un centro di simmetria, che è il centro del
quadrato: è sufficiente allora
calcolare le aree delle
superfici incluse nel
quadratino colorato.
Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi
Nella figura
riconosciamo
tre regioni basilari
di area diversa.
A2
A1
r
A3
Le loro aree le
indichiamo
con A1, A2, A3.
Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi
Calcoliamo l’area dello
spicchio colorato:
r2

6

3 2
r 
4
r2

2  – 3 3

12
r
Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi
Calcoliamo l’area della
superficie colorata:
r2
3 2
2  – 3 3 
r  2

12
4
r2

4  – 3 3

12
Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi
r2
(1) A 2  A 3   
4
A3
A2
A3
r
r2

4  – 3 3 

12
r2
  3 3   
12
2

r
(2) A 2  2 A 3  r 2 

4
2   
 r 1 
 4 
Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi
Soluzione del sistema:
(1)

(2)


r2
A 
6 3 12   

 2 12 


r2
A 
3 3  12  2 

 3 12
Infine rimane da determinare A1.
Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi
  
2 A 2  A1  r2  2 r 2  1– 
 4 
Sostituendo A2 col valore
appena trovato si ottiene:


A 1  r   1– 3 
3

2
r
e con ciò il problema è
completamente risolto.
Quinta
situazione
Trisecare un quadrato in
parti aventi stessa area
Problema 7: trisecare un quadrato
Il rettangolino colorato ha
l’area uguale a un terzo di
quella del quadrato.
Esistono altri modi
per trisecare un quadrato
secondo l’area.
Chi trova le soluzioni
più originali?
Problema 7: soluzioni con reticolo 3x3
Area del quadrilatero:
1 1

a2
2   a  a 

2 3
3
Area di una delle due
parti triangolari:
1 2
a2
a a 
2 3
3
La trisezione è corretta.
Problema 7: soluzioni con reticolo 3x3
Area di ciascuna delle
due superfici colorate:
1 a 1a a
a 
 
2 2 23 2
a2 a2
a2



4 12
3
Controllo: area del resto
1 2 a a 
a2
2 
  
2 3 2 
3
a
La trisezione è corretta.
Problema 7: soluzioni con reticolo 3x3
Area di ciascuno dei
due triangoli:
1 2
a2
a a 
2 3
3
Controllo:
area del parallelogrammo
a
a2
a 
3
3
La trisezione è corretta.
Problema 7: soluzioni libere
Lato del quadrato centrale:
c
a2
c

3
a
3
Lato del quadrato rosa:
2
2
a
a
b2  
3
3

2
ba
3
Problema 7: soluzioni libere
Dobbiamo determinare u,v in
modo che l’area di ciascun
rettangolo sia uguale a quella
dell’ottagono bianco:
u
v
a  u v 
 u a  2 v 
 a  u a  v   u v
u
v
a2
Si ottiene: u 
3v
a
con 0  v 
2
Problema 7: soluzione analitica
q
retta s
retta r
q
O
m a+q
a x
Sia m il coefficiente
angolare delle rette r,s
(parallele).
Condizione: 0 < m < 1
Sia inoltre y = m x + q
l'equazione della retta r.
Dev'essere:
1
a2
q  m a  q  a 
2
3
cioè:
a 1
q  ma
3 2
Problema 7: soluzione “di Archimede”
Equazione della parabola:
4
y  x2
a
Area della superficie rosa:
a
2
a
x3 2
4 2
4
2  x dx  2  
a
a 3
0
a
2
a
2
x

0
4 a3 a2
2  
a 24 3
Sesta
situazione
Quadrilateri inscritti
in un cerchio
Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio
I triangoli isosceli hanno gli
angoli alla base uguali.
 


2   2   2   2   360Þ
180°



        180Þ
Condizione di inscrivibilità:
la somma di due angoli
opposti è un angolo piatto.
Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio
Quali particolari quadrilateri sono inscrivibili in un cerchio?
Quali trapezi?




I trapezi isosceli.
2   2   360Þ
    180Þ
Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio
Quali particolari quadrilateri sono inscrivibili
in un cerchio?
Quali parallelogrammi?



I rettangoli.

2   2   180Þ
    90Þ
Problema 8: quadrilateri inscritti in
un cerchio
Gli unici parallelogrammi inscrivibili in un
cerchio sono i rettangoli.
Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio
Allora, l’unico rombo inscrivibile in un cerchio è…
90°
90°
90°
90°
… il quadrato.
Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio
Vi sono aquiloni inscrivibili in un cerchio?
    180Þ
  90Þ


… quelli rettangoli.
Settima
situazione
Quadrilateri circoscritti
a un cerchio
Problema 9: quadrilateri circoscritti a
un cerchio
PS  QR  a  b  c  d
P
a
a
PQ  SR  a  d  c  b
b
d
S
b
Q
d
c
c
R
Condizione di circoscrivibilità:
PS  QR  PQ  SR
Cioè:
Teorema. Un quadrilatero è
circoscrivibile a un cerchio
se e solo se la somma delle
lunghezze
dei lati opposti è costante.
Problema 9: quadrilateri circoscritti a
un cerchio
I trapezi isosceli sono tutti circoscrivibili a un cerchio?
a
c
Condizione di circoscrivibilità:
c
ab  2 c
c
b
ab
2
Cioè:
Teorema. Un trapezio isoscele è circoscrivibile a un
cerchio se e solo se il lato obliquo è la media aritmetica
delle due basi.
Problema 9: quadrilateri circoscritti a
un cerchio
Quali parallelogrammi sono circoscrivibili a un cerchio?
b
b
Condizione
di circoscrivibilità:
2a 2b
ab
Cioè:
Teorema. Se un parallelogrammo è circoscrivibile a un
cerchio, allora è un rombo.
FINE
© 2001 [email protected]