Soluzioni esercitazione 6
ESERCIZIO 1
1)
Due procedimenti alternativi:
a) Per le modulazioni 2k -PAM si ha B = R (1 + α ) con R = Rb
2
k
Nel caso della 2-PAM k=1 e R=Rb, quindi
Bid=500 kHz per α=0 e B=600 kHz per α=0.2
b) Ricordiamo che le PAM sono modulazioni in banda-base, quindi una modulazione 2kPAM con filtri RRC ha efficienza spettrale η = 2k bps / Hz .
1+ α
Per la 2-PAM con filtri ideali (α=0) si ha quindi ηid = 2 bps / Hz . Dalla definizione di
efficienza spettrale η = Rb / B segue B = Rb quindi Bid=500 KHz.
η
Per la 2-PAM con (α=0.2) o si calcola η = 1.667 bps / Hz , da cui segue B=600 KHz,
oppure, ricordando che la banda con filtro RRC è sempre legata alla banda ideale
dalla relazione B = Bid (1 + α ) si ottiene B=600 kHz.
1
2)
Nel caso della 8-PAM si ha k=3, quindi con uno dei due procedimenti di prima si
ottiene B = 4.5 MHz. La forma approssimata dello spettro è del tipo:
B = 4.5 MHz
9 MHz
2
3)
Per riuscire a trasmettere un traffico di Rb=40 Mbps in una banda B=10 MHz
abbiamo bisogno di un’efficienza spettrale minima pari a
ηmin =
Rb
= 4 bps / Hz
B
Si tratta di un canale in banda-base, quindi dobbiamo scegliere una modulazione
PAM. Le modulazioni 2k-PAM con filtri RRC sono modulazioni in banda base con
efficienza spettrale η = 2k bps / Hz .
1+ α
Segue: k ≥
ηmin (1 + α )
2
Nel caso di filtri ideali (α=0) si ottiene quindi k ≥ 2 .
Ovviamente, k deve essere un numero intero.
Tra tutte le 2k-PAM con k ≥ 2 si sceglie la 2-PAM che ha le migliori prestazioni.
Nel caso di filtri RRC con (α=0.4) si ha invece k ≥ 2.8 . L’intero superiore è 3, quindi si deve
scegliere una 8-PAM..
Nel primo caso la banda occupata è pari a 10 MHz. Nel secondo caso è pari a 9.33
MHz.
(L’esercizio si può risolvere analogamente ricordando che per le modulazioni PAM si
ha B = Rb (1 + α ) e risolvendo per k).
2k
3
4)
Per riuscire a trasmettere un traffico di Rb=75 Mbps in una banda B=13 MHz
abbiamo bisogno di un’efficienza spettrale minima pari a
ηmin =
Rb
= 5.769 bps / Hz
B
Si tratta di un canale in banda-base, quindi si deve utilizzare una modulazione PAM.
Le modulazioni 2k-PAM con filtri RRC sono modulazioni in banda base con efficienza
spettrale η = 2k bps / Hz .
1+ α
Visto che (α=0) si ottiene k ≥ 2.885
Si deve quindi usare una modulazione 8-PAM.
La banda occupata è pari a
B=
Rb
(1 + α ) = 12.5 MHz
2k
La forma dello spettro è la seguente:
B = 12.5 MHz
4
5)
Per riuscire a trasmettere un traffico di Rb=100 kbps in una banda B=8 kHz abbiamo
bisogno di un’efficienza spettrale minima pari a
ηmin =
Rb
= 12.5 bps / Hz
B
Si tratta di un canale in banda-base, quindi dobbiamo scegliere una modulazione
PAM. Le modulazioni 2k-PAM con filtri RRC sono modulazioni in banda base con
efficienza spettrale η = 2k bps / Hz .
1+ α
Segue: k ≥
ηmin (1 + α ) 12.5 ⋅1.3
2
=
2
= 8.125
Si deve quindi scegliere k=9 ovvero una 512-PAM.
5
ESERCIZIO 2
1)
uT[n]
u’T[n]
u’R[n]
uR[n]
Æ 0101001110
Æ 0110001011
Æ 0110001011
Æ 0101001110
Non commetto errori.
2)
uT[n]
u’T[n]
u’R[n]
uR[n]
Æ 1110110011
Æ 1011011101
Æ 0100100010
Æ 0110110011
Sbaglio il primo bit (per errore sulla fase in ricezione)
3)
uT[n]
u’T[n]
u’R[n]
u’R[n]
uR[n]
Æ 1100111011
Æ 1000101101
Æ 1010111101 (solo rumore)
Æ 1010111101 (rumore+fase)
Æ 1111100011
Sbaglio tre bit: terzo e quarto (errore sul canale e propagazione errore) + sesto e
settimo (errore sul canale e propagazione errore)
4)
uT[n]
u’T[n]
u’R[n]
u’R[n]
uR[n]
Æ 0111010101
Æ 0101100110
Æ 0101010110 (solo rumore)
Æ 1010101001 (rumore+fase)
Æ 1111111101
Sbaglio tre bit: il primo (errore fase in ricezione) il quinto (errore sul canale) e il
settimo (propagazione errore sul canale del sesto). Il sesto viene ricevuto esatto per
compensazione errore.
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ESERCIZIO 3
1)
a) Per le modulazioni 2k -PSK si ha B = R (1 + α ) con R = Rb
k
Nel caso della 2-PSK ideale k=1 R=Rb α=0, quindi B=100 MHz centrata attorno a
f0=1 GHz
b) Ricordiamo che le PSK sono modulazioni in banda-traslata, quindi una modulazione 2kPSK con filtri RRC ha efficienza spettrale η = k
1+ α
bps / Hz .
Per la 2-PSK con filtri ideali (α=0) si ha quindi η = 1 bps / Hz . Dalla definizione di
efficienza spettrale η = Rb / B segue B = Rb , quindi B=100 MHz centrata attorno a
η
f0=1 GHz
Forma approssimata dello spettro:
f 0 = 1GHz
B = 100 MHz
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2)
a) Le modulazioni ASK sono modulazioni in banda traslata che si comportano (per quel che
riguarda l’occupazione spettrale) come le PSK e le QAM. Per le modulazioni 2k -ASK si
ha quindi B = R (1 + α ) con R = Rb
k
Nel caso della 8-ASK k=3 quindi R=Rb/3. Segue B=70 MHz centrata attorno a
f0=1
GHz
b) Le ASK sono modulazioni in banda-traslata, quindi una modulazione 2k-ASK con filtri
RRC ha efficienza spettrale η = k
1+ α
bps / Hz .
Per la 8-ASK con filtro RRC e α=0.4 si ha quindi η = 2.143 bps / Hz . Dalla
definizione di efficienza spettrale η = Rb / B segue B = Rb , quindi B=70 MHz
η
centrata attorno a
f0=1 GHz
f0
70 MHz
8
3)
Per riuscire a trasmettere un traffico di Rb=10 Mbps in una banda B=15 MHz
abbiamo bisogno di un’efficienza spettrale minima pari a
ηmin =
Rb
= 0.667 bps / Hz
B
Le modulazioni 2k-PSK con filtri RRC sono modulazioni in banda traslata con efficienza
spettrale η = k
1+ α
bps / Hz .
Visto che (α=0.5) si ha quindi: k ≥ ηmin (1 + α ) = 1
Si deve quindi scegliere una modulazione 2-PSK.
È noto che in questo caso l’espressione della BER è:
Pb (e) =
E
1
erfc b
N0
2
9
4)
La modulazione 8 -PSK è una modulazione un banda-bassante.
Si ha quindi B = R (1 + α ) con R = Rb
k
Nel caso della 8-PSK si ha k=3; segue R=Rb/3 = 8 MHZ.
I filtri sono ideali quindi α = 0.
Segue B=R=8 MHz centrata attorno a f0=1
GHz.
Disegno approssimativo:
f 0 = 1GHz
B = 8 MHz
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5)
La modulazione 4-PSK è una modulazione un banda-bassante.
Si ha quindi B = R (1 + α ) con R = Rb
k
Nel caso della 4-PSK si ha k=2; segue R=Rb/2 = 5 MHZ.
Segue B=R(1+α)=7.5 MHz centrata attorno a f0=1
GHz.
Su canale AWGN ideale la modulazione 4-Offset PSK ha lo stesso spettro della 4-PSK.
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6)
Per riuscire a trasmettere un traffico di Rb=24 Mbps in una banda B=12 MHz
abbiamo bisogno di un’efficienza spettrale minima pari a
ηmin =
Rb
= 2 bps / Hz
B
Le modulazioni in banda traslata hanno efficienza spettrale η = k
1+ α
bps / Hz .
Visto che (α=0.5) si ha quindi: k ≥ ηmin (1 + α ) = 3
Si può quindi scegliere una 8-QAM oppure una 8-PSK.
Su canale AWGN ideale è da preferire la 8-QAM che ha prestazioni migliori.
Se ci sono amplificatori in saturazione potrebbe essere meglio la 8-PSK che ha inviluppo
costante e quindi minori problemi con le non linearità della loro caratteristica ingresso/uscita
(per la 8-QAM è necessario un back-off dell’amplificatore per non avere distorsione).
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