Realizzato da
• ISIS “Dante Alighieri”, Gorizia
– Insegnanti Marina Altran, Giuliano De
Biasio, Emanuela Fabris
OPERE DI
FIBONACCI
- Liber abaci
- De practica geometriae
- Liber quadratorum
- Il flos
LIBER ABACI
Pubblicato la prima volta nel 1202 e rivisto nel 1228.
Fondamentale per lo sviluppo della matematica europeooccidentale, contenendo conoscenze matematico-algebriche.
Liber abbaci, pubblicato nel 1202 (rivisto e ampliato nel
1228) in seguito al ritorno di Fibonacci in Italia, fu dedicato
a Scotus. Il libro si basava sull'aritmetica e sull'algebra, che
Fibonacci aveva appreso durante i suoi viaggi. Il libro, che
fu largamente utilizzato e imitato, introdusse, in Europa, il
sistema di cifre decimali Indo-arabico e l'uso dei numeri
arabi. Certamente, molti dei problemi che Fibonacci
considera nel Liber abbaci erano simili a quelli che
apparivano nelle fonti arabe.
La seconda parte è dedicata alle radici quadrate e cubiche ed
a problemi di teoria dei numeri.
La seconda parte del Liber abbaci contiene un'ampia
raccolta dei problemi rivolti ai mercanti. Essi si riferiscono
al prezzo dei prodotti, e insegnano come calcolare il
profitto negli affari, come convertire il denaro nelle varie
monete in uso negli stati mediterranei, e altri problemi
ancora di origine cinese.
Un problema, nella terza parte del Liber abbaci, portò
all'introduzione dei numeri di Fibonacci e della sequenza di
Fibonacci, per i quali è ricordato ancora oggi:
Un certo uomo mette una coppia di conigli in un posto
circondato su tutti i lati da un muro. Quante coppie di
conigli possono essere prodotte da quella coppia in un
anno, se si suppone che ogni mese ogni coppia generi una
nuova coppia, che dal secondo mese in avanti diventa
produttiva?
La sequenza che ne risulta è 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
(Fibonacci omise il primo termine nel Liber abbaci). Questa
sequenza, nella quale ogni numero è la somma dei due
numeri che lo precedono, si dimostrò estremamente
importante ed è presente in molte e differenti aree della
matematica e della scienza.
In questa terza sezione, vengono posti molti altri problemi,
inclusi alcuni di questi tipo, e molti altri ancora:
Un ragno sale molti piedi su un muro ogni giorno e torna
indietro un numero stabilito di piedi ogni notte, quanti
giorni ci impiega a scalare il muro?
Un cane da caccia, la cui velocità aumenta in modo
aritmetico, insegue una lepre, la cui velocità aumenta anche
in modo aritmetico, quanto sono arrivati lontano prima che
il cane da caccia abbia potuto prendere la lepre?
Fibonacci tratta i numeri come la radice di 10 nella quarta
sezione, sia con le approssimazioni razionali, sia con le
costruzioni geometriche.
Nel 1228, Fibonacci produsse una seconda edizione del
Liber abbaci, con un'introduzione, tipica di molte
seconde edizioni di libri, che afferma che:
…nuovo materiale è stato aggiunto [al libro], dal quale
quello superfluo è stato rimosso…
DE PRACTICA GEOMETRIAE
Applica il nuovo sistema aritmetico
per la risoluzione di problemi
geometrici:
un trattato di geometria e trigonometria.
Un altro dei libri di Fibonacci è il Practica geometriae, scritto nel
1220 e dedicato a Dominicus Hispanus. Esso contiene un'ampia
raccolta di problemi geometrici, distribuiti in otto capitoli,
unitamente a teoremi basati su Gli Elementi e Sulle divisioni di
Euclide. In aggiunta ai teoremi geometrici con precise
dimostrazioni, il libro include informazioni pratiche per i
controllori, incluso un capitolo su come calcolare l'altezza di
oggetti elevati, usando i triangoli simili. L'ultimo capitolo presenta
ciò che Fibonacci chiama sottigliezze geometriche:
Tra quelli, incluse il calcolo dei lati di un pentagono e di un
decagono dal diametro di circonferenze circoscritte e inscritte, è
nominato il calcolo inverso,come anche quello dei lati dalle
superfici
…per completare la sezione sui triangoli equilateri, un rettangolo
e un quadrato sono inscritti in un triangolo e i loro lati sono
calcolati algebricamente…
LIBER
QUADRATORUM
Brillante lavoro sulle
equazioni indeterminate di
2° grado, con forte presenza
della tradizione culturale
araba.
Liber quadratorum, scritto nel 1225, è la parte del lavoro di Fibonacci
più impressionante. Il nome del libro significa il libro dei quadrati ed è
un libro sulla teoria dei numeri che, tra le altre cose, esamina i metodi
per trovare le terne pitagoriche. Fibonacci, per primo, notò che i numeri
quadrati potevano essere costruiti come somme di numeri dispari,
descrivendo, in linea essenziale, un procedimento induttivo e usando la
formula n2+(2n+1)=(n+1)2.
Fibonacci scrive:
Ho pensato all'origine di tutti i numeri quadrati e ho scoperto che essi
derivano dal regolare aumento dei numeri dispari. L'1 è un quadrato e
da esso è prodotto il primo quadrato, chiamato 1; aggiungendo 3 a
questo, si ottiene il secondo quadrato, 4, la cui radice è 2; se a questa
somma viene aggiunto un terzo numero dispari, cioè 5, verrà prodotto il
terzo quadrato, cioè 9, la cui radice è 3;
per cui la sequenza e le serie dei numeri quadrati derivano sempre da
addizioni regolari di numeri dispari.
Per costruire le terne pitagoriche, Fibonacci procedette come segue:
Così, quando volevo trovare due quadrati perfetti, la cui somma
producesse un quadrato perfetto, prendevo ogni quadrato perfetto
dispari come uno dei due quadrati perfetti e trovavo l'altro
quadrato perfetto attraverso la somma di tutti i numeri dispari
dall'1 fino al quadrato perfetto dispari che avevo scelto
precedentemente e che veniva escluso.
Per esempio, io prendevo 9 come uno dei due quadrati perfetti
menzionati; il quadrato rimanente poteva essere ottenuto
attraverso la somma di tutti i numeri dispari sotto il 9, cioè 1, 3, 5,
7, la cui somma è 16, un quadrato perfetto, che quando è sommato
al 9, dà 25, un quadrato perfetto.
Fibonacci, inoltre, dimostrò molti risultati interessanti sulla
teoria dei numeri, come:
Non c'è x, y tale che x2+ y2 e x2-y2 siano entrambi quadrati
e x4-y4 non può essere un quadrato perfetto.
Egli definì il concetto di congruum, un numero della forma
ab(a+b)(a-b), se a+b è pari, e quattro volte questo, se a+b è
dispari. Fibonacci dimostrò come un congruum dovesse
essere divisibile per 24 e che se x, c sono tali che x2+c e
x2-c siano entrambi quadrati, allora c'è un congruum.
Egli inoltre dimostrò che un congruum non è un quadrato
perfetto.
IL FLOS
In questo lavoro diede
un’accurata
approssimazione della
radice di: x³+2x²+10x=20.
Durante il soggiorno di Federico II a Pisa nel 1225, l’illustre
matematico, introdotto a corte dal Maestro Giovanni da
Palermo (matematico della corte di Federico II), ricevette le più
festose accoglienze da parte di tutta la Magna Curia.
Nell’occasione, il Maestro Giovanni gli sottopose alcuni
problemi risolvibili con equazioni quadrate e cubiche e le cui
soluzioni furono riportate nel Flos.
Nel libro tratta inoltre di problemi indeterminati, ripresi da
Diofanto e di problemi determinati, come quelli di Euclide, dei
Cinesi e degli Arabi.
L’Imperatore svevo lesse e dimostrò di comprendere i testi di
Fibonacci; al punto che gli sottopose una serie di quesiti,
avendo come risposta alcuni interessanti corollari intorno alla
teoria delle frazioni.
Problema dei conigli
• Immaginiamo di chiudere in un recinto una coppia di conigli
(maschio e femmina) e supponiamo che ogni coppia produca
ogni mese (a partire dal secondo mese) una nuova coppia
(maschio e femmina).
• Quanti conigli si troveranno nel recinto dopo un anno, supposto
che, nel frattempo, nessun coniglio muoia?
Risoluzione
• I totali delle coppie di conigli presenti alla fine di ogni mese
formano la seguente successione di numeri:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
in cui (osservò Fibonacci) ogni termine è la somma dei due
precedenti. Dunque, dopo un anno, ci saranno 233 coppie di
conigli.
• Alla fine dell’Ottocento, il matematico francese Edouard Lucas
rese nota la successione in un suo lavoro di matematica
ricreativa.
LA SUCCESSIONE DI
FIBONACCI
Dal punto di vista matematico
Successione di Fibonacci
La successione di Fibonacci è una
successione di numeri interi definita per
ricorrenza, a partire dalla coppia 1, 1:
 a0=1

 a1=1
 a =a +a
 n n-1 n-2
Rapporti degli elementi
contigui
1/1 = 1
2/1 = 1+1/1 = 2
3/2 = 1+1/(1+1) = 1.5
5/3 = 1+1/[1+1/(1+1)] = 1.6666666666…
8/5 = 1+1/{1+1/[1+1/(1+1)]} = 1.6
13/8 = ……… = 1.625
Il rapporto aureo dei numeri di
Fibonacci
Osservando la tabella alla pagina precedente,
si nota che i rapporti fra i numeri consecutivi
sono sempre uno minore e l’altro maggiore del
numero aureo.
Una caratteristica importante del numero aureo
è che esso non è trascendente, come lo sono
invece i numeri  ed e.
Considerazioni
Analizzando la successione dei rapporti
(Fn+1)/Fn si nota che i termini di indici
dispari assumono valori crescenti che si
avvicinano per difetto a , cui peraltro si
approssimano per eccesso i valori
decrescenti dei termini di indice pari.
Derivazione da una frazione
continua
1
1
  1  1
 1
1

1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1  ...
Derivazione da radici nidificate
  1   1 1  
 1  1  1  1  1  1  ...
PARTICOLARITA`
Alcune proprietà curiose della
successione di Fibonacci
Due termini consecutivi sono
primi tra loro
Esempi:
• MCD (3;5) = 1
• MCD (5;8) = 1
• MCD (34;55) = 1
• MCD (55;89) = 1
La somma di numeri alterni della
sequenza è uguale al numero
successivo all’ultimo considerato.
Esempi:
• 1+2+5+13+34+89 =144
• 1+2+5+13+34+89+233+610+1597=2584
La somma dei primi n numeri
consecutivi più 1 è il numero che
segue di due posti l’ultimo
numero considerato
Esempi:
• (1+1+2)+1=5
• (1+1+2+3+5+8+13)+1=34
Ogni due numeri esiste uno
divisibile per 2, ogni tre uno
divisibile per 3,ogni quattro uno
divisibile per 5; ogni n uno che o è
primo, oppure è divisibile per lo
stesso primo.
Esempi:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,...
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,...
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,...
Il MCD tra due numeri di Fibonacci
è un numero della sequenza la cui
posizione è data dal MCD degli
indici.
Esempi:
• MCD (F6;F9) = FMCD(6;9)
• MCD (8;34) = F3 = 2
Un numero di Fibonacci elevato al
quadrato è uguale al prodotto di quello
che lo precede con quello che lo segue
±1.
Esempi:
• 2
8  5 13  1
•
13  8  21  1
2
La somma di dieci numeri
consecutivi è sempre divisibile per
11
Esempi:
• 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143
• 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55+89+ 144+ 233=
605
Le applicazioni pratiche
della sequenza di Fibonacci
I numeri di Fibonacci hanno una vasta
gamma di applicazione; oltre che in
matematica, anche in altre aree, quali
Fisica, Scienze, Informatica, Architettura,
Economia, Musica, …
• Informatica:
I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche
nel software di molti computer. In
particolare nei processori Pentium Intel la
sequenza di Fibonacci e le sue proprietà
sono usate per velocizzare le operazioni di
calcolo.
• Economia:
Un’applicazione moderna dei numeri di
Fibonacci si può riscontrare presso la
borsa azionistica di Milano. Prendendo
spunto da Fibonacci, Ralph Elson Elliot
elaborò una precisa teoria di previsione
dei mercati finanziari con la quale in tempi
recenti sono stati anticipati alcuni rialzi e
crolli di borsa.
• Arte e Architettura:
Da alcuni studi risulta che forse furono i Greci i
primi utilizzatori del rapporto aureo:
1. In un’anfora Greca il diametro maggiore è
proporzionale al diametro del collo come 1:0,618
2. Il listello dell’anfora, all’altezza dei manici, divide
l’altezza totale dell’anfora in una proporzione
aurea pari al rapporto tra la fascia decorata a
figure e la parte superiore dell’anfora
3. Il rapporto tra lunghezza e larghezza nelle
architetture di alcuni templi era 1:0,618 e il
timpano era un triangolo isoscele con angolo al
vertice di 180°
La sezione aurea in architettura
Si trova:
•Nel Partenone sull’Acropoli di Atene ( 440/430 a.C. – Fidia, Ictino e Callicrate)
•Nel tempio di Atena di Paestum (510 – 500 a. C.)
•Nell’Arco di trionfo di Costantino a Roma ( III d.C.)
•Nel Castel del Monte ad Andria in Puglia (1240-1250)
•Nel Castello di Ruggiero II° di Aversa (1135)
•Nella Certosa di Pavia
•Nella cattedrale di Friburgo
•Nella cattedrale di Amiens (XII-XIII secolo)
•Nella grande piramide di Cheope
•Nella piramide di Teotiuacan in Messico
•Nella Chiesa dei Santi Pietro e Marcellino di Seligensdadt
•Nella Chiesa di Chiaravalle della Colomba
•Nella Chiesa di “S. Caterina” di Galatina (timpano del portale)
•Nella “S. Maria della Scala” di Noci (fastigio e campanile a vela)
•Nella Chiesa di “S. Domenico” di Taranto (portale)
•Nella Chiesa di “Ognissanti” di Valenzano in Puglia (la pianta, gli arconi)
•Nel Monastero di Santa Croce di Fonte Avellana (XI-XII secolo)
•Nel Palazzo Ducale di Venezia
•Nella facciata del Palazzo dell’ONU a New York
Nella cattedrale di Friburgo è riprodotta la successione di
Fibonacci nei rapporti delle altezze.
La sezione aurea in pittura
Si trova:

Nell’acquarello “Camposanto di S. Jans” presso Neurenber di Albrecht Durer

Nell’opera “Scuola serale” di Gerard Dou

Nell’opera “I sindaci della corporazione della luna” di Rembrandt

Nell’opera ”Il sonno del Bambino Gesù” di Bernardino Luini

Nell’opera “La parade du cirq” del pittore Georges-Pierre Seurat

Nell’opera “La Venere” di Botticelli (1445-1510)

Nell’opera “Gioconda” di Leonardo da Vinci

Nell’opera “L’Ultima cena” di Leonardo da Vinci

Nell’opera “L’uomo di Vitruvio” di Leonardo da Vinci

Nell’opera “San Girolamo” di Leonardo da Vinci (1483)

Nell’opera “Broadway Bolgie Woogie “ di Pierre Mondrian (1942-43)

Nell’opera “Composition with Grid 1“ di Pierre Mondrian (1919)
Verifichiamo il comportamento della
successione mediante Excel e poi
dimostriamo……..
Successione di Fibonacci
3000
2584
2500
2000
1597
1500
1000
987
610
500
377
233
0
1
0
1
2
2
3
4
8
5
6
21
13
8
55
34
10
144
89
12
14
16
18
20
Rapporto fra due numeri successivi della Successione di
Fibonacci
2,2
2
2
1,8
1,666667
1,6
1,615385
1,6
1,617647
1,617978
1,618026
1,618033
1,618034
1,5
1,4
1,2
1
1
0,8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
IL MAGO DEI NUMERI
Nel libro “Il mago dei numeri” lo scrittore tedesco
Hans Magnus Enzensberger presenta varie proprietà
dei numeri di Fibonacci chiamandoli
NUMERI BONACCIONI
I numeri “Bonaccioni” via
software
Le prossime diapositive mostreranno i tabulati in linguaggio Pascal
della sequenza di Fibonacci. Per raggiungere questi risultati sono
stati utilizzati tutti e tre i tipi di cicli disponibili all’interno del
programma di compilazione.
For… to…
Repeat… until…
While… do…
Si possono anche utilizzare procedure per raggiungere il medesimo
risultato.
Program Fibonacci;
Uses crt;
Var i, n:Integer;
Var i0, i1, s:Real;
Begin
Clrscr;
i0:=0;
i1:=1;
Writeln ('Calcolo dei numeri della successione di Fibonacci.');
Write ('Quante cifre della successione si devono visualizzare?');
Readln (n);
Writeln;
s:=0;
Writeln ('Numero 1: 1');
For i:=2 to n Do Begin
s:=i0+i1;
i0:=i1;
i1:=s;
Writeln ('Numero ', i,': ',s:10:0);
End;
Readln;
End.
Program Fibonacci;
Uses crt;
Var Nfibon, Aprec, Asucc, i, k:Integer;
Begin
Clrscr;
Aprec:=0;
Asucc:=1;
i:=0;
Write ('Dammi il posto della successione di Fibonacci a cui ti vuoi fermare. ');
Read (k);
Readln;
Writeln;
Writeln ('1');
Repeat Nfibon:=Aprec+Asucc;
Writeln (Nfibon);
Aprec:=Asucc;
Asucc:=Nfibon;
i:=i+1
Until i=k;
Readln;
End.
Program Fibonacci;
Uses crt;
Var n:integer;
Procedure fb (n:integer);
Var i, n1, n2, temp:integer;
Begin
n1:=0;
n2:=1;
i:=0;
While i<n Do Begin
Writeln (n2);
temp:=n2;
n2:=n2+n1;
n1:=temp;
i:=i+1;
End;
End;
Begin
Clrscr;
Write ('Quanti numeri? ');
Readln (n);
Writeln;
fb (n);
Readln;
End.
THE FIBONACCI QUARTERLY
La rivista The Fibonacci Quarterly viene normalmente
pubblicata quattro volte all’anno: febbraio, maggio, agosto,
novembre. La principale funzione del giornale è quella di
essere un punto di riferimento per gli appassionati della
successione di Fibonacci mettendo in luce risultati nuovi,
proposte di ricerca, problemi stimolanti e nuove dimostrazioni
per vecchi enunciati.
• The Fibonacci Quarterly cerca articoli che siano comprensibili e
stimolanti per i suoi lettori, la maggior parte dei quali sono professori
universitari o studenti. I suoi articoli sono vivaci, con una buona
argomentazione e con nuove idee che sviluppano entusiasmo per
l’argomento. Illustrazioni e grafici sono saggiamente utilizzati per
chiarire gli spunti presenti all’interno del testo. Vengono largamente
incoraggiate le domande da parte dei lettori.
•
Il giornale contiene due sezioni: una per i problemi
elementari, l’altra per i problemi di livello superiore. Le
soluzioni si possono trovare sul giornale, circa un anno
dopo la formulazione dei problemi, assieme ai nomi
delle persone che l’hanno risolto in maniera corretta.
La miglior soluzione per ogni problema viene
pubblicata sul giornale.
La fillotassi
Sequenza di Fibonacci e
botanica
• La Fillotassi è la branca della botanica
che studia la regolarità con cui foglie e
fiori sono distribuiti nello spazio
• Fu introdotta dal naturalista svizzero
Charles Bonnet nel 1706
• Sono interessati anche i petali e le
gemme dei fiori
Alcuni esempi
• Nei tigli le foglie
crescono su due lati
opposti che
corrispondono a un
mezzo giro attorno
al ramo.
• Nei meli e negli
albicocchi le foglie si
dispongono su 2/5
di giro
• Nei peri le foglie si
dispongono a 3/5 di
giro, come nei salici
piangenti
• Nel 1837 due
botanici collegarono
questi rapporti
grazie ai numeri di
Fibonacci
Il
girasole
I semi del girasole si dispongono
secondo due spirali logaritmiche, una di
senso orario, una di senso antiorario.
Il numero delle spirali nei due sensi può
essere di 34 e 55, di 89 e 44, 144 e
293, tutti numeri di Fibonacci
Altri esempi in natura della sequenza di
Fibonacci sono:
• I parasticchi dell’ ananas
• I parasticchi delle pigne ( 8, 13)
Hanno inoltre forma di spirale logaritmica:
• Conchiglie dei fossili del Nautilus
• Conchiglie dei molluschi viventi
Albero genealogico del
maschio dell’ape o fuco
L’albero genealogico del fuco forma una successione
di Fibonacci : 1,1,2,3,5,8…
Infatti il fuco ha un genitore (la madre), due nonni (i
genitori della madre), tre bisnonni (la madre del
nonno e i genitori della nonna), cinque bisnonni
(due per ciascuna bisnonna e la madre del
bisnonno) e così via.
Questo perché le uova delle api operaie danno origine
a un fuco senza bisogno di fecondazione.
Studi sulla fillotassi
nell’architettura di Gaudì.
Nella figura a fianco
possiamo osservare
lo studio compiuto
da Gaudì sulla
fillotassi, ossia sulla
disposizione delle
foglie, evidenziando
la presenza dei
numeri di
Fibonacci. Gaudì
ispirandosi alla
natura applicò tale
principio anche
all’architettura.
Foto scattata dalla classe 5E in visita al museo della Sagrada Familia (Barcellona)
Quanti conigli ci sono dopo 3 anni?
Saranno 24157817 coppie…
a meno che qualcuno non se li
sia già mangiati con la polenta!