Ma la matematica ci può aiutare
a fare delle scelte?
1
Quale macchina compriamo?
Vogliamo comprare una macchina che
consumi poco perché facciamo molti
chilometri. Siamo orientati per due tipi
di macchine:
 la Zafira che consuma 7,5 litri in 100 km
 l’Insigna che consuma 13 litri in 140 km
2
Osservazioni
A zero km in entrambi i casi non consumiamo nulla.
Possiamo ipotizzare di consumare il carburante
indipendentemente dal percorso che compiamo (città,
autostrada, salita, discesa…)
Ma quanti km percorrono queste due macchine con un
litro?
La Zafira:
100 km : 7,5 litri = x :1 litro quindi x=13,3 km
L’insigna:
140 km : 13 litri = x : 1 litro quindi x=10,8 km
3
Con i dati costruiamo una tabella e un grafico
200
180
Zafira o Insigna?
160
Insigna
km
litri
km
litri
0
0
0
0
1
13,3
1
10,8
Litri di carburante
Zafira
140
120
100
Insigna
80
2
26,6
2
21,6
3
39,9
3
32,4
4
53,2
4
43,2
40
5
66,5
5
54
20
6
79,8
6
64,8
7
93,1
7
75,6
8
106,4
8
86,4
9
119,7
9
97,2
10
133
10
108
11
146,3
11
118,8
12
159,6
12
129,6
13
172,9
13
140,4
14
186,2
14
151,2
Zafira
60
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
chilometri percorsi
Cosa notiamo dai dati in tabella? Scopriamo una
proporzionalità diretta tra i chilometri e i litri
consumati.
Se guardiamo il grafico vediamo che la Zafira
consuma di più, infatti a parità di km percorsi
consuma maggior carburante
Osservazione
Abbiamo costruito due rette passanti per l’origine:
una per la Zafira e una per l’Insigna. Infatti a 0 km
abbiamo 0 consumo in litri.
Ma tra i punti che si trovano sulla retta, cioè che
appartengono alla retta, cosa possiamo notare?
5
Appartenenza di un punto
Perché un punto appartenga alla retta “Zafira” deve
accadere che le sue coordinate soddisfino la legge relativa
alla propria retta (che si evince dalla tabella). Nel nostro
caso se ho il punto P(2 , 26.6) per verificare che giace
sulla retta “Zafira” basterà verificare che, escludendo il
caso (0, 0),
y/x = 13,3 cioè facciamo il rapporto tra l’ordinata e
l’ascissa del punto 26.6/2 e dato che il risultato è 13,3
posso concludere che questo punto appartiene alla retta
“Zafira”. E se il rapporto non desse 13,3? Allora il punto
non appartiene alla retta “Zafira”.
6
La retta passante per l’origine e il coefficiente
angolare
Per la Zafira
y/x= 13,3
Per l’Insigna
y/x = 10,8
Questo valore determina la pendenza della retta e si
chiama coefficiente angolare. Infatti il suo valore
determina l’angolo formato tra la retta e il semiasse
positivo delle x. In generale scriveremo
y=mx
che corrisponde all’equazione di una retta passante
per l’origine.
7
Il coefficiente angolare m
Il coefficiente angolare è strettamente legato alla
misura dell’angolo che la retta forma con il semiasse
orientato positivamente delle ascisse
8
Osservazioni sul coefficiente angolare
y
y=mx
O

x
Possiamo notare che se m>0
allora l’angolo formato dal
semiasse positivo delle
ascisse (quello verde) è acuto
cioè 0°<<90°
9
Quando l’angolo è ottuso…
y
y=mx

O
Possiamo notare che se m<0
allora l’angolo formato dal
semiasse positivo delle ascisse
(quello verde) è ottuso cioè
90°<<180°
x
10
L’asse x e le rette parallele ad esso
Queste rette sono tutte parallele all’asse x. I punti sull’asse x che
caratteristica hanno? Hanno tutti ordinata zero. Ecco perché l’equazione
relativa all’asse x è y=0. E le rette ad essa parallele? Possiamo notare
che tutti i punti della retta rossa hanno ordinata -1 quindi l’equazione
della retta sarà y=-1. Per la retta verde y=1, per la retta blu y=3 per la
retta rosa y=4. Notiamo anche che quindi il coefficiente angolare di
queste rette è m=0.
11
L’asse y e le rette parallele ad esso
Queste rette sono tutte parallele all’asse y. I punti sull’asse y che
caratteristica hanno? Hanno tutti l’ascissa zero. Ecco perché l’equazione
relativa all’asse y è x=0. e le rette ad essa parallele? Possiamo notare
che tutti i punti della retta rossa hanno ascissa -2 quindi l’equazione
della retta sarà x=-2. per la retta verde x=2, per la retta blu x=4 per la
retta rosa x=6. Notiamo anche che il coefficiente angolare di queste
12
rette è m=∞.
Lo scatto alla risposta
Dobbiamo decidere il nostro gestore di telefonia.
Abbiamo due opzioni
Vodafone: 8 cent/minuto senza scatto alla risposta
Tim: Addebito alla risposta 7 centesimi e 3
cent/minuto
13
Lo scatto alla risposta e la retta non
passante per l’origine
14
Come ho ottenuto la retta della tariffa
con lo scatto alla risposta?
Per x=0 (cioè molto vicino a zero, appena c’è la risposta)
l’utente paga 7 centesimi, poi dopo per ogni minuto a
questi 7 si aggiungono i 3 centesi. Formalizzando
otteniamo la retta
y=4x+7
Infatti le rette che non passano per l’origine partiranno
da un certo punto sull’asse delle y che corrisponde alla
quota. Nel nostro caso la quota, cioè q=7.
15
Per due punti
passa una sola retta
Alla lavagna con un filo si fa vedere che se si fissa un
punto ho infinite rette che passano per questo punto.
Per determinarne una sola occorre fissarne due di punti.
.B(b ,b )
. A(a ,a )
1
1
2
2
16
Come si disegna una retta?
Se dobbiamo disegnare la retta y=3x+5,
Dobbiamo trovare 2 punti che le
appartengono. Dato che i punti che
appartengono alla retta verificano
l’equazione, se noi diamo dei valori ad x
casuali, otteniamo le y corrispondenti e
quindi troviamo i punti (x,y)
In questo caso:
Se diamo il valore x=0, sostituiamo x=0
nell’equazione della retta e otteniamo
y=5 e quindi troviamo il punto A( 0, 5)
Se diamo il valore x=1 e lo sostituiamo
nell’equazione della retta otteniamo y=8
quindi troviamo il punto B( 1, 8).
.
A(0,5)
B(1,8)
.
17
Problemi di scelta
Il vostro professore di matematica ha necessità di
ormeggiare per un certo periodo di tempo (non superiore
ad un mese) il suo panfilo di 18 metri presso un porticciolo
della Costa Smeralda gestito da un club nautico. Potrebbe
prendere in affitto il posto-barca per l’intero mese pagando
2000 Euro, oppure potrebbe pagare la tariffa di ormeggio di
100 Euro al giorno. Se infine si inscrivesse al club,(tassa di
inscrizione: 1000 Euro) l’ormeggio costerebbe 50 Euro per
ogni giorno.
Modellizzare la situazione con un grafico cartesiano e
indicare la scelta più conveniente per il vostro professore in
relazione alla durata della sua permanenza in Costa
Smeralda.
18
Svolgimento
Le variabili in gioco sono:
Y=spesa del professore
X=giorni
Le rette sono 3:
Y=2000 (Affitto mensile per la barca) Costo fisso cioè non
dipende dai giorni all’interno del mese
Y=100x (tariffa di ormeggio al giorno) Costo variabile
Y=50x+1000 (1000 tassa di iscrizione cioè costo fisso e
50 per ogni giorno di ormeggio).
Se disegniamo queste tre rette possiamo notare quale
possibilità sia più conveniente.
19
20
Analisi grafico
Dato che le ordinate corrispondono alla spesa fatta dal
nostro professore, l’opzione più conveniente per lui sarà
quella con pendenza minore se ormeggia il panfilo per un
numero di giorni inferiore o uguale a 20. Se invece dovrà
ormeggiare il panfilo per più di 20 giorni, sarà più
conveniente l’opzione della retta rossa.
21
Problema
sulla pendenza
Il comune di L’Aquila dopo il terremoto del 6 aprile
ha costruito una strada che per ogni 150 m si alza di
20 m. Cosa dovrà scrivere il comune sul cartello
stradale della pendenza?
22
Svolgimento
Per calcolare la pendenza di una retta basta fare il rapporto
y/x cioè 30:200=0,15
Il cartello stradale che indica la pendenza, la esprime con
una percentuale (N.B. il 25% di 4 equivale a fare
4X25/100).
volendo conoscere la percentuale, basterà moltiplicare 0,15
per 100. Il comune dovrà scrivere sul cartello stradale una
pendenza del 15% .
23
Cosa notiamo da questi grafici?
24
Cosa notiamo da questi grafici?
Aiutiamoci con le squadrette!!
25
Rette parallele

 
 
Dal grafico possiamo
notare che le tre rette
formano con l’asse delle x
lo stesso angolo, pertanto
le loro equazioni avranno lo
stesso coefficiente
angolare
Se ne deduce che date due rette esse sono parallele se e
solo se le loro equazioni hanno lo stesso coefficiente
angolare m=m’
Rette parallele: esercizi
Data le retta y=5x-3, trovare una retta ad essa
parallela.
Svolgimento:
Due rette sono parallele se hanno lo stesso
coefficiente angolare, quindi basterà cambiare la
quota e avremmo ottenuto l’equazione di una sua
retta parallela.
y=5x+7
27
Cosa notiamo da questi grafici?
28
Cosa notiamo da questi grafici?
Possiamo notare che tutte
le rette che abbiamo
disegnato
sono
tutte
perpendicolari (Lo vediamo
con il goniometro). Se
guardiamo
i
loro
coefficienti
angolari
notiamo
qualcosa?
il
prodotto
dei
loro
coefficienti
angolari
è
sempre
Ma perché?
29
Per chi vuole approfondire: Teorema di Euclide:
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
Siano r e s due rette perpendicolari passanti per
l’origine di equazione rispettivamente y=mx e
y=m’x. Considero il punto B(1;m) sulla retta r e
considero il seqmento perpendicolare all’asse x
passante per B. Esso interseca l’asse x nel punto
di coordinate A(1;0) mentre interseca la retta s
nel punto C(1;m’). Per il teorema di Euclide
avremo
BA : OA  OA : AC  BA  CA  OA
2
Poiché OA=1; BA=m e AC=-m’ poiché si trova nel
semipiano negativo, sostituendo si ottiene
m   m'  1
1
m'  
m
Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro
coefficienti angolari è uguale a -1, ossia siano l’uno l’antireciproco
dell’altro
La retta in forma implicita
Finora abbiamo visto le equazioni delle rette in forma
esplicita y=mx+q. Ma in generale per avere una retta
basta un’equazione di primo grado in due incognite.
ax+by+c=0 (1)
La (1) è l’equazione di una retta in forma implicita.
N.b. Non faccio altre regole per determinare il
coefficiente angolare, quindi per scoprirlo devo
riportare la retta in forma esplicita
31
Dalla forma implicita
alla forma esplicita
Se abbiamo l’equazione di una retta in forma implicita,
per determinare il coefficiente angolare basta ricondurci
alla forma esplicita.
Facciamo un esempio:
Data la retta r di equazione:
Vogliamo determinare il suo coefficiente angolare.
Vogliamo passare dalla forma implicita alla forma
esplicita. Lasciamo la y al primo membro e portiamo il
resto al secondo membro
Cambiamo tutti i segni
e poi dividiamo
tutto per 7, otteniamo così la retta in forma esplicita
che ha coefficiente angolare
32
Ancora sul coefficiente angolare
Quando una retta passa per l’origine per individuare m
(non avendo l’equazione della retta) basta fare il rapporto
tra y ed x (con x≠0).
E quando la retta non passa per l’origine?
Se abbiamo due punti
e
con
Se le ascisse dei
punti sono
uguali allora le
rette sono
parallele all’asse
y e quindi m=∞
Dovremo calcolare il rapporto tra la variazione di y con la
variazione di x, cioè
33
Il sistema tutor
Una ford fiesta percorre il traforo del Gran Sasso in
cui da pochi giorni hanno inserito il sistema tutor. I
rilevatori memorizzano l’orario in cui passa la ford
fiesta: il primo memorizza le 8.30, il secondo
memorizza le 8.32. Sapendo che i rilevatori sono a
distanza di 15 km, sapresti dire se la loro velocità è
superiore ai 110 km/h ?
N.B. il sistema tutor calcola la velocità media, e
l’autovelox? Pensaci su e poi fai una ricerca su questi
due metodi per determinare la velocità di un veicolo.
34
Svolgimento
La ford percorre i 15 km in 5 minuti, quindi ha una
velocità
N.B: La velocità si calcola come rapporto tra lo spazio e il tempo
Chiaramente la ford fiesta dovrà aspettarsi
una bella multa per eccesso di velocità
N.B.
1 ora = 60 minuti quindi 1 minuto è la sessantesima parte di un’ora,
infatti
Da cui ricaviamo
quindi se ho 5 minuti avrò
35
Quando vado a scuola…
Quando esco di casa per andare a scuola percorro prima 1
km a piedi in 4 minuti. Poi aspetto alla fermata dell’autobus
per 2 minuti e quando arriva percorro 8 km in 6 minuti
arrivando in piazza Garibaldi. Lì incontro le mie amiche,
vado al liceo artistico con loro e percorro 1 km in 5 minuti.
Quando arrivo a scuola mi ricordo che non ho studiato
matematica, improvviso un mal di pancia e torno a casa con
mia madre che mi viene a prendere dopo 2 minuti dalla
telefonata e percorro 10 km in 5 minuti. Sapresti fare un
grafico spazio-tempo che raggruppi tutte queste
informazioni? Cosa sai dire riguardo alla pendenza dei vari
tratti?
36
Grafico spazio-tempo
km
15
Aspetto mia
14
A piedi con madre
13
le amiche
12
Sto in
11
Torno a casa
l’autobus
10
con mia
9
madre
8
Aspetto
7
l’autobus
6
5
Vado a
4
piedi
3
2
1
minuti
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
37
Osservazioni riguardo al grafico
Il tratto che ha una maggiore pendenza è quello rosa, infatti
l’autobus percorre un maggior numero di km in minor tempo.
Ma cos’è questa grandezza? La velocità!
Siccome di solito parliamo di km/h convertiamo i minuti in ore
e vediamo le velocità relative a ciascun tratto
Nel tratto rosso: 1 km/4 min=1 km/0.67 h =1,50 km/h
Nel tratto verde: 0 km/2 min=0 km/0,34 h =0 km/h (infatti
sono ferma alla fermata dell’autobus!)
Nel tratto rosa: 8 km/10 min= 8 km/0,1 h = 80 km/h
Nel tratto blu: 1 km/5 min=1 km/0,083 h =12 km/h
Nel tratto giallo: 0 km/2min = 0 km/0,34 h =0 km/h
Nel tratto celeste: 10 km/5 min =10 km/0,083h = -120 km/h
38
Fascio di rette improprio
Quando abbiamo studiato le rette parallele ci siamo
accorti che fissando m, al variare di q, ottenevamo
un fascio di rette tutte tra loro parallele. Questo
fascio è chiamato
y=x+2
fascio improprio e ha
y=x+5
y=x
equazione y=mx+k
5
y=x-2
dove k è un parametro
y=x-5
che varia mentre
2
m è fissato.
0
-2
-5
39
Fascio proprio
Fissato un punto
sappiamo che per esso
passano infinite rette. Tutte queste retta determinano
un fascio, chiamato fascio proprio di centro
Come otteniamo l’equazione di un fascio proprio?
Consideriamo il punto
e il generico punto
Per quanto studiato sappiamo che per due punti passa
una ed una sola retta e se volessimo determinare il suo
coefficiente angolare esso sarebbe uguale a
e da questa possiamo ricavare
l’equazione del fascio proprio
.
In quest’equazione il punto P
è generico e m varia.
40
Equazione della retta per due punti
Dati due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) nel piano cartesiano
per il teorema di Talete si ha
PP1 : P2 P1  HH1 : H 2 H1
y
P1
y1
Q1
P
y
Q
y2
Q2
PP1 : P2 P1  QQ1 : Q2Q1
P2
x2
O
Ed anche
H2
x
H
x1
H1
x
N.B. Il teorema di Talete afferma che un fascio di rette parallele
tagliate da due trasversali determina su di esse due insiemi di
segmenti proporzionali
Da cui si ottiene:
PP1
HH 1

P2 P1 H 2 H1
PP1 QQ1

P2 P1 Q2Q1
QQ1
HH 1

Q2Q1 H 2 H 1
Sostituendo si ottiene
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
Equazione della retta per due punti
Dati due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) nel piano cartesiano
l’equazione della retta passante per i due punti è data
dall’equazione:
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
Ad esempio: dati i punti di coordinate P1(4;-9) e P2(-6;5)
andando a sostituire al posto di x1, y1, x2, y2 i valori di P1 e
x  x1
P2 si ottiene
uso la formula: y  y1

y2  y1 x2  x1
y   9 x  4
y9 x4


5   9  6  4
5  9  10
y  9 x  4 Eseguendo il prodotto in croce si

14
 10 ottiene
10 y  9  14x  4
 10 y  90  14 x  56
Portando tutto al primo membro si ottiene
 14 x  10 y  90  56  0
Semplificando e moltiplicando
per -1 si ottiene
 14 x  10 y  34  0
7 x  5 y  17  0
Quando abbiamo due rette come facciamo
a trovare il punto d’intersezione?
Date la retta r:
ed s:
il punto che cerchiamo deve verificare entrambe le
equazioni. Per indicare quest’intersezione le
scriveremo all’interno di una parentesi graffa
Da un’equazione ricaveremo ad esempio la y e
l’andremo a sostituire nell’altra per ottenere infine il
valore della x, una volta trovato, troverò anche il
valore della y corrispondente. Facciamo un esempio…
45
Esercizio:
Trovare il punto di incidenza tra le retta 3x-y1=0 e 2x-3y+5=0
Poniamo a sistema le due rette
dalla prima equazione ricaviamo la y
Sostituiamo la y alla seconda equazione
Il punto di
incidenza è
46
Ma il sistema può essere…
Se il sistema ammette una soluzione (il sistema è
determinato) le rette sono incidenti, quindi trovo il
punto di incidenza P(x,y).
Se il sistema non ammette soluzioni (impossibile) le
rette sono parallele
Se il sistema ammette infinite soluzioni (indeterminato)
le rette sono coincidenti
Facciamo qualche esempio.
47
Un sistema impossibile
Date le rette a: 2x-y-1=0 e b: 4x+2y-1=0 dire se
esse sono incidenti, parallele o coincidenti.
Svolgimento
Ma 1 non è uguale a zero, quindi il sistema è
impossibile, cioè le rette non si incontreranno mai e
l’unico modo è che le rette siano parallele
48
Un sistema indeterminato
Date le rette a: 3x-y-1=0 e b: 6x+2y-2=0 dire se esse
sono incidenti, parallele o coincidenti.
Svolgimento
0 è uguale a zero, quindi ho un’equazione indeterminata
che rende indeterminato il sistema. Questo implica che
le rette hanno infiniti punti in comune, cioè sono rette
coincidenti.
49
Esercizi
1) Rappresenta sul piano cartesiano le rette di equazioni
y  3x  1 e x  2 y  5  0
2) Trova l’equazione della retta passante per il punto P  2; 3
e parallela alla retta di equazione 2 x  y  1  0
 y  2 x  7
3) Trova l’equazione della retta passante per il punto P 2 ;3
e perpendicolare alla retta di equazione 2 x  4 y  3  0
2x  y  7  0
4) Trova l’equazione della retta passante per il punti
2x  3 y  7  0
A  1; 3 , B 2 ;1
5) Trova le coordinate del punto d’intersezione, se esiste, tra le rette
2x  4 y  3  0
.
e
2x  y  2  0
 1


;

1
 2

Esercizi
Esercizio:
Date le rette r: x+y-3=0 ed s: x-y+2=0 determinare il
loro punto di intersezione O. Dimostrare che preso un
qualsiasi punto A sulla retta r e un qualsiasi punto B sulla
retta s, il triangolo AOB è un triangolo rettangolo.
Esercizio:
Il comune di L’Aquila dopo il terremoto ha costruito una
strada che ogni 100 metri si alza di 30. Sul cartello
stradale che indica la pendenza cosa dovrà scrivere? (Si
ricorda che il cartello indica una percentuale)
51
Esercizi
Esercizio
Gino deve decidere con quale operatore attivare il suo
telefono. La 3 gli propone una tariffa mensile di 40 euro
tutto compreso. La Vodafone gli proprone una tariffa che
costa 13 centesimi al secondo, la Tim gli propone una
tariffa con scatto alla risposta di 5 centesimi e 9 centesimi
al secondo. Sapresti aiutare Gino nella scelta rispetto alla
durata delle sue telefonate.
Esercizio
Gino deve decidere che tipo di contratto fare alla sua
segretaria. Ha due alternative: pagare la segretaria 12,50
euro l’ora oppure darle un mensile di 400 euro. Sapresti
aiutare Gino nella scelta del pagamento?
52
Esercizi
Esercizio 16
Dato un triangolo A(2,0) B(1,2) e O(0,0). Verificare
che AOB è un triangolo isoscele. Determinare le rette
OB e BA. Cosa puoi notare rispetto al loro coefficiente
angolare? Data la retta y=5x-2 supponendo che essa
formi un angolo α con l’asse positivo delle ascisse,
sapresti costruire una retta che forma con l’asse delle
ascisse un angolo di 180- α?
53
Esercizi
Esercizio :
Disegna le rette rappresentate dalle seguenti equazioni:
a:
b:
c:
54
Problemi
Un ufficio, per far fronte ad una temporanea necessità,
decide di noleggiare per un mese una fotocopiatrice.
Vengono prese in esame tre offerte: la prima prevede una
spesa di £. 100 a fotocopia, comprendente le spese per la
carta e per il toner; la seconda £. 300.000 per il noleggio
della macchina più £. 50 per ogni fotocopia; la terza
consiste nel pagamento forfettario di £. 800.000 con la
condizione che il numero totale delle fotocopie non sia
superiore a 10.000.
Modellizzare la situazione con un grafico cartesiano e
stabilire la soluzione più conveniente per l'ufficio in
relazione al numero di fotocopie che si prevede di
effettuare.
55