Sezione Mathesis Pesaro
Anna Maria Facenda
Paola Fulgenzi
Janna Nardi
Floriana Paternoster
Consegna 1
1
2
3
4
• Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed elementi geometrici) .
• Articolando il modello n.1 quale e quante figure interne si formano?
Perché?
• Articolando i modelli n.2, n.3, n.4 quali e quante figure interne si
formano? Perché?
• Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna e le diagonali e le
mediane dalla figura esterna?
Consegna 2
1
2
3
4
• Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed elementi geometrici) .
• Considerate il modello n.3, articolandolo quali e quante figure
interne si formano e perché?
• Considerate i modelli n.2 e n.4, articolandoli quali e quante figure
interne si formano e perché?
• Ora sai giustificare perché articolando il modello n.1 la figura
interna è sempre un parallelogramma?
• Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna e le diagonali e le
mediane dalla figura esterna?
una interessante proprietà
unendo consecutivamente i punti medi dei lati di un qualsiasi quadrilatero anche
concavo, si ottiene sempre un parallelogramma.
Prendiamo in considerazione i triangoli ACD e PSD.
Essi hanno un angolo in comune e i lati che lo
comprendono in proporzione, infatti, poiché P ed S
sono punti medi, DP/DA = DS/DC = 1/2 (Teorema di
Talete), pertanto sono simili per il secondo criterio.
Segue che PS//AC. Per lo stesso motivo anche
QR//AC e dunque QR//PS. Da cui si deduce che i
segmenti PQ e SR, essendo paralleli a DB, lo sono
anche tra loro (proprietà transitiva).
La dimostrazione vale anche per le coppie di
triangoli DBC-SRC e ABD-AQP.
D
S
C
R
P
B
Q
A
Il rapporto di similitudine fra le coppie di triangoli prese in esame è sempre
1/2, pertanto i lati del parallelogramma inscritto sono sempre la metà delle
diagonali di quello circoscritto.
Se il quadrilatero esterno ha le diagonali congruenti
le sue mediane sono perpendicolari perché il
quadrilatero interno è inevitabilmente un rombo.
Il parallelismo tra lati del parallelogramma e diagonali
del quadrilatero esterno fa si che se quest’ultimo ha le
diagonali perpendicolari, le sue mediane sono congruenti
perché il quadrilatero interno è un rettangolo.
Se si verificano entrambe le condizioni di cui
sopra il parallelogramma interno è un quadrato.
Le Mediane nei quadrilateri
Le mediane si bisecano in tutti i quadrilateri
Sono congruenti
in quelli a diagonali perpendicolari
Sono perpendicolari
in quelli a diagonali congruenti
Mediane
Diagonali
congruenti
perpendicolari
non perpendicolari
perpendicolari
non congruenti
non perpendicolari
congruenti
non congruenti
"se le diagonali sono perpendicolari allora le mediane sono congruenti",
"se le mediane sono congruenti allora le diagonali sono perpendicolari"
che si possono riunire nella doppia implicazione:
"le diagonali sono perpendicolari se e solo se le mediane sono congruenti".
Analoghe considerazioni portano a formulare la seguente doppia implicazione
"le diagonali sono congruenti se e solo se le mediane sono perpendicolari".
Parallelogramma inscritto nel rombo
Quando il quadrilatero esterno è un quadrato, lo è anche quello interno.
In tutte le altre posizioni il poligono esterno è un rombo, quello interno un rettangolo.
La figura interna è sempre un rettangolo poiché i suoi lati sono paralleli alle
diagonali del rombo che sono sempre perpendicolari.
Le mediane del quadrilatero esterno sono diagonali di quello interno, le mediane
del quadrilatero interno fanno parte delle diagonali di quello esterno; nella
deformazione, il poligono esterno conserva solo le diagonali come assi di
simmetria, quindi quello interno solo le mediane.
La figura esterna modifica gli angoli ma non i lati; quella interna i lati ma non gli
angoli.
Definizione di quadrato e rombo con le mediane
Le mediane:
•Si bisecano
• Sono congruenti
• Non modificano la loro misura
• Sono parallele ai lati
• Nel quadrato sono perpendicolari
• Nel quadrato sono assi di simmetria
Def. Rombo: ?
Def. Quadrato: ?
Def. Rombo:
quadrilatero a mediane congruenti e che si bisecano
Def. Quadrato: quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e che si
bisecano.
Sono definizioni corrette?
Controesempi
Def. Rombo:
quadrilatero a mediane congruenti e a diagonali che si bisecano.
quadrilatero a mediane congruenti e parallele ai lati.
Def. Quadrato: quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e a diagonali
che si bisecano.
quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e parallele ai
lati.
Def. Rombo:
parallelogramma a mediane congruenti.
Def. Quadrato: parallelogramma a mediane congruenti e perpendicolari.
Def. Quadrato: rombo a mediane perpendicolari.
Parallelogramma inscritto nel parallelogramma
Quando il quadrilatero esterno è un rettangolo, quello interno è un rombo.
In tutte le altre posizioni sia il poligono esterno che quello interno sono
parallelogrammi.
Le mediane del quadrilatero esterno sono diagonali di quello interno, le mediane
del quadrilatero interno fanno parte delle diagonali di quello esterno; nella
deformazione, il poligono interno perde le diagonali come assi di simmetria,
quello esterno le mediane.
La figura esterna modifica gli angoli ma non i lati; quella interna lati ed angoli.
Definizione di rettangolo e parallelogramma con le mediane
Le mediane:
• Si bisecano
• Non sono congruenti
• Non modificano la loro misura
• Sono parallele ai lati
• Nel rettangolo sono perpendicolari
• Nel rettangolo sono assi di simmetria
Def. Rettangolo: ?
Def. parallelogramma: ?
Def. Rettangolo: ? Quadrilatero a mediane perpendicolari che si bisecano
Def. parallelogramma: ? Quadrilatero a mediane che si bisecano
Sono definizioni corrette?
Controesempio
Def. Rettangolo: Quadrilatero a mediane perpendicolari e diagonali
che si bisecano.
Quadrilatero a mediane perpendicolari e parallele ai lati
Def. parallelogramma: Quadrilatero a mediane parallele ai lati
Def. Rettangolo: parallelogramma a mediane perpendicolari.
Modelli per mediane
Al modello a diagonali scanalate si può sovrapporre il parallelogramma inscritto
realizzato in cartoncino, con i lati uguali alla metà delle diagonali e gli angoli della
stessa misura di quelli formati dall’intersezione delle diagonali stesse.
Modificando il punto di intersezione delle diagonali, conservandone la reciproca
posizione, si può controllare, sovrapponendo al modello il parallelogramma in
cartoncino, che quest’ultimo è sempre quello inscritto nel quadrilatero di partenza.
Mentre il quadrilatero esterno subisce deformazioni di tipo proiettivo, quello interno
trasla.
Diagonali non congruenti e
perpendicolari con inscritto il
rettangolo
Diagonali congruenti e non
perpendicolari con inscritto il rombo
Articolando le diagonali quali trasformazioni subisce il parallelogramma inscritto?
Cosa hanno in comune i parallelogrammi che si ottengono?
In un modello con diagonali non scanalate e fissate in un punto è possibile
collegare con fermacampioni i lati del parallelogramma inscritto nel punto medio di
ciascuno dei quattro bracci delle diagonali.