I.T.C. “Cassandro” Barletta
Corso SIRIO
Lezioni
di Matematica
Le “curve di livello”
Attraverso l’ elaboratore elettronico
il grafico di una funzione di 2
variabili si può costruire:
• per punti
• con le “curve di livello”
Le curve di livello sono le linee che
si ottengono sezionando la
superficie y = f(x;y) con piani
paralleli al piano XY
z
x
y
Le curve di livello sono le linee che
si ottengono sezionando la
superficie y = f(x;y) con piani
paralleli al piano XY
z
x
y
Nel piano XY le curve di livello
sono rappresentate da un “fascio di
curve”
z
x
y
In questo esempio le curve di livello
sono circonferenze concentriche:
y
x
Svolgiamo un esempio con i calcoli:
z = x2 + y2
Svolgiamo un esempio con i calcoli:
z = x2 + y2
Intersechiamo questa funzione con
piani paralleli al piano XY. Questi
piani hanno equazione: z = k
Si tratta di risolvere il sistema di
equazioni:
z = x2 + y2
z=k
Si tratta di risolvere il sistema di
equazioni:
z = x2 + y2
z=k
→
k = x2 + y2
z=k
Si tratta di risolvere il sistema di
equazioni:
z = x2 + y2
z=k
→
k = x2 + y2
z=k
Al variare di k, queste sono equazioni di
circonferenze con centro nell’ origine e
raggio √ k .
Curve di livello ottenute sostituendo
a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10
Curve di livello ottenute sostituendo
a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10
x2 + y2 = k
Costruzione in 3-D per punti della
funzione z = x2 + y2
Esercizio:
Determiniamo alcune linee di livello
della funzione:
z = x2 + y2 – 10x
Sezioniamo la superficie con piani
paralleli al piano XY, risolvendo il
sistema:
z = x2 + y2 – 10x
z=k
Sezioniamo la superficie con piani
paralleli al piano XY, risolvendo il
sistema:
z = x2 + y2 – 10x
z=k
k = x2 + y2 – 10x
z=k
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x
Al variare di k, queste sono equazioni di
circonferenze con centro nel punto
α = - a/2
β = - b/2
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x
Al variare di k, queste sono equazioni di
circonferenze con centro nel punto
C (5; 0)
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x
Al variare di k, queste sono equazioni di
circonferenze con centro nel punto
C (5; 0)
e aventi raggio: r = √ α2 + β2 – c
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x
Al variare di k, queste sono equazioni di
circonferenze con centro nel punto
C (5; 0)
e aventi raggio: r = √ 25 + k .
r = √ 25 + k
Dovendo essere:
quindi:
k ≥ - 25
25 + k ≥ 0
r = √ 25 + k
Dovendo essere:
quindi:
25 + k ≥ 0
k ≥ - 25
Le curve di livello non esistono se
k < - 25
Curve di livello ottenute sostituendo
a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0
Curve di livello ottenute sostituendo
a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0
Curve di livello ottenute sostituendo
a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0
Per k = -25 si ha il punto (5; 0)
Esercizio:
Determiniamo alcune linee di livello
della funzione:
x  y 4
z
6x
2
2
Sezioniamo la superficie con piani
paralleli al piano XY, risolvendo il
sistema:

x  y 4
z 
6x

z  k

2
2
Sezioniamo la superficie con piani
paralleli al piano XY, risolvendo il
sistema:

x  y 4
z 
6x

z  k

2
2

x  y 4
k 
6x

z  k

2
2
Sezioniamo la superficie con piani
paralleli al piano XY, risolvendo il
sistema:

x  y 4
 6x
6 x  k 
6x

z  k

2
2
Sezioniamo la superficie con piani
paralleli al piano XY, risolvendo il
sistema:

x  y 4
 6x
6 x  k 
6x

z  k

2
2
Sezioniamo la superficie con piani
paralleli al piano XY, risolvendo il
sistema:

x  y 4
 6x
6 x  k 
6x

z  k

2
2
x  y  6kx  4  0
2
2
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0
Al variare di k, queste sono equazioni di
circonferenze con centro nel punto
α = 3k
β=0
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0
Al variare di k, queste sono equazioni di
circonferenze con centro nel punto
α = 3k
β=0
C (3k; 0)
Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0
Al variare di k, queste sono equazioni di
circonferenze con centro nel punto
α = 3k
β=0
C (3k; 0)
e raggio: r = √ 9k2 - 4
r = √ 9k2 - 4
Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:
r = √ 9k2 - 4
Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:
k ≤ - 2/3
v
k ≥ 2/3
r = √ 9k2 - 4
Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:
k ≤ - 2/3
v
k ≥ 2/3
Le curve di livello non esistono se
-2/3 < k < 2/3