
Presentazione superiori
Progetto argomentare, Congetturare,
Dimostrare - Scuole Superiori:
•I.P.I.A.
•I.T.I.
•Liceo Socio Psico-Pedagogico
•Liceo Scientifico
Insegnanti coivolti:
Buscemi Carmela, Campagna Maria, Dimarco
Paola, Indovino Giuseppa, Lina Carini, Fabio Lo
Iacona.
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
1

Fasi della prova
Elaborazione della consegna
Elaborazione dell’analisi a priori
Prova
Raccolta dei dati
Analisi quantitativa
Analisi qualitativa
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
2

Prerequisiti
La prova riguarda un argomento curricolare del
programma di seconda.
Prerequisiti richiesti:
• Equazioni di I° grado
• Legge di annullamento del prodotto
NB: Dato che siamo in una situazione a-didattica, la
prova verrà svolta prima della trattazione delle
equazioni di II° grado
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
3

Consegna
L’età a sorpresa!
Oggi è il compleanno di Andrea che fra 1
anno avrà come età la quarta parte del
quadrato dell’età che aveva due anni
fa. Quante candeline deve mettere sulla
torta?
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
4

L’analisi a priori
L’analisi a priori è l’insieme delle
possibili strategie risolutive di un
dato problema ipotizzate dal docente
prima della somministrazione della
consegna.
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
5

L’analisi a priori: Struttura
•Descrizione del tipo di procedimento:
aritmetico, parzialmente algebrico, algebrico.
•Linguaggio utilizzato: naturale, parzialmente
simbolico, simbolico.
•Soluzione del problema: perviene alla
soluzione, non perviene alla soluzione.
Descrizione
del tipo di
procedimento
Linguaggio
utilizzato
Soluzione del
problema
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
6

La nostra analisi a priori
A1 Utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con la lingua
naturale e non perviene alla soluzione del problema.
A2 Utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con la lingua
naturale e perviene alla soluzione del problema.
A3 Utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con un
linguaggio parzialmente simbolico e non perviene alla soluzione del problema.
A4 Utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con un
linguaggio parzialmente simbolico e perviene alla soluzione del problema.
…………………………………………………..
…………………………………………………..
A20 Utilizza un procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio simbolico,
rappresenta il problema, ma segue una procedura scorretta e trova un’
espressione algebrica che non è un’equazione di secondo grado spuria e che
non gli permette di trovare alcuna soluzione esatta.
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
7

La nostra analisi a priori
A21 Non utilizza alcun procedimento.
A22 Segue diversi tentativi, utilizzando sia il procedimento aritmetico che
quello algebrico, e non perviene alla soluzione.
A23 Segue diversi tentativi, utilizzando sia il procedimento aritmetico che
quello algebrico, e perviene alla soluzione.
A24 Segue un procedimento aritmetico (o algebrico), non argomenta e
perviene alla soluzione.
A25 Segue un procedimento aritmetico (o algebrico), non argomenta
e non perviene alla soluzione
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
8

Somministrazione della prova
La prova è stata suddivisa in tre parti:
I Fase – Fase dell’ azione:
Gli alunni si sono misurati individualmente con il problema e hanno congetturato le
possibili soluzioni
II Fase – Fase della formulazione o della Comunicazione:
Gli alunni sono stati divisi in due gruppi, all’interno dei quali ogni alunno ha tentato di
comunicare ai propri compagni le strategie congetturate .
III Fase – Fase della validazione:
I due gruppi, attraverso i propri rappresentanti, socializzano le proprie congetture
negoziandole dialetticamente.
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
9
La raccolta dati

Parte della tabella di Excel utilizzata per l’analisi
quantitativa
ALUNNI
A1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Allegra Eugenia
Bologna Vanessa
Bonaventura Ivana
Calcagno Fabiola
Campanella Veronica
Casano Giseppina
Cascio Rizzo Biagia
D'Alù Elena
Di Grazia Luciano
Leonardi Valentina
Margherone Felicia
Martello Giuseppina
Mascara M.Pia
Quaceci Giuseppina
Renda Marisa
Settimo Erika
Speciale Francesca
A2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
A3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
STRATEGIE
A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 A25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
10
Analisi quantitativa

Per l’analisi quantitativa sono stati utilizzati Excel e lo Chic
4
2
3
A
2
0
A
A
2
1
1
A
7
5
A
2
3
A
1
A
4
1
A
2
A
A
3
9
1
A
9
2
A
2
A
2
A
1
A
A
1
8
Albero della similarità
A lbero delle s imilarità : C:\D ocum ents and Settings\Filippo Spagnolo\D esktop\a.csv
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
11

Analisi quantitativa
L’albero della similarità mette in evidenza l’esistenza di sei
gruppi di strategie risolutive:
Il primo indica che non perviene alla soluzione del
problema chi argomenta con la lingua naturale e utilizza un
procedimento esclusivamente aritmetico (A1 ) e chi utilizza un
procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio simbolico,
rappresenta correttamente il problema ma non perviene
correttamente ad alcuna soluzione dell’ equazione spuria.
Il secondo gruppo perviene
alla soluzione, utilizza un
procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con la lingua
naturale( A2) oppure non perviene alla soluzione perché
utilizza un procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio
simbolico, rappresenta il problema, segue una procedura corretta,
ma per errore di calcolo trova un’ espressione al-gebrica che non
è un’ equazione spuria (A19) , segue diversi tentativi utilizzando
sia procedimenti aritmetici che algebrici (A22) ,oppure utilizza un
procedimento algebrico e argomenta con la lingua naturale( A9).
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
12

Analisi quantitativa
Nel terzo gruppo
troviamo le strategie che pervengono alla
soluzione del problema utilizzando un procedimento esclusivamente
aritmetico, argomentando con un linguaggio parzialmente
simbolico (A3)
oppure non utilizzano alcun procedimento (A21)
Al quarto gruppo appartengono le strategie che pervengono alla
soluzione perché utilizzano un procedimento esclusivamente aritmetico,
argomentano con un linguaggio parzialmente simbolico (A4), utilizzano un
procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio simbolico,
rappresenta correttamente il problema, perviene correttamente alla
soluzione dell’ equazione spuria, trovando entrambe le soluzioni e motivando
correttamente la soluzione che viene scartata (A13),oppure segue un
procedimento aritmetico (o algebrico), non argomenta e non perviene alla
soluzione. (A25)
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
13

Analisi quantitativa
Il quinto gruppo è costituito dalle strategie che utilizzano un
procedimento parzialmente (A7) o completamente algebrico(A11),
argomentano con un linguaggio parzialmente simbolico ma non pervengono
alla soluzione del problema.
Il sesto gruppo è costituito dalle strategie di chi segue un procedimento
aritmetico (o algebrico), non argomenta e perviene alla soluzione.
(A24) Questa strategia è simile a quella di chi segue diversi tentativi
utilizzando sia procedimenti aritmetici che algebrici e non perviene alla
soluzione (A20) oppure utilizza un procedimento algebrico, argomenta
con un linguaggio simbolico, rappresenta il problema, ma segue una
procedura scorretta e trova un’ espressione algebrica che non è
un’equazione di secondo grado spuria e che non gli permette di
trovare alcuna soluzione esatta (A23).
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
14

Analisi Qualitativa
L’analisi qualitativa rileva, nelle argomentazioni fornite dagli alunni, la
presenza di alcuni indicatori linguistici come:
se io…,se prendiamo…,se noi…., e così…., quindi…, allora…, (
indicatori di condizionalità)
basta…,non è…,sempre…,come… (indicatori tautologici)
come si vede..,sono come.. (indicatori evidenzianti principi ostensivi)
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
15

Esempi:
Analisi Qualitativa
1) Procedimenti per tentativi (Forse se facciamo così….)
“Forse se svolgiamo il quadrato del binomio potremo ottenere
qualche cosa..”
2) Falsi ragionamenti (Ragionamenti errati)
“Secondo me l’ espressione algebrica corrispondente più
adeguata al testo è: “
x  1  ( x  22 )
4
“Invece, secondo me, la soluzione esatta viene dall’ espressione:
( x  2) 2
“
x 1 
4
3) Tentativi di ragionamento (Penso che…)
“Come dati abbiamo trovato x+1, x sta a dire l’ età, 1 è l’anno
successivo…”
“Dobbiamo trovare l’ età e sappiamo che fra un anno avrà….”
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
16

Analisi Qualitativa
4) Ragionamenti con tentativi di giustificazione (Secondo me no,
perché…)
“secondo me , invece, i dati erano ¼ del quadrato dell’ età di due
anni fa…”
5) Argomentazioni di tipo tautologico ( E’ così perché è così…)
“Io penso che Ettore ha ragione!”
6) Ragionamenti che giustificano la risposta con riferimenti di tipo
pragmatico
“Tra le due soluzioni secondo me quella giusta è x=8 perché
(indicatore linguistico estensivo) se fosse x=0, il quadrato dell’ età
di due anni fa non si poteva trovare”
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
17

Analisi Qualitativa
7) Ragionamenti che giustificano la risposta con argomentazioni di tipo
teorico
“Quello che penso è che se (indicatore linguistico di condizionalità)
fra un anno avrà la quarta parte del quadrato dell’età che aveva
due anni fa, allora l’ espressione risolvente è…(la esprime
correttamente)”
“Secondo me le soluzioni sono x=0 oppure x-8=0, perché
(indicatore linguistico estensivo) sono questi i due fattori”
8) Ragionamenti che giustificano la risposta con argomentazioni di tipo
teorico e generale
“Si deve passare dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico.
Quindi(indicatore linguistico di sequenzialità) occorre trasformare i
dati in incognite e l’incognita per noi è costituita dal numero di
candeline da mettere sulla torta, cioè dall’età di Andrea”
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
18
Analisi Qualitativa

“ Poiché (indicatore linguistico di condizionalità) fra un anno Andrea
raggiungerà la quarta parte del quadrato dell’ età che aveva due
anni fa, allora l’ espressione risolvente è …..(la scrive
correttamente)
“secondo me la soluzione si può indicare con l’ incognita x, che sta
ad indicare il numero delle candeline, quindi l’espressione algebrica
risolvente è …. che essendo un’ equazione si risolve sempre
(indicatore linguistico di generalità) riducendola in forma normale,
………., infine troviamo l’equazione … che essendo un’ equazione
di secondo grado potrebbe avere due soluzioni, infatti (indicatore
linguistico esplicativo) se mettiamo in evidenza…..”
Progetto Argomentare, Congetturare, Dimostrare – Scuola Superiore
19