La competenza matematica
Come promuoverla e come valutarla
Suggerimenti di
Michele Pellerey
Salerno CIIM 2013
1
Siamo nel 1983-4. Si stava discutendo dei
programmi della scuola elementare (pubblicati
poi nel 1985). Prodi insisteva per indicare come
primo contenuto la risoluzione di problemi. In
effetti sotto il titolo Obiettivi e contenuti al primo
punto è stato posto il tema «I problemi».
«Il pensiero matematico è caratterizzato dalla
attività di risoluzione di problemi e ciò è in
sintonia con al propensione del fanciullo a porre
domande e a cercare risposte»
Salerno CIIM 2013
2
Si affacciava appena la questione della
competenza matematica da considerare fin
dalla scuola primaria.
In quel periodo in una classe di quinta
elementare di Verona guidata da un insegnante
eccezionale avvenne sotto i miei occhi questo
episodio.
Salerno CIIM 2013
3
Salerno CIIM 2013
4
Salerno CIIM 2013
5
La competenza evidenziata dall’alunno.
Ha una chiara e fluida conoscenza della figura
geometrica del quadrato.
Questa è derivata da un insegnamento
dinamico, che permette di muovere e spostare
figure rigide sul piano.
Un quadrato rimane se stesso anche se assume
visivamente posizioni diverse.
Molti ragazzi sviluppano invece una fissità o
rigidità figurativa.
Salerno CIIM 2013
6
È in grado di verificare che sia la figura
originaria, sia quella trasformata, sono
composte dallo stesso numero di figure
rispettivamente uguali.
Egli sa usare questo principio in maniera
operativa per giustificare il risultato ottenuto;
non solo, anche dal punto di vista retorico riesce
a persuadere i compagni del suo gruppo. Questi
costituiscono come una risorsa esterna che
consente una verifica sociale non pericolosa.
Essi possono valutare la validità della soluzione
al loro livello.
Salerno CIIM 2013
7
C’è anche un’altra risorsa esterna assai
importante in casi come questo: la lavagna sulla
quale è possibile disegnare, cancellare.
E’ meglio di un foglio di carta, perché libera da
suggestioni negative, anche se può rendere più
difficile all’insegnante avere traccia del percorso
di ricerca dell’alunno o degli alunni.
Oggi può essere usato un tablet come Ipad.
Salerno CIIM 2013
8
Ci sono altre risorse interne che sono messe in
moto e combinate tra loro in modo da portare
effettivamente alla soluzione?
Possiamo ipotizzarne varie: l’interesse per il
problema, sollecitato anche dal contesto
sociale e da un atteggiamento generale di
disponibilità a impegnarsi nell’attività di ricerca
in classe; la capacità di concentrarsi su un
compito per un tempo sufficientemente
prolungato; ecc.
Salerno CIIM 2013
9
Ai fini del nostro discorso, prendiamo in
considerazione un modello di competenza che
deriva dalle ricerche degli anni ottanta e
novanta del secolo passato da parte dei coniugi
Spencer (Spencer e Spencer, 1995).
Salerno CIIM 2013
10
Manifestazioni di
competenza
Contenuti culturali
(conoscenze, abilità)
Qualità personali
profonde (atteggiamenti)
Salerno CIIM 2013
11
Il nucleo profondo della persona è costituito da
qualità stabili che incidono su tutti i
comportamenti.
Si tratta di atteggiamenti, attribuzioni di valore,
significati e motivazioni, abiti di studio e di
lavoro, volizione e capacità di perseveranza,
ecc.
Queste qualità tendono a darsi una
caratterizzazione specifica nel settore
dell’apprendimento della matematica.
Salerno CIIM 2013
12
A un livello intermedio si colloca la qualità delle
conoscenze e delle abilità acquisite.
Conoscenze (fatti, concetti, definizioni, ecc.) che
sono caratterizzate da significatività, stabilità
fruibilità.
Abilità che sono caratterizzate da una loro
attivazione corretta e veloce quando ciò risulta
utile o necessario.
Salerno CIIM 2013
13
A un livello superficiale si hanno le
manifestazioni di competenza, cioè modalità
d’azione che possono essere osservate e
valutate sulla base di standard di riferimento
(uso di strumenti, soluzione di problemi,
ragionamenti matematici, ecc.).
Si tratta di saper valorizzare in maniera
integrata e funzionale le proprie risorse interne
e quelle esterne disponili per affrontare un
compito specifico.
Salerno CIIM 2013
14
La parte superficiale, quella comportamentale,
non è solo quella che consente di osservare e
valutare la parte più interna delle competenza
personale, ma anche è quella con cui possiamo
interagire direttamente nel contesto della nostra
attività di insegnamento.
Ricordiamo che insegnare significa organizzare
un contesto nel quale gli studenti possano (stato
di preparazione) e vogliamo (stato
motivazionale e volitivo) apprendere.
Salerno CIIM 2013
15
Qualcosa di analogo è stato considerato a
livello europeo nel contesto del Quadro delle
competenze chiave per l’apprendimento
permanente.
Salerno CIIM 2013
16
Competenza chiave nell’ambito della matematica
La competenza matematica è l’abilità di sviluppare e
applicare il pensiero matematico per risolvere una
serie di problemi in situazioni quotidiane.
Partendo da una solida padronanza delle competenze
aritmetico-matematiche, l’accento è posto sugli aspetti
del processo e delle attività oltre che su quelli della
conoscenza.
La competenza matematica comporta, in misura
variabile, la capacità e la disponibilità a usare modelli
matematici di pensiero (pensiero logico e spaziale) e di
presentazione (formule, modelli, costrutti, grafici,
carte).
Salerno CIIM 2013
17
Componenti della competenza matematica
Conoscenze, abilità e atteggiamenti essenziali legati a
tale competenza:
La conoscenza necessaria nel campo della matematica
comprende una solida conoscenza del calcolo, delle
misure e delle strutture, delle operazioni di base e
delle presentazioni matematiche di base, una
comprensione dei termini e dei concetti matematici e
una consapevolezza dei quesiti cui la matematica può
fornire una risposta.
Salerno CIIM 2013
18
Una persona dovrebbe disporre delle abilità per
applicare i principi e processi matematici di base nel
contesto quotidiano nella sfera domestica e sul
lavoro nonché per seguire e vagliare concatenazioni
di argomenti. Una persona dovrebbe essere in grado
di svolgere un ragionamento matematico, di cogliere
le prove matematiche e di comunicare in linguaggio
matematico oltre a saper usare i sussidi appropriati.
Un atteggiamento positivo in relazione alla
matematica si basa sul rispetto della verità e sulla
disponibilità a cercare motivazioni e a determinarne
la validità.
Salerno CIIM 2013
19
Consideriamo, per non rimanere nell’astratto,
alcune prestazioni (manifestazioni di
competenza) degli studenti alla fine del primo
biennio di scuola secondaria e cerchiamo di
considerarle, facendo riferimento alle tre
dimensioni prima considerate (superficiale,
intermedia, profonda).
Salerno CIIM 2013
20
D10. Qual è la metà del numero (1/2)50?
Omesse: 1,0
□ A. (1/2)50
scelta dal 19,8 %
□ B. (1/2)25
scelta dal 59,2 %
□ C. (1/2)51
scelta dal 12,1 %
□ D. (1/2)49
scelta dal 8,0 %
Salerno CIIM 2013
21
D.16 L’espressione 1037+1038 è anche uguale a
Omesse: 2,4
□ A. 1075
scelta dal 35 %
□ B. 107
scelta dal 1,9 %
□ C. 11 x 1037 scelta dal 22 %
□ D. 1037-38
scelta dal 38,7 %
Salerno CIIM 2013
22
D5. L’età della Terra è valutata intorno ai 4,5 x 10⁹ anni.
L’Homo Erectus è comparso circa 10⁶ anni fa.
Qual è la stima che più si avvicina all’età che la Terra
aveva quando è comparso l’Homo Erectus?
Omesse: 2,6
□ A. 4,5 x 10⁹ anni
scelta dal 10,2 %
□ B. 3,5 x 10⁹ anni
scelta dal 6,9 %
□ C. 4,5 x 10⁶ anni
scelta dal 23,2 %
□ D. 4,5 x 10³ anni
scelta dal 57,0 %
Salerno CIIM 2013
23
D5. Si sa che 210 = 1024. Quale tra le seguenti
potenze del 10 è quella che più si avvicina a 270?
Omesse: 6,2 %
□ A. 1024
scelta dal 12 %
□ B. 1021
scelta dal 34 %
□ C. 1014
scelta dal 22,1 %
□ D. 107
scelta dal 25,4 %
Salerno CIIM 2013
24
Si tratta di potenze, di potenze di 10 e di numeri
scritti secondo la notazione scientifica. La loro
conoscenza e l’abilità nel manipolarli hanno una
notevole importanza nel quadro della cultura
scientifica degli studenti, ma ancor più in quella
matematica.
Ma viene evocato anche un preciso abito di
lavoro: gestire la comprensione di un testo,
quello del problema posto.
Salerno CIIM 2013
25
Manifestazioni di
competenza (numerica)
Contenuti culturali
(potenze, potenze di 10
e notazione scientifica)
Qualità personali (abito di
lavoro nella lettura di testi)
Salerno CIIM 2013
26
Promuovere e valutare il nucleo profondo della
competenza matematica (atteggiamenti,
attribuzioni di valore, significati e motivazioni,
abiti di studio e di lavoro, volizione e capacità di
perseveranza, ecc.).
Qui dovrei lasciare la parola al Presidente della
CIIM, che ha studiato con cura varie dimensioni
di questo nucleo.
Alcune di esse sono caratteristiche generali della
persona, ma si colorano spesso nei riguardi della
matematica.
Salerno CIIM 2013
27
Gran parte di tali dimensioni si sviluppano sulla
base dell’esperienza vissuta sia in classe, sia in
famiglia, sia nell’ambiente socio-culturale di
appartenenza.
Una delle più significative conclusioni della
ricerca ha messo in luce l’importanza della
comprensione e le risonanze emozionali che
provoca il disorientamento quando non si
capisce e si diventa dipendenti dal giudizio
altrui (oltre che sentirsi estranei ai discorsi).
Salerno CIIM 2013
28
Sono stati evidenziati alcuni passaggi
fondamentali da curare con attenzione:
l’introduzione e l’utilizzo dei numeri decimali,
l’introduzione e l’utilizzo delle lettere e del
calcolo letterale, l’introduzione e la
valorizzazione del concetto di funzione e dei
suoi sviluppi successivi.
Salerno CIIM 2013
29
La loro valutazione può essere inferita
evidentemente solo a partire da una
osservazione attenta dei comportamenti
(linguistici e non linguistici), cioè delle
manifestazioni di competenza.
Salerno CIIM 2013
30
A livello intermedio si collocano gran parte
delle risorse fondamentali che entrano in gioco
quando si parla di competenze.
Rimane decisiva un’adeguata comprensione
dei concetti fondamentali, che però non è
basata solo su definizioni capite, ma
soprattutto su una loro costruzione progressiva
legata a esempi e controesempi e su un loro
utilizzo per descrivere e interpretare situazioni
sia interne alla matematica, sia alle scienze
(fisica in particolare), sia alla vita quotidiana.
Salerno CIIM 2013
31
I processi fondamentali evocati spesso (a
esempio in Svizzera, o dall’UMI) fanno parte di
questo livello
Salerno CIIM 2013
32
Numeri Geometria Grandezze e Funzioni Dati e
e calcolo
misure
probabilità
Sapere riconoscere e
descrivere
Eseguire e applicare
Utilizzare strumenti
Presentare e
comunicare
Matematizzare e
modellizzare
Argomentare e
giustificare
Interpretare e
riflettere
Salerno CIIM 2013
33
A esempio l’impianto svizzero indica alla fine del
primo ciclo per il processo utilizzare strumenti:
• utilizzare le funzioni più importanti di una calcolatrice
tascabile (in particolare +, –, ×, ÷, =, x², √x, 1/x, STO,
RCL, ( ), yx);
• utilizzare un foglio di calcolo per rappresentare una
serie di dati ed esplorare una situazione numerica;
• utilizzare tavole, formulari, opere di riferimento e
Internet per trovare una formula o una procedura
adeguate per risolvere dei problemi numerici.
Salerno CIIM 2013
34
Per quanto riguarda Presentare e comunicare
nell’ambito Numeri e calcolo:
• prelevare in modo pertinente e presentare in
modo comprensibile e utilizzabile da altri, dati
numerici adeguati su testi, schizzi, disegni, piani,
tabelle o diagrammi;
• esplicitare dei procedimenti risolutivi per
mezzo di frasi, di simboli aritmetici e algebrici, di
tabelle e di schizzi adeguati.
Salerno CIIM 2013
35
I processi evocati si sviluppano progressivamente
attraverso l’esercizio e dovrebbero alla fine della
scolarità diventare veri e propri abiti di lavoro
intellettuale, cioè disposizioni stabili a pensare, a
lavorare, a comunicare matematicamente.
Se si vogliono promuovere, occorre dare spazio
alla loro presentazione, sollecitazione, guida e
correzione progressiva (si tratta di un vero e
proprio apprendistato cognitivo).
La loro valutazione può essere inferita a partire
dalle manifestazioni di competenza.
Salerno CIIM 2013
36
Le manifestazioni di competenza.
Siamo a quello che abbiamo definito livello
superficiale più direttamente osservabile e
valutabile. Quello che abbiamo
precedentemente evocato a partire dalle prove
Invalsi.
A questo livello è necessario individuare almeno
alcuni fondamentali indicatori e relativi
standard.
Salerno CIIM 2013
37
Riprendiamo quindi alcune delle prestazioni
degli studenti registrate dalla prove Invalsi, o da
altre prove, per vedere come valorizzarle per
poter intervenire a un livello giusto di
profondità.
Indicatore di comprensione del concetto di
rapporto e delle sue forme di rappresentazione.
Salerno CIIM 2013
38
D.16 Nelle ultime elezioni svoltesi in un paese europeo è andato
a votare il 70% degli aventi diritto al voto.
Di questi il 20% ha votato per il partito A.
Quale percentuale di aventi diritto al voto ha votato per il partito
A?
Omesse: 2,0
□ A. 60%
scelta dal 2,3 %
□ B. 50%
scelta dal 24,0 %
□ C. 20%
scelta dal 34,9 %
□ D. 14%
scelta dal 36,3 %
Salerno CIIM 2013
39
Per verificare più in profondità il livello di
comprensione si può chiedere di trasformare il
problema usando invece delle percentuali le
frazioni e i decimali corrispondenti per poi
risalire alle percentuali:
70% = 7/10 = 0,7
20% = 2/10 = 0,2
20% x 70% = 7/10 x 2/10 = 14/100 = 14%
20% x 70% = 0,7 x 0,2 = 0,14 = 14%
Salerno CIIM 2013
40
Il nucleo concettuale è dato dal concetto di
rapporto, dalle sue forme di rappresentazione,
dalle sue applicazioni, dai suoi sviluppi nella
quadro della proporzionalità.
Sembra che alla fine del primo ciclo scolastico si
abbiano ancora non poche incertezze e
difficoltà.
D’altra parte su di esso si fonda buona parte
dello sviluppo della conoscenza matematica,
anche successiva (grandezze misurabili e loro
misura; grandezze commensurabili e
incommensurabili, proporzionalità, ecc., ecc.)
Salerno CIIM 2013
41
Esempi di questioni a fine 1° ciclo che segnalano
incertezze a vario livello
1) Un bicchiere contiene ¼ di litro di acqua. Se si
vuole riempire una bottiglia da 1,5 litri, quanti
bicchieri di acqua bisogna versare nella bottiglia?
2) A una certa ora di una giornata di dicembre,
un bastone lungo 1,5 m, piantato nel terreno
perpendicolarmente ad esso, proietta un’ombra
lunga 6 m. Alla stessa ora, un palo della luce
proietta un’ombra di 18 m. Quanto è alto il palo?
Salerno CIIM 2013
42
3) La catena di una bicicletta collega una ruota
dentata grande che ha 52 dentini a una ruota
dentata piccola che ha 13 dentini.
Quando la ruota dentata grande ha compiuto 8
giri, quanti ne ha compiuti quella piccola?
A) 8 giri
B) 16 giri
C) 24 giri
D) 32 giri
E) 48 giri
Salerno CIIM 2013
43
Per concludere: qualche riflessione sul problema
della valutazione delle competenze in generale.
Salerno CIIM 2013
44
Valutare significa confrontare i risultati attesi (ciò
a cui si dà valore) con le informazioni disponibili
circa quanto in realtà è stato appreso da parte
dei singoli studenti per trarne un giudizio che
dovrebbe soprattutto aiutare a impostare
l’azione di insegnamento (valutazione per
l’apprendimento)
Quali forme principali abbiamo a disposizione
per raccogliere tali informazioni?
Salerno CIIM 2013
45
1. Osservazioni occasionali: l’interazione
continua con gli studenti favorisce un giudizio di
massima, da confermare con altre evidenze.
2. Osservazioni sistematiche: sia perché si
esplorano le varie dimensioni
dell’apprendimento, sia perché lo si fa con tutti
in maniera pianificata.
3. Colloqui e interrogazioni: si tratta si
organizzare tali interazione verbali in maniera da
ricavare le informazioni attese (es. quali processi
risolutivi sono stati adottati)
Salerno CIIM 2013
46
4. Prodotti semplici: come brevi sondaggi, lavori
fatti a casa, test veloci.
5. Prodotti più impegnativi: come lavori scritti in
classe, test strutturati, risultati di indagini o di
produzioni personali o di gruppo
***
Nella elaborazione di un giudizio occorre
comunque tenere conto di tre polarità
fondamentali che entrano in gioco per favorire
la affidabilità e pertinenza del giudizio
Salerno CIIM 2013
47
Polo soggettivo
Polo oggettivo
Polo intersoggettivo
Salerno CIIM 2013
48
È anche utile ricordare alcune questioni.
a) Il concetto di competenza e le difficoltà
valutative conseguenti (cfr. indagini nel mondo
di lingua tedesca e in seno al Cedefop);
b) la competenza come variabile latente della
cui presenza e livello si può solo inferire a
partire da alcuni indicatori (misurabili);
c) la valutazione di conseguenza (e la
certificazione) non è mai un giudizio assoluto,
ma relativo alla qualità del processo e degli
strumenti usati.
Salerno CIIM 2013
49
Di conseguenza occorre tener conto in maniera
adeguata de:
a) la descrizione della competenza e del suo
livello;
b) la scelta degli indicatori e la loro funzionalità
rispetto al processo valutativo;
c) la utilizzazione operativa degli indicatori;
d) il processo inferenziale a partire dagli
indicatori ;
e) il consenso raggiunto sulla presenza e il livello
della competenza.
Salerno CIIM 2013
50
Grazie
Salerno CIIM 2013
51
Descrizione dei livelli
Livello 6
Gli studenti di 6° livello sono in grado di concettualizzare, generalizzare e utilizzare informazioni basate sulla propria analisi e modellizzazione di situazioni
problematiche complesse. Essi sono in grado di collegare fra loro differenti fonti d’informazione e rappresentazioni passando dall’una all’altra in maniera flessibile. A
questo livello, gli studenti sono capaci di pensare e ragionare in modo matematicamente avanzato. Essi sono inoltre in grado di applicare tali capacità di scoperta e di
comprensione contestualmente alla padronanza di operazioni e di relazioni matematiche di tipo simbolico e formale in modo da sviluppare nuovi approcci e nuove
strategie nell’affrontare situazioni inedite. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di esporre e di comunicare con precisione le proprie azioni e riflessioni
collegando i risultati raggiunti, le interpretazioni e le argomentazioni alla situazione nuova che si trovano ad affrontare
Livello 5 Livello 4 Livello 3 Livello 2 Livello 1
Gli studenti di 5° livello sono in grado di sviluppare modelli di situazioni complesse e di servirsene, di identificare vincoli e di precisare le assunzioni fatte. Essi sono
inoltre in grado di selezionare, comparare e valutare strategie appropriate per risolvere problemi complessi legati a tali modelli. A questo livello, inoltre, gli studenti
sono capaci di sviluppare strategie, utilizzando abilità logiche e di ragionamento ampie e ben sviluppate, appropriate rappresentazioni, strutture simboliche e formali e
capacità di analisi approfondita delle situazioni considerate. Essi sono anche capaci di riflettere sulle proprie azioni e di esporre e comunicare le proprie interpretazioni
e i propri ragionamenti.
Gli studenti di 4° livello sono in grado di servirsi in modo efficace di modelli dati applicandoli a situazioni concrete complesse anche tenendo conto di vincoli che
richiedano di formulare assunzioni. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e di integrare fra loro rappresentazioni differenti, anche di tipo simbolico, e di metterle in
relazione diretta con aspetti di vita reale. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di utilizzare abilità ben sviluppate e di ragionare in maniera flessibile, con una
certa capacità di scoperta, limitatamente ai contesti considerati. Essi riescono a formulare e comunicare spiegazioni e argomentazioni basandosi sulle proprie
interpretazioni, argomentazioni e azioni.
Gli studenti di 3° livello sono in grado di eseguire procedure chiaramente definite, comprese quelle che richiedono decisioni in sequenza. Essi sono in grado, inoltre, di
selezionare e applicare semplici strategie per la risoluzione dei problemi. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di interpretare e di utilizzare rappresentazioni
basate su informazioni provenienti da fonti differenti e di ragionare direttamente a partire da esse. Essi riescono a elaborare brevi comunicazioni per esporre le proprie
interpretazioni, i propri risultati e i propri ragionamenti.
Gli studenti di 2° livello sono in grado di interpretare e riconoscere situazioni in contesti che richiedano non più di un’inferenza diretta. Essi sono in grado, inoltre, di
trarre informazioni pertinenti da un’unica fonte e di utilizzare un’unica modalità di rappresentazione. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di servirsi di
elementari algoritmi, formule, procedimenti o convenzioni. Essi sono capaci di ragionamenti diretti e di un’interpretazione letterale dei risultati.
Gli studenti di 1° livello sono in grado di rispondere a domande che riguardino contesti loro familiari, nelle quali siano fornite tutte le informazioni pertinenti e sia
chiaramente definito il quesito. Essi sono in grado, inoltre, di individuare informazioni e di mettere in atto procedimenti di routine all’interno di situazioni
esplicitamente definite e seguendo precise indicazioni. Questi studenti sono anche capaci di compiere azioni ovvie che procedano direttamente dallo stimolo fornito.
Salerno CIIM 2013
52
Gli studenti di 4° livello sono in grado di servirsi in
modo efficace di modelli dati applicandoli a
situazioni concrete complesse anche tenendo conto di
vincoli che richiedano di formulare assunzioni. Essi
sono in grado, inoltre, di selezionare e di integrare fra
loro rappresentazioni differenti, anche di tipo
simbolico, e di metterle in relazione diretta con aspetti
di vita reale. A questo livello, gli studenti sono anche
capaci di utilizzare abilità ben sviluppate e di
ragionare in maniera flessibile, con una certa capacità
di scoperta, limitatamente ai contesti considerati. Essi
riescono a formulare e comunicare spiegazioni e
argomentazioni basandosi sulle proprie
interpretazioni, argomentazioni e azioni.
Salerno CIIM 2013
53
Gli studenti di 3° livello sono in grado di eseguire
procedure chiaramente definite, comprese quelle
che richiedono decisioni in sequenza. Essi sono in
grado, inoltre, di selezionare e applicare semplici
strategie per la risoluzione dei problemi. A questo
livello, gli studenti sono anche capaci di
interpretare e di utilizzare rappresentazioni basate
su informazioni provenienti da fonti differenti e di
ragionare direttamente a partire da esse. Essi
riescono a elaborare brevi comunicazioni per
esporre le proprie interpretazioni, i propri risultati
e i propri ragionamenti.
Salerno CIIM 2013
54