Laboratorio
“Matematica dell’incerto”
Anno scolastico 2010/11
Liceo Scientifico
LICEO SCIENTIFICO con opzione SCIENZE APPLICATE
Liceo Classico
“Federico Quercia”
Marcianise
La Matematica dell’Incerto
Nel mondo in cui viviamo gli eventi incerti sono molto più frequenti
di quelli certi o impossibili. È in situazioni di incertezza che si devono
fare scelte e prendere decisioni.
Quindi è importante familiarizzare con l’idea che un avvenimento
può essere possibile, senza per questo essere certo.
Da qui nasce la necessità di sviluppare uno strumento per misurare
questa incertezza che chiamiamo Teoria della Probabilità. Dove
per probabilità si intende la misura del grado di fiducia in un evento.
Il laboratorio
L’obiettivo del nostro laboratorio è stato quello di avvicinare gli
alunni al concetto di incertezza matematica e, quindi, al concetto di
probabilità stimolando la loro curiosità e chiedendo la soluzione di
problemi, legati alla realtà, il cui esito non può essere previsto in
anticipo.
Gli alunni divisi in gruppi hanno realizzato esperimenti, raccogliendo
dati, su cui si sono poi basate le discussioni per l’interpretazione dei
risultati ottenuti. Per meglio comprendere l’andamento di alcune
situazioni si sono anche realizzati simulazioni al computer.
Infine, si sono anche studiate e discusse alcune problematiche che
più volte sono state affrontate nella storia della matematica come il
calcolo di aree e la determinazione di
.
Il laboratorio
Le attività del laboratorio sono state divise in 5 fasi nel seguente
modo:
Fase 1: Test sull’intuizione probabilistica (2h)
Fase 2: Studio di un caso pratico (Lancio di dadi) e simulazioni al
computer (4h)
Fase 3: Ricerca sulla Storia della Probabilità (4h)
Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede con il Metodo di
Montecarlo (2h)
Fase 5: Calcolo di
 con il metodo dell’Ago di Buffon (2h)
Fase 1: intuizione del concetto di probabilità
L’obiettivo di questa fase è stato quello di arrivare alle varie
definizioni di probabilità, rispondendo in maniera intuitiva a quesiti e
problemi su cui poi si è discusso tutti insieme.
Questo modo di lavorare ci ha permesso di guardare la matematica
da un punto di vista più pratico e meno teorico e di acquisire un
metodo di lavoro di gruppo, aumentando inoltre le nostre
conoscenze.
Fase 1: intuizione del concetto di probabilità
Alla fine dopo la discussione tra di noi e sotto la guida del professore
siamo arrivati alla distinzione tra le tre definizioni di probabilità.
Definizione classica
Probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero f dei casi
favorevoli e il numero n degli eventi possibili cioè:
P(E)= f/n
0 < P(E) <1
Gli eventi devono avere tutti la stessa probabilità di accadere, cioè
essere equiprobabili.
Fase 1: intuizione del concetto di probabilità
Definizione frequentistica
Relativamente ad un esperimento A, che può essere osservato molte
volte, la probabilità di un evento E è il valore a cui tende il rapporto
tra il numero di prove che hanno avuto esito favorevole ad E ed il
numero totale di prove fatte.
Anche in questo caso 0 < P(E) <1
Fase 1: intuizione del concetto di probabilità
Definizione soggettiva
Né il modello classico né il modello statistico sono in grado di dare
valutazioni di probabilità su eventi che ci coinvolgono direttamente o
che non possono essere ripetuti nelle stesse condizioni.
Ad esempio non è possibile stabilire chi vincerà fra quattro giocatori
di una partita di poker, perché ogni partita è diversa dall’altra e
anche la fortuna gioca un ruolo importante. Inoltre non ha senso
parlare di rapporto fra casi favorevoli e casi possibili, perché questo
significherebbe dire che ogni giocatore ha esattamente le stesse
possibilità di vincere.
La probabilità diventa in questo caso una misura della fiducia che
noi riponiamo nel fatto che si verifichi o meno un certo evento; tale
fiducia si può misurare in termini di somma di denaro che il soggetto
che sta valutando la probabilità è disposto a versare in anticipo per
poter ricevere una quota maggiore se l’evento si verifica.
Fase 1: intuizione del concetto di probabilità
Definizione soggettiva
La probabilità di un evento E è rappresentata dal rapporto fra
il prezzo P che un individuo ritiene giusto di pagare e la
somma S che ha diritto di avere in cambio se l’evento si
verifica.
P(E)= P/S
Esempio: Enrico è disposto a pagare 40 Euro per ricevere 100 Euro
se Mario vince la gara di sci
P(E)= 40/100 = 2/5 = 0,4
40%
Anche questo modo di concepire la probabilità dà origine ad un
numero compreso tra 0 e 1, perché si suppone che la somma che si
è disposti ad anticipare sia, in caso di esito favorevole, inferiore o
tutt’al più uguale a quella che si vincerà.
Fase 1: intuizione del concetto di probabilità
"... non ha senso parlare della probabilità di un evento se non in
relazione all'insieme di conoscenze di cui una persona dispone. ... La
probabilità soggettiva è quindi un aiuto per dare un'attendibile
misura di ciò che non si può misurare oggettivamente"
Bruno De Finetti (1906 - 1985),
Filosofia della Probabilità.
Fase 2: Studio del Lancio di Dadi
In questa fase del laboratorio si sono formati due gruppi. Ogni gruppo
ha portato avanti due esperienze diverse, tutte relative agli eventi
legati al lancio di dadi.
In un primo tempo, ciascun gruppo ha effettuato le esperienze
ripetendo 30 volte il lancio dei dadi e riportato i risultati ottenuti in una
tabella, da cui si sono ricavate le frequenze relative di ogni evento.
Si sono poi individuati gli spazi degli eventi per ciascun caso in esame,
stabilendo così il numero di casi favorevoli e la probabilità dell’evento.
Per completare le esperienze si sono realizzate delle simulazioni al
computer utilizzando Excel. Per simulare il lancio dei dati nei fogli Excel
si è utilizzata la funzione CASUALE.TRA(1;6) che restituisce un
numero intero compreso nell’intervallo specificato. Si è simulato il
lancio dei dadi per circa 400 volte e si sono calcolate poi le frequenze
assolute e relative per ciascun evento.
Fase 2: Studio del Lancio di Dadi
I GRUPPO
“Qual è la probabilità che esca almeno un sei lanciando due dadi
contemporaneamente?”
1
2
3
4
5
6
1
(1;1)
(1;2)
(1;3)
(1;4)
(1;5)
(1;6)
2
(2;1)
(2;2)
(2;3)
(2;4)
(2;5)
(2;6)
3
(3;1)
(3;2)
(3;3)
(3;4)
(3;5)
(3;6)
4
(4;1)
(4;2)
(4;3)
(4;4)
(4;5)
(4;6)
5
(5;1)
(5;2)
(5;3)
(5;4)
(5;5)
(5;6)
6
(6;1)
(6;2)
(6;3)
(6;4)
(6;5)
(6;6)
Eventi possibili = 36
Eventi favorevoli = 11
Probabilità dell’uscita del 6 = 11/36
Per tutti i numeri la probabilità è la stessa
Fase 2: Studio del Lancio di Dadi
II GRUPPO
“Qual è la probabilità che lanciando due dadi contemporaneamente su
entrambe le facce non compaia il numero sei?”
1
2
3
4
5
6
1
(1;1)
(1;2)
(1;3)
(1;4)
(1;5)
(1;6)
2
(2;1)
(2;2)
(2;3)
(2;4)
(2;5)
(2;6)
3
(3;1)
(3;2)
(3;3)
(3;4)
(3;5)
(3;6)
4
(4;1)
(4;2)
(4;3)
(4;4)
(4;5)
(4;6)
5
(5;1)
(5;2)
(5;3)
(5;4)
(5;5)
(5;6)
6
(6;1)
(6;2)
(6;3)
(6;4)
(6;5)
(6;6)
Eventi possibili = 36
Eventi favorevoli = 25
Probabilità del evento = 25/36
Per tutti i numeri la probabilità è la stessa
Fase 2: Studio del Lancio di Dadi
Frequenze assolute – Lancio di due dadi
“Qual è la probabilità che nel lancio dei due dadi la somma dei
numeri sia 6?”
I Gruppo
Eventi possibili = 36
Eventi favorevoli = 5
Probabilità dell’evento P(6) = 5/36
L’evento con probabilità maggiore è che la somma sia 7 P(7)=6/36
“Qual è la probabilità che nel lancio di tre dadi la somma dei numeri
sia 6?”
II Gruppo
Eventi possibili = 246
Eventi favorevoli = 42
Probabilità dell’evento P(6) = 42/246 = 7/41
Fase 3: Ricerca Storica
Questa fase è stata dedicata allo sviluppo storico della Teoria della
Probabilità.
Si è partiti nell’analizzare le motivazioni e le questioni che hanno
portato allo sviluppo di questa parte della matematica, concentrando
poi la nostra attenzione sulle figure dei matematici che hanno
contributo allo sviluppo della matematica dell’incerto.
Lo sviluppo del Calcolo delle Probabilità si fa generalmente risalire alle
corrispondenze epistolari tra Pascal e Fermat della metà del 1600, ma
alcuni problemi riguardanti giochi d’azzardo erano già stati studiati
precedentemente.
Ad esempio, Luca Pacioli aveva trattato un problema di probabilità nel
suo libro “Summa de arithmetica”, stampato a Venezia nel 1494, anche
se trovò una soluzione errata.
Fase 3: Ricerca Storica
Alla fine del 1500, inizi del 600, Gerolamo Cardano e Galileo Galilei si
cimentarono nella soluzione di alcuni problemi di calcolo delle
probabilità legati al gioco dei dadi. Il concetto di fenomeno casuale è
però molto antico; esso risale agli antichi filosofi materialisti greci, ad
es., è trattato nel “De rerum natura” di Lucrezio. La casualità è ripresa
anche nella “Fisica” da Aristotele.
Nel corso dell’800 si ebbe l’apporto di tanti altri matematici come
Simeon-Denis Poisson (1781-1840) e Karl Friedrich Gauss (17771855). Nel 900, infine, il Calcolo delle Probabilità ha avuto uno
sviluppo travolgente e costituisce una delle parti trainanti della
Matematica moderna.
I risultati della ricerca storica effettuata sono stati inseriti in una
ulteriore presentazione PowerPoint.
Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede
Teorema di Archimede
L’area del segmento parabolico ABVA è uguale ai 2/3 dell’area del
rettangolo ABCD
A
D
B
V
C
Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede
Metodo di Montecarlo
In molti casi pratici il calcolo dell’area di una regione di piano non è
facile (ad esempio l’area di una macchia). Il metodo Monte Carlo, che
sfrutta le capacità di calcolo iterativo di un elaboratore, può fornire
almeno un valore approssimativo della misura cercata.
L’area da determinare può
essere espressa mediante un
sistema di disequazioni. Si
racchiude l’area da calcolare
in un quadrato di lato unitario
(cosa sempre possibile con
una opportuna scelta delle
unità di misura).
Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede
Supponiamo ora di disporre di due sequenze di numeri casuali
distribuiti nell’intervallo (0;1) e consideriamo il punto P di coordinate
(x;y) con x e y appartenenti rispettivamente alle due sequenze
casuali e guardiamo se la coppia (x;y) soddisfa le disequazioni che
definiscono l’area interessata.
Ripetendo l’operazione un numero
molto grande di volte (legge dei
grandi numeri) il rapporto fra il
numero di punti che cadono
internamente all’area (casi
favorevoli) e il numero totale di
tentativi (casi possibili)
approssima l’area considerata.
Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede
Per la verifica del teorema si è realizzato un foglio Excel. Una parte del
foglio è dedicata alla costruzione del grafico di una parabola con
vertice nell’origine, di equazione y=ax2.
Un’altra parte invece genera delle coppie di numeri casuali che
vengono interpretati come coordinate in un piano cartesiano. Le
ordinate di questi punti casuali vengono confrontate con quelle
ottenute dall’equazione della parabola nel seguente modo
se y < ax2 il punto è esterno alla parabola
se y ≥ ax2 il punto è interno alla parabola
Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede
Il rapporto tra il numero di punti che cadono all’interno dell’arco di
parabola e il numero totale di punti totali approssima sempre meglio il
valore 2/3 al crescere dei punti generati.
Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di
Buffon
E’ noto che il numero  = 3.14… rappresenta il rapporto tra la
lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro.
Con il metodo dell’ago di Buffon è possibile determinare
sperimentalmente il valore di
.
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate
tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L ≤ d) si getta
a caso sul piano.
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate
tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta
a caso sul piano.
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate
tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta
a caso sul piano.
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate
tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta
a caso sul piano.
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate
tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta
a caso sul piano.
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate
tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta
a caso sul piano.
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Si può dimostrare che la probabilità, che un ago intersechi una linea
orizzontale, è p = 2L/d
Se si tira l’ago n volte e si conta il numero m delle volte che esso
finisce su una delle linee, si ha approssimativamente che il rapporto
m/n non varia apprezzabilmente per n sufficientemente grande. Il
valore di m/n può essere assunto come la probabilità che l’ago
intersechi la linea.
Dunque, si ha m/n ≈ 2L/d ,
da cui si ottiene
 ≈ 2Ln/md ;
questa relazione fornisce una valutazione sperimentale del valore di
.
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Per realizzare la simulazione con il foglio Excel bisogna individuare un
criterio per stabilire se un ago incontra o no una linea orizzontale.
Poniamo:
HM  y
AMˆ C  x
Con M punto medio di AB
Un ago interseca una delle rette solo
se risulta soddisfatta la condizione
y < AC , cioè se
L
y  sin x
2
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Quindi l’evento E: ”l’ago interseca una delle rette”, ammette come casi
favorevoli quelli dati dalla relazione
y < (L/2)sin x
mentre l’insieme dei casi possibili è definito dalle condizioni
0≤ x ≤
 e 0 ≤ y ≤ (d/2)
Interpretando geometricamente in un piano (x,y) le precedenti
considerazioni, la probabilità dell’evento E, risulta dal rapporto fra
l’area sottesa dalla curva di equazione y = (L/2)sin x e l’area del
rettangolo di dimensioni

e d/2
Fase 5: Calcolo di
Buffon
 con il metodo dell’Ago di
Realizzato da
Bizzarro Giuseppe – 4^C
Capuano Girolamo – 4^F
Laurenza Pasquale – 4^C
Lieto Raffaele – 3^C
Marino Pietro – 4^C
Piccolo Antonio – 3^C
Piccolo Luigi – 4^C
Russo Gaspare – 4^C
Vitale Fabio – 4^C
Vitale Pasquale – 4^C
Referente : Prof. Vincenzo Serafino