Maurits Cornelis Escher
1898-1972
Il periodo italiano
La tassellatura del piano
Il nastro di Moebius
Il disco di Poincarè
L’effetto Droste
Le figure impossibili
Altre opere
Il periodo italiano
I
Maurits Cornelis Escher è stato un grafico e pittore olandese.
A 24 anni, nel 1922, iniziò a visitare l’Europa. A Ravello conobbe Jetta Umiker,
svizzera. Si sposarono nel 1924 e si stabilirono a vivere a Roma fino al 1935.
In questo periodo viaggiò molto in Italia e
molte sue opere ritraggono paesaggi italiani
di grande bellezza.
Il periodo italiano
II
I suoi viaggi non sono quelli del turismo tipico dei nostri giorni. Per visitare
l’Abruzzo è partito a piedi ed è stato via un mese, dormendo spesso ospite
di povera gente in piccoli paesi dell’Appennino.
A causa del clima politico sempre più pesante sotto la dittatura fascista,
decide di trasferirsi. Va a vivere in Belgio alla fine del 1935, e poi in Olanda nel
1941.
Il periodo italiano
III
Il paesaggio nordeuropeo non è quello italiano:
Escher smette di dipingere ciò che si trova fuori da lui
e inizia a rappresentare quello che si trova dentro di lui.
Ogni volta che Escher ha avuto un’ispirazione ha passato settimane a pensare
a come sviluppare la sua idea prima di decidersi a iniziarne la realizzazione.
Nell’osservare un’opera di Escher provate a chiedervi sempre:
1) Come gli sarà venuto in mente?
2) Come avrà fatto?
Vi accorgerete che non basta avere avuto una idea, ma serve un’ottima
preparazione di matematica e di geometria per riuscire a raffigurare
efficacemente l’idea che aveva avuto.
Tassellatura del piano
Cos’è una tassellatura?
Un esempio di tassellatura è il pavimento, con le sue piastrelle quadrate. Le
varie tessere non si devono sovrapporre né lasciare spazi vuoti.
I pavimenti più comuni sono fatti da quadrati. Altri hanno mattonelle
triangolari o esagonali.
Pentagonali no! Non è possibile tassellare il pavimento con dei pentagoni.
Tassellatura del piano
le tassellature periodiche
Nel 1926 Escher inizia a viaggiare per l’Europa. Va in Spagna e visita
l’Alhambra, magnifica residenza moresca di Granada costruita nel 1238.
Gli Arabi non possono rappresentare immagini umane per divieto religioso e
dunque si specializzano in decorazioni geometriche.
Escher rimane incantato dalla simmetria
di tali decorazioni e questi studi
influenzeranno moltissimo la sua arte.
Le tassellazioni arabe sono periodiche,
ossia si ripetono in tutte le direzioni.
E’ possibile, mediante uno spostamento
rigido ottenere sempre lo stesso disegno
in tutte le direzioni.
Tassellatura del piano
Tassellature non periodiche
Ci si chiede se è possibile trovare tassellature non periodiche, ossia che non si
ripetano uniformemente in tutte le direzioni.
Penrose, matematico ancora vivente, scopre due tessere, la punta e
l’aquilone, che permettono di tassellare il piano in maniera non periodica.
Il lato del rombo è il rapporto aureo!
Tassellatura del piano
Le tassellature di Escher
Escher gioca con le tassellature in modo
innovativo, alternando spazi negativi a
spazi positivi.
Tassellatura del piano
Le tassellature di Escher
Alcune delle opere più conosciute di Escher che riguardano la tassellatura
sono le metamorfosi, nelle quali piccole variazioni cambiano totalmente il
tipo di tassellatura a distanza di 20 o 30 cm.
Le metamorfosi sono alte una ventina di centimetri e lunghe fino a 8 metri.
Vale la pena perdere un po’ di tempo per studiarne tutte le variazioni.
Il paese rappresentato è Atrani,
in Campania.
Il nastro di Moebius
Cos’è il nastro di Moebius?
Il nastro di Moebius è uno
strano oggetto solido.
Infatti:
1) Ha una faccia sola.
2) Ha un bordo solo.
3) Se lo si taglia in due
longitudinalmente si
ottiene un solo nastro
(che non è di Moebius).
PROVIAMO!
Il riciclaggio dei rifiuti e la
pura lana vergine hanno
come simbolo il nastro
di Moebius.
Il nastro di Moebius
Escher e il nastro di Moebius
Escher rappresenta una
formica che percorre un
nastro di Moebius
andando sempre in
avanti.
Dopo avere fatto tanta
strada (andando sempre
in avanti) la formica si
ritrova al punto di
partenza!
Il disco di Poincarè
Euclide
Euclide (300 a.c.) fu un matematico greco. Il suo libro “Elementi” è il libro più
letto nella storia dopo la Bibbia.
Negli “Elementi” Euclide raccoglie e ordina le conoscenze della geometria
della Grecia antica; ancora oggi, dopo 23 secoli, la didattica della
geometria fino alla seconda superiore è ancora quella descritta da Euclide!
Euclide decide di costruire la geometria basandosi su 3 enti fondamentali
(punto, retta, piano), e su 5 assiomi:
1. E’ possibile tracciare una retta per due punti qualunque.
2. E’ possibile prolungare una linea retta.
3. E’ possibile costruire una circonferenza di raggio e centro qualunque.
4. Gli angoli retti sono tra loro congruenti.
5. Data una retta e un punto esterno a essa esiste un’unica retta parallela a
quella data passante per il punto esterno.
Il disco di Poincarè
Il quinto postulato di Euclide
A partire da questi enti e assiomi Euclide costruisce 465 teoremi, ossia 465
risultati che è possibile dedurre logicamente dagli assiomi.
Uno, ad esempio, è: “La somma degli angoli in un triangolo qualunque è un
angolo piatto.” Tutti questi teoremi sono ancora oggi utilizzati.
I matematici ebbero dubbi sul quinto postulato. La domanda che i matematici
si posero era: Non se ne potrebbe fare a meno? A Euclide per primo
probabilmente non piaceva granché, infatti lo utilizzò il minimo
indispensabile. Intorno al 1600 molti matematici cercarono di cambiare il
postulato, per vedere cosa sarebbe successo se non fosse stato vero.
I modo: Data una retta e un punto esterno a essa non esistono rette parallele
a quella data passanti per il punto esterno.
II modo: Data una retta e un punto esterno a essa esistono infinite rette
parallele a quella data passanti per il punto esterno.
Il disco di Poincarè
Geometria ellittica e iperbolica
Quinto postulato di Euclide
Data una retta e un punto esterno a essa esiste un’unica retta parallela a quella
data passante per il punto esterno.
Geometria Euclidea
I modo: Data una retta e un punto
esterno a essa non esistono rette
parallele a quella data passanti
per il punto esterno.
II modo: Data una retta e un punto
esterno a essa esistono infinite rette
parallele a quella data passanti per il
punto esterno.
Geometria ellittica
Geometria iperbolica
Il disco di Poincarè
Geometria iperbolica
Come fanno a esserci infinite rette parallele a una retta data passanti per un
punto esterno a essa? Non ha senso!
Certo. Non ha senso nel piano Euclideo, quello che si è abituati a vedere dalle
scuole medie.
Cambiamo allora il piano. Il piano è sempre infinito, ma lo rappresentiamo
come un DISCO.
Cambiamo anche le rette. Sono sempre infinite, ma le rappresentiamo come
SEGMENTI CURVI, che partono e arrivano sul bordo del disco.
Mano a mano che ci si avvicina al bordo del disco ci si avvicina all’infinito.
Cambiamo anche la distanza. Due segmenti sono congruenti anche se a noi
sembrano diversi: più ci si avvicina al bordo del disco (e quindi più si va
verso l’infinito) più i segmenti sembrano piccoli. Ma in realtà sono
congruenti.
Il disco di Poincarè
Il software Non Euclid
Per capire meglio come funziona il disco di Poincarè utilizziamo il programma
Non Euclid.
Per prima cosa notiamo come allontanandoci dal centro i segmenti sembrano
più piccoli.
Poi proviamo che valgono i primi 4 assiomi della geometria euclidea:
1. E’ possibile tracciare una retta per due punti qualunque.
2. E’ possibile prolungare una linea retta.
3. E’ possibile costruire una circonferenza di raggio e centro qualunque.
4. Gli angoli retti sono tra loro congruenti.
Si noti invece che il quinto invece non vale! Ci sono infatti infinite rette
parallele a una retta data passanti per un punto esterno a essa.
ATTENZIONE: nel modello iperbolico la somma degli angoli interni di un
triangolo fa meno di 180°!
Il disco di Poincarè
Rappresentazioni di Escher I
Ecco uno dei modi in cui Escher
ha rappresentato il disco di
Poincarè.
Gli animali rappresentati hanno
tutti la stessa dimensione,
anche se sembrano di
dimensioni diverse.
Il quadrato al centro ha 4 angoli
minori di 90°.
Gli animali raffigurati sono
platelminti, e testimoniano
la passione di Escher anche
per la biologia.
Il disco di Poincarè
Rappresentazioni di Escher II
In quest’altro dipinto
Escher mette insieme
due cose:
1 – Disco di Poincarè
2 – Tassellatura del piano
Il piano tassellato stavolta
non è il piano euclideo
ma il piano iperbolico.
Per tassellare il piano
Escher ha utilizzato
angeli e demoni di
dimensioni congruenti.
L’effetto Droste
Griglie I
Si è visto che segmenti che
sembrano non congruenti in
realtà nella metrica speciale
del disco di Poincarè lo sono.
Escher sfrutta questo
concetto per costruire griglie
che, al contrario del disco di
Poincarè, hanno l’infinito al
centro.
Purtroppo al centro non si può
ricondurre l’infinito a un
punto solo, serve una (per
quanto piccola)
circonferenza.
Un piccolo buco, insomma.
L’effetto Droste
Griglie II
La griglia qui accanto, in
particolare, è stata
utilizzata per costruire
uno dei più originali
quadri di Escher, la
Galleria di stampe.
Peccato per il buco nel
mezzo che rovina il
dipinto.
No, Escher sa come
riempirlo!
L’effetto Droste
La galleria di stampe
Nel paese (La Valletta –
Malta) che nel
dipinto è a destra c’è
un sottoportico che
contiene una galleria
di dipinti (di Escher).
Il visitatore a sinistra sta
guardando un dipinto
che contiene il paese
che contiene la
galleria di stampe!
Al centro: la firma di
Escher. MCE.
Le figure impossibili
Il triangolo di Penrose
Il triangolo di Penrose è una figura
solida che nella realtà non può
esistere. Gli angoli a 90° sono
messi in maniera tale che la
figura non dovrebbe
“chiudersi”.
Escher sfrutta questo paradosso
nella cascata infinita.
Le figure impossibili
La cascata infinita
Se l’acqua scorresse in piano e poi
cadesse non avremmo più
problemi di energia elettrica!
Cercate di vedere dove sono i
triangoli impossibili: ce ne sono
due.
Gli strani solidi sopra le colonne
testimoniano la passione di
Escher per la geometria; le
strane piante in basso a destra
la passione per la biologia.
Nel video “Angel” di Lionel Richie
una bella ragazza si fa la doccia
sotto la cascata infinita.
Le figure impossibili
Il triangolo impossibile II
Oooops! L’hanno costruito! East Perth – Australia.
Le figure impossibili
La scala infinita I
La scala di Penrose, detta
scala infinita, è di
ispirazione a Escher per
il quadro omonimo.
Nella scala di Penrose qui
accanto raffigurata si
sale (o si scende) per 14
gradini per tornare al
gradino di partenza.
Meglio di un tapis roulant!
Le figure impossibili
La scala infinita II
La normalità dell’edificio
nasconde bene
l’assurdità della figura.
I gradini percorsi dai
viandanti sono una
cinquantina.
Anche questa struttura si
basa sul triangolo
impossibile.
Nel film “Inception” di
Christopher Nolan è
Leonardo di Caprio a
salire su una scala
infinita.
Le figure impossibili
Il cubo di Necker
Il cubo di Necker è un’altra figura
impossibile.
E’ evidente che non può essere
costruito in alcun modo nel mondo
reale, ciò nonostante può essere
raffigurato.
Escher utilizza questa struttura per la
costruzione de “Il belvedere”.
Le figure impossibili
Il belvedere I
Questo simpatico belvedere,
guardandolo meglio, mostra
l’assurdità della sua struttura.
I due piani sono perpendicolari tra loro,
ma si trovano uno sopra l’altro!
Sono le colonne del piano inferiore a
produrre l’effetto ottico: da davanti
passano a dietro e viceversa.
La scala sotto è dentro, sopra è fuori.
In basso uno strano tipo in costume
medievale studia il cubo di Necker,
il cui progetto giace sul pavimento.
Le figure impossibili
Il belvedere II
Ecco la ricostruzione de “Il belvedere” con il lego.
Le figure impossibili
Concavo e convesso
Ciò che a destra è sopra a
sinistra è sotto, e
viceversa.
Ciò che a destra è in fuori
a sinistra è in dentro,
e viceversa.
La bandiera a destra
rappresenta proprio il
concavo e il convesso:
i cubi sono in dentro o
in fuori?
Oggi per ricorrere a tali
effetti si utilizza la
computer graphics.
Le figure impossibili
Relatività I
Nel mondo della relatività
ci sono 3 centri di
gravità, ognuno a 90°
dall’altro.
Ognuno degli abitanti del
quadro è attratto da
uno dei centri ed è
indifferente agli altri
due.
Questo dipinto è stato
utilizzato come
scenografia nel film
fantastico “Labirinth”
con David Bowie.
Le figure impossibili
Relatività II
Ecco la ricostruzione di “Relatività” con il lego.
Le figure impossibili
Autoreferenzialità
La contraddizione principale in
“Mani che disegnano” è che
ognuna delle mani sta
disegnando l’altra.
Le mani sono tridimensionali e i
polsini delle camicie
bidimensionali. La terza
dimensione viene creata dal
nulla a partire dalla seconda
dimensione.
In realtà anche le mani sono
bidimensionali: sono
rappresentate su un foglio di
carta!
Le figure impossibili
Google
Anche Google ha celebrato Escher con un “Doodle” nel 2003.
Per farlo ha preso ispirazione dall’opera “Mani che disegnano”.
Le figure impossibili
Dimensioni
Ci sono tre sfere:
- La superiore è in tre
dimensioni.
- La media è per metà
tridimensionale e per metà
bidimensionale.
- La inferiore è bidimensionale.
In realtà sono tutte e tre
bidimensionali: sono
rappresentate su un foglio di
carta!
Escher, giocando con le
dimensioni, ci comunica che
ogni disegno è illusione.
Le figure impossibili
Su e giù
In “su e giù” c’è un
unico punto di fuga,
e si trova al centro
del dipinto.
Tale punto di fuga è lo
zenit per la parte
inferiore e il nadir
per la parte
superiore.
La parte superiore e
quella inferiore
rappresentano la
stessa scena da
punti di vista diversi.
Il problema era legare le
parti inferiore e
superiore in maniera
armonica: cosa
mettere nella parte
centrale dell’opera?
Il collegamento è il
pavimento che è
anche soffitto.
La colonna a destra ha
finestre rivolte in
direzioni opposte.
Le figure impossibili
Rettili
Il foglio di carta
mostra una
tassellazione
formata da tanti
piccoli draghi.
Alcuni di questi si
stufano di essere
bidimensionali ed
escono dal foglio
per poi rientrarvi.
Si noti il dodecaedro,
uno dei cinque
solidi platonici.
Altre opere
Mano con riflesso sferico
In questo autoritratto Escher
rappresenta sé stesso nel suo
studio.
Il suo studio è al di fuori della sfera,
ma è raffigurato all’interno di
essa.
Si noti che sono visibili tutte e 4 le
pareti dello studio.
L’opera è stata realizzata proiettando
il suo studio su una sfera. La
proiezione non è quella
ortogonale studiata alle medie!
Escher ha utilizzato questo tipo di
proiezione anche in altre sue
opere.
Altre opere
Giorno e notte
In quest’opera c’è un asse di simmetria, verticale, al centro di essa. Il
paesaggio rappresentato nella parte destra è identico a quello
rappresentato nella parte sinistra.
La simmetria è spezzata dal colore (a sinistra è giorno e a destra è notte).
Gli uccelli in volo emergono dalla tassellatura a campi coltivati della pianura.
Altre opere
Altro mondo
La stessa scena è rappresentata da
tre punti di vista diversi.
Escher utilizza come modello per
l’uccello stilizzato un
soprammobile di circa 10 cm in
legno che tiene sulla sua
scrivania.
In realtà non è la stessa immagine
vista da tre punti di vista
diversi! Sapete dire il perché?
Altre opere
Tre mondi
I tre mondi rappresentati sono:
- Il mondo subacqueo (il pesce)
- Il piano dell’acqua (le foglie
galleggianti)
- Ciò che si trova sopra l’acqua ( gli
alberi di cui si vede il riflesso).
Altre opere
Liberazione
La struttura fissa (tassellatura a
triangoli bianchi e neri) della parte
inferiore del rotolo di carta si
trasforma.
Dai triangoli spuntano figure irregolari,
bianche e nere, che diventano poi
uccelli.
Alla fine questi uccelli, liberi, volano
via.
Dalla materia inerte nasce la vita. Può
essere vista come una
rappresentazione dell’evoluzione
Darwiniana.
Altre opere
Legame di unione
Un uomo e una donna
sono rappresentati
con un unico nastro.
Il nastro, oltre a essere
unico per raffigurare
le due persone, in un
punto si intreccia con
sé stesso.
Altre opere
Incontro
Qui si tratta il tema dell’accettazione del diverso.
Tanto diversi gli uomini bianchi e neri non sono: vengono tutti e due dallo
stesso posto, dalla tassellatura del piano che è nello sfondo. Nel piano
tassellato sullo sfondo però non potevano incontrarsi.
Anche in quest’opera
oggetti bidimensionali
escono dal piano e
diventano
tridimensionali.
E’ una immagine
ottimistica, ma la
stessa tecnica può
essere utilizzata per
arrivare a conclusioni
opposte!
Altre opere
Predestinazione
Dalla tassellatura del piano emergono due tipi di figure: uccelli bianchi e pesci
neri.
L’uccello bianco non sa che fine farà fino a che non incontra il pesce nero.
Anche noi, come gli
uccelli bianchi, non
conosciamo il nostro
destino.
E’ già stato scritto o
possiamo influire su di
esso in qualche modo?
Altre opere
Occhio
Forse in parte
possiamo
influire.
Il nostro
destino
finale è
comunque
già dentro di
noi.
Nei nostri
occhi.