Tutoraggio Elettromagnetismo e Ottica – 2015 – 1
A cura di:
Marzia Nardi
Andrea Beraudo
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1
Dimostrare che la corrente di spostamento fra le armature di un condensatore piano può essere scritta
come is = C(dV /dt). Trascurare gli effetti di bordo. Dimostrare che la corrente di spostamento è
uguale alla corrente di conduzione nel circuito esterno al condensatore.
Supponiamo di voler osservare l’esistenza della corrente di spostamento, misurandone l’entità, facendo
uso di un condensatore piano a cui venga applicata una differenza di potenziale alternata di forma
sinusoidale. Le armature siano circolari, con un raggio di 2 cm, poste a distanza di 0.1 mm. Il valore di
picco V0 della differenza di potenziale sia 150 kV e la sua frequenza 50 Hz. Trovare il valore massimo
della corrente di spostamento fra le armature.
2
Un lungo solenoide rettilineo ha n spire, di raggio R, per unità di lunghezza. Una corrente alternata I(t) = I0 sin ωt fluisce attraverso di esso. Trovare il campo elettrico e la densità di corrente di
spostamento (modulo e direzione) in funzione del tempo e della distanza r dall’asse del solenoide.
3
Un circuito oscillante è costituito da un condensatore con capacità C, un’induttanza L di resistenza trascurabile ed un interruttore collegati in serie. Con l’interruttore aperto il condensatore viene
caricato ad una d.d.p. V0 ed al tempo t = 0 l’interruttore viene chiuso. Trovare:
(a) la corrente I(t) nel circuito in funzione del tempo;
(b) l’energia elettrica Ue (t), l’energia magnetica Um (t) e la loro somma;
(c) la f.e.m. ai capi dell’induttore in un istante t′ in cui Ue (t′ ) = Um (t′ ).
4
In un circuito RLC in serie (C = 10 µF, L = 25 mH, R = 1.0 Ω) quanti periodi di oscillazione sono
necessari affinché l’ampiezza della corrente diminuisca di un fattore η = e?
5
Lo spazio tra le armature di un condensatore piano è riempito di un materiale dielettrico uniforme non
perfettamente isolante, con conducibilità elettrica σ, costante dielettrica ε e permeabilità magnetica
µ ≃ µ0 . Le armature del condensatore sono circolari di raggio R e separate da una distanza d.
Trascurando gli effetti di bordo, determinare il campo magnetico in funzione del tempo tra le armature
ad una distanza r dall’asse se la tensione ai capi del condensatore varia come V (t) = V0 cos ωt.
Infine, ponendo σ = 0, verificare che i risultati ottenuti sono in accordo con quelli del problema visto
a lezione.
6
Si consideri un circuito RCL in serie in condizioni di smorzamento debole. Qual è la differenza
percentuale tra la frequenza delle oscillazioni libere ν di tale circuito e la sua frequenza di risonanza
ν0 se il fattore di merito (o di qualità) è Q = 5 ?
Assumendo che ν0 = 3 kHz, in quanto tempo l’ampiezza delle oscillazioni di corrente diminuisce di un
fattore η = 2 ?
7
Un solenoide di induttanza L e resistenza R viene collegato, al tempo t = 0, ad un generatore di f.e.m.
alternata V (t) = V0 cos ωt. Trovare la corrente in funzione del tempo.
(Facoltativo) Con l’aiuto di un calcolatore, assegnare dei valori numerici a L, R, ω e V0 e disegnare il
grafico della corrente in funzione del tempo.
8
Un circuito RLC in serie è alimentato da un generatore di f.e.m. di ampiezza V0 la cui frequenza può
essere variata a piacere. Alle frequenze angolari ω1 e ω2 l’ampiezza della corrente è η volte minore
dell’ampiezza della corrente alla risonanza. Trovare, in funzione di η, ω1 e ω2 :
(a) la pulsazione di risonanza;
(b) il fattore di merito del circuito.
9
Si consideri un condensatore con le armature circolari di raggio R = 18.2 cm e collegato ad un
generatore di f.e.m V = V0 sin ωt, dove V0 = 225 V ed ω = 128 rad/s. Il valore massimo della
corrente di spostamento sia is,m = 7.63 µA.
(a) Qual è il valore di picco della corrente di conduzione nel circuito ?
(b) Qual è la distanza d tra le armature del condensatore ?
(c) Qual è il valore massimo di dΦE /dt, dove ΦE è il flusso del campo elettrico attraverso la regione
tra i piatti?
10
In un circuito RLC in serie, in ogni ciclo una frazione x = 0.015 dell’energia elettromagnetica viene
dissipata in calore. Si calcoli il valore di R se L = 50 mH e C = 2.0 µF.
Risultati
=
1. imax
s
2π 2
2
d ε0 R V0 ν
= 5.24 mA
2. per r ≤ R: E(r, t) = − 12 µ0 nI0 ωr cos ωt, js (r, t) = 21 ε0 µ0 nI0 ω 2 r sin ωt,
2
2
per r > R: E(r, t) = − 21 µ0 nI0 ω Rr cos ωt, js (r, t) = 21 ε0 µ0 nI0 ω 2 Rr sin ωt,
diretti tangenzialmente rispetto ad una circonferenza di raggio r coassiale al solenoide. (È sottinteso
che il solenoide è formato da un filo elettricamente neutro)
3. (a) I(t) = −V0
√
±V0 / 2
4. N =
lnη
2π
q
4L
R2 C
q
C
L
sin ωt; (b) Utot = CV02 /2, Ue (t) = Utot cos2 ωt, Um (t) = Utot sin2 ωt; fi (t′ ) =
− 1 = 15.9
εω
(direz. tangenziale) con φ = arctan
σ

√

µ
V
r

0
0

ε2 ω 2 + σ 2
2d
B0 (r) =

2√

 µ0 V0 R ε2 ω 2 + σ 2
2dr
5. B(r, t) = B0 (r) cos(ωt + φ)
6.
∆ν
ν0
=1−
7. i(t) =
q
1−
1
4Q2
= 0.5%, tη =
√ V0
[cos(ωt
R2 +L2 ω 2
Q
πν0
e
per r ≤ R
per r > R
ln η = 0.37 ms .
φ = arctan Lω
R . (Un solenoide con resistenza R è
− φ) − cos φ e−Rt/L ],
equivalente ad un solenoide ideale (con resistenza nulla) collegato in serie ad una resistenza R)
8. (a) ω0 =
√
ω1 ω2 ; (b) Q =
9. (a) 7.63 µA; (b) d =
10. R ≃
x
2π
q
L
C
p
ω1 ω2 (η 2 − 1)/(ω1 − ω2 )2
πε0 R2 V0 ω
is,m
= 0.377 Ω
= 3.48 mm; (c)
is,m
ε0
= 8.62 · 105 Vm
s
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11
Un’onda elettromagnetica piana di pulsazione ω = 6.0 · 1014 rad/s si propaga nel vuoto lungo l’asse
y. Essa è polarizzata linearmente con il campo E che forma un angolo θ = 45◦ con il piano yz ed ha
ampiezza E0 = 1.4·103 V/m. Scrivere l’equazione dell’onda per il campo elettrico, il campo magnetico
ed il vettore di Poynting.
12
È dato un solenoide molto lungo nel quale la corrente cresce linearmente da 0 a I nel tempo τ .
Il numero di spire per unità di lunghezza del solenoide è n. Si consideri all’interno del solenoide,
nella sua parte centrale, una superficie cilindrica chiusa, coassiale ad esso, di raggio r e lunghezza ℓ.
Determinare
(a) intensità e direzione del vettore di Poynting per i punti della superficie;
(b) l’energia W che attraversa la superficie nell’intervallo di tempo τ , confrontandola con l’energia
del campo magnetico contenuto nel volume V delimitato dalla superficie stessa, quando la corrente ha
raggiunto il valore I.
13
Il campo magnetico in una regione di spazio ha la seguente espressione (lo spazio è misurato in m, il
tempo in s):
B(x, y, z, t) = 2 · 10−6 (ux + 2uy ) cos (2x − y + 2z) · 10−3 − 6 · 105 t
T.
(a) Dimostrare che si tratta di un’onda e.m.; calcolarne la velocità di propagazione, la lunghezza
d’onda e la frequenza.
(b) Calcolare il campo elettrico ed il vettore di Poynting; specificare lo stato di polarizzazione.
(c) Calcolare l’intensità media dell’onda.
14
15
16
Il circuito in figura è in condizioni stazionarie, con l’interruttore
nella posizione S1 . Gli elementi del circuito sono R = 100 Ω, L = 1
H e Vc = V0 = 100 V.
All’istante t = 0 l’interruttore viene portato nella posizione S2 ,
inserendo nel circuito il condensatore di capacità C = 50 µF (inizialmente scarico) ed il generatore di tensione alternata Va (t) =
V0 cos ωt, con ω = 100 rad/s. Calcolare la corrente nel circuito in
funzione del tempo.
Un’onda e.m. armonica piana di intensità I = 4.2 W/m2 e di frequenza ν = 10 MHz, si propaga nel vuoto nel verso positivo dell’asse
delle x. L’onda è polarizzata linearmente secondo l’asse y.
(a) Calcolare la lunghezza d’onda λ.
(b) Scrivere le espressioni del campo elettrico e di quello magnetico dell’onda sapendo che nell’istante t = 0 il campo elettrico nel
punto di coordinate (5.3 m, 6 cm, 0.7 m) vale 4 V/m.
(c) Un circuito quadrato di lato a = λ/4 è disposto come mostrato
in figura. Si determini, in funzione del tempo, la f.e.m. nel circuito
in due modi: i) tramite il campo elettrico, ii) tramite il campo
magnetico e la legge di Faraday.
R
L
S1
Vc
C
Va
S2
y
a
z
x
Un condensatore piano con armature circolari di raggio a, distanti d e poste nel vuoto, caricato alla
d.d.p. V0 , viene lasciato scaricare attraverso un resistore di resistenza R. Si consideri una superficie
Σ di forma cilindrica, interna al condensatore e coassiale con esso, di raggio r ≪ a e lunghezza ℓ ≤ d;
calcolare l’ energia totale U che fluisce attraverso di essa durante la scarica. Verificare che l’energia
trovata coincide con l’energia elettrostatica iniziale immagazzinata nel volume racchiuso da Σ.
Risultati
11. E(y, t) = 990 (ux + uz ) cos 2 · 106 y − 6 · 1014 t + φ V/m (x, y in metri, t in secondi; φ è una fase
costante arbitraria), B(y, t) = 3.3 · 10−6 (ux − uz) cos 2 · 106 y − 6 · 1014 t + φ T,
S(y, t) = 5.2 · 103 uy cos2 2 · 106 y − 6 · 1014 t + φ W/m2
2
2
n rI
12. (a) P(r, t) = − µ02τ
t ur ; (b) W = 21 πµ0 r 2 n2 I 2 ℓ =
2
1
2
2µ0 B (τ )V
= WM
4
−3
13. (a) v = 2 · 108 m/s,
· 10 Hz; (b) posto α = (2x
− y + 2z) · 10 − 6 ·
λ = 2.09 km, ν = 9.55
2
5
4
u − 3√
u − 3√
u cos α V/m, S = 3.18 · 103 23 ux − 31 uy + 23 uz cos2 α
105 t :
E = 894 3√
5 x
5 y
5 z
W/m2 ; polarizzazione lineare; (c) I¯ = 1.59 · 103 W/m2 .
14. i(t) = I0 e−γt cos(ωl t − α) + Ip cos(ωt − ϕ), dove: I0 = 0.756 A, γ = 50 s−1 , ωl = 132 rad/s, α = 0.848
rad, Ip = 0.707 A, ϕ = −π/4 rad
15. (a) λ = 30 m; (b) Posto α ≡ 0.209 x − 6.28 107 t + 0.390 (x in m, t in s):
E(x, t) = (56.3 uy cos α) V/m, B(x, t) = (0.188 uz cos α) µT;
√0 sin( π −ωt+0.390) = 597 sin( π −
(c) Scegliendo il verso di circuitazione in senso orario: fem (t) = 2λE
4
4
2
ωt + 0.390) V
16. U =
ε0 πr 2 ℓV02
.
2 d2
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17
Un fascio di luce con polarizzazione circolare destrorsa e lunghezza d’onda λ = 632 nm è puntato in
direzione verticale verso l’alto (asse z). Il fascio di luce ha diametro d = 5 mm ed è approssimabile
con un’onda piana. Il campo elettrico ha ampiezza E0 = 50 kV/m. L’onda si propaga nel vuoto.
(a) Scrivere le espressioni dei campi E e B sapendo che per t = 0 e z = 0 il campo elettrico è diretto
nel verso positivo dell’asse y.
(b) Calcolare l’espressione del vettore di Poynting e verificare che è indipendente dal tempo e dallo
spazio (proprietà delle onde e.m. piane con polarizzazione circolare).
(c) Calcolare l’intensità e la potenza del fascio.
Si vuole mantenere in equilibrio nel campo gravitazionale terrestre un cilindretto di polistirolo espanso
(densità ρ = 30 kg/m3 ) di diametro inferiore a quello del fascio, per mezzo della pressione di radiazione.
(d) Quale deve essere l’altezza H del cilindretto assumendo che la sua superficie sia perfettamente
riflettente?
18
Un osservatore è situato a 8 m da una sorgente di onde e.m. che irradia in modo uniforme in tutte le
direzioni. L’intensità del segnale misurato dall’osservatore è di 1.24 W/m2 . Calcolare:
(a) la potenza della sorgente;
(b) i valori massimi dei campi elettrico e magnetico misurati dall’osservatore;
(c) a che distanza dalla sorgente è situato un altro osservatore che misura un valore efficace del
campo magnetico pari a 1 µT
19
Una particella atomica, con carica e = 1.602 · 10−19 C e massa m = 9.109 · 10−31 Kg, compie oscillazioni libere con frequenza ν = 3 · 1016 Hz e ampiezza (iniziale) A0 = 2 · 10−10 m. Calcolare il tempo
necessario affinché la particella
(a) dimezzi la sua energia;
(b) riduca l’ampiezza delle oscillazioni di un fattore η = 10.
20
Un fascio di luce con intensità I incide su una superficie piana formando un angolo θ con la normale.
Determinare la pressione P esercitata dalla radiazione nell’ipotesi che una frazione a dell’energia
luminosa incidente venga assorbita.
21
Un osservatore si trova a 1.8 m da una sorgente di luce puntiforme. La sorgente emette una potenza
P = 250 W. Calcolare l’intensità dell’onda ed i valori efficaci dei campi elettrico e magnetico nel punto
di osservazione. Si assuma che la sorgente irradi in modo isotropo.
22
Sia P la potenza totale media emessa da un dipolo oscillante nel vuoto. Trovare la densità media (nel
tempo) di energia elettromagnetica a distanza r ≫ λ = c/ν (zona di radiazione) e in una direzione
che forma un angolo θ con l’asse del dipolo. Indicare in quali direzioni tale densità è massima o
minima.
23
Determinare che polarizzazione ha l’onda e.m. che si ottiene sovrapponendo due onde armoniche
piane, con la stessa lunghezza d’onda, che si propagano nel vuoto nella stessa direzione, entrambe con
polarizzazione circolare, una sinistrorsa e l’altra destrorsa,
(a) se hanno la stessa ampiezza, ma la seconda è in ritardo di una fase φ rispetto alla prima;
(b) se hanno la stessa fase, ma le loro intensità sono I1 = I ed I2 = 4I.
Risultati
6
15
17. (a) E = 50(−ux sin α + uy cos α) kV
m , avendo posto α = 9.94 10 z − 2.98 10 t (z in m, t in s),
B = 0.167(−ux cos α − uy sin α) mT .
E2
2I
2
(b) S = µ00c uz = 6.64 MW
m2 uz . (c) I = 6.64 MW/m , W = 130.3 W. (d) H = cgρ = 0.15 mm
18. (a) P = 997 W; (b) E0 = 30.6 V/m, B0 = 1.02 · 10−7 T; (c) d = 0.58 m
19. Posto α =
e2 ω 2
6πǫ0 mc3 :
(a) t1/2 =
1
α
ln 2 = 3.1 · 10−12 s; (b) t =
20. P = (2 − a) Ic cos2 θ
21. I = 6.14 W/m2 , Eeff = 48.1 V/m, Beff = 1.60 10−7 T
22. w(r, θ) =
3P0
8πr 2 c
sin2 θ.
23. (a) Polarizzazione lineare; (b) polarizzazione ellittica.
2
α
ln η = 2.1 · 10−11 s
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24
Il campo elettrico in una regione di spazio (vuoto) è dato dall’espressione: E(x, t) = uz E0 sin(kx) cos(ωt)
con E0 = 10 V/m, k = 10−3 π rad/m. Descrivere le caratteristiche di tale campo, in particolare determinare i punti in cui l’ampiezza è massima e quelli in cui è minima. Determinare il campo magnetico
B ad esso associato. Calcolare infine il vettore di Poynting ed il suo valor medio nel tempo.
25
Consideriamo un modello classico dell’atomo di idrogeno, in cui l’elettrone (carica e = 1.602 · 10−19
C, massa m = 9.109 · 10−31 kg) compie un’orbita circolare di raggio r0 = 0.53 · 10−10 m attorno al
protone (di massa molto maggiore). A causa dell’accelerazione a cui è sottoposto, l’elettrone emette
onde e.m., la sua energia perciò diminuisce ed il raggio dell’orbita cambia.
(a) Calcolare velocità e accelerazione dell’elettrone, la sua energia totale e la potenza emessa per
irraggiamento in funzione della distanza r dal protone (trascurare la componente radiale della velocità).
(b) Ricavare un’equazione differenziale che determini la variazione di r nel tempo.
(c) Risolvere l’equazione diferenziale trovata, con la condizione iniziale r(0) = r0 .
(d) Calcolare in quanto tempo il raggio dell’orbita dell’elettrone si annulla.
(e) Quale conseguenza possiamo ricavare da questo risultato?
26
Nell’esperimento di Compton (1923) un sottile fascio monocromatico di raggi X incide su un bersaglio
di carbonio; analizzando a vari angoli θ mediante uno spettrometro di Bragg lo spettro delle radiazioni
trasmesse dal carbonio, si trova che ovunque questo è composto da due righe: una avente la stessa
lunghezza d’onda λ del fascio incidente (entro l’errore sperimentale), l’altra una lunghezza d’onda λ′
leggermente diversa e variabile in funzione dell’angolo θ. Calcolare ∆λ = λ′ −λ a θ = 0◦ , 45◦ , 90◦ , 180◦
e spiegare l’origine delle due righe.
27
In un esperimento sull’effetto fotoelettrico il potenziale di arresto viene misurato per diverse frequenze
della luce incidente. I dati sono riportati nella tabella.
Si ponga in diagramma il potenziale di arresto come ordinata, in
ν (1014 Hz) V0 (V)
funzione della frequenza della luce come ascissa. Dal grafico si
7.8
0.11
determini:
7.9
0.16
(a) la frequenza di soglia;
8.1
0.25
(b) il valore della costante di Planck;
8.6
0.46
(c) il lavoro di estrazione fotoelettrico del metallo;
8.7
0.49
(d) il potenziale di arresto per elettroni emessi illuminando la
superficie con luce di λ = 200 nm.
28
Un sottile fascio di raggi X, di lunghezza d’onda λ = 9 pm, incide su un bersaglio di carbonio. I
raggi diffusi sono osservati ad un angolo θ = 54◦ rispetto alla direzione del fascio incidente. Calcolare
la lunghezza d’onda λ′ dei raggi X diffusi dagli elettroni liberi a quest’angolo, le energia W e W ′ dei
fotoni incidenti e diffusi, l’energia cinetica Te′ dell’elettrone di rinculo e l’angolo φ al quale può venire
osservato.
29
Una sorgente di luce monocromatica di lunghezza d’onda λ = 4000 Å estrae fotoelettroni da un
metallo. Gli elettroni entrano in un campo magnetico d’intensità 64 µT, ortogonale alla loro traiettoria di estrazione, nel quale percorrono orbite circolari. Il raggo dell’orbita più larga è 5.14 cm.
Calcolare il lavoro di estrazione del metallo. (Trascurare la perdita di energia per irraggiamento)
30
Un fotone di energia ǫ = 1 keV viene diffuso da un protone a riposo. Il protone ha velocità finale
vp = 500 m/s. Determinare:
(a) l’angolo di diffusione del fotone finale e la sua lunghezza d’onda;
(b) l’angolo φ tra la direzione del fotone incidente e la velocità del protone finale.
Massa del protone: mp = 1.673 10−27 kg, costante di Planck: h = 6.626 10−34 J s
Esercizi di ripasso
31
Le armature di un condensatore a facce piane e parallele, di superficie S, vengono allontanate fra loro
con velocità costante v dalla distanza iniziale d0 . Durante il movimento vengono mantenute connesse
a un generatore di forza elettromotrice costante pari a V0 .
(a) Determinare la densità di corrente di spostamento nel condensatore in funzione del tempo
trascurando possibili effetti di bordo, e indicarne la direzione rispetto al vettore campo elettrico.
(b) Le due armature del condensatore, caricate alla d.d.p. V0 , vengono staccate dal generatore e
collegate ai capi di una resistenza R: scrivere la carica Q(t) presente sulle armature in funzione del
tempo, assumendo nuovamente che esse si allontanino con velocità v partendo dalla distanza d0 .
32
Un circuito RLC in serie ha un fattore di merito Q = 60 e la frequenza di risonanza è ν0 = 100 Hz.
Se viene collegato ad un generatore di corrente alternata con frequenza ν = 150 Hz, quanto vale lo
sfasamento tra tensione e corrente nel circuito? La corrente è in ritardo o in anticipo rispetto alla
tensione?
Risultati
24. Onda stazionaria lungo l’asse x, lunghezza d’onda λ = 2 km, frequenza ν = 1.5 105 Hz, nodi: xn = n
km (n = 0, ±1, ±2, . . .), ventri: xn = 0.5(2n + 1) km;
B(x, t) = uy B0 cos(kx) sin(ωt) , con B0 = 3.3 10−8 T, il campo B ha nodi dove E ha ventri e viceversa;
0 B0
= 66.4 mW/m2 , S cambia verso in modo oscillante: il
S(x, t) = −ux S0 sin(2kx) sin(2ωt), S0 = E4µ
0
valor medio nel tempo è 0
25. Posto, per comodità, κ =
e2
4πε0
: a) v =
q
q
2
κ
mr ,
3
dr dU
4κ
b) dr
r03 −
dt = dU dt = − 3c3 m2 r 2 ; c) r(t) =
e) l’atomo, secondo la fisica classica, ...
a=
4κ2
c3 m2 t ;
v2
r
d)
κ
2κ3
κ
mr 2 , U (r) = − 2r , P (r) = 3c3 m2 r 4 ;
r 3 m2 c3
t0 = 04κ2 = 1.56 · 10−11 s;
=
26. ∆λ(0◦ ) = 0, ∆λ(45◦ ) = 0.71 pm, ∆λ(90◦ ) = 2.43 pm, ∆λ(180◦ ) = 4.86 pm; la componente con
lunghezza d’onda invariata è dovuta a diffusione su elettroni legati
27. (a) ν0 = 7.5 1014 Hz; (c) Le = 3 eV; (d) V0 = 3 V
28. λ′ = 10 pm, W = 0.138 MeV, W ′ = 0.124 MeV, Te′ = 14 KeV, φ = 57◦
29. 2.15 eV
30. (a) θ = 103◦ , λ′ = 1.24 nm; (b) φ = 38.5◦
31. (a) Posto E =
V0
d0 +vt uz
V0 v
si ha js (t) = − (dε00+vt)
2 uz , verso opposto a E; (b) Q(t) =
32. φ = 1.55 rad, in ritardo.
Sε0 V0
d0
n
2
+2vtd0
exp − (vt)
2ε0 RSv
o
.
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33
Facendo incidere un raggio di luce in un recipiente riempito d’acqua (n = 1.333) e
il cui fondo è formato da un emisfero di plexiglas (vedere figura) si nota che, con la
sorgente S posizionata in modo che il raggio passi per il centro O formando un angolo
acqua
di 37◦ con la verticale, si ha riflessione totale all’angolo critico in corrispondenza della
O
superficie acqua-aria.
(a) Determinare l’indice di rifrazione del plexiglas.
(b) Se si toglie l’acqua dal recipiente, mantenendo inalterata la posizione della S 37◦
sorgente S, la luce attraversa la superficie plexiglas-aria?
34
Una moneta giace sul fondo di una vasca d’acqua profonda d e con indice di rifrazione n. Dimostrare
che i raggi di luce inclinati rispetto alla normale di un angolo piccolo sembrano provenire da un punto
apparente distante dapp = d/n dalla superficie.
35
Il dispositivo mostrato in figura è formato dall’unione di due prismi retti, con α = 45◦ , e con indici di
rifrazione rispettivamente n1 = 1.4 ed n2 = 1.7. Il mezzo esterno è aria (n = 1). Un fascio sottile di
luce monocromatica incide perpendicolarmente sulla faccia A del primo prisma. Calcolare:
(a) il rapporto tra le intensità del raggio riflesso e di quello
α
n1
A
incidente sulla faccia A;
α
(b) l’angolo ψ che il raggio uscente dalla faccia B forma con la
normale;
ψ
(c) quale dovrebbe essere il minimo valore di n2 (con n2 > n1 , n1
α
fisso) affinché non ci sia il raggio uscente dalla faccia B.
α
n2
B
36
Una sorgente puntiforme di luce viene calata in acqua (n = 1.333) ad una profondità h.
(a) Quanto vale h se il raggio di luce emesso a 40◦ con la verticale viene osservato in un punto a
distanza orizzontale d = 4 m dalla sorgente e altezza H = 1 m rispetto alla superficie dell’acqua?
Sia θm l’angolo di incidenza massimo per cui la luce può uscire dall’acqua:
(b) Quanto vale θm ?
(c) Se sulla superficie dell’acqua si versa un sottile strato di olio, qual è il valore dell’indice di
rifrazione dell’olio affinché θm = 60◦ ?
37
Un raggio luminoso incide sulla base di un cilindro circolare retto di materiale trasparente con indice
di rifrazione nv , l’indice di rifrazione del mezzo esterno (aria) sia 1. Affinché il raggio venga trasmesso
lungo il cilindro (per qualunque angolo di incidenza sulla base) subendo riflessione totale sulla parete
laterale, si determini:
(a) il valore minimo di nv ;
(b) il valore minimo di nv qualora il cilindro venga rivestito lateralmente da
una guaina con indice di rifrazione ng = 1.52;
(c) il valore massimo dell’angolo di incidenza se ng = 1.52 e nv = 1.66.
38
Un’onda e.m. piana incide su una particella libera (carica elettrica e = 1.602 · 10−19 C, massa m =
9.109 · 10−31 Kg) e la mette in oscillazione. Qual è il rapporto σ tra l’energia irradiata dalla particella
in tutte le direzioni e l’energia dell’onda che incide sull’unità di area ? (Si trascuri l’azione del campo
magnetico dell’onda).
Supponiamo ora che l’onda piana, di intensità I0 = 10 W/m2 , attraversi una regione di spazio occupata
da un gas di particelle libere dello stesso tipo : se dopo aver percorso una distanza L = 200 m l’intensità
dell’onda si è ridotta a I1 = 9 W/m2 , qual è la densità del gas ? (Si trascurino le interazioni tra le
particelle).
Esercizi di ripasso
39
Un fotone di energia ǫ viene diffuso ad angolo θ da una particella di massa m, inizialmente a riposo.
Determinare l’energia ∆ǫ persa dal fotone e l’energia cinetica Ek acquistata dalla particella in funzione
di ǫ e θ. Quali sono i valori minimo e massimo di Ek e a quale angolo di diffusione θ (del fotone uscente)
corrispondono?
40
Una cellula fotoelettrica con catodo di potassio è inserita in un circuito nel quale, mediante un potenziometro, si può applicare una d.d.p. V tra il catodo C e l’anodo A; l’intensità della corrente I è
letta con il galvanometro G. Se si illumina il catodo con la luce gialla prodotta da una lampada al
sodio (λ1 = 589 nm) si nota che il valore minimo V01 per cui I = 0 è 0.361 V; illuminando con una
lampada al mercurio (λ2 = 253.7 nm), si trova V02 = 3.146 V. Assumendo nota la carica dell’elettrone
calcolare la costante di Planck h, il lavoro di estrazione Φ0 del potassio, la lunghezza d’onda massima
λ0 , ovvero la frequenza minima ν0 , capace di produrre effetto fotoelettrico sul potassio. Calcolare
infine l’energia cinetica massima Tm e la velocità massima vm (in approssimazione non relativistica)
con cui l’elettrone esce dal potassio nei due casi.
Risultati
33. (a) npl = 1.66; (b) no
35. a) R = 0.0278; b) ψ = asin
√
2n22 −n21 −n1
2
= 16.1◦ ; c) n2,min =
q
n21 + 2n1 + 2 = 2.6
36. (a) h = 2.79 m; (b) θm = 48.6◦ ; (c) nolio = 1.15
37. (a) nvmin =
e4
= 6.65
6πǫ20 m2 c4
· 1024 particelle/m3
38. σ =
7.9
q
√
2; (b) nvmin = n2g + 1 = 1.82; (c) θimax = 41.8◦
· 10−29 m2 (sezione d’urto Thomson); I(L) = I1 = I0 e−nσL , n =
1
σL
ln II01 =
39. Ek = ǫ2 (1 − cos θ)/[mc2 + ǫ(1 − cos θ)], Ekmin = 0 per θ = 0, Ekmax = 2ǫ2 /(mc2 + 2ǫ) per θ = π
40. Φ0 = 1.746 eV, ν0 = 0.42 1015 Hz, λ0 = 711 nm, Tm,1 = 5.78 · 10−20 J = 0.361 eV, vm,1 = 0.36 106
m/s, Tm,2 = 5.04 · 10−19 J, vm,2 = 1.05 106 m/s
Tutoraggio Elettromagnetismo e Ottica – 2015 – 6
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41
Partendo dalla relazione
N e2
,
me ε0 ω 2
valida nel caso in cui la frequenza caratteristica del mezzo ω0 sia molto minore della frequenza della
radiazione incidente, determinare la velocità di gruppo vg , nel limite in cui N e2 /(ǫ0 me ω 2 ) sia piccolo.
Verificare che tale quantità è effettivamente piccola se confrontata con l’unità nella regione dei raggi
X. Confrontare la velocità di fase e la velocità di gruppo con c.
n2 = 1 −
42
Due fasci paralleli e coerenti di luce rossa monocromatica di laser He-Ne (λ = 632.8 nm) si propagano
nel vuoto e vengono sovrapposti cosı̀ da interferire. Una sottile lastra di vetro (n = 1.575) viene
inserita sul percorso di uno dei due fasci, che l’attraversa perpendicolarmente, e si osserva che il
massimo centrale della figura di interferenza (osservata su uno schermo) si sposta nella posizione
occupata in precedenza dalla frangia chiara di ordine 5. Verso quale parte, rispetto ai due fasci, si
spostano le frange? Qual è lo spessore della lastra di vetro?
43
Due sorgenti puntiformi A1 e A2 trasmettono nel vuoto in modo isotropo, con la stessa potenza media
W = 10 W, onde sferiche monocromatiche di lunghezza d’onda λ = 20 cm. Nel piano equatoriale delle
sorgenti le onde sono polarizzate linearmente con il campo elettrico perpendicolare alla figura.
Le onde sono coerenti e la differenza di fase di emissione ∆φ tra A1 e A2 può
essere cambiata con continuità.
d1
A1
Se un ricevitore R è disposto a distanza d1 = 100 cm da A1 e d2 = 90 cm da
A2 , quanto deve valere ∆φ (definita tra 0 e 2π) affinché il ricevitore registri
A2
R
un massimo di intensità? Qual è l’intensità media osservata?
d2
44
Una pellicola di spessore d = 273 nm e indice di rifrazione n = 1.74 viene illuminata con luce bianca
(400 nm < λ < 780 nm) ad incidenza normale. Calcolare la lunghezza d’onda della luce corrispondente
alla colorazione dominante della pellicola quando viene osservata in trasmissione e in riflessione.
45
In un dispositivo di Young in aria la distanza tra le fenditure è d = 120 µm e lo schermo dista L = 254
mm dalle fenditure. Illuminando con luce monocromatica si osserva che la distanza sullo schermo tra
i due massimi di ordine N = 8 vale h = 21 mm.
Calcolare la lunghezza d’onda della luce incidente e la distanza tra due minimi successivi. Descrivere
come variano le posizioni dei massimi e dei minimi se il dispositivo viene immerso in acqua (n =
1.33).
46
Della luce bianca, emessa da una sorgente S con lunghezze d’onda comprese tra λ1 = 390 nm e
λ2 = 780 nm, incide perpendicolarmente sulla faccia AB del prisma illustrato in figura (ϕ = 45◦ )
costituito di un materiale trasparente la cui legge di dispersione è n(λ) = α + β/λ2 (Formula di
Cauchy), con α = 1.4, β = 4.6 · 103 nm2 .
(a) Dimostrare che il fascio non subisce allargamento all’interno del prisma.
C
(b) Determinare quali lunghezze d’onda vengono riflesse totalmente dalla
ϕ
faccia AC.
(c) Il colore della luce che giunge all’osservatore O tende al blu o al rosso?
O
(d) Si calcoli l’angolo minimo (e quello massimo) di rifrazione del raggio luϕ
minoso sulla faccia AC. Disegnare approssimativamente il fascio in uscita dalla
B
A
suddetta faccia. Di che colore è?
S
47
Su un piano α sono praticate due fenditure sottili A1 e A2 a distanza
a = 0.6 mm. Un altro piano β è posto parallelamente ad α a distanza l
variabile: su di esso sono praticate due fenditure sottili B1 e B2 , distanti
b = 0.75 mm e posizionate in modo simmetrico rispetto ad A1 e A2 .
Il sistema è illuminato da luce monocromatica blu-viola con lunghezza
d’onda λ0 il cui valore esatto non è noto. L’interferenza è osservata su
uno schermo S (a distanza d ≫ b): al variare della distanza l, l’illuminamento su S varia con continuità e alternativamente da una condizione
in cui lo schermo è buio ad una condizione in cui appare un sistema
di frange distinte. Sapendo che con il piano β posizionato a l0 = 34.3
cm sullo schermo S non arriva luce, calcolare λ0 . Calcolare inoltre il
massimo valore di l per cui l’intensità delle frange su S è massima.
l
A1
d
B1
a
A2
α
b
B2
S
β
48
Un’onda radio piana di frequenza ν = 500 kHz si propaga nell’acqua (n ≃ 9) parallelamente all’asse
z ed è polarizzata linearmente con il campo elettrico parallelo all’asse x; la potenza media trasmessa
per unità di superficie è 30 W/m2 .
(a) Qual è la lunghezza d’onda ?
(b) Quali sono i valori efficaci del campo elettrico e dell’induzione magnetica associati all’onda ?
49
Il dispositivo illustrato in figura, noto come Rifrattometro di Pulfrich, serve a misurare l’indice di
rifrazione n di un liquido mediante un prisma di materiale trasparente con indice di rifrazione np > n.
Un prisma retto di vetro, con np = 1.62, è sistemato in aria in
modo da avere una faccia orizzontale. Sopra tale faccia è disposta
n
una vaschetta, anch’essa di vetro, contenente un liquido trasparenA
O
te di indice di rifrazione n sconosciuto. Viene fatto incidere nel
90◦
liquido un fascio sottile di luce AO, praticamente radente rispetto
np
alla faccia orizzontale del prisma e si trova che l’angolo che il raggio
P
β
P Q uscente dalla faccia verticale del prisma forma con la direzione
Q
orizzontale è β = 58◦ . Determinare n.
Risultati
h
41. vg = c 1 +
N e2
2ε0 me ω 2
i−1
.
42. Le frange si spostano verso il fascio su cui è stata inserita la lastra, s = 5λ/(n − 1) = 5.5 µm
43. ∆φ = π; I =
W
4π
1
d1
+
1
d2
2
= 3.55 W/m2
44. riflessione: λ = 633 nm (rosso), trasmissione: λ = 475 nm (blu)
45. λ0 =
mm
hd
16L
= 0.620 µm, ∆x =
Lλ0
d
= 1.3 mm; in acqua: λ =
46. (b) vengono riflesse totalmente: λ1 < λ <
q
√β
2−α
λ0
n ,
h′ =
h
n
= 15.7 mm, ∆x′ =
ab
3l0
= 437 nm; lmax =
48. (a) λ = 66.6 m , (b) Eeff =
49. n = 1.38
ab
2λ0
q
= 0.99
= 569 nm (luce verde-gialla); (d) θrmin = 84.4◦ ,
θrmax = 90◦ , il raggio in uscita da AC ha colori separati, dal giallo al rosso.
47. λ0 =
∆x
n
= 51.4 cm
µ0 v I¯ = 35.4 V/m , Beff =
Eeff
v
= 1.06 · 10−6 T
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50
Un interferometro per la misura degli indici di rifrazione dei gas è schematizzato in figura. Esso è
costituito da una lente L1 che trasforma il fascio divergente di luce monocromatica (λ = 600 nm),
proveniente da una sottile fenditura F illuminata, in un fascio parallelo; da due tubi uguali T1 e T2
a finestre trasparenti di lunghezza l = 50 cm; da due fenditure S1 ed S2 , parallele ad F , praticate su
uno schermo opaco; da una lente L2 che focalizza su uno schermo Σ la figura di interferenza prodotta
da S1 ed S2 . Fatto il vuoto nei due tubi, si osserva un sistema di frange di interferenza parallele alle
fenditure, analogo a quello prodotto dal dispositivo di Young.
T1
S1
Se si riempie lentamente T1 con un gas di indice di rifrazione n si
osserva lo spostamento di N = 10 frange del sistema. Calcolare F
n. Supponendo di poter apprezzare al più lo spostamento di una
frangia calcolare la variazione minima di n misurabile con questo
S2
T2
strumento.
L1
L2 Σ
51
Una lente piano-convessa di raggio di curvatura R (incognito) è appoggiata su una lastra di vetro
perfettamente liscia. Un’onda piana monocromatica (λ = 632.8 nm) incide perpendicolarmente dall’alto. La luce attraversa la lente e viene parzialmente riflessa e parzialmente rifratta dalla faccia
inferiore curva (la riflessione sulla faccia superiore piana è trascurabile). La luce rifratta attraversa
l’intercapedine d’aria tra la lente e la lastra d’appoggio e viene totalmente riflessa da quest’ultima.
Osservando dall’alto si vedono delle frange di interferenza circolari
(anelli di Newton), dovute allo spessore variabile dell’intercapedine
r
d’aria che si interpone tra la lente e la lastra.
R
(a) La macchia centrale è chiara o scura?
(b) Esprimere il raggio rm del massimo di intensità di ordine m
in funzione di λ ed R, assumendo rm ≪ R.
(c) Il sistema viene utilizzato per misurare il raggio di curvatura
della lente. Sapendo che il raggio della m-sima frangia luminosa è
rm = 1.052 mm e quello della (m + 20)-esima è rm+20 = 2.727 mm,
calcolare R.
52
N sorgenti coerenti uguali sono poste a una distanza d l’una dall’altra e allineate lungo l’asse y.
Determinare:
(a) che relazione si deve avere tra d e λ per ottenere che la figura di interferenza
y
abbia gli unici massimi principali a θ = 0 e θ = π nell’ipotesi che le sorgenti
emettano in fase;
θ
(b) che sfasamento si dovrebbe avere tra le sorgenti per far sı̀ che tutti i massimi
1
principali cadano sull’asse y nell’ipotesi d = 2 λ;
(c) il numero e la posizione angolare dei massimi principali e dei nodi per 5 d
sorgenti con distanza d = 21 λ ed uno sfasamento di 45◦ tra ogni sorgente e la
successiva. Disegnare il diagramma polare dell’intensità.
53
Il dispositivo rappresentato in figura, noto come specchio di Lloyd, permette di ottenere una figura di
interferenza sullo schermo Σ utilizzando i raggi emessi dalla sorgente S e dalla sua immagine virtuale
S ′ creata dallo specchio AB (di lunghezza L). Determinare:
(a) le condizioni per l’interferenza costruttiva e distruttiva in
funzione dell’angolo θ nell’ipotesi d ≪ D; il punto B (estremo
dello specchio a ridosso dello schermo) è chiaro o scuro?
d
(b) per quale valore massimo di θ si può osservare l’interferenza;
(c) il numero di frange chiare e la loro posizione sullo schermo
per D = 20 cm, L = 5 cm, d = 2 mm e λ = 5500 Å.
y
S
Σ
O
θ
A
S′
D
B
L
54
Nella fabbricazione di fili sottili si usa talvolta un laser per controllare lo spessore del filo prodotto.
Il filo intercetta il fascio laser producendo una figura di diffrazione simile a quella formata da una
fenditura singola di apertura pari al diametro del filo.
Si supponga che un laser a He-Ne, con lunghezza d’onda di 632.8 nm, illumini il filo e proietti la figura
di diffrazione su uno schermo posto a 2.65 m di distanza. Se il diametro richiesto per il filo è di 1.37
mm, quale deve essere la distanza tra i due minimi del decimo ordine osservati sullo schermo?
55
Un reticolo è illuminato da luce λ = 0.59 µm a incidenza normale. Si vedono, su uno schermo, 4
massimi di interferenza in corrispondenza di sin θ = 0, 0.25, 0.50, 0.75. Calcolare:
(a) il passo del reticolo ;
dθ
;
(b) la dispersione massima D = dλ
(c) la massima separazione angolare per il doppietto del sodio λ = 5890, 5896 Å.
56
Un diaframma circolare, il cui diametro è 0.60 m, oscilla ad una frequenza ν0 in una sorgente sonora
subacquea per la ricerca di sottomarini. Lontano dalla sorgente l’intensità sonora è distribuita secondo
una figura di diffrazione corrispondente a un foro circolare uguale al diaframma. Trovare l’angolo tra
la normale al diaframma e la direzione del primo minimo, sapendo che la velocità del suono in acqua
è di 1450 m/s, nei casi:
(a) ν0 = 25 kHz;
(b) ν0 = 1.0 kHz (frequenza udibile).
57
Un fascio di luce con λ = 514.5 nm (Argon) incide normalmente su un reticolo con N = 6000 righe/cm.
Calcolare:
(a) il più elevato ordine di massimo principale;
(b) la dimensione minima del reticolo per risolvere nel massimo del primo ordine il doppietto λ1 =
514.5 nm, λ2 = 514.6 nm.
Risultati
50. n = 1.000012; δnmin = 1.2 · 10−6
51. (a) scura; (b) rm =
q
Rλ
2 (2m
− 1)
m = 1, 2, . . .; (c) R = 0.50 m
52. (a) d < λ; (b) φ = π; (c) un solo massimo principale a θ = −14.5◦ , nodi: θ = −40.5◦ , 8.63◦ , 33.4◦ ,
71.8◦ (il segno degli angoli dipende dal segno assegnato alla fase; non c’è simmetria ±θ !).
53. (a) frange chiare:
d sin θ = λ(m + 21 ), scure: d sin θ = λm (m = 0, 1, 2, . . .), il punto B (θ = 0) è scuro;
(b) θmax = atan
dL
2D(D+L)
; (c) 4 frange chiare, y = 0.0344 mm, 0.103 mm, 0.172 mm, 0.241 mm
54. 24.5 mm
55. (a) p = 2.36 µm; (b) Dmax = 1.9 rad/µm; (c) ∆θmax = 10−3 rad.
56. (a) 6.8◦ ; (b) non c’è minimo.
57. (a) 3; (b) 8.6 mm
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58
Si consideri una lastra di vetro avente indice di rifrazione n e spessore a posta tra una sorgente
monocromatica e coerente S ed un osservatore O, come in figura.
(a) Si mostri che, se l’assorbimento da parte del vetro è trascurabile, l’effetto
della lastra sull’onda ricevuta da O è di aggiungere una differenza di fase
uguale a δ = ω(n − 1)a/c , senza cambiare l’ampiezza E0 dell’onda.
O
(b) Se la differenza di fase è piccola, o perché a è molto piccolo, o perché n è
S
molto prossimo ad 1, si mostri che l’onda ricevuta da O può essere considerata
come una sovrapposizione dell’onda originale di ampiezza E0 , come se non
a
ci fosse alcuna lastra, con un’onda di ampiezza E0 ω(n − 1)a/c avente uno
spostamento di fase π/2. (Si trascurino le perdite per riflessione)
59
Una particella non relativistica si muove, nel piano xy, in una regione in cui esiste un campo magnetico
uniforme B in direzione z.
(a) Se l’energia cinetica al tempo t = 0 è K0 , trovare come l’energia cinetica della particella varia in
funzione del tempo.
(b) Assumendo B0 = 1 T e che la particella sia un elettrone (massa m = 9.109 · 10−31 Kg, carica
elettrica e = 1.602 · 10−19 C), calcolare in quanto tempo la sua energia cinetica si dimezza.
60
L’indice di rifrazione dell’idrogeno gassoso è, in condizioni standard, n = 1 + 1.400 · 10−4 per ω =
3.45 · 1015 rad/s e n = 1 + 1.547 · 10−4 per ω = 7.42 · 1015 rad/s. Supponendo che esista una sola
frequenza risonante e che l’assorbimento sia trascurabile, si calcoli questa frequenza ed il numero di
oscillatori atomici per unità di volume. Si confronti con il numero di molecole per unità di volume.
61
Calcolare l’angolo di deviazione δ di un fascio di luce monocromatica
che incide su un prisma con angolo di apertura α = 90◦ , in funzione
dell’angolo di incidenza β1 . Dimostrare che l’angolo di deviazione è
minimo quando il raggio entrante e quello uscente sono simmetrici
rispetto al prisma (β1 = β2 ).
Si ricavi, inoltre, una relazione che consenta di calcolare l’indice di
rifrazione n del prisma misurando l’angolo di deviazione minima δm .
62
α
β1
δ
β2
Un foglio sottile di materiale plastico, di spessore t e con indice di rifrazione n, viene posto davanti
ad una delle fenditure di un dispositivo di Young, illuminato con luce monocromatica λ0 = 500 nm.
Si osserva allora sullo schermo uno spostamento della figura di interferenza di una distanza pari alla
larghezza di N = 2 frange, rispetto a quando non c’è il foglio.
In un altro esperimento, lo stesso foglio viene illuminato in incidenza normale da un fascio di luce
costituito da lunghezze d’onda tra λA = 390 nm e λB = 440 nm e si osserva che mancano in riflessione
solamente le lunghezze d’onda λ1 = 395.2 nm e λ2 = 423.4 nm. Calcolare n e t.
Risultati
59. (a) K(t) = K0 e−αt con α = e4 B 2 /(3πε0 c3 m3 ); (b) 1.79 s
60. ω0 ≈ 2 · 1016 rad/s, N ≈ 3 · 1025 particelle/m3 .
q
61. δ = β1 + asin n2 − sin2 β1 − π2 , n =
62. t = 1.96 µm, n = 1.51
√
2 sin
δm
2
+
π
4
= sin δ2m + cos δ2m
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63
Un fascio di luce naturale di intensità I0 incide su un sistema ottico costituito da tre polarizzatori.
L’asse di polarizzazione del secondo di questi polarizzatori è ruotato di 20◦ rispetto all’asse del primo;
l’asse di polarizzazione del terzo forma un angolo di 40◦ rispetto al secondo e di 60◦ rispetto al primo.
Determinare:
(a) il rapporto I/I0 , essendo I l’intensità del fascio emergente dal sistema;
(b) come varia questo rapporto se, senza modificarne l’orientamento, il secondo ed il terzo polarizzatore vengono scambiati tra loro.
64
Un fascio di luce polarizzata linearmente, comprendente tutte le lunghezze d’onda tra 6.0 · 10−7 m e
7.0 · 10−7 m, incide perpendicolarmente su una lastra di quarzo spessa 0.865 mm, tagliata parallelamente all’asse ottico. Il piano del campo elettrico forma un angolo di 45◦ rispetto all’asse ottico della
lamina. Gli indici di rifrazione del quarzo per la luce al sodio (λ = 5.893 · 10−7 m) sono no = 1.5442
ed ne = 1.5533. Si trascuri la variazione di (no − ne ) con la lunghezza d’onda.
(a) Quali lunghezze d’onda emergeranno dalla lastra polarizzate linearmente?
(b) Quali lunghezze d’onda emergeranno polarizzate circolarmente?
(c) Successivamente il fascio emergente dalla lamina attraversa un analizzatore il cui asse di trasmissione è perpendicolare al piano di vibrazione della luce incidente. Quali lunghezze d’onda mancheranno
nel fascio trasmesso dall’analizzatore?
65
Un fascio piano di luce bicromatica λ1 = 720 nm e λ2 = 576 nm, di intensità, rispettivamente, I1 = 2
W/m2 e I2 = 4 W/m2 , si propaga lungo l’asse x e attraversa una lamina birifrangente (ns = 1.55,
no = 1.54) di spessore d = 360 µm e con asse ottico parallelo all’asse y. Il fascio uscente viene
analizzato con un polarimetro e si osserva che se l’asse ottico del polarimetro forma un angolo di π4
rad con l’asse y si vede solo la componente λ1 , mentre se viene ruotato di π2 rad rispetto a questa
direzione si vede solo la componente λ2 . Si determini:
(a) lo stato di polarizzazione delle componenti luminose prima e dopo la lamina;
(b) l’intensità del fascio luminoso uscente in funzione dell’angolo α che l’asse ottico del polarimetro
forma con l’asse y disegnandone il grafico;
(c) il grado di polarizzazione del fascio luminoso uscente in funzione di α.
66
Un fascio di luce ottenuto sovrapponendo due fasci di luce mutuamente incoerenti, uno di luce naturale
con intensità I e l’altro di luce polarizzata linearmente con intensità I ′ , viene fatto passare attraverso
un polarizzatore ideale.
(a) Calcolare il rapporto I/I ′ in funzione del grado di polarizzazione P del fascio incidente.
(b) Detta It l’intensità totale che si ottiene orientando il polarizzatore nella posizione intermedia tra
quelle corrispondenti all’intensità massima e a quella minima, trovare I ed I ′ in funzione di P e di It .
Risultati
63. (a) I/I0 = 0.259; (b) I ′ /I0 = 0.0734.
64. (a) polarizz. lineare nel piano iniziale: λ = 656 nm, 606 nm; polarizz. lineare ortogonale al piano
iniziale: λ = 684 nm, 630 nm; (b) λ = 699.7, 669.9, 643, 617 nm; (c) mancano λ = 656 e 606 nm
65. a) prima: λ1 lineare, λ2 circolare o ellittica, dopo: entrambe lineari; b) I(α) = (3 − sin 2α) W/m2 ;
c) P (α) = |1 − 3 sin 2α|/(3 − sin 2α).
66. (a)
I
I′
=
1
P
− 1; (b) I = 2It (1 − P ), I ′ = 2P It