GIOCHI MATEMATICI
Prof. Nando Geronimi
Gela, 18 ottobre 2007
Cosa è un gioco matematico?
E’ un problema gradevole, con contenuto matematico, che
desta particolare interesse per il suo carattere giocoso; deve
è facilmente memorizzabile, suscitare la curiosità, sollecitare
la ricerca, utile per migliorare ed approfondire le proprie e le
altrui conoscenze matematiche..
Per la sua soluzione sono necessarie: attenzione lettura e
nella comprensione del testo, buone abilità nella
manipolazione di numeri e figure, capacità di associazione
e molta fantasia.
Abilità e velocità nel calcolo aritmetico servono, ma solo
per “vincere” le gare di giochi matematici, non per
divertirsi con la matematica.
Giochi vecchi o nuovi ?
Un gioco è “vecchio” se già lo conosco ed è “nuovo” se ancora
non lo conosco?
È vecchio se è stato scritto molti anni fa ed è nuovo se è stato
scritto e pubblicato di recente?
Per me un gioco è nuovo se inizia o se continua a
stimolare la mia fantasia, se mi sollecita nella ricerca di
varianti, se mi soddisfa quando posso proporlo ad altri …
.. è nuovo quando offre la possibilità di risolverlo con una
tecnica diversa da quella che già conosco.
.. è nuovo quando posso associarlo ad un personaggio
storico, ed un’epoca storica.
TRE GIOCHI TRATTI DAL
“LIBER ABACI” DI
FIBONACCI
• I conigli di Fibonacci
• Due Pellegrini
• La leggenda degli scacchi
“I conigli di Fibonacci”
Un tale pose una coppia di conigli in luogo
circondato da ogni parte da pareti. La coppia iniziò
a riprodursi a partire dalla fine del primo mese ed
ogni mese generò una nuova coppia di conigli.
Tutte le altre coppie, nate nel corso dell’anno,
iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese
dopo la nascita ed anche loro generarono una
nuova coppia ogni mese.
Quante coppie di conigli nascono
complessivamente in un anno?
Risolviamolo
(questa soluzione compare sul
Liber Abaci d Leonardo da Pisa)
“Nel margine si può vedere come ho operato:
-sommo il primo numero con il secondo, cioè l’1
con il 2,
-poi il secondo con il terzo,
-il terzo con il quarto,
-il quarto con il quinto;
-così, di seguito uno dopo l’altro fino a sommare il
decimo con l’undicesimo, cioè 144 con 233,
- ottenendo 377 che è la somma delle coppie di
conigli.
-Si può così procedere per un numero infinito di
mesi.”
Inizio
Primo
Secondo
Terzo
Quarto
Quinto
Sesto
Settimo
Ottavo
Nono
Decimo
Undicesimo
Ultimo
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
Un dubbio
Inizio
Primo
Secondo
Terzo
Quarto
Quinto
Sesto
Settimo
Ottavo
Nono
Decimo
Undicesimo
Ultimo
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
Questa soluzione risponde al quesito
proposto ? NO!
Il primo mese nasce 1 coppia di conigli
Le coppie di conigli sono 2 solo se
conto anche la prima coppia.
Il problema, così come risolto da
Fibonacci, prevede di contare
anche la prima coppia, la
progenitrice di tutte le altre.
“Due pellegrini”
Due uomini si mettono in cammino per un lungo
viaggio a piedi.
Il primo viaggiatore percorre ogni giorno 20
miglia,
il secondo viaggiatore ne percorre 1 il primo
giorno, 2 il secondo giorno, 3 il terzo e così via,
aggiungendo sempre un miglio a quanto percorso il
giorno precedente.
Dopo quanti giorni il secondo viaggiatore
raggiungerà il primo?
Due uomini si mettono in
cammino per un lungo
viaggio a piedi.
Il primo viaggiatore
percorre ogni giorno 20
miglia,
il secondo viaggiatore ne
percorre 1 il primo
giorno, 2 il secondo
giorno, 3 il terzo e così
via, aggiungendo sempre
un miglio a quanto
percorso il giorno
precedente.
Dopo quanti giorni il
secondo viaggiatore
raggiungerà il primo?
Scrive Fibonacci:
“Togli 1 al doppio di 20 e
trovi dopo quanti giorni il
primo viaggiatore
raggiungerà il secondo”
20 x 2 – 1 = 39
Due uomini si mettono in
cammino per un lungo
viaggio a piedi.
Il primo viaggiatore
percorre ogni giorno 20
miglia,
il secondo viaggiatore ne
percorre 1 il primo
giorno, 2 il secondo
giorno, 3 il terzo e così
via, aggiungendo sempre
un miglio a quanto
percorso il giorno
precedente.
Dopo quanti giorni il
secondo viaggiatore
raggiungerà il primo?
Nell’introduzione del XII capitolo,
Fibonacci insegna (tra le altre cose) a
calcolare la somma di quanti si vogliono
numeri a partire da 1
“Moltiplica la somma tra l’ultimo
numero e 1 per quanti sono i numeri e
dividi il risultato per 2”
Dopo 39 giorni il primo viaggiatore
avrà percorso 20x39= 780 miglia.
Dopo 39 giorni il secondo viaggiatore
avrà percorso (1+39)x39:2= 780 miglia
raggiungendo il primo viaggiatore.
“Moltiplica la somma tra l’ultimo
numero e 1 per quanti sono i numeri e
dividi il risultato per 2”
Molti attribuiscono questo metodo al giovane Gauss
Forse perché quando ha risolto un problema simile era
ancora un bambino.
“La leggenda degli scacchi”
Vogliamo calcolare la somma di una
successione delle potenze di 2 scritte nelle
caselle di una scacchiera quadrata.
Questa è la scacchiera compilata dal computer
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
2097152
4194304
8388608
16777216
33554432
67108864
134217728
268435456
536870912 1073741824 2147483648
4294967296 8589934592 17179869184 34359738368 68719476736 1,37439E+11 2,74878E+11 5,49756E+11
1,09951E+12 2,19902E+12 4,39805E+12 8,79609E+12 1,75922E+13 3,51844E+13 7,03687E+13 1,40737E+14
2,81475E+14 5,6295E+14 1,1259E+15 2,2518E+15 4,5036E+15 9,0072E+15 1,80144E+16 3,60288E+16
7,20576E+16 1,44115E+17 2,8823E+17 5,76461E+17 1,15292E+18 2,30584E+18 4,61169E+18 9,22337E+18
Seguiamo l’insegnamento di
Fibonacci
In una scacchiera scriviamo, in ogni casella, il
doppio del numero scritto nella casella
precedente;
1 2 4 8 16 32 64 128
(ecco la prima riga della scacchiera 8x8)
in un’altra scacchiera scriviamo, in ogni casella, la
successione delle somme dei numeri scritti a
partire dalla prima casella della prima scacchiera.
1
3
7
15
31
63 127 255
scrive Fibonacci
1
2
4
8
16
32 64 128
“nelle caselle della seconda scacchiera, scrivi il
doppio del corrispondente numero della prima
scacchiera meno 1. Il numero scritto è la somma dei
numeri della prima scacchiera”.
1
3
7
15
31
63 127 255
scrive Fibonacci
128
“256 moltiplicato per sé stesso
fa 65536, che supera di 1 la
somma delle potenze di 2 scritte
nelle prime 16 caselle.
65536 moltiplicato per sé stesso
fa 4294967296 che supera di 1
la somma delle potenze di 2
delle prime 32 caselle.
4294967296
moltiplicato per sé stesso fa
18446744073709551616 che
supera di 1 la somma di tutte le
potenze di 2 scritte nella
scacchiera 8x8”
255
65536
4 294 967 296
18 446 744 073 709 551 616
UN NUMERO
IMPOSSIBILE DA
MEMORIZZARE
scrive Fibonacci
Immaginiamo di porre 1 denaro nella prima casella
della scacchiera, 2 nella seconda casella, 4 nella
terza, 8 nella quarta, così via.
Nell’ottava casella avremo 128 denari e la somma di
tutti i denari posti nelle otto caselle è 255 (uno in
meno di 2 elevato alla ottava potenza).
(Nei calcoli successivi dimentichiamoci pure di questo 1 da togliere).
La somma delle monete contenute nelle prime due
righe (16° casella) ammonta a 65.536 denari
Mettiamole in una cassa e passiamo al terza riga…..
Quanti denari?
65536 denari = 1 cassa
65536 casse = 1 casa
65536 case = 1 città
65536 città = 1 ?