Esercizi di Fisica
Marella de Angelis, Samuele Straulino
Dipartimento di Fisica, Università di Firenze
Stefania De Curtis
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Firenze
29 febbraio 2008
Questi esercizi sono tratti in parte dalle dispense di Fondamenti e Didattica della Fisica
di Roberto Casalbuoni e Stefania De Curtis (Corso di Laurea di Scienze della Formazione
Primaria). Altre fonti utilizzate sono reperibili sui siti
http://www.fisica.uniud.it/GEI/GEIweb/
http://www.physicsclassroom.com
1
CINEMATICA
ESEMPI SVOLTI
1. Verificare che la velocità media in un percorso di 30 km di un’automobile che percorre
15 km a 100 km/h e poi altri 15 alla velocità di 60 km/h non è 80 km/h, bensı̀
75 km/h.
Risposta: Infatti il tempo impiegato a percorrere il primo tratto è
t1 =
∆s1 (t)
15 km
=
= 0, 15 h
v̄1 (t)
100 km/h
Il tempo impiegato a percorrere il secondo tratto è
t2 =
15 km
∆s2 (t)
=
= 0, 25 h
v̄2 (t)
60 km/h
Quindi il tempo totale impiegato a percorrere i 30 km è
t = 0, 15 h + 0, 25 h = 0, 4 h
Pertanto la velocità media risulta
v̄ =
30 km
= 75 km/h.
0, 4 h
2. Da un terrazzo di un grattacielo si lancia una palla verso l’alto con una velocità
iniziale di 10 m/s. Calcolare la quota (rispetto al terrazzo) a cui si trova la palla
dopo 1, 2, 3, 4 secondi. Calcolare anche la quota a cui la velocità della palla si
annulla.
Risposta: Dato che l’accelerazione è diretta verso il basso e la velocità iniziale verso
l’alto, occorre prestare attenzione a fissare una convenzione sui segni. Se misuriamo
le distanze a partire dal tetto prendendole positive verso l’alto, la velocità iniziale
sarà positiva, mentre l’accelerazione sarà negativa. Quindi le leggi del moto della
velocità in funzione del tempo e dello spazio in funzione del tempo si possono scrivere:
v(t) = (10 m/s) − (9, 8 m/s2 ) × t
1
s(t) = (10 m/s) × t − × (9, 8 m/s2 ) × t2
2
Sostituendo i valori degli intervalli di tempo che ci interessano si ottiene
per t1 = 1 s si ottiene s(1) = 5, 1 m
per t2 = 2 s s(2) = 0, 4 m
per t3 = 3 s s(2) = −14, 1 m
per t4 = 4 s s(2) = −38, 4 m
La quota a cui la velocità della palla si annulla corrisponde al punto più alto della
traiettoria della palla. Possiamo conoscere il tempo che la palla impiega ad arrivare
in questo punto se poniamo la velocità pari a zero nella prima equazione.
v(t) = 10m/s − 9, 8m/s2 × t = 0
1
Da questa equazione si ricava il tempo
t=
10 m/s
= 1, 02 s
9, 8 m/s2
Sostituendo nella formula che esprime lo spazio in funzione del tempo si ottiene
s(t) = 5, 1 m
3. Consideriamo un vulcano che sta eruttando ‘bombe’ di lava verso l’alto con una velocità iniziale di 20 m/s. Quanto tempo dopo l’esplosione arrivano a terra?
Risposta: Come nel caso precedente, fissiamo una convenzione sui segni: misurando le distanze a partire dal suolo e prendendole positive verso l’alto, la velocità
iniziale sarà positiva (v0 = 20 m/s), mentre l’accelerazione di gravità sarà negativa
(a = −g = −9.8 m/s2 ). La ‘bomba’ sale fino al punto di massima quota della sua
traiettoria e poi discende. In questo punto la sua velocità è nulla; inoltre il tempo che
la ‘bomba’ impiega per salire è uguale a quello che impiega per scendere. Scriviamo
l’equazione
v = v0 − gt
v è la velocità al punto di massima quota ed è nulla, t è il tempo che la ‘bomba’
impiega a salire fino al punto di massima quota. Sostituendo i valori numerici,
troviamo
0 = 20m/s − (9, 8m/s2 )t
da cui si ricava
t=
20m/s
= 2, 0 s
9, 8m/s2
Il tempo che la ‘bomba’ impiega a salire ed a scendere sarà:
T = 2t = 4 s
ESERCIZI
1. Un atleta esegue uno scatto di 50 m in 8 secondi, quindi si ferma e torna indietro
camminando alla linea di partenza in 40 secondi. Se viene presa come positiva la
direzione dello scatto:
- Qual è la velocità media dello scatto?
- Qual è la velocità media della passeggiata di ritorno?
- Qual è la velocità media del percorso completo? [ 6,25 m/s; -1,25 m/s; 0 m/s ]
2. Guidi il motorino in una strada diritta a 20 m/s per 10 minuti, quindi a 10 m/s per
altri 10 minuti. La velocità media è uguale, maggiore o minore di 15 m/s? Verifica
la risposta data calcolando la velocità media. [ 15 m/s ]
3. I canguri viaggiano a una velocità di 65 km/h. Quanto spazio possono percorrere
saltando per due minuti? [ 2,2 km ]
2
4. Calcola la velocità con cui crescono i tuoi capelli in km/h, sapendo che la crescita
dei capelli è di circa 1,5 cm al mese. [ 2 x 10 −8 km/h ]
5. Ti trovi a 2,5 km da casa e corri verso casa ad una velocità di 10 km/h. Dopo 5
minuti di corsa a che distanza ti trovi da casa? [ 1,7 km ]
6. Un bambino va a scuola a piedi in 12 minuti. La scuola è distante 1 km da casa sua.
Qual è la velocità del bimbo? Se il bambino viene accompagnato in automobile dalla
mamma e la velocità media è di 30 km/h, quanto tempo è necessario per raggiungere
la scuola? [ 5 km/h; 2 min ]
7. Sull’autostrada A1 c’è una coda fra Firenze Certosa (che si trova al km 295 da
Milano) e Firenze Nord (al km 280). Il tempo di percorrenza indicato è di 45 minuti.
Qual è la velocità media degli autoveicoli? Perché viene un valore minore di zero? [
-20 km/h ]
8. Le onde radio viaggiano alla velocità della luce, circa 300 000 km/s. Quanto tempo
impiega un messaggio per arrivare dalla Terra alla Luna, considerando che la distanza
Terra-Luna è di 3, 8 × 105 km? [ 1,27 s ]
9. La distanza fra la Terra e il Sole è di 1, 5 × 10 8 km. Quanto tempo impiegherebbe
a percorrere questa distanza un’automobile che viaggiasse a 100 km/h? [ Circa 170
anni ]
10. Stai guidando l’automobile a 40 km/h, vedi un semaforo rosso, freni e ti fermi dopo
3 secondi. Quale è la tua decelerazione? Quanto spazio percorri prima di fermarti?
[ -3,7 m/s2 ; 17 m]
11. Una pallina con massa pari a 500 g, inizialmente in quiete, viene lasciata cadere in
un pozzo di profondità 25 metri. Se si trascura l’attrito dell’aria, dopo quanto tempo
arriva sul fondo? [ 2,2 s ]
12. Vedi un semaforo rosso mentre viaggi a 40 km/h, freni e ti fermi dopo 4 secondi.
Nell’ipotesi che si tratti di un moto uniformemente accelerato, possiamo calcolare
di quanto hai decelerato? Quanto spazio percorri prima di fermarti? [-2,8 m/s 2 ;
22,2 m ]
13. Un’auto aziona i freni e decelera uniformemente con a= -3 m/s 2 . Dopo quanto
tempo si ferma se la sua velocità iniziale era di 30 km/h? [ 2,8 s ]
14. Costruisci il grafico velocità-tempo di un’auto che si muove con velocità costante v= 5 m/s per 8 secondi, poi decelera e si ferma in 10 secondi. Quanto vale
l’accelerazione durante le due fasi di tale moto? [ 0 m/s 2 ; -0.5 m/s2 ]
15. Un treno si muove di moto uniformemente accelerato con a= 4 m/s 2 . Se la velocità
iniziale è zero, quanto tempo è necessario per percorrere 800 m? [20 s]
16. Considera un moto uniformemente accelerato con a= 2 m/s 2 , s0 = 0 e v0 =20 km/h.
Costruisci la tabella ed il grafico spazio-tempo (approssima con un decimale).
3
17. Un oggetto, inizialmente in quiete, cade da un’altezza di 20 m. Dopo quanto tempo
arriva al suolo? [ 2 s ]
18. L’elevazione di un giocatore di pallacanestro è di 48 pollici. Qual è la sua velocità
di distacco dal suolo? (1 pollice=2,54 cm). [ 4,9 m/s ]
19. Un battello si muove lentamente dentro un porticciolo con una velocità costante di
1,5 m/s. Appena fuori dal porticciolo accelera di 2,4 m/s 2 . A quale velocità viaggerà
il battello dopo 5 secondi? [ 13,5 m/s ]
20. Una pallina di massa pari a 50 g, inizialmente in quiete, viene lasciata cadere da
15 m di altezza. Se si trascurano gli effetti di attrito dell’aria, dopo quanto tempo
arriva al suolo? Cosa cambia se la pallina ha massa pari a 500 g? [ 1,7 s ]
21. Una bambina lascia cadere una pallina giù da una rupe alta 80 m. Dopo quanto
tempo la pallina tocca terra? A che altezza si trova la pallina dopo 2 secondi, e dopo
3 secondi? [ 4 s; 60,4 m; 35,9 m ]
22. Un sacco di massa 1kg è appeso ad un filo ed è fermo ad un’altezza di 60 m dal
suolo. Se tagliamo il filo, il sacco cade. Se si trascura l’attrito dell’aria, calcola dopo
quanto tempo arriva al suolo. Ripeti l’esercizio considerando un corpo di massa 10
kg. [ 3,5 s ]
23. Sulla Luna l’accelerazione di gravità è circa 1,6 m/s 2 . Disegnare il grafico velocitàtempo per il moto di un corpo in caduta libera con velocità iniziale uguale a 2 m/s
verso il basso. Come varia il grafico se vogliamo descrivere lo stesso moto sulla Terra?
24. Un aereo si muove verso sud con velocità 800 km/h e un vento soffia verso est con
velocità 100 km/h. Disegna la velocità risultante. Come deve variare la direzione
della velocità dell’aereo perché la sua rotta venga mantenuta verso sud? Fare il
disegno.
25. Lascio cadere un sasso in un pozzo e sento che arriva sul fondo dopo 2,5 secondi.
Quanto è profondo il pozzo? [ 30,6 m ]
26. Due bambini giocano a bocce su una terrazza che si trova a un’altezza di 10 metri.
Una boccia, lanciata con velocità v=20 km/h sul pavimento della terrazza, raggiunto
il bordo cade di sotto. Dopo quanto tempo arriva a terra? Quale distanza dalla
terrazza raggiunge? [ Circa 1.4 s; circa 8 m ]
27. In una giornata piovosa ma senza vento, i passeggeri di un treno vedono cadere le
gocce di pioggia sul finestrino laterale con un angolo di circa 45 ◦ rispetto al terreno.
Se il treno ha una velocità di 20 km/h, qual è la velocità a cui cadono le gocce? Se
il treno aumenta la propria velocità, come si vedono cadere le gocce? [ 20 km/h ]
28. Il tratto iniziale di una pista da sci è lungo 100 metri e ha un dislivello di 25 metri.
Considerando trascurabile l’attrito degli sci sulla neve e l’attrito dell’aria, calcolare
il tempo necessario a uno sciatore per percorrere il tratto di pista partendo da fermo
e la velocità che gli è possibile raggiungere. [ Circa 9 s; 80 km/h ]
4
29. La leggenda vuole che Isaac Newton sia stato colpito da una mela che cadeva dall’albero, scatenando cosı̀ il suo pensiero sulla gravitazione. Dai una stima della velocità
della mela quando colpı̀ Newton. [ Se h=2m, v=6m/s ]
30. I gabbiani lasciano cadere le conchiglie dall’alto sulle rocce come mezzo per aprire i
gusci. Se un gabbiano lascia cadere una conchiglia da fermo da un’altezza di 14 m,
con quale velocità si muove la conchiglia quando sbatte contro la roccia? [ 17 m/s ]
31. Un vulcano lancia una bomba di lava dritto verso l’alto con una velocità iniziale di 23
m/s. Prendendo come positivo il verso rivolto in alto, determina la quota raggiunta
dalla bomba di lava dopo 2 secondi, e dopo 3 secondi. [ 26,4 m; 24,9 m ]
5
2
FORZE
ESEMPI SVOLTI
1. I due diagrammi illustrati in figura descrivono il moto di un carrello dell’otto-volante
per due diverse inclinazioni. La massa del carrello è di 1000 kg. Assumendo attrito
e resistenza dell’aria trascurabili, calcolare la forza di reazione del piano ~Fnorm , la
forza peso ~Fpeso , la forza risultante ~Fnet e l’accelerazione nei due casi.
Risposta: Consideriamo il diagramma (A). La forza peso è diretta lungo la
Figura 1:
verticale ed il suo modulo è pari alla massa del carrello per l’accelerazione di gravità
Fpeso = m × g = 1000 kg × 9, 8m/s2 = 9800 N
Se si sceglie un sistema di assi cartesiani in modo che l’asse delle ascisse sia lungo
il piano e l’asse delle ordinate sia perpendicolare al piano (vedi figura 3.42 delle
dispense), si possono individuare le componenti della forza peso ~Fx e ~Fy rispetto agli
assi scelti. I moduli delle due componenti sono
1
1
Fx = Fpeso × sin 45◦ = Fpeso × √ = 9800 N × √ = 6930 N
2
2
1
1
Fy = −Fpeso × cos 45◦ = −Fpeso × √ = −9800 N × √ = −6930 N
2
2
Il segno della componente lungo y è negativo poiché la componente è rivolta in verso
opposto a quello dell’asse delle ordinate. La forza di reazione del piano è uguale ed
opposta alla componente perpendicolare al piano
~Fnorm = −~Fy
ed il suo modulo sarà
Fnorm = −Fy = 6930 N
La forza risultante è
~Fnet = ~Fpeso + ~Fnorm = ~Fx + ~Fy + ~Fnorm = ~Fx
6
poiché gli ultimi due termini sono uguali ed opposti (come detto sopra).
Il modulo della forza risultante sarà
Fnet = Fx = 6930 N
L’accelerazione
~a =
Il suo valore sarà
a=
~Fnet
m
6930 N
Fnet
=
= 6, 9 m/s2
m
1000 kg
Considerando il caso (B), si può ragionare in modo analogo e trovare che
Fy = −Fpeso × cos 60◦ = −Fpeso ×
1
1
= −9800 N × = −4900 N
2
2
e la risultante ha valore
Fnet
√
3
= 9800 N × 0, 866 = 8487 N
= Fx = Fpeso × sin 60 = Fpeso ×
2
◦
Il valore dell’accelerazione è
a=
8487 N
Fnet
=
= 8, 5 m/s2
m
1000 kg
2. Tre ragazzi, Marco, Luca e Carlo, spingono una barca di 750 kg che galleggia vicina
al molo. Ognuno di loro esercita una forza di 80 N parallela al molo. Qual è l’accelerazione della barca se tutti e tre spingono nello stesso verso? Qual è l’accelerazione
se Luca e Carlo spingono nel verso opposto rispetto a Marco?
Risposta: Indichiamo le forze che agiscono sulla barca F M , FL e FC . Scegliamo
come asse x la direzione delle tre forze e come verso positivo dell’asse x quello nel
quale spingono tutti e tre nel primo caso. Scriviamo la componente x per ognuna
delle tre forze
FM,x = FL,x = FC,x = 80 N
Sommiamo la componente x delle forze e poniamo il risultato uguale a ma x
FM,x + FL,x + FC,x = 240 N = max
Dividiamo per la massa per trovare a x
ax =
FM,x + FL,x + FC,x
240 N
=
= 0, 32 m/s2
m
750 kg
Consideriamo ora il caso in cui Luca e Carlo spingono nel verso opposto rispetto a
Marco e scriviamo le componenti x di ciascuna forza.
FM,x = 80N
FL,x = FC,x = −80 N
7
Sommiamo le componenti x delle forze e poniamo il risultato uguale a ma x .
FM,x + FL,x + FC,x = −80 N = max
Risolviamo rispetto ad ax .
ax =
FM,x + FL,x + FC,x
−80 N
=
= −0, 11 m/s2
m
750 kg
In questo caso ax è negativa, il che indica un’accelerazione in verso opposto al caso
precedente.
3. Un’automobile con la massa di 950 kg si muove ad una velocità di 60 km/h. Il
conduttore aziona i freni per 15 secondi per arrestare il veicolo. Supponendo che la
forza applicata dai freni sia costante, calcolarne il valore.
Risposta: La velocità dell’automobile subisce una variazione da 60 km/h a zero; il
moto è quindi accelerato (o decelerato se si preferisce) e, se la forza applicata è solo
quella frenante, allora per il secondo principio della dinamica
Ff renante = m × a
dove m è la massa dell’automobile e a è la sua accelerazione. Scegliamo come asse x
la direzione del moto e come verso positivo dell’asse x quello in cui si sta muovendo
l’automobile. In questo modo la velocità è positiva. L’automobile ha una velocità
iniziale vi = 60 km/h ed una velocità finale vf nulla. Trasformiamo l’unità di misura
della velocità in m/s
vf = 60 km/h = 16, 7 m/s
L’accelerazione dell’automobile è
a=
vf − v i
(0 − 16, 7) m/s
=
= −1, 11 m/s2
tf − t i
(15 − 0) s
Vediamo che l’accelerazione è negativa, quindi opposta al verso dell’asse di riferimento scelto, ed opposta alla velocità. La forza applicata
Ff renante = m × a = (950 kg) × (−1, 11 m/s2 ) = −1056 N
ESERCIZI
1. Un’automobile con la massa di 700 kg si muove ad una velocità di 50 km/h. Il
conduttore aziona i freni per 10 secondi per arrestare il veicolo. Supponendo che la
forza applicata dai freni sia costante, calcolarne il valore. [ 972 N ]
2. Due giocatori di rugby hanno afferrato il pallone. Il primo lo tira verso sinistra
con una forza orizzontale di 900 N; il secondo lo tira verso destra con una forza
orizzontale di 800 N. Qual è la forza totale che agisce sul pallone? [ 100 N verso
sinistra ]
3. Una matita ha una massa di 35 g. Qual è il valore della forza peso che agisce su di
essa? [ 0,34 N ]
8
4. Una cassa posta sulla superficie terrestre pesa 3.8 × 10 2 N. Qual è la sua massa?
[39 kg]
5. Disegnare le forze che agiscono su un oggetto in equilibrio sul fondo di una vasca
piena d’acqua.
6. Un anello posto su un piano orizzontale è in equilibrio tirato da 3 elastici uguali.
Disegna le forze che agiscono sull’anello.
7. Un oggetto è trattenuto da un elastico su un piano inclinato ed è in equilibrio.
Disegna le forze che agiscono sull’oggetto.
8. Un oggetto è posto su un piano inclinato e sta fermo (non scivola). Quanto deve
valere la forza di attrito tra piano ed oggetto, perché possa rimanere fermo? ( È
richiesta la soluzione grafica).
9. Metto un barattolo, che pesa 200 g, su un piano inclinato di 30 gradi rispetto all’orizzontale ed il barattolo comincia a scivolare. Se la forza di attrito fra la saliera ed
il piano è di 0,5 N, si calcoli l’accelerazione del barattolo. [ 2,4 m/s 2 ]
10. Spingo un mobile con una forza di 5 N. Tra mobile e pavimento c’è una forza di attrito
di 0,5 N. Se la massa del mobile è 50 kg, che accelerazione acquista? [ 0.09 m/s 2 ]
11. Applico una forza di 3 N ad un oggetto di massa 5 kg inizialmente fermo e lo sposto
di 7,5 m. Che velocità acquista? [ 3 m/s ]
12. Stai spingendo un carrello di 14,5 kg con una forza di 12,0 N. Se il carrello parte da
fermo, quale distanza compie in 3,0 s? [ 3,72 m ]
13. Ad una palla da biliardo di massa 0,93 kg viene impressa una velocità di modulo
12 m/s durante un intervallo di tempo di 3 millisecondi. Qual è la forza che ha agito
sulla palla? [ 3720 N ]
14. Una pallina di piombo con massa pari a 300 g, inizialmente in quiete, viene lasciata
cadere in acqua. Su di essa agisce una forza diretta verso l’alto di 0,26 N (spinta
di Archimede). Calcola l’accelerazione della pallina nell’istante in cui viene lasciata.
[ 8,9 m/s2 ]
15. Alcuni sub trovano sul fondo del mare un antico forziere perfettamente chiuso a
forma di parallelepipedo con dimensioni 30 cm x 30 cm x 50 cm. Il peso apparente
del forziere, misurato con un grosso dinamometro, sembra essere 25 kgp. Quanto
peserà in realtà il forziere una volta emerso dall’acqua? [ 70 kgp ]
16. Un attimo prima di toccare il pavimento una palla di 300 g in caduta libera ha una
velocità di 60 cm/sec. La palla rimbalza con una velocità di 50 cm/sec. Che impulso
ha esercitato il pavimento sulla palla? [0,33 kg·m/s]
17. Stai sollevando una valigia piena con una forza di modulo 120 N; la valigia accelera
verso l’alto di 0,8 m/s2 . Quali sono la massa e il peso della valigia? [m=11,3 kg;
Peso =110 N]
9
18. Una piuma di 1,21 g cade verso il suolo con una velocità costante di modulo 1,1 m/s.
Qual è la forza della resistenza dell’aria esercitata sulla piuma? [ F=0,012 N ]
19. Stai tenendo nella mano un mattone e lo mantieni fermo.
a) Quante forze agiscono sul mattone?
b) Identifica queste forze.
c) Queste forze sono uguali ed opposte?
d) Queste formano coppie di azione e reazione?
20. Stai tirando una slitta su una superficie ghiacciata (senza attrito), sulla slitta è
seduto un bambino. Se eserciti sulla slitta una forza orizzontale costante di 110 N,
essa ha un’accelerazione di 2,5 m/s 2 . Se la slitta ha una massa di 7,0 kg, quale sarà
la massa del bambino? [37 kg]
21. Su un pianeta molto lontano un astronauta raccoglie un sasso. Il sasso ha massa
5,0 kg e su questo particolare pianeta il suo peso è 40,0 N. Se l’astronauta esercita
una forza verso l’alto di 46,2 N sul sasso, qual è la sua accelerazione? [a = 1,24 m/s 2 ]
22. Un blocco che ha una massa di 1,38 kg è appoggiato su un piano orizzontale e viene
trascinato da una forza orizzontale di 4,9 N. Il coefficiente di attrito tra il blocco e
la base d’appoggio è uguale a 0,125.
- Calcola il peso del blocco. [ 13,5 N ]
- La direzione, verso e valore della forza di attrito che agisce sul blocco. [ 1,69 N ]
- Determina direzione, verso e valore della forza totale che agisce sul blocco. [ 3,2 N]
10
3
LAVORO ed ENERGIA
ESEMPI SVOLTI
1. Consideriamo un’auto di massa 1000 kg con una velocità di 25 m/s che frena fino a
fermarsi (Fig. 2). Se la forza d’attrito è 8000 N, determinare lo spazio di frenata.
Figura 2:
Risposta: In questo caso l’energia potenziale è zero durante tutto il moto. L’energia
meccanica iniziale è data dall’energia cinetica iniziale, ovvero
1
1
Ti = mvi2 = × (1000 kg) × (25 m/s)2 = 312 500 J
2
2
L’energia cinetica finale è zero. Dalla relazione
Le = −F × d = Ef − Ei = Tf − Ti
otteniamo
d=−
1
312 500 J
(Tf − Ti ) =
= 39, 1 m
F
8000 N
2. Consideriamo l’auto in Fig. 3 che sta rallentando. La forza di attrito tra gli pneumatici e la strada è di 8000 N ed agisce per 30 m. Se l’energia iniziale della macchina
è di 320 000 J, quale sarà la sua energia dopo 30 m di frenata?
Figura 3:
Risposta: In questo caso la forza di attrito compie un lavoro
Le = −8000 N × 30 m = − 240 000 J
quindi l’energia finale sarà:
Ef = Ei + Le = 320 000 J − 240 000 J = 80 000 J
11
3. Supponiamo di applicare una forza F ad un carrello su un piano inclinato come in
Fig. 4. Se l’energia meccanica iniziale è nulla, quale sarà l’energia finale del carrello
dopo aver percorso 0,7 m se F=18 N?
Risposta: Il lavoro compiuto dalla forza applicata
Le = 18 N × 0, 7 m = 12, 6 J
quindi
Ef = Ei + Le = (0 + 12, 6) J = 12, 6 J
Figura 4:
ESERCIZI
1. Fra i banchi di un supermercato spingi un carrello per 10 m applicando una forza di
20,0 N parallela allo spostamento. Quanto lavoro compi? [200 J]
2. Sollevi verticalmente una scatola di libri di 4 kg, che parte da ferma, per un tratto
di 1,5 m applicando una forza verso l’alto di 60 N. Trova il lavoro fatto dalla forza
applicata, il lavoro fatto dalla gravità, il lavoro totale fatto sulla scatola e il modulo
della velocità finale della scatola. [ 90 J; -59 J; 31 J; 3,9 m/s]
3. Per fare spazio, fai scivolare sulla scrivania una pila di libri, senza sollevarla. La
massa complessiva dei libri è di 4,5 kg. Qual è il lavoro fatto dalla forza-peso durante
lo spostamento dei libri? Spiega perché. [0 J]
4. Un’automobile di 1000 kg viaggia alla velocità di 50 km/h. Calcola la sua energia
cinetica [9, 6 × 104 J]
5. Considera un alpinista di 80 kg che si trova sulla vetta di una montagna di 8000 m.
Calcola l’energia potenziale rispetto al livello del mare. [6, 2 × 10 6 J]
6. Un carrello di 50 kg, inizialmente in quiete, viene spinto da un uomo lungo un pavimento orizzontale applicandogli una forza di 100 N. La forza di attrito è pari a 20 N.
Si calcoli:
- La velocità del carrello dopo 3 secondi dalla partenza; [4,8 m/s]
- Il lavoro fatto dall’uomo dopo 3 metri di spostamento del carrello; [300 J]
- Il lavoro fatto dalla forza d’attrito per lo stesso spostamento; [-60 J]
- L’energia cinetica acquistata dal carrello dopo 3 metri di spostamento. [240 J]
12
7. Un’auto di massa pari a 500 kg sta percorrendo una strada in discesa con pendenza
tale che ogni 100 metri scende di 10 metri. Dopo 2 km, quanta energia potenziale
ha perduto? [9, 8 × 105 J]
8. Un sacco di sabbia di massa 50 kg viene sollevato da un uomo ad un’altezza di 40 m
con una fune (fase 1). La fune si rompe ed il sacco cade (fase 2).
- Quali sono l’energia cinetica e la velocità acquistate dal sacco quando tocca terra?
[1, 96 × 104 J; 28 m/s]
- Che forze agiscono sul sacco nella fase 1?
- Qual è il lavoro fatto dalla forza peso nella fase 1? [−1, 96 × 10 4 J]
9. Un uomo di massa 75 kg sale 4 rampe di scale. Ogni rampa è composta di 10 scalini
alti 18 cm. Quanta energia potenziale acquista? [5, 3 × 10 3 J]
10. Un ragazzo di massa 76 kg si arrampica lungo una fune fino a 2,8 m di altezza.
Quanto vale il lavoro compiuto dal ragazzo contro la forza peso? [2100 J]
11. Un oggetto di massa 2 kg, inizialmente in quiete, cade da un’altezza di 5 dm. Con
che velocità arriva al suolo? [3 m/s]
12. Una ragazza di 60 kg atterra dall’altezza di 1 metro alla velocità di 4,5 m/s. Calcola:
- L’impulso esercitato dal pavimento [I= 270 kg·m/s ]
- La forza esercitata dal pavimento se l’impatto dura 0,1 s. [F=2700 N]
13. Una palla di massa 0,10 kg, che viaggia alla velocità di 30 m/s, viene fermata.
Calcola il lavoro compiuto dalla forza che ha fermato la palla. [-45 J]
14. Un ciclista di 72 kg, su una bicicletta di 15 kg, sta procedendo alla velocità di
30 km/h, quando inizia a frenare costantemente e si ferma in 5,0 m. Qual è il valore
della forza esercitata dai freni? [-6,0×10 2 N]
15. Una persona spinge un mobile di massa 60 kg, inizialmente in quiete, applicandogli
una forza di 300 N. La forza di attrito è pari a 100 N. Si calcoli:
- Dopo quanto tempo il mobile acquista una velocità di 4 m/sec; [1,2 s]
- Il lavoro fatto dalla persona dopo 5 metri di spostamento del mobile; [1,5×10 3 J]
- Il lavoro fatto dalla forza d’attrito per lo stesso spostamento; [-500 J]
- L’energia cinetica acquistata dal mobile dopo 3 secondi dalla partenza. [3×10 3 J]
16. Due ragazzi in palestra stanno esercitandosi nel sollevamento pesi. Riccardo solleva
50 kg sulla sua testa per 10 volte in un minuto, mentre Piero solleva 50 kg sulla sua
testa per 10 volte in 10 secondi. Chi compie più lavoro? Chi sviluppa più potenza?
[Risposta: Il lavoro compiuto dai due ragazzi è lo stesso, Piero sviluppa una potenza
6 volte superiore a Riccardo]
17. Un carrello è spinto a velocità costante su un piano inclinato. Il carrello ha una massa
di 3 kg. Qual è la sua energia potenziale quando ha raggiunto l’altezza di 0,4 m? Se il
piano è inclinato di 45o , che forza dobbiamo applicare affinchè la velocità del carrello
sia costante? Verificare che il lavoro compiuto dalla forza è uguale alla variazione di
energia potenziale. [ 11,8 J; 20,8 N ]
13
Figura 5:
18. Calci un pallone verticalmente in modo che vada il più in alto possibile. La velocità
che il calcio imprime al pallone è di 50 km/h e colpisci il pallone ad un’altezza di 1,0
m. Quale altezza dal suolo raggiunge il pallone? [11 m]
19. Un atleta si sta allenando con un bilanciere che pesa complessivamente 510 N. Viene
sollevato fino ad un’altezza di 60,0 cm dal petto e poi abbassato. Supponendo che
il movimento sia verticale e a velocità costante, calcola quanto lavoro viene fatto
dall’atleta quando solleva il bilanciere. E quando lo fa abbassare? [306 J; -306 J]
14
4
QUANTITÀ di MOTO ed URTI
ESEMPI SVOLTI
1. Consideriamo l’esempio illustrato in Fig. 6 di un’automobile che ha una velocità di
5 m/s e che urta contro un muro. Nel caso A l’automobile è spinta all’indietro con
una velocità finale di 4 m/s, nel caso B, la macchina è fermata dall’urto. In quali dei
Figura 6:
due casi si ha maggior variazione della quantità di moto? In quale caso è maggiore
la forza che agisce sulla macchina, assumendo che i tempi di contatto siano gli stessi
nei due casi?
Risposta: Consideriamo il caso(A). Scegliamo come asse x di riferimento la direzione del moto e come verso positivo dell’asse x quello in cui si sta muovendo
l’automobile prima dell’urto. Indichiamo con m la massa dell’auto e scriviamo la
sua quantità di moto
prima dell’urto pi = m × vi = m × 5m/s dopo l’urto pf = m × vf = m × (−4m/s)
La variazione della quantità di moto è
∆p = pf − pi = m × (−4m/s) − m × 5m/s = m × (−9m/s)
Consideriamo il caso(B). Anche in quasto caso scriviamo la quantità di moto dell’auto
prima dell’urto pi = m × 5m/s dopo l’urto pf = m × (0 m/s) = 0 kg · m/s
La variazione della quantità di moto è
∆p = pf − pi = m × (0m/s) − m × 5m/s = m × (−5m/s)
Se indichiamo con ∆t l’intervallo di tempo in cui la forza agisce, l’impulso della forza
sarà nei due casi
nel caso A F ∆t = ∆p = m × (−9 m/s)
nel caso B F ∆t = ∆p = m × (−5 m/s)
15
Il valore negativo sta ad indicare che la forza è diretta verso sinistra ed in valore
assoluto è maggiore nel caso (A) rispetto al caso (B).
2. Consideriamo un altro esempio illustrato in Fig. 7. Un camion che si muove con
Figura 7:
velocità di 10 m/s urta un’auto in sosta. Dopo l’urto l’auto acquista una velocità di
15 m/sec. Se la massa del camion è 3000 kg e quella dell’auto è 1000 kg, qual è la
velocità finale del camion?
Risposta : Dopo l’urto, il camion rallenta e perde quantità di moto, mentre l’auto
la acquista. Per il teorema della quantità di moto la quantità di moto totale dopo
l’urto è uguale alla quantità di moto totale prima dell’urto:
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
dove abbiamo indicato con (1) il camion e con (2) l’auto. Sostituiamo i dati del
problema: m1 = 3000 kg, m2 = 1000 kg, v1i = 10 m/s, v2i = 0 m/s, v2f = 15 m/s:
3000kg × 10m/s = 3000kg × v1f + 1000kg × 15m/s
da cui
v1 =
3000kg × 10m/s − 1000kg × 15m/s
= 5 m/s.
3000kg
3. Due autovetture sbattono contro una parete. La polizia rileva che i danni sono
praticamente identici. Uno degli autisti dice che viaggiava a 80 km/h, mentre l’altro,
con un automezzo di massa quadrupla, sostiene che andava a 20 km/h. Gli autisti
dicono entrambi la verità?
Risposta: No. Secondo le dichiarazioni degli autisti al momento dello scontro il
rapporto delle energie cinetiche è
1 × 802
T1
m1 v12
=
=
=4
T2
4 × 202
m2 v22
ma ciò corrisponderebbe a danni 4 volte maggiori per l’auto più veloce.
4. Consideriamo due pesci, uno dei quali con una massa 3 volte maggiore dell’altro.
Il pesce grosso si muove con una velocità di 2 m/sec e mangia il pesce piccolo che
è fermo. Qual è la velocità finale del pesce grosso (che contiene il piccolo nella
pancia)?
Risposta : 3m × 2 = (3m + m) × v da cui v = 1, 5 m/s.
16
Figura 8:
ESERCIZI
1. Una palla da calcio di massa 1,0 kg viaggia alla velocità di 99 km/h. Quanto vale la
sua quantità di moto? [28 kg·m/s oppure 99 kg·km/h]
2. Uno sciatore d’acqua di massa 80 kg è trainato da un motoscafo (massa del motoscafo
550 kg) alla velocità di 36 km/h. Quanto valgono le quantità di moto dello sciatore
e del motoscafo? [8, 0 × 102 kg·m/s; 5, 5 × 103 kg·m/s]
3. Un pallone di 1,0 kg urta un muro alla velocità di 50 km/h, rimbalza e torna indietro alla stessa velocità. Qual è la variazione della quantità di moto del pallone?
[28 kgm/s]
4. Mamma e bambino stanno pattinando. Il bambino, di massa 20 kg, è fermo. La
mamma, di massa 55 kg, si muove con velocità di 6 m/s verso il bambino e lo prende
in braccio. A che velocità si muove il sistema mamma più bambino? [4,4 m/s]
5. Un astronauta si muove con una velocità di 5 km/h verso un secondo astronauta
fermo. I due hanno massa uguale e dopo l’urto proseguono abbracciati. Con che
velocità? [2,5 km/h]
6. Una pattinatrice su ghiaccio di massa 58 kg è inizialmente ferma. Le viene lanciata
una palla di massa 2 kg con velocitá pari a 20 km/h. La pattinatrice afferra la palla.
Qual è la velocità finale del sistema pattinatrice più palla? [(2/3) km/h]
7. Una locomotiva ha una massa 5 volte più grande della massa di un carrello. La locomotiva, in moto con velocità di 10 km/h, urta contro il carrello fermo. Dopo l’urto
locomotiva e carrello proseguono il moto con la stessa velocità. Quale? [8,3 km/h]
8. Due carrelli A e B di massa m e 3m rispettivamente sono poggiati su un piano orizzontale di attrito trascurabile. I carrelli sono fermi, uniti da un filo e tra di essi si
trova una molla in stato di compressione. Bruciando il filo, il carrello A acquista
una velocità v.
- Quanto vale la velocità acquistata da B? [-(1/3) v A ]
2]
- Quanto vale l’energia cinetica del sistema prima e dopo l’interazione? [0 J; (2/3)m A vA
- Se l’intervallo di tempo dell’interazione è 0,1 s; calcolare la forza che la molla applica
ai due carrelli nel caso in cui m = 1 kg e v = 2 m/s. [20 N]
9. Un fucile di 4 kg è fermo su un tavolo quando, improvvisamente, spara un proiettile
di 3 g con una velocita‘ di 60 m/sec. Con che velocità rincula il fucile? [-0,045 m/s]
17
10. Un’auto con velocità 30 km/h e massa 300 kg si scontra con un’auto in sosta di
massa 200 kg. Trascurando gli attriti e supponendo che le due auto dopo l’urto si
muovano insieme, calcolarne la velocità. [18 km/h]
11. Un astronauta di 80 kg e un satellite di 1350 kg sono in orbita nello spazio accanto a
uno space-shuttle e fermi rispetto a esso. L’astronauta spinge leggermente il satellite
facendolo allontanare dallo space-shuttle a una velocità di 0,15 m/s. Con quale
velocità si muoverà l’astronauta in conseguenza della spinta data? [2,5 m/s verso lo
space-shuttle]
12. In una partita di rugby il giocatore che ha appena ricevuto la palla è ancora fermo
quando viene attaccato da un avversario che lo placca, urtandolo alla velocità di 5,0
m/s. Il primo giocatore ha una massa di 95 kg, inclusa la palla, mentre l’avversario
di 110 kg. Con quale velocità si muovono cosı̀ avvinghiati? [2,7 m/s]
13. Una ragazza di 50 kg su uno skateboard si muove su una rampa in salita. La sua
velocità iniziale a quota zero è 3,90 m/s, l’altezza massima della rampa è di 50,0 cm.
Calcola:
-l’energia cinetica all’imbocco della rampa; [380 J ]
-l’energia potenziale gravitazionale (rispetto alla quota della base della rampa) all’uscita in alto della rampa; [245 J ]
-l’energia cinetica all’uscita della rampa; [135 J ]
-la velocitá con cui esce dalla rampa. [2,32 m/s]
18
5
TEMPERATURA e CALORE
ESEMPI SVOLTI
1. Mescolo 100 cm3 di acqua calda a 80◦ C con 200 cm3 di acqua fredda a 18◦ C. Quale
sarà la temperatura di equilibrio?
Risposta : Indichiamo con mc e Tc la massa e la temperatura iniziale dell’acqua
calda e con mf e Tf la massa e la temperatura iniziale dell’acqua fredda. La temperatura comune di equilibrio delle due masse d’acqua dipende dalle masse oltre che
dalle temperature secondo la legge:
Tequilibrio =
mc Tc + m f Tf
100cm3 × 80◦ C + 200cm3 × 18◦ C
=
= 38, 7◦ C
mc + m f
100cm3 + 200cm3
2. La capacità termica di 1 kg di acqua è 4186 J/K. Calcola la variazione di temperatura
dell’acqua se : (A) vengono forniti al sistema 505 J di calore; (B) vengono sottratti
al sistema 1010 J di calore.
Risposta: (A) Calcoliamo la variazione di temperatura ∆T per Q = 505 J
∆T =
505 J
Q
=
= 0, 121 K
C
4186 J/K
(B) Poiché il calore viene sottratto al sistema, in questo caso Q = −1010 J
∆T =
Q
−1010 J
=
= −0, 241 K
C
4186 J/K
ESERCIZI
1. Mescolo 1 litro d’acqua a 70◦ C con 3 litri di acqua a 20◦ C . Assumendo tutto isolato
termicamente, qual è la temperatura di equilibrio? [32,5 ◦ C]
2. Metto a contatto termico due pezzetti di ferro; il primo di massa 300 g e temperatura 90◦ C , l’altro di massa 1 kg e temperatura 15 ◦ C . Assumendo tutto isolato
termicamente, qual è la temperatura di equilibrio? [32,3 ◦ C]
3. Vogliamo aumentare di 1,0◦ C la temperatura di 1000 g di acqua. La temperatura
iniziale dell’acqua è di 14,5◦ C e siamo in condizioni normali di pressione. Quanta
energia bisogna fornire? [4,19×10 3 J]
4. Quanto calore devi fornire ad una palla di 225 g di piombo per portare la temperatura
da 15◦ C a 25◦ C? Il calore specifico del piombo è di 128 J/(kg·K). [288 J]
5. Un proiettile di piombo che si muove a 380 m/s si conficca in un blocco di legno.
Se la metà della sua energia cinetica va nel riscaldamento del proiettile, qual è la
variazione di temperatura del proiettile? Ricorda che il calore specifico del piombo
è di 128 J/(kg·K). [282 K]
6. Durante il sonno il tuo metabolismo brucia calorie secondo la formula 2, 6×10 −4 Cal/(s·kg).
Quante calorie brucia una persona di 75 kg dormendo 8 ore? [562 Cal]
19
7. Correndo sul tapis-roulant per 1,5 minuti, si bruciano 2500 calorie. Calcola quale è
stata la tua potenza durante questo periodo. [116 W]
8. Durante una seduta di aerobica, una persona alza ripetutamente di 45 cm un attrezzo
che pesa 6 kg. Quanti di questi movimenti sono necessari per bruciare 120 kcalorie?
[19 × 103 ]
9. Una bottiglia di plastica contiene 2000 cm 3 di acqua alla temperatura di 14,5◦ C. La
bottiglia viene agitata e cosı̀ facendo si compie un lavoro complessivo di 8,38×10 3 J.
Qual è la temperatura finale dell’acqua? [15,5 ◦ C]
10. Uno scaldabagno elettrico riscalda una massa di 100 kg di acqua da 10 ◦ C a 60◦ C.
Quanta energia ha fornito lo scaldabagno? [2,1×10 7 J]
20