Caratteristiche, potenziali e
limiti di un’interpretazione
dinamica della tangente
Progetto di ricerca di
Pietro Milici
1
INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
La tangente in geometria
Retta passante per un punto di una curva con
determinate proprietà (data una curva e un
punto si trova la tangente)
 Utilizzo costruttivo: tangenti per definire curve
tramite inviluppo (senza continuità, processo di
limite)


Movimento trazionale: utilizzo dinamico e
continuo delle proprietà della tangente per
costruire in modo continuo la curva che soddisfi
tali proprietà (la curva e la tangente nascono
dalla rispettiva correlazione)
2
INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Assunto di base (da verificare)
L’interpretazione dinamico/concreta della
tangente può facilitare lo studente
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Questioni didattiche
Utilizzo di artefatti per l’analisi?
 Costruzione assiomatica della teoria
sottostante la geometria trazionale?
 Il cambiamento epistemologico può
portare a una rilettura dell’analisi?

4
INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Questioni fondazionali
Che limiti ha l’interpretazione della
derivata come “ruota”? Fino a che livello
dell’analisi va bene?
Confronto la “concreta” ruota con
l’attuale più potente mezzo concreto:
Macchina di Turing
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Confronto con la computabilità
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Interpretazione concreta e
costruttiva della tangente
Strumenti storici:
 Peso tirato con fune

Ruota che rotola senza strisciare
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
La Trattrice di Perrault
Un grave in posizione iniziale B0 è trascinato
tramite una fune di lunghezza fissa a la cui
estremità si muove lungo r
(seconda metà 17° secolo)
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Huygens e il movimento trazionale
Problema: legittimazione curve trascendenti con
puro movimento geometrico (1693)
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Esempi di movimento trazionale
Perks (inizi del 18° secolo)
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Integrafi
Coradi (1889)
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Differential analyzer
Vannevar Bush, M.I.T. (1931)
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Rivoluzione digitale
Paradigma di calcolo da analogico a digitale
(maggiore controllo sugli errori)
Turing 1936: introduzione della Macchina
Universale (tesi Church-Turing)
 Nascita e sviluppo delle scienze
informatiche

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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Cosa fatto storicamente sul
Movimento Trazionale
 Singole
macchinette per risolvere
graficamente singoli problemi
 Generalizzazione del metodo: come
passare da classi di equazioni differenziali
alle relative macchine trazionali (Riccati,
1752)
 Non si ha né una giustificazione del
perché fisico del movimento né una
assiomatizzazione geometrica
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Base del movimento trazionale


Piano di base
Strumenti:
◦ Assi – corpi rigidi rettilinei (3 gradi di libertà)
◦ Carrelli – usa un asse come binario (1 grado di
libertà)

Vincoli:
◦ Perno – vincola due strumenti a ruotare attorno al
loro punto in comune
◦ Ruota – obbliga un punto di un asse a non muoversi
perpendicolarmente all’asse cui appartiene
(modello NON minimale!)
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Confronto con modelli noti
General Purpose Analog Computer (GPAC),
Shannon (1941) per Differenzial Analyzer
(calcola tutte e sole le funzioni soluzioni di
sistemi di eq. differenziali polinomiali)
Componenti:
 Addizionatori
 Integratori
 Costanti
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Risultati ottenuti
Movimento trazionale:
 Estende curve algebriche
 Costruisce tutte le funzioni del GPAC
 Risolve equazioni differenziali in C
(ad esempio costruzione cicloide e^ix)
 Permette la proiezione di funzioni
complesse sui reali, estendendo GPAC
con funzioni non analitiche
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Limiti del movimento trazionale

Impossibili funzioni discontinue (confronto con
computabilità di funzioni reali)

Basta per creare un collegamento con gli
algoritmi? Estendibilità in più dimensioni?
Possibile estendere modello per derivate non
intere? (la funzione Gamma di Eulero

( z )   t z 1et dt è computabile ma non DAE)

0
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Sbocchi didattici
Interpretazione epistemologica della
tangente
 Macchine matematiche e artefatti
(Bartolini Bussi, Rabardel)
 Vedere risolvere con mezzi meccanici
equazioni differenziali in R e C (e
possibilità di vedere differenze tra i
campi)
 Creare un sistema assiomatico ad hoc

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FILOSOFIA
STORIA
EPISTEMOLO FONDAMEN DIDATTICA
GIA
TI
Esempio: studio di funzione
Funzione radice quadrata:
 f '( x)  1
2 f ( x)

 f (1)  1
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Esempio: studio di funzione
Registro analitico Registro geometrico
Dominio: {x≥0}
Qui si vede una grande differenza con la parte analitica. Infatti la
macchinetta, osservata staticamente, non permette di valutare il campo di
esistenza. Questo è dovuto al fatto che le ascisse vengono utilizzate
dinamicamente. D’altro canto si può però vedere come la macchinetta si
blocchi se f(x)=0
f è sempre non Se si ha f(x)=0, non si può continuare a sinistra (la macchinetta, come già
negativa
detto, si blocca). Pertanto, per continuità, f è sempre non negativa
f è crescente
Considerando la macchinetta (tangente perpendicolare al segmento
passante per (x+½,0) ), la derivata sarà positiva quando f è non negativa
(in tutto il dominio [sarebbe 0 solo se f(x)= ∞] )
Per
x→+∞,
f Sappiamo che f è crescente, quindi non può oscillare. Per assurdo
tende all’infinito e consideriamo che converga, pertanto la derivata dovrà tendere a 0, e in tal
f’ tende a 0
caso la tangente sarà perpendicolare alla retta passante per (x,f(x)) e
(x+½,0), che dovrà essere parallela all’asse delle ordinate: questo implica
che f(x) deve tendere ad ∞, da cui l’assurdo: perciò diverge.
Una volta vista la divergenza, per il ragionamento dell’assurdo, la
tangente tenderà a divenire orizzontale.
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Bibliografia 1/2
Bartolini Bussi, M. G. & Mariotti, M. A.: Semiotic mediation: from history to the mathematics classroom, For the learning of Mathematics, vol.
19 (2), 27-36 (1999).
Bartolini Bussi, M. G. & Maschietto, M.: Working with artefacts: the potential of gestures as generalization devices. Research Forum:
Gesture and the Construction of Mathematical Meaning, in Proceedings of th 29th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics
Education, Melbourne, Australia, vol. 1, 131-134 (2005).
Bartolini Bussi, M. G. & Maschietto, M.: Macchine matematiche: dalla storia alla scuola. Springer-Verlag, collana Convergenze (2006).
Bartolini Bussi, M. G. & Pergola, M.: History in the Mathematics Classroom: Linkages and Kinematic Geometry, in Jahnke H. N., Knoche
N. & Otte M. (hrsg.), Geschichte der Mathematik in der Lehre, Goettingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 39-67 (1996).
Blum, L.: Computing over the Reals: Where Turing Meets Newtons, Notices of the AMS (Oct. 2004).
Blum, L., Cucker, F., Shub M & Smale S.: Complexity and Real Computation, Springer-Verlag (1998).
Bos, H. J. M.: Tractional motion and the legitimation of transcendental curves, Centaurus, 31, 9-62 (1988).
Bos, H. J. M.: Recognition and wonder : Huygens, trational motion and some thoughts on the history of mathematics, Tractrix, Yearbook for
the history of science, medicine, technology and mathematics, 1, pp. 3-20 (1989). Reprint in Lectures in the History of Mathematics,
Providence (Rhode Island): American Mathematical Society, 1993, pp. 1-21; 2nd edition 1997.
Bos, H. J. M.: Redefining Geometrical Exactness, Descartes’ Trasformation of the Early Modern Concept of Construction, Springer-Verlag, New
York (2001).
Descartes R.: La géométrie, appendix of Discours de la méthode (1637). Reprint: New York: Dover, 1954.
Huygens, C.: Letter to H. Basnage de Beauval, February 1693, Œuvres, vol. 10, pp. 407-422. Printed in Histoire des ouvrages des sçavants (or
Journal de Rotteredam), pp. 244-257 (Feb. 1693).
Kempe, A. B.: On a general method of describing plane curves of the nth degree by linkwork. Proceedings of the London Mathematical
Society, VII, 213-216 (1876).
Kuhn, T. S.: The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: University of Chicago Press (1962).
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INTRODUZION
E
STORIA
FONDAMENTI
DIDATTICA
Bibliografia 2/2
Leibniz, G. W.: Supplementum geometriæ dimensoriæ seu generalissima omnium tetragonismorum effectio per motum : similiterque
multiplex constructio lineæ ex data tangentium conditione, Acta eruditorum; Math. Schriften, vol. 5, 294-301 (Sept. 1693).
Lipshitz, L. & Rubel, L. A.: A differentially algebraic replacement theorem, and analog computability, Proceedings of the American Mathematical
Society 99, no. 2, 367–372 (1987).
Pascal, E.: I miei integrafi per equazioni differenziali. Libreria scientifica ed industriale di Benedetto Pellerano, Napoli (1914).
Perks, J.: The construction and properties of a new quadratrix to the hyperbola, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 25,
2253-2262 (1706).
Perks, J.: An easy mechanical way to divide the nautical meridian line in Mercator’s projection, with an account of the relation of the same
meridian line to the curva catenaria, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29, 331-339 (1714-1716).
Podlubny I.: Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their
Solution and Some of Their Applications. Academic Press, San Diego-Boston-New York-London-Tokyo-Toronto (1999).
Pour-El, M. B.: Abstract computability and its relations to the general purpose analog computer. Transactions of the American Mathematical
Society 199, 1–28 (1974).
Riccati, V.: De usu motus tractorii in constructione æquationum differentialium commentarius, Bononiæ : Ex typographia Lælii a Vulpe (1752).
Shannon, C. E.: Mathematical theory of the differential analyzer, J. Math. Phys. MIT 20, 337–354 (1941).
Tournès, D.: Vincenzo Riccati's treatise on integration of differential equations by tractional motion, Oberwoalfach Reports, 1, 2738-2741
(2004).
Tournès, D.: La construction tractionnelle des équations différentielles dans la première moitié du XVIIIe siècle, in Histoires de géométries
Textesdu séminaire de l’année 2007, Dominique Flament (éd.), Paris: Fondation Maison des Sciences de l’Homme, 14p. (2007).
Tournès, D.: La construction tractionnelle des équations différentielles. Paris : Blanchard, (2009).
Turing, A.M.: On Computable Numbers with an Application to the Entsheidungsproblem. Proc. London Math. Soc., 42, 230-256 (1936)..
Weihrauch, W.: Computable Analysis. Springer-Verlag, Berlino (2000).
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