– Progetto Docente –
Applica le competenze acquisite
Realizzazione di un lavoro didattico di
formazione-informazione relativo alla parte
finale del corso
Applicazione di abilità e competenze nella costruzione di un
percorso di Storia-Matematica-Astronomia e Fisica
come conferma della validità del modello di e-learning
6-16 Novembre 2002
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Obiettivi
L’obiettivo della presentazione riguarda l’applicazione delle abilità e
competenze acquisite durante il corso mediante la costruzione di un
percorso di comprensione relativo a un qualunque tema disciplinare
come conferma della validità del modello di e-learning;
La ragione del perché si è scelto un percorso di Storia-MatematicaAstronomia e Fisica è la coerenza epistemologica che le quattro
discipline mostrano di possedere nell’interpretazione culturale e
pedagogica delle idee presenti nel tema;
Si è scelta come tematica le leggi di Keplero perché si è notato che è
possibile sfruttare al meglio i mezzi informatici per realizzare,
comprendere e visualizzare egregiamente le tematiche connesse con le
quattro discipline (aspetto grafico, simbolico, iconico oltrechè testuale);
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Le leggi di KEPLERO: Indice
(Fai click sulle pergamene per vedere l’ animazione)
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Le leggi empiriche di Keplero
Discipline coinvolte:
Storia
Matematica
Astronomia
Fisica
A cura dei proff. Vincenzo Calabrò-Vincenzo Cennamo-Fernando Cogli
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Sommario
Il problema
Il problema
Il problema
Il problema
Il problema
Sintesi
Bibliografia
generale delle Leggi di Keplero
storico
matematico
astronomico
fisico
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Il problema generale
Fin dai tempi più remoti i movimenti dei pianeti, coi
loro vagabondaggi sullo sfondo del cielo stellato, hanno
rappresentato un affascinante mistero per l’umanità
I volteggi di Marte erano i più sorprendenti
La curva a cappio
descritta dal pianeta
Marte sullo sfondo
della Costellazione del
Capricorno
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a
1
legge di Keplero
o legge delle orbite
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Tutti i pianeti si muovono
su orbite ellittiche, di cui il Sole
occupa uno dei due fuochi
1 Legge
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Orbita ellittica
8
a
2
legge di Keplero
o legge delle aree
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Il segmento che collega un
pianeta al Sole descrive
(spazza) aree uguali in tempi
uguali
dA/dt=cost.
2 Legge
9
a
3
legge di Keplero
o legge dei periodi(*)
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Il quadrato del periodo di
qualunque pianeta è
proporzionale al cubo della
sua distanza media dal Sole
T2= k r3
(*) Chiamata anche legge armonica
3 Legge
Approfondisci
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Il problema matematico
L’ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO
Dati nel piano due punti F1 ed F2, si dice ellisse
E il luogo geometrico dei punti P di  per cui
è costante la somma delle distanze da F1 ed
F2:
E = (P\ PF1+PF2 = 2a; 2a>F1F2 )
I punti F1 ed F2 si dicono fuochi dell’ellisse
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Equazione dell’ellisse
Siano F1(c;0) ed F2(-c;0), con c0+, i fuochi e P(x;y) il punto
generico dell’ellisse che verifica la condizione:
PF1+PF2 = 2a
(a 0+)
dovrà naturalmente risultare
2a>2c
cioè a>c
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Equazione canonica dell’ellisse
L’equazione canonica dell’ellisse assume
la forma:
con a2-c2=b2
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Proprietà dell’ellisse
L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi
coordinati
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Proprietà dell’ellisse
La curva è compresa nel rettangolo
delimitato dalle rette
x=a, x=-a
y=b, y=-b
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Eccentricità
Si definisce eccentricità dell’ellisse il rapporto
e=c/a
Essendo:
b2=a2-c2
con
cioè
0<e<1
c2=a2-b2
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Il problema fisico
Fu quello di stabilire la “struttura fisica” delle
leggi del moto dei pianeti che orbitano intorno al Sole
Struttura fisica significa, qui, individuazione delle
grandezze fisiche che intervengono nel fenomeno
Individuazione delle equazioni che regolano il moto,
e del ruolo che queste ultime giocano nel processo
di comprensione della stabilità dell’universo
Le grandezze fisiche in gioco sono:
A, dA/dt, L, m, M, v, ω, p, T, r, G
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Due ragioni del perché Keplero
scelse come orbita l’ellisse
Keplero trascorse tanto tempo studiando,
con i dati di Tycho, l’orbita di Marte, che
rivelava essere tutt’altro che una circonferenza.
Alcuni punti del cerchio non collimavano
con i dati di Tycho:
Keplero rilevò uno scostamento di 8’ di
arco dalle osservazioni di Brahe.
Keplero sapeva che Brahe era stato un
osservatore troppo accurato per poter
commettere un errore di 8’! Quindi…..
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Due ragioni del perché Keplero
scelse come orbita l’ellisse
L’ellisse è una sezione conica, il cui contorno
è il risultato del taglio trasversale di un cono
circolare.
La forma di questo contorno dipende dall’ inclinazione
del taglio rispetto alla base del cono.
La forma ottenuta è circolare se, e solo se,
il taglio viene effettuato parallelamente alla
base del cono.
Per Keplero ciò significava che la possibilità
che un pianeta percorresse un’orbita
circolare era praticamente nulla, cioè 1/∞!
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Il moto di un pianeta
La figura
mostra un
pianeta di
massa m
che si muove
su un’orbita
ellittica
intorno al Sole
che ha la
massa M
(M>>m)
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La 2a legge in forma schematica
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La 2a legge in termini qualitativi
La 2a legge afferma che il pianeta si
muove:
più lentamente quando è più
lontano dal Sole (afelio)
più rapidamente quanto più
è vicino al Sole (perielio)
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Dal punto di vista dinamico
L’area dello spicchio ombreggiato
equivale quasi esattamente
all’area coperta nel tempo t dal segmento r
che congiunge il Sole al pianeta.
L’area A dello spicchio è uguale all’area di
un triangolo mistilineo con base l’arco s e
altezza r:
A=½base altezza=½sr=½(r)r≅½r2
Quest’espressione di A diventa sempre più esatta
quando t , e con esso , tende a 0.
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Durante l’intervallo t il raggio r
ruota intorno a S di un angolo 
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La rapidità istantanea (velocità areolare)
Å=dA/dt con la quale viene descritta l’area è:
Å=dA/dt=½r2d/dt=½r2
dove  è la velocità angolare del
segmento rotante r che congiunge il
pianeta al Sole.
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Ecco l’aspetto vettoriale del moto
Il vettore p è la quantità di moto del pianeta
Il vettore L è il momento angolare del pianeta
rispetto al Sole, cioè:
L=rp=rmv
L=rm(v sinθ)=rmv=rmωr=mr2ω
Eliminando r2ω fra le due equazioni si ottiene:
dA/dt=L/2m
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Significato della 2a legge
dA/dt=L/2m
Se il sistema è isolato L non varia
e il secondo membro è costante.
Viceversa, se il secondo membro è
costante, allora la velocità areolare è
costante e vale la 2a legge di Keplero.
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La 3a legge
Consideriamo un’orbita circolare di
raggio r:
per la 2a legge di Newton: F=ma
per pianeta in orbita.
Sostituendo a F l’espressione della
legge di gravitazione F=GMm/r2 e
all’accelerazione centripeta a=ω2r
si ottiene:
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quindi:
(F) = m (a)
(GMm/r2)=m (ω2r)
Confrontando e sostituendo a ω=2/T,
(con T periodo del moto) si avrà:
T2=(42/GM)r3
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Limiti di validità
I ragionamenti sono validi nel nostro caso solo se le
orbite sono circolari ma le leggi sono universalmente
valide anche per orbite ellittiche
La nostra dimostrazione è stata svolta nel caso di
pianeti che ruotano intorno al Sole ma le leggi sono
universali e valide in ogni rivoluzione planetaria o
galattica
L’assunzione di base è che la massa M del Sole sia
molto più grande della massa m del pianeta in modo
tale che il cento di massa del sistema pianeta-Sole
(M+m) sia praticamente al centro del Sole
Il sistema di riferimento è preso rispetto al Sole
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esci
L’esattezza delle tre leggi di Keplero
Le leggi di Keplero sono state
confermate sperimentalmente in modo
irrefutabile.
Ma ci vollero ancora più di 50 anni prima
che se ne potessero conoscere anche le
cause: si è dovuto aspettare Isaac
Newton per avere il quadro completo
della teoria meccanico-gravitazionale
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Proposte di attività sperimentali per
la costruzione di un’ellisse
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
della moneta obliqua
della deformazione del cerchio
del disco rotante in una teglia
dell’inviluppo delle tangenti
del filo teso
della torcia inclinata
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1. Ellisse = moneta obliqua
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2. Ellisse = deformazione di un cerchio
Si avvolge un foglio di carta su
una bottiglia e si traccia una
circonferenza con un
compasso. Distendendo il
foglio si ha un’ellisse, la cui
forma dipende:
• dall’apertura del compasso
• dal diametro della bottiglia
cilindrica
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3. Ellisse = disco rotante in una teglia
Si ha una teglia con un foglio da
disegno incollato sul fondo. Un
disco circolare di cartone, di
diametro d=½D avente un foro
non nel centro, si fa rotolare
senza strisciare nella teglia. La
punta nel foro disegna un’ellisse.
La forma dipende:
•dalla posizione del foro
•dal diametro della teglia
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4. Ellisse = inviluppo delle tangenti
Con un cerchio di carta si segna
un punto (fuoco F) non nel
centro (fuoco F’). Si piega il disco
in modo che un punto del bordo
coincida con il punto segnato.
Ripetere l’operazione parecchie
volte usando diversi punti del
bordo.Si ottengono diverse
piegature che sono le tangenti
che inviluppano l’ellisse. La forma
dipende:
•dalla posizione del fuoco F
•dal diametro del cerchio
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5. Ellisse = filo teso
Si fissano due puntine su
un’asticella di legno su cui vi è
fissato un foglio. Si fa un anello
di filo e si disegna l’ellisse
tenendo teso il filo.
La forma dipende:
• distanza delle puntine
• lunghezza del filo
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6. Ellisse = torcia elettrica inclinata
Avvolgete attorno a una torcia
elettrica un foglio di alluminio
con un forellino di circa 0,5 cm.
Dirigete sul piano il cono di luce
uscente dal forellino. Se la torcia
è perpendicolare al piano
otterrete un cerchio. A mano a
mano che inclinate la torcia, il
cerchio si trasforma in un’ellisse.
La forma dipende:
• diametro del foro
• distanza della torcia dal piano
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LINKS
Gioca con Keplero
Animazione
Mappa teorie astronomiche 1
Mappa teorie astronomiche 2
Keplero: vita ed opere
Le leggi di Keplero
Keplero:la vita e e le opere
Simulazione (NASA)
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Bibliografia minima
1. T.S.Kuhn, La rivoluzione copernicana, Torino,
2.
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4.
5.
Einaudi, 1972;
L.Motz-J.H.Weaver, La storia della fisica, Bologna,
Cappelli Editore, 1991;
D.Halliday-R.Resnik-J.Walker, Meccanica, Bologna,
Zanichelli, 2001;
A.Braccesi, Una storia della fisica classica, Bologna,
Zanichelli, 1992;
G.Gamow, Biografia della fisica, Milano, 1961;
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