Stabilità per E.D.O. (I):
STABILITÀ LINEARIZZATA
19-Maggio-2006
Marina Mancini
Sistema autonomo
Consideriamo un sistema di n equazioni ed n incognite:
dx1
 F1  x1 ,...xn 
dt
.
.
dxn
 Fn  x1 ,...xn 
dt
Fi
funzioni continue di n variabili reali
x :  x1 , x2 ...xn 
F x 
x1 , x2 ..xn
F x  : F1 x ,...Fn x 
è definita e continua in
  x || x || a
2
Sistema autonomo(2)
dx
 
x
 F x 
dt
(1)
   x0
Se partiamo dalla condizione iniziale: x t0
esiste un’ unica soluzione xt ; t0 , x0 
x t0  x0 .
 
di (1) che verifica
Definizione:
Fi sono
Un punto x f :  x1 ,...xn  dove tutte le funzioni
uguali a zero è detto punto fisso del sistema autonomo (1).
3
Sistema autonomo lineare
Un sistema autonomo come (1) è lineare se e solo se tutte le
funzioni Fi sono funzioni lineari omogenee di x k , e:
dxi
 ai1 x1  ...  ain xn
dt
,
i=1…n
x1  a11x1  a12 x2  ...a1n xn
.
.
xn  an1 x1  an 2 x2  ...ann xn
(2)
 
x  Ax A  aij
xt0   x0
Il sistema (2) ha come soluzione x t ; t 0 , x0   e
At
x0 .
4
Norma di una matrice
 
Sia B  M  n , allora || B || max || Bx ||:|| x || 1 .
n
E soddisfa le seguenti proprietà A, B  M  :
|| A  B |||| A ||  || B || , || AB |||| A |||| B || ,
1.
|| cA ||| c ||| A || c   , e
2.
|| Ax |||| A |||| x || x vettore.
3.
 
Inoltre vale:
Se
1 ,...nsono autovalori di
Re i  0
 
A  M n
i    0, R  0 
t.c.
|| e At || R e t
5
Stabilità alla Lyapunov delle soluzioni
DEFINIZIONE:
Sia xt   xt; t0 , x0  soluzione di (1) che soddisfa:
(a) xt  è definita per t  t 0 , e
(b) xt  appartiene all’insieme   x  || x || a
allora xt  è detta stabile se:
(c)
  0 t. c. ogni soluzione xt ; t0 , x1  soddisfa (a) e (b) con
|| x1  x0 ||  ,e
(d) Fissato   0   0,0     , t. c. || x0  x1 ||  implica
|| xt; t0 , x0   xt; t0 , x1  ||  ,
t  t0
6
Stabilità asintotica delle soluzioni
DEFINIZIONE:
La soluzione xt   xt ; t0 , x0  di (1) è asintoticamente stabile se è
stabile e   0, 0     , t. c. || x0  x1 ||  implica
lim || xt; t , x   xt; t , x  || 0
t 
0
0
0
1
Una soluzione che non è stabile è detta instabile.
7
Riduzione alle soluzioni nulle
Consideriamo il sistema autonomo non lineare:
x  hx 
(3)
e sia xt   xt ; t0 , x0  la soluzione di (3) all’istante t, a partire
dalla condizione iniziale xt0   x0 .
Un punto
x f è un punto fisso per (3), t  t0 , se:
x f  xt ; t0 , x f 
In generale sappiamo che i punti fissi di (3) sono tutte le soluzioni
reali di:
hx   0
pertanto
hx f   0
8
Riduzione alle soluzioni nulle(2)
Sia x f
 0 punto fisso di (3).
Si consideri come nuova variabile:
z : x  x f
Il sistema dinamico
z  h z 
h z  : hz  x f 
ha punto fisso nell’origine poiché:
h 0  hx f   0
CONCLUSIONE:
Non è insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un sistema
autonomo con punto fisso nell’origine.
9
Approssimazione lineare
Il processo di linearizzazione ci consente di determinare
l’equivalente lineare di un sistema non lineare nell’intorno di un
punto fisso.
Consideriamo il sistema non lineare:
x  hx 
con punto fisso
xf  0
.
hx  : h1 x ,...hn x 
x : x1 ,...xn 
Il punto fisso x f  0 può essere preso come punto iniziale per
un’espansione in serie della funzione h(x ) .
Arrestando tale espansione al primo ordine si ottiene:
d
hx   h0 
hx  x 0  x  o x 
dx
10
Approssimazione lineare(2)
Dove:
x è l’incremento rispetto al punto fisso
o( x )  f ( x ) indica tutti i termini di ordine superiore al primo
h(0) è nullo per definizione di punto fisso.
d
è un termine lineare descrivibile, quindi, in
h( x ) x 0  x
modo matriciale:
dx
d
h( x )
dx
x 0
 x  Ax ,
d
A : h( x) x 0  J h0
dx
Il comportamento del sistema non lineare, in un intorno del punto
fisso, può quindi essere descritto, in modo approssimato, dal
sistema lineare:

x  Ax
11
Lemma di Gronwall
Se
u (t ) e v (t ) sono funzioni scalari non negative continue per
0  t  ,

è una costante non negativa e
t
u (t )     v ( s )u ( s ) ds,
0
per
t0
allora
t
v  s ds

0
u (t )  e
,
per
t  0.
12
Lemma di Gronwall(2)
Dimostrazione
Se   0, allora la disuguaglianza data implica che:
u (t )v(t )
t
  0 v( s )u ( s )ds
Integrando ambo i membri da
0
a
 v(t )
t
si ha:
t

lg    v( s )u ( s )ds   lg  


0



t
0
v( s )ds,
13
Lemma di Gronwall(3)
Ciò implica che
u (t )    
t
0
Se
t
v  s ds

0
v( s )u ( s )ds  e
.
  0, il risultato vale 1  0, e 1  0 implica che
u (t ) è identicamente nulla e la disuguaglianza è banalmente
soddisfatta.
14
Un risultato per i sistemi non lineari
Consideriamo il sistema non lineare nella forma:
x  Ax  f x 
(4)
termine lineare
termini di ordine
superiore al I
Con A  aij n n e f x    f1 x ,... f n x  soddisfa:
i. f  x  è continua per || x || a e
 
|| f x  ||
ii. lim
 0 cioè || f x  || o|| x || con || x || 0
|| x||0 || x ||
La condizione i. assicura la locale esistenza delle soluzioni,
f 0  0 quindi x (t )  0 è soluzione di (4).
ii. implica
15
Teorema (Stabilità Linearizzata)
Se
A è una matrice costante n n
con polinomio caratteristico
stabile e f x  soddisfa le condizioni i. e
x t   0
ii.
, allora la soluzione
del sistema
x  Ax  f x 
è asintoticamente stabile.
16
Dimostrazione
Riscriviamo la definizione di stabilità per x (t )  x(t ;0,0)  0 :
sia x t   0 soluzione di (1) che soddisfa:
(a) x t  è definita per t  0 , e
(b) x t  appartiene all’insieme   x  || x || a
allora x t  è detta stabile se:
(c)
  0 t. c. ogni soluzione x(t )  xt;0, x1  soddisfa (a) e (b)
con || x1 ||  , e
(d) Fissato   0   0,0     , t. c.
|| xt;0, x1  ||  ,
|| x1 || 
implica
t 0
17
Dimostrazione(2)


Innanzitutto dimostriamo che la soluzione x(t )  x t;0, x1 è
definita per t  0 quando x1 è vicino a zero.
At
  Ax
Se  t  e è la matrice fondamentale del sistema x
t.c.  (0)  I, allora per ipotesi esistono due costanti positive
 t
e
||

(
t
)
||

R
R e  t.c.
per t  0 .
Poiché A è una matrice costante, la soluzione x (t ) deve
soddisfare la relazione
t

x(t )  (t ) x1   t  s  f x(s)ds,
che implica
0
|| x(t ) || e  R || x1 ||   R || f x(s) || e ds.
t
t
s
0
La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida per
in ogni intervallo [0, T ) per cui || x (t ) || a se prendiamo
|| x1 || a.
18
t
Dimostrazione(3)
Dalla condizione ii. segue che m  0
implica || f x || m || x || .

d  0
t.c.
|| x || d
Se prendiamo || x1 || d allora, per la continuità di x (t ) , esiste
t1  0 t.c. || xt  || d per 0  t  t1 . Pertanto
t
|| x(t ) || e  R || x1 ||   mR || x(s) || e ds
t
s
0
per
0  t  t1 . Per il Lemma di Gronwall si ha:
|| x(t ) || R || x1 || e mR t ,
0  t  t1.
x1 e m sono arbitrari, quindi scegliamo m t.c.
mR   e x0  x1 t.c. || x1 || d / 2R implica
Ma
|| x(t ) || d / 2 per 0  t  t1 .
19

Dimostrazione(4)
Poiché f x è definita per || x || a , possiamo prolungare la
soluzione x(t ) , che esiste localmente in ogni punto
(t , x), t  0, || x || a , intervallo dopo intervallo, preservando la
condizione || x (t ) || d / 2 .


Pertanto, ogni soluzione x(t )  x t;0, x1 con || x1 || d / 2R,
è definita per t  0 e soddisfa || x t;0, x1 || d / 2 .
Ma d può essere piccolo a nostra scelta, ciò implica che x (t )  0
è stabile, e mR   implica che è asintoticamente stabile.


CONCLUSIONE:
La stabilità asintotica delle traiettorie dei sistemi lineari è
preservata.
20
Osservazione
Osserviamo che questo risultato vale anche nel caso dei sistemi
non autonomi non lineari che assumono la seguente forma:
  Ax  f t , x 
x
f t , x    f1 t , x ,... f n t , x  soddisfa:
t0,e
i. f t , x  è continua per || x || a ,
ii.
|| f t , x  ||
lim
 0 uniformemente rispetto a
|| x||0
|| x ||
t.
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Esempio
Consideriamo il sistema:
x  ax  by  1 x, y 
y  cx  dy   2 x, y 
Dove ad-bc≠0,  i  x, y  sono continue e
lim
r 0
 i  x, y 
r
0
con
r
x2  y2
Per il teorema precedente si ha:
22
Esempio(2)

a b 
 hanno
Se le radici del polinomio caratteristico di A  
c d 
parte reale negativa, allora (0,0) è un punto fisso
asintoticamente stabile del sistema non lineare .
23