Ad ogni matrice quadrata A di ordine n risulta sempre
possibile associare un numero reale che chiameremo
determinante di A
An
det A = |A|
Determinanti del primo
ordine
det A = |A | = a
A1 = (a11)
A1 = (2)
1
1
11
det A1 = |A1| = 2
Determinanti del secondo
ordine
 a11
A2  
 a21
 1 1
A2  

3

1


a12 
a22 
det A2 = |A2| = a11a22a12a21
det A2 = |A2| =
1 1
3 1
=
= (1)(1)(1)(3) = 13 = 4
 4 1
A2  

3
0


det A2 = |A2| =
4 1
3 0
=
= (4)(0)(1)(3) = 03 = 3
 a11
A3 =  a21

a
 31
a12
a22
a32
a13 
a23 

a33 
Determinanti del
terzo ordine
det A3 = |A3| =
= a11a22a33+ a12a23a31+a13a21a32+
(a13a22a31+ a11a23a32+ a12a21a33)
Prima regola pratica!
Per calcolare il determinante di una matrice A basta
riscrivere, accanto alla matrice A, le prime due colonne di
A e poi sommare tra di loro i prodotti degli elementi che si
trovano sulle diagonali principali a cui vanno sottratti tutti
i prodotti degli elementi situati sulle diagonali secondarie
Metodo di Sarrus
1
A3   2

6

3
7
8
5
4

3 
det A3 = |A3| =
1 3 5
2 7 4
6 8 3
=
1
2
6
3
7
8
5 1
4 2
3 6
3
7
8
=
= (1)(7)(3) + (3)(4)(6) + (5)(2)(8) +
[(5)(7)(6) + (1)(4)(8) + (3)(2)(3)] =
= 21+72+80[210+32+18] =
= 173260 = 87
 3 2 1 
A3   5
4
2


 3 7
5 

det A3 = |A3| =
3
2
5
4
3 7
1
3 2
2 = 5
4
5
3 7
1 3 2
2 5
4=
5 3 7
= (3)(4)(5) + (2)(2)(3) + (1)(5)(7) +
[(1)(4)(3) + (3)(2)(7) + (2)(5)(5)] =
= 60+1235[124250] =
= 37[104] = +141
Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce
minore complementare Aij dell’elemento generico aij della
matrice A il determinante della sottomatrice ottenuta da A
cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna
Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce
complemento algebrico Aij dell’elemento generico aij
della matrice A il minore complementare di aij, preso con il
segno positivo o negativo a seconda che i+j sia
rispettivamente pari o dispari
Aij = (1)i+jAij
1
A3   2

6

1
A3   2

6

3
7
8
5
4

3 
1
A3   2

6

3
7
8
5
4

3 
1
A3   2

6

3
7
8
5
4

3 
A11 =
3
7
8
7 4
8 3
5
4

3 
=(2132)=11
è il minore complementare di a11=1
A12 =
2 4
6 3
=(624)=18
è il minore complementare di a12=3
A13 =
2 7
6 8
=(1642)=26
è il minore complementare di a13=5
1
A3   2

6

1
A3   2

6

1
A3   2

6

1
A3   2

6

1
A3   2

6

1
A3   2

6

3
7
8
5
4

3 
3
7
8
3
5
4

3 
5
4

3 
5
4

3 
5
4

3 
5
4

3 
7
8
3
7
8
3
7
8
3
7
8
A21 =
3 5
8 3
=(940)=31
è il minore complementare di a21=2
A22 =
1 5
6 3
=(330)=27
è il minore complementare di a22=7
A23 =
1 3
6 8
=(818)=10
è il minore complementare di a23=4
A31 =
3 5
=
(1235)=23
7 4
è il minore complementare di a31=6
A32 =
1 5
2 4
=(410)=6
è il minore complementare di a32=8
A33 =
1 3
2 7
=(76)=+1
è il minore complementare di a33=3
1
A3   2

6

A11 =
(1)i+jAij =
3
7
8
5
4

3 
7 4
 +(2132)=11
3
(1)1+1A11 = (1)2  8
è il complemento algebrico di a11=1
A12 =
(1)i+jAij =
2 4
3
1+2
(

1)

 (624)=+18
(1) A12 =
6 3
è il complemento algebrico di a12=3
A13 =
(1)i+jAij =
2 7
(1)1+3A13 = (1)4  6 8  +(1642)=26
è il complemento algebrico di a13=5
A21 =
(1)i+jAij =
3 5
3
2+1
(

1)

 (940)=+31
(1) A21 =
8 3
è il complemento algebrico di a21=2
A22 =
(1)i+jAij =
1 5
4
2+2
(

1)

 +(330)=27
(1) A22 =
6 3
è il complemento algebrico di a22=7
A23 =
(1)i+jAij =
1 3
5
2+3
(

1)

 (818)=+10
(1) A23 =
6 8
è il complemento algebrico di a23=4
A31 =
(1)i+jAij =
3 5
 +(1235)=23
4
(1)3+1A31 = (1)4  7
è il complemento algebrico di a31=6
A32 =
(1)i+jAij =
1 5
(1)3+2A32 = (1)5  2 4  (410)=+6
è il complemento algebrico di a32=8
A33 =
(1)i+jAij =
1 3
6
3+3
(

1)

 +(76)=+1
(1) A33 =
2 7
è il complemento algebrico di a33=3
Data una qualunque matrice A di ordine mn si definisce
minore estratto dalla matrice A il determinante
ottenuto da A cancellando i righe e j colonne
in modo tale che risulti m–i = n–j
Ogni elemento di una qualunque matrice rappresenta
un minore del primo ordine
N.B.!
Data una qualunque matrice rettangolare A di ordine
mn risulta sempre possibile calcolare i suoi
minori aventi per ordine il più piccolo
tra i numeri m ed n
1
A  3

7

2
5

9 
n=2<m=3
sono i minori estraibili da A
del secondo ordine
3 5 1 2 1 2
,
,
7 9 7 9 3 5
|1|, |2|, |3|, |5|, |7|, |9| sono i minori estraibili da A
del primo ordine
2
1
A
 2 1
1 2 1
,
2 1 2
3
0 
3
2
,
0 1
m=2<n=3
3
0
sono i minori estraibili da A
del secondo ordine
|1|, |2|, |3|, |2|, |1|, |0| sono i minori estraibili da A
del primo ordine
2 1 3 
 1
A   2 4
2 6 


 1 1 3 3 


m=3<n=4
2
3  1
2 1 
 2 1 3   1 1 3   1
 4
2 6  ,  2
2 6  ,  2 4 6  ,  2 4
2

 
 
 

 1 3 3   1




3 3   1 1 3   1 1 3 

 
sono tutti i minori estraibili da A del terzo ordine
 2 1   2 3   2 1   2 3   4
, 
, 
, 
, 
 4




2   4 6   1 3   1 3   1

2   4 6 
, 
, ......


3   1 3 
sono solo alcuni minori estraibili da A del secondo ordine
 a11
A3 =  a21

a
 31
a12
a22
a32
 a11
a13 
a
a23  , A4 =  21

 a31
a33 

 a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14 
a24 
,
a34 

a44 
 a11
a
 21
A5 =  a31

 a41
a
 51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
a15 
a25 

a35  , ...

a45 
a55 
Per calcolare il determinante di una matrice A
di ordine n  3 (n = 3, 4, 5, 6, …) occorre fissare una riga
(o colonna) a proprio piacere e poi sommare i prodotti
degli elementi di tale riga (o colonna) per i rispettivi
complementi algebrici
Seconda regola pratica!
Per calcolare il determinante di una matrice A
di ordine n  3 (n = 3, 4, 5, 6, …) si procede come segue:
si fissa a priori una riga (o una colonna) a proprio piacere
si applica la regola dei segni
(si parte sempre dall’elemento a11, a cui va attribuito
il segno positivo; si procede, per righe e per colonne,
mai per diagonali, a segni alterni; il procedimento si
arresta nel momento in cui, a ciascun elemento della riga
o colonna scelta a priori, è stato attribuito un segno)
si sommano i prodotti ottenuti moltiplicando gli
elementi della riga (o colonna) scelta per i
propri minori complementari
Metodo di LAPLACE
A è una matrice quadrata di ordine n = 3
A è una matrice quadrata di ordine n  4 (n = 4, 5, 6, …)
3
2
5
4
3 7
1
2 = 141
5 (cfr.
 3 2 1 
A3   5
4
2


 3 7
5 

det A3 = |A3| =
 3 2 1 
A3   5
4
2


 3 7
5 

fissiamo, ad esempio, la prima riga
slide 11)
per la regola dei segni
+
 3 2
A3   5
4

 3 7

+
1

2

5 
det A3 = |A3| =
4 2
5 2
5 4
3 
 2
  1 

7 5
3 5
3 7
 3   20  14   2   25  6    1   35  12  
 102  62  23  164  23 =
141
N.B.!
Nel caso di una matrice quadrata A di ordine n è
sempre possibile calcolare il suo determinante
applicando indifferentemente uno dei due
metodi proposti
 1 1 0
0
1
2

A4 
0
0 1

3 2
2
0
1

1

1
fissiamo, ad esempio, la terza riga
per la regola dei segni
+
 1 1 0
0
1
2

A4  +
+
0
0 1

3 2
2
det A4 =
1 0
0  1
2
3 2
0
1 0
1  0 0 2
1
2 2
0
1

1

1
0
1 1
1   1  0 1
1
2 3
0
1 1 0
1  1 0 1
2
1
2 3 2
Risulta ora possibile calcolare i determinanti del
terzo ordine, utilizzando uno dei due metodi,
in maniera del tutto arbitraria
Nel caso in esame sarà sufficiente calcolare gli ultimi
due determinanti di ordine 3 (gli altri sono moltiplicati
per 0, quindi il risultato del prodotto sarà nullo!!!)
det A4 = 0  0  1 1  2  3  1  2  4  6   4  12 = 16
N.B.!
Come risulta facilmente intuibile dall’esempio,
nell’utilizzare il metodo di Laplace conviene fissare
sempre una riga (o una colonna) nella quale ci sia un
maggior numero di zeri (i calcoli si semplificano!!!)