Proposte didattiche
di Gianfranco Arrigo
Alta scuola pedagogica, Locarno
NRD, Bologna
Laboratorio di matematica
FIGURE
FIGURE
FIGURE
FIGURE
AL LICEO
agosto 2002
Indice
Modo d’uso del file
Geometria in situazione
Prima situazione
Seconda situazione
Terza situazione
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Geometria
in situazione
Proposte
di laboratorio per il liceo
Intenzione didattica
«Per geometria non intendo lo studio artificioso di
teorema-dimostrazione-c.v.d. che per moltissimo tempo è
stato inflitto nel nome di Euclide a ragazzi innocenti:
intendo l'uso di figure.»
Ian Stewart
docente dell'Università di Warwick
Prima
situazione
Fondamenti
(prima liceo)
Consegna iniziale per gli studenti
Di solito sotto il titolo “Fondamenti” trova posto una teoria
complessa, rigorosa e difficile da padroneggiare.
Non aver paura: le attività che ti proponiamo ti introdurranno
in alcune questioni che concernono elementi geometrici
basilari come punti, rette e circonferenze in modo da farti
scoprire il piacere di ragionare in tutta tranquillità…
… senza l'intenzione di intraprendere una costruzione
rigorosa e completa della geometria (quella la lasciamo ai
matematici), ma con la speranza di farti nascere l'interesse
e il piacere di riflettere sui suoi fondamenti.
Prima stimolazione: Punti e rette
Quante rette passano per un
punto A (dato, qualsiasi)?
A
Quante di queste passano
anche per il dato punto
B≠A?
B
Prima stimolazione: Punti e rette
Quante rette parallele a una
data retta r esistono?
Quante di queste hanno una
distanza data dalla retta r?
r
Commento
Non sempre gli studenti vedono le due rette equidistanti da r.
Seconda stimolazione: circonferenze
Quante circonferenze
passano per A e B?
Dove si situano i loro centri?
E se il segmento AB è
diametro della
circonferenza, quante ne
esistono?
A
.
B
Commento
Nelle risposte si curerà soprattutto la questione dell’asse di
una corda.
Seconda stimolazione: circonferenze
Quante circonferenze di dato
centro C esistono?
Quante circonferenze di dato
raggio r esistono?
Quante circonferenze di dato
centro C e di dato raggio r
esistono?
r
CC
Commento
Finisce qui la prima parte, molto semplice anche per dare
fiducia a chi ne avesse bisogno.
Terza stimolazione: Circonferenze angoli e rette
tangenti
Dato un angolo a costruisci
alcune circonferenze tangenti
internamente ai suoi lati.
aa
. ..
.
..
C
Dove si situano i centri di
queste circonferenze?
Come puoi usare quest’ultima conoscenza per costruire con
precisione una circonferenza tangente ai lati di a?
Terza stimolazione: Circonferenze angoli e rette
tangenti
Quanti angoli
formano due rette
r,s che s’intersecano
in un punto I?
Che relazioni
esistono fra questi
angoli?
s
s
Costruisci alcune
circonferenze
tangenti alle due
rette r, s.
Dove si situano i loro centri?
r
r
180-a
a a
I
180-a
Terza stimolazione: Circonferenze angoli e rette
tangenti
Il luogo geometrico
dei centri delle
circonferenze
tangenti a due rette
incidenti r,s è la
coppia di bisettrici
delle rette r,s…
s
Le due bisettrici sono perpendicolari, infatti:
a 180 - a

 90 (gradi sessagesimali)
2
2
(180-a)/2
a/2
r
Quarta stimolazione: Circonferenze tangenti
a tre rette date
t
Date tre rette r, s, t
a due a due non
parallele, costruisci
tutte le circonferenze
tangenti
simultaneamente alle
tre rette.
Quante ne esistono?
s
.
.
.
.
r
bisettrici r,t
bisettrici s,t
Sono esattamente quattro.
bisettrici r,s
Quarta stimolazione: Circonferenze tangenti
a n rette date
Commento
È sufficiente variare da due a tre il numero delle rette per far
sì che quello delle soluzioni passi da infinito a 4: questo
fatto di solito stupisce lo studente, troppo abituato alla
stimolazione dei problemi di primo grado il cui numero di
soluzioni di solito è 1, eccezionalmente 0 oppure infinito.
Può essere interessante chiedersi che cosa succede con n
rette, per n>3. In generale non vi sono soluzioni, tranne nel
caso che formino un poligono circoscrittibile, nel qual caso
si ha una sola soluzione.
Seconda
situazione
Quadrilateri inscritti in /
circoscritti a un cerchio
Guida per l’insegnante
Molto spesso ci si interroga su quali siano le conoscenze di
geometria piana che ogni studente liceale dovrebbe
possedere. Qualunque elenco si stabilisca appare però o
troppo carico (e quindi non proponibile) oppure lacunoso.
Preferiamo modificare la domanda di fondo in:
quali sono le situazioni geometriche più adatte a far
acquisire agli studenti una sufficiente abilità operativa in
geometria piana?
Dopo il lavoro sui fondamenti, proponiamo alcune situazioni
che ci paiono interessanti, perché toccano un ampio
ventaglio di tematiche geometriche.
Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un
cerchio
I triangoli isosceli hanno gli
angoli alla base uguali.
 


2 a  2   2   2   360Þ
180°
a

a
a        180Þ
Condizione di inscrivibilità:
la somma di due angoli
opposti è un angolo piatto.
Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un
cerchio
Quali particolari quadrilateri sono inscrivibili in un cerchio?
Quali trapezi?

d
a

a180
d180
ad180
180
condizioni di
inscrittibilità
proprietà dei
trapezi
Conseguenza:
d
a
I trapezi isosceli.
Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un
cerchio
Quali particolari quadrilateri sono inscrivibili in un cerchio?
Quali parallelogrammi?
a

a
I rettangoli.

2 a  2   180Þ
a    90Þ
Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un
cerchio
Gli unici parallelogrammi inscrivibili in un
cerchio sono i rettangoli.
Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un
cerchio
Allora, l’unico rombo inscrivibile in un cerchio è…
90°
90°
90°
90°
… il quadrato.
Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un
cerchio
Vi sono aquiloni inscrivibili in un cerchio?
a  a  180Þ
a  90Þ
a
a
… quelli rettangoli.
Seconda stimolazione: quadrilateri circoscritti a
un cerchio
PS  QR  a  b  c  d
P
a
a
PQ  SR  a  d  c  b
b
d
S
b
Q
d
c
c
R
Condizione di circoscrivibilità:
PS  QR  PQ  SR
Teorema.
Un quadrilatero è
circoscrivibile a un cerchio
se e solo se la somma delle
lunghezze dei lati opposti è
costante.
Seconda stimolazione: quadrilateri circoscritti a
un cerchio
I trapezi isosceli sono tutti circoscrivibili a un cerchio?
a
c
Condizione di circoscrivibilità:
c
ab  2 c
c
b
ab
2
Teorema. Un trapezio isoscele è circoscrivibile a un
cerchio se e solo se il lato obliquo è la media aritmetica
delle due basi.
Seconda stimolazione: quadrilateri
circoscritti a un cerchio
Quali parallelogrammi sono circoscrivibili a un cerchio?
b
b
Condizione
di circoscrivibilità:
2a 2b
ab
Teorema. Se un parallelogrammo è circoscrivibile a un
cerchio, allora è un rombo.
Terza
situazione
A scuola
da Archimede
Consegna iniziale per gli studenti
In questa attività potrai calcolare volumi di alcuni solidi
usando la sola formula relativa al volume del cilindro,
seguendo il geniale “metodo di esaustione” ideato con
incredibile intuizione da Archimede di Siracusa (–287…–212)
con l'anticipo di quasi due millenni sulla storia della
matematica.
Gli oggetti matematici di questa incredibile avventura sono:
il cilindro, il cono, la semisfera e la “scodella di Archimede”.
Prima stimolazione: i solidi di Archimede
Ecco i personaggi tutti
insieme…
…come Archimede li
disegnava sulla sabbia.
semisfera
cilindro
scodella
Commento
Questa figura ha un suo fascino particolare: rappresenta la
sintesi suprema della situazione studiata. Inoltre offre alcune
semplificazioni tecniche da non sottovalutare. In particolare
l'inclinazione di 45˚ delle generatrici di profilo del cono
semplifica in modo evidente i calcoli che seguono.
Seconda stimolazione: volume del cono
Il cono viene approssimato con una pila di cilindri piatti
(di altezza Dh) dal più grande (subito sopra la base)
al più piccolo (in prossimità del vertice):
r
r - 3 Dh
r - 2 Dh
r
r – Dh
3 Dh
2 Dh
Dh
Seconda stimolazione: volume del cono
Vn    (r - Dh)2  Dh 
r
   (r - 2 Dh)2  Dh 
r - 3 Dh
r - 2 Dh
r – Dh
r
3 Dh
2 Dh
   (r - 3 Dh)2  Dh 
Dh
  
   (r - i Dh)2  Dh 
n
  
Vn    Dh   (r - i Dh) 
2
   (r - n Dh)2  Dh
i1
(
i1
n
)
   Dh   r 2 - 2 r i Dh  i2 Dh2 
Seconda stimolazione: volume del cono
n
Vn    Dh   (r - i Dh) 
2
i1
(
i1
)
n
   Dh   r 2 - 2 r i Dh  i2 Dh2 
n
n
 2
2
2 
   Dh  n r - 2 r Dh  i  Dh  i  

i1
i1 
  r Dh  n - 2  r Dh
2
r
Poniamo : Dh 
n
2
n (n  1)
3 n (n  1) (2 n  1)
  Dh
6
2
Seconda stimolazione: volume del cono
Vn   r 3 -
  r3 -
 r 3 n (n  1)
2
n
(

 r 3 n (n  1) (2 n  1)
6 n3
)  r3 (2 n3  3 n2  n)
 r 3 n2  n
n2
6 n3
3
1

r


 3 1 
3
3
  r -  r 1 
2   2 
 n 6  n n 
Vcono
3
3

r

r
  r3 -  r3 

3
3
Terza stimolazione: relazioni fra i volumi
Analogamente si può calcolare il volume della semisfera;
si ottiene:
2 3
Vsemisfera   r
3
Inoltre:
Vscodella  Vcilindro - Vsemisfera
  r3 -
2 3
 r3
r 
3
3
Si osserva che i volumi della scodella e del cono di
Archimede sono uguali!
Quarta stimolazione: un po’ di storia
Quasi due millenni dopo Archimede…
… Galileo Galilei (1564-1642), nel suo trattato: “Discorsi e
dissertazioni matematiche intorno a due nuove scienze”
parla di
«una elegante determinazione del volume di un emisfero»
dovuta a Luca Valerio (1552-1618), definito «nuovo
Archimede dell'età nostra».
Si basa sul Principio di Bonaventura Cavalieri (1598-1647),
Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione
promota, Bologna, 1635).
Quarta stimolazione: un po’ di storia
y
r
Piano
Sezione
di
Cavalieri
z
(z)
x
0
A sez. cono    (z)   (r - z)
2
2
t (z )  r - (r - z)
2
2
t(z)
2


Asez. scodella   r 2 -  t2 (z)   r 2 -  r 2 - (r - z) 
  (r - z )  Asez. cono
2
2
CONTINUA
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