COORDINATE POLARI • Sia P ha coordinate cartesiane ( xP , y P ) y P2 P yP O xP P1 x Le coordinate polari di P sono: asse x Oˆ P OP 1 COORDINATE POLARI • P ha coordinate cartesiane (1, 1) y P2 yP 1 P 2 4 x P 1 P1 O x Le coordinate polari di P sono: , ( 2 , ) 4 2 COORDINATE POLARI • Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: x cos y sin • si osservi che: x2y 2 3 PRODOTTO SCALARE • Si chiama prodotto interno ( o moltiplicazione scalare) tra due vettori il numero definito da: n x, y xi yi i 1 • Si chiama norma euclidea di un vettore il numero definito da: x n (x ) i 1 i 2 x, x 1/ 2 • La norma (euclidea) di un vettore rappresenta la lunghezza del vettore. 4 NORMA • Possono essere definite altri tipi di norma. • La norma di un vettore è una funzione che soddisfa: 1. x 0, x 0 x 0 2. x x 3. x1 x2 x1 x2 R x1 , x2 5 PRODOTTO SCALARE • Si considerino i due vettori : 4 x 2 1 y 2 5 4 La lunghezza (la norma euclidea) dei due vettori è data da: 3 2 y x 16 4 20 y 1 4 5 1 -4 -2 0 2 x x 4 6 PRODOTTO SCALARE • Rappresentando le componenti dei 2 vettori in coordinate polari si ha : 4 20 cos x 2 20 sin 1 5 cos y 2 5 sin • Il prodotto scalare dei due vettori diventa: x, y 20 cos 5 cos 20 sin 5 cos 20 5 (cos cos sin sin ) x y cos( ) 7 PRODOTTO SCALARE • Si noti che il prodotto scalare dei due vettori non nulli: 4 x 2 1 y 2 • è nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari, per cui cos( ) 0 8 VETTORI ORTONORMALI • Dato un qualunque vettore x di norma x si può * x introdurre il vettore normalizzato espresso da: x x x * y e si dicono ortonormali se sono * * x • Due vettori ortogonali e ciascuno ha norma unitaria. • Se le colonne (o le righe) di una matrice sono a 2 a 2 ortonormali la matrice è ortogonale. 9 ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE • Esempio Si considerino i due vettori x e y costituiti dai prezzi di chiusura settimanale di 2 titoli nelle ultime n settimane. Il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie di prezzi può essere espresso da: x M 1 ( x), y M 2 ( y ) r x M 1 ( x) y M 2 ( y ) dove M i ( x), i 1,2, rappresenta la media aritmetica dei prezzi di chiusura del titolo i-esimo. 10 ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE • Siano dati 2 titoli i cui prezzi di chiusura nelle ultime 4 settimane sono stati: 10 10 11 x 13 14 8 y 9 5 • Il prezzo medio nelle ultime 4 settimane per ciascun titolo è dato dalla rispettiva media aritmetica 10 11 13 14 M 1 ( x) 12 4 10 8 9 5 M 2 ( y) 8 4 11 ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE • Per calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i 2 titoli è utile costruire i 2 vettori: 10 12 2 11 12 1 x M 1 ( x) 13 12 1 14 12 2 10 8 2 8 8 0 y M 2 ( y) 9 8 1 5 8 3 • Per cui si ha: x M 1 ( x), y M 2 ( y ) 9 r -0,76064 3,162278 3,741657 x M 1 ( x) y M 2 ( y ) 12 SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi Si considerino 2 insiemi V e K. Si introducano 2 operazioni: • “composizione interna” tra elementi di V; • “composizione esterna” tra elementi di V ed elementi di K. Esempio 1. V M n e K R Composizione interna = somma tra matrici quadrate; Composizione esterna = prodotto di una matrice per uno scalare. 13 SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi Esempio 2 Sia V l’insieme dei polinomi algebrici di grado al massimo n. V pn ( x) e K R Composizione interna = somma tra polinomi; Composizione esterna = prodotto di un polinomio per uno scalare. N.B. Controllare cosa succede se V è l’insieme dei polinomi algebrici di grado n. 14 SPAZI VETTORIALI Un vettore x in Fisica è definito come un ente costituito da un punto di applicazione (O), una direzione (retta per O e per P) e un verso (da O a P), una lunghezza (misura di OP). y P2 P OP yP O xP P1 x 15 SPAZI VETTORIALI I vettori nella figura che segue sono equivalenti al vettore x . y P2 P OP yP O xP P1 x Da questo momento faremo riferimento ai vettori applicati nell’origine. 16 SPAZI VETTORIALI Dati i due vettori x e y si definiscono il vettore somma e il vettore differenza come i vettori che hanno come componenti rispettivamente la somma e la differenza delle componenti di x e di y ; geometricamente sono le diagonali OQ e PR del parallelogramma OPQRO. Q y P x R y O x 17 COMBINAZIONE LINEARE Sia V uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K. Se W è sottoinsieme di V e W è a sua volta uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K, allora si dice che W è sottospazio vettoriale di V. Dati n elementi (vettori) x1, x2 ,..., xn di uno spazio vettoriale V ed n scalari 1, 2 ,..., n si definisce combinazione lineare il vettore di V espresso da : z 1x1 2 x2 ... n xn 18 LINEARE INDIPENDENZA Gli n vettori x1, x2 ,..., xn dello spazio vettoriale V si dicono linearmente indipendenti se risulta 1x1 2 x2 ... n xn 0 se e solo se gli n scalari 1, 2 ,..., n sono tutti contemporaneamente nulli. Se il vettore nullo si ottiene come combinazione lineare di n vettori con coefficienti non tutti nulli allora i vettori si dicono linearmente dipendenti. 19 LINEARE DIPENDENZA Gli n vettori x1, x2 ,..., xn dello spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti, e supponiamo che 1 0 1x1 2 x2 ... n xn 0 allora , dividendo per 1 , si ottiene: 2 n x1 x2 ... xn 1 1 ovvero x1 è combinazione lineare degli altri vettori. 20 ESEMPIO DI L.D. Si analizzi la lineare dipendenza o indipendenza dei seguenti 3 vettori: . 1 2 0 2 x1 1 0 4 x2 2 0 1 x3 2 1 21 SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D. Per stabilire la dipendenza o indipendenza lineare dei 3 vettori, occorre determinare le soluzioni del sistema: 1 2 2 0 2 4 0 1 2 3 1 2 2 2 3 0 3 0 22 SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D. La matrice dei coefficienti: 1 2 A 1 0 2 4 2 0 0 1 2 1 1 ha rango 2, quindi il sistema ammette soluzioni : 1 2 3 T 1 e risulta: 1/ 2 0T x2 2x1 23 ESEMPIO 2 DI L.D. Si vuole esprimere il polinomio p( x) x 2 4 x 3 come combinazione lineare dei seguenti polinomi: p (1) ( x) x 2 2 x 5 p ( 2) ( x) 2 x 2 3 x p (3) ( x ) x 3 24 GENERATORI E BASI Dati gli n vettori x1, x2 ,..., xn dello spazio vettoriale V Sia V * l’insieme delle combinazioni lineari 1x1 2 x2 ... n xn V * è un sottospazio vettoriale di V e i vettori x1 * x1, x2 ,..., xn sono chiamati generatori di V . Se h vettori x1, x2 ,..., xh tra gli n generatori sono linearmente indipendenti lo spazio vettorialeV ** da * V essi generato coincide con . I vettori x1, x2 ,..., xh costituiscono una base di V * 25 GENERATORI E BASI I vettori x1, x2 ,..., xh costituiscono una base di V * . Il numero h dei vettori della base viene chiamato dimensione di V * . Dato un qualunque vettore x V * esso può essere scritto come x 1x1 2 x2 ... h xh e i coefficienti 1, 2 ,..., h della combinazione lineare vengono denominati coordinate (sono uniche!) del vettore x rispetto alla base x1, x2 ,..., xh . * V Dato lo spazio vettoriale di dimensione h, esistono più basi. 26 GENERATORI E BASI Si considerino 2 basi di V * v1, v2 ,...,vh w1, w2 ,..., wh Un vettore x V *può essere espresso nelle 2 basi da x 1v1 2v2 ... hvh x 1w1 2 w2 ... h wh Ovvero come: x B* x B Dove : B v1 v2 vh 1 2 ... h T B* w1 w2 wh 1 2 ... h T 27 GENERATORI E BASI Uguagliando si ha B B* da cui : B1B* ovvero ( B * ) 1 B 1 * La matrice A B B è denominata matrice di cambiamento di base. 28 ESEMPIO DI GENERATORI E BASI Si consideri lo spazio vettoriale V dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a 3: p ( x) a0 x3 a1x 2 a2 x1 a3 Si considerino i vettori di V : z1 x 3 z2 x 2 z3 x1 z4 2x1 z5 x 0 Essi sono generatori di V. Non sono linearmente indipendenti. I vettori z1, z2 , z3 , z5 sono linearmente indipendenti. 29 BASE CANONICA Si consideri lo spazio vettoriale V delle matrici quadrate di ordine 2. Una base è costituita da Si considerino i vettori di V : 1 e1 0 0 0 e2 0 0 1 0 0 e3 1 0 0 0 e4 0 0 1 Sono una base per V, detta canonica. 30 ESEMPIO DI CAMBIAMENTO DI BASE Si considerino i 2 vettori dello spazio vettoriale delle matrici 2x1: v (1) 3 2 v ( 2) 2 3 Si determini la matrice di cambiamento di base rispetto alla base canonica. 31 TRASFORMAZIONI LINEARI Dati due spazi vettoriali W e W * si definisce trasformazione lineare di W in W * ogni funzione tale che: • T ( x y ) T ( x) T ( y ) • T (kx) kT ( x) Nucleo di T, ker(T), l’insieme dei vettori di W che hanno come immagine il vettore nullo di W * . Immagine di T, Im(T), l’insieme di vettori di W * che provengono da vettori di W. 32 ESEMPIO DI T.L. 2 R Dati i due spazi vettoriali e R si consideri la trasformazione lineare di R 2 in R : • T ( x1, x2 ) x1 x2 L’immagine della t.l. è l’insieme R . Il nucleo di T, ker(T), è l’insieme dei vettori di R 2 che hanno come immagine il vettore nullo di R , ovvero T ( x1, x2 ) x1 x2 0 Da cui si ricava: x2 x1 Quindi ker(T ) ( x1, x1 ); x1 R 33 ESEMPIO DI T.L. Dati i due spazi vettoriali R ne R si dimostri che la legge seguente è una trasformazione lineare : n T ( x1, x2 ,..., xn ) xi u, x • i 1 dove T T u 11 ...1 x x1 x2 ... xn Analogamente si dimostra che la trasformazione che associa al vettore x la media aritmetica delle componenti è una trasformazione lineare: 1 n T ( x1, x2 ,..., xn ) xi n i 1 34 ESEMPIO DI T.L. Si determini la trasformazione lineare tra R n e R n che fa corrispondere ad ogni vettore x il vettore degli scarti dalla media aritmetica. • 35 TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE Si consideri la trasformazione lineare T tra i due spazi vettoriali W1 e W2 , si può dimostrare il seguente teorema di rappresentazione: Se dim W1 dim Im T dim ker T Im T W2 ker T 0 La trasformazione lineare viene denominata isomorfismo. 36 EQUAZIONE CARATTERISTICA L’equazione caratteristica è data da: det( A I ) (1)n n 1n 1 ... n0 0 ovvero: n c1n 1 ... cn 0 Le soluzioni 1, 2 ,...,n vengono denominate autovalori. Le soluzioni del sistema: ( A i I ) x 0 vengono denominate autovettori corrispondenti all’autovalore i . 37 EQUAZIONE CARATTERISTICA Per l’equazione caratteristica valgono i seguenti teoremi: n i 1. Il coefficiente ci della potenza può essere n ottenuto dalla somma degli i minori principali di i ( 1 ) ordine i della matrice A moltiplicata per . 2. Il coefficiente ci della potenza ni può essere ottenuto dalla somma degli n prodotti degli i i autovalori presi i alla volta moltiplicata per (1) . 38 EQUAZIONE CARATTERISTICA • Si verifichino i teoremi nel caso della matrice: 1 6 A 7 3 2 1 36 7 0 2 6 EQUAZIONE CARATTERISTICA Teorema 3 “Una matrice quadrata ammette l’autovalore nullo se e solo il determinante è nullo”. Teorema 4 “Ogni matrice quadrata soddisfa la sua equazione caratteristica”. EQUAZIONE CARATTERISTICA Teorema 5 “Se il rango di una matrice quadrata è r allora l’autovalore nullo ha molteplicità algebrica h n r ”. Teorema 6 “Gli autovalori di una matrice triangolare coincidono con gli elementi della diagonale principale”. MOLTEPLICITA’ Teorema 7 “Ad autovalori diversi corrispondono autovettori linearmente indipendenti”. hi Molteplicità algebrica Molteplicità geometrica g i Teorema 8 “La molteplicità algebrica hidell’autovalore i è maggiore o uguale alla moteplicità geometrica g i ”. MATRICE MODALE Si definisce matrice modale della matrice A la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice A” Teorema 9 “Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali” Teorema 10 “La matrice modale di una matrice simmetrica è ortogonale.” SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Un sistema di equazioni differenziali lineari è: x1 a11 x1 (t ) a12 x2 (t ) ... a1n xn (t ) g1 (t ) x2 a21 x1 (t ) a22 x2 (t ) ... a2 n xn (t ) g 2 (t ) ... x a x (t ) a x (t ) ... a x (t ) g (t ) n1 1 n2 2 nn n n n SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Un sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo è: x1 a11 x1 (t ) a12 x2 (t ) ... a1n xn (t ) x2 a21 x1 (t ) a22 x2 (t ) ... a2 n xn (t ) ... x a x (t ) a x (t ) ... a x (t ) n1 1 n2 2 nn n n SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esempio 2. x1 3 x1 (t ) 2 x2 (t ) 4 x3 (t ) 2 x3 (t ) x2 2 x1 (t ) x3 4 x1 (t ) 2 x2 (t ) 3 x3 (t ) SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esempio 3. x1 x1 (t ) x2 4 x1 (t ) x2 (t ) x3 3 x1 (t ) 6 x2 (t ) 2 x3 (t ) SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esempio 4. x1 9 x1 (t ) 9 x2 (t ) 4 x3 (t ) x2 3 x1 (t ) 7 x2 (t ) x3 (t ) x3 7 x1 (t ) 17 x2 (t ) 2 x3 (t )