L’ IPERBOLE
x2y21
a2 b2
1
ARGOMENTI TRATTATI
1.
L’equazione canonica dell’iperbole
2.
Questioni basilari
3.
Questioni relative alle rette tangenti
4.
Curve deducibili dall’iperbole
5.
La funzione omografica
6.
Discussione di sistemi di 2° grado con parametro
7.
Proprietà ottica dell’iperbole
2
L’EQUAZIONE CANONICA DELL’IPERBOLE
Definizione Si dice iperbole I il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza
delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.
Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione
canonica dell’iperbole.
Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della I .
Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:
PF1  PF2  2a
con a  R 0
(*) .
Considerat
o il triangolo PF1F2 , si ha
PF1  PF2  F1F2 , cioè 2a  2c , a  c .
Riscriviam
o analiticam
ente la relazione(*):
x  c2  y2  x  c2  y2
 2a , ossia:
x  c2  y2  2a  x  c2  y2
.
Elevandoal quadratosi ha :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2




x

c

2
cx

y

4
a

x

c

2
cx

y

4
a
x

c

y
;
4cx

4a


4
a
x

c

y
;
2
2






c
x

a

2
a
cx

a
x

a
c

2
a
cx

a
y
;
a
x

c
x

a
y

a

a
c
;
c

a
x

a
y

a
c

a
.
2
2
2
2
4
22
2
2
2


cx

a


a
x

c

y
;
elevando
ancora
otteniamo
:
c
x

a

2
a
cx

a
x

c

2
cx

y
;
2
2
2
4
22
2
2
2
22
22
2
2
2
2
2
4
2
22
2
2
2
2
2
2
2
3
22
2 22

Poichè
a

c
,
è
sicurament
e
c

a

0
,
quindi
possiamo
porre
b

c

a
con
b

R
e
scive
:
0
2
22
22
2
2
2
b
x

a
y

a
b
,
infine
,
poichè
a

0
e
b

0
,
possiamo
dividere
per
a
b
:
22
x
y


1
,equazione
canonica
dell'
iperbole
con
i
fuoch
sull'
asse
.x
22
a
b
Analogamen
tesipuò
dimostrare
che,
se
i fuochi
appartengo
no
all'
asse
delle
y,
ponendo

PF
PF
2
b, con
b
R
1
2
0
2

e c2b
a2, con
c
R
b, siottiene
:
0 ec
2
x2 y
 2 
1
,
a2 b
equazione
canonica
dell'
iperbole
con
i fuochi
sull'
asse
y.
4
Rappresent
azionegraficadell'iperbole
Fuochisull'asse x
Ricordiamoche a R0 , b R0 .
x2 y2
1
 
Intersezio
ne asse x: a 2 b2
 x2  a 2 ; x  a .
y  0

x2 y2
1
 
Intersezio
ne asse y : a 2 b2
 y2  b2 , nessunasol.
x  0

I punti A1 a ; 0 e A2 a ; 0 si chiamanoverticidell'iperbole,
l'asse x si chiamaasse trasvers
o e l'asse y asse non trasv
erso.
In partcolarei segmentiA1A2 e B1B2 si chiamanoancora
rispettiva
menteasse trasvers
o e asse non trasv
erso.
Cerchiamo
gli
insiemi
d'
appartenen
za
di
e
y
x
:
2
2
2
y
x
x
b
22
22


1

;
y


b
1

;y


x

a
x

a

0
,cioè


a

x

a
.x
2
2
2
a
b a
a
2
2
2
x
y
y
a2 2
22

1

;


a
1

x
;


b
x

y
b

y

0
,
y

R
.
2
2
2
b
a b
b
5
Rappresent
azionegraficadell'iperbole
Fuochisull'asse y
Ricordiamoche a R0 , b R0 .
x2 y2
 1
 
Intersezio
ne asse x: a 2 b2
 x2   a 2 , nessunasol.
y  0

x2 y2
 1
 
Intersezio
ne asse y : a 2 b2
 y2  b2 , y  b.
x  0

I punti B10 ;  b e B2  0 ; b si chiamanoverticidell'iperbole,
l'asse y si chiamaasse trasvers
o e l'asse x asse non trasv
erso.
In partcolarei segmentiB1B2 e A1A2 si chiamanoancora
rispettiva
menteasse trasvers
o e asse non trasv
erso.
Cerchiamo
gli
insiemi
d'
appartenen
za
di
e
y
x
:
2
2
2
y
x
x
b
22
22

1

;
y


b
1

;
y


x

a
x

a

0
,


x
R
.
2
2
2
a
b a
a
2
2
2
x
y
y
a 22
22


1

; 

a

1
x

; 


b
x

y
y

b

0
,cioè
y


b

y

b
.
2
2
2
b
a
b
b
6
Osservazioni e altre definizioni
a.
Gli insiemi d’appartenenza di x e y indicano che l’iperbole è una curva illimitata, cioè le coordinate
dei suoi punti possono assumere valori comunque grandi.
b.
L’iperbole è una curva che ha due asintoti di equazione y = ± (b/a)x .
c.
Per tracciare il grafico è conveniente tracciare il rettangolo come in figura, avente i lati lunghi 2a e 2b,
i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) e le diagonali appartenenti agli asintoti.
d.
Il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .
e.
Simmetrie nell’iperbole con equazione canonica:
F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0);
F(-x;y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ;
F(x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x .
f.
Considerazione sul grafico per ricordare la relazione c2 – a2 = b2 oppure c2 = a2 + b2 :
applicare il teorema di Pitagora sul triangolo OA2H.
g.
Coordinate dei fuochi di un’iperbole di equazione nota: se sono noti a e b, allora
e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0), oppure F1(0 ;-c ), F2(0 ; c).
h.
Se a = b l’iperbole si dice equilatera; il rettangolo del punto ‘c’ diventa un quadrato e gli asintoti
hanno equazione y = ± x .
i.
Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la distanza fra i vertici di un’iperbole è
detto eccentricità:
c a2b2
dis
tan
za
focale
e

.
lunghezza
dell'
asse
trasvers
o
7
Fuochisull'asse x
2c c
e

,
con e 1 (c a) .
2a a
Per comprender
e il significat
o geometrico
dell'eccentrici
tà,
fissiamo
il valore
di 'a' e consideria
moi duecasilimite
:
e 1 se c  a2  b2  a , cioèper b  0:
i fuochicoincidono
coni verticie l'iperbole
degenera
nelle
duesemirette
conoriginei vertici.
e   se c  , quindiancheb  :
i fuochisi allontanan
o daiverticie aumenta
l'apertura
dei
ramidell'iperbole.
Fuochi
sull'
asse
y
2
c
c
e

, con
e

1
(c

b)
.
2
b
b
Seguono
consideraz
ioni
geometrich
e
analoghe
al
caso
precedente
:
fissare
'
b'
e
conside
e
i
due
casi
limi
8
QUESTIONI BASILARI
1.
Date le seguenti equazioni canoniche di iperboli, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver
determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’asse trasverso, l’eccentricità, gli asintoti.
2
2
x
y
 
1
;
1616
a.
a
b
4
; a
b
, iperbole
equilatera
;
2
i fuochi
sitrovano
sull'
asse
;
xc a2
b

42.


 

4;0;A
; fuochi
vertic
iA
4
;0
F
42;0; F
1
2
1
242;0;
 asse
trasvers
oA
A

8
;
1
2
c 42
 eccentrici
tàe 
 2;
a 4
b
 asintoti
y
 x
; y
x
. Per
ilgrafico
tracciar
eilrettangolo
.
a
2
2
2 2
b.y

4x

1

0
;  4x

y

1
;
ifuochi
sono
sull'
asse
y
;a

1
2
;b

1
;
2 2
c
a

b52
.

 

0
;B
0
;  fuochi
 vertici
B
;
1
;1
F
;
52
;F
; 52
;
1
2
10
20
c 5
asse
trasverso
B
B

2
;
eccentrici
tà
e
 
1,12
;
1
2
b 2
asintoti
y


2
x
. Per
il
grafico
tracciare
il
rettangolo
.
9
1.
Dato il fascio di curve di equazione: kx 2 + (2 - 3k )y2 = 1 , con k  R - {0 ; 2/3},
determinare per quali valori di k l’equazione rappresenta:
a)
b)
c)
d)
e)
un’ellisse ;
una circonferenza ;
un’iperbole con i fuochi sull’asse x ;
un’iperbole con i fuochi sull’asse y ;
un’iperbole equilatera.
x2
y2
Riscrivi
l'equazione
del
fascio
nella
seguente
forma
canonica
:

1,
1k 123k
x2 y2
quindi
esegui
un
confronto
con
leequazioni
 
1:
a2 b2
1k0

k0
a)per
avere
un'
ellisse
:
; 
0k2/3
;
123
k0

k2/3
b)per
avere
una
circonfere
nza
: 1k123
k; k2-3k
; k1/2
;
1k0

k0
c)per
avere
un'
iperbole
con
i fuochi
sull'
asse
x
:
; 
k2/3
;
123
k0

k2/3
1k0

k0
d)per
avere
un'
iperbole
con
i fuochi
sull'
asse
y: 
; 
k0;
123
k0

k2/3
e)per
avere
un'
iperbole
equilatera
: 1k
123k; k23k
; k1.
10
3. PROBLEMA RICORRENTE:
determinare l’equazione di un’iperbole.
Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’iperbole significa determinare
i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui
ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:
•
•
•
•
•
conosco a o b o b/a (coordinate dei vertici o lunghezza del semiasse trasverso o equazione asintoti)
conosco c (coordinate dei fuochi)
passaggio per un dato punto P(xp ; yp)  (xp)2 /a2 - (yp)2 / b2 = ± 1
conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b
tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q
 vedi Iperbole tangente ad una retta .
 
3
.a Determina
l'
equazione
dell'
iperbole
riferita
ai
suoi
assi
di
simmetria
, con
fuoco
F
5 epassante
20;


per
ilpunto
P 2;23.
2 12

1 (passaggio
per
P)
a
1

2 2
;...
a4
9
a2
10

0
; ;
a
b

b
2

2
2
2
2
2

5

a

b
(
c

a

b
)

2
y

x 

1 equazione
canonica
.
4
2
3.b
Determina
l'
equazione
dell'
iperbole
avente
come
asse
focale
l'
asse
x
, passante
per
P(5;3/4)
eavente
1
come
asintoti
le
rette
y
x
.
4
25 9

 2
1 (passaggio
per
P)
2

a
4 x

a2 16
b

2
;
...

;

y

1 equazione
canonica
.


1
b
b
b

1
16




 x, equaz.
asintoti
y


4
a
a



11
12
QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi:
1.
2.
determinare le equazioni delle rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto di note coordinate;
determinare l’equazione dell’iperbole tangente ad una retta di nota equazione.
1.
Rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto P
Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del
discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.
Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene
all’iperbole.
Esempi
a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x 2 - 9y2 = 9 e parallele alla bisettrice
del 2° e 4° quadrante.
Metodo
del
discrimina
nte
nullo
2 2

x

9
y

9
Δ2 2
2
2

...
8
x

18
q
x

9
q

9

0
; 
81
q

72
q

72

0
;q


2
2

1,2
4
y


x

q

Rette
tangenti
in
P
:y


x

2
2
.
13
a.
Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole di equaz. 16x 2 - 3y2 = 1 nel suo punto A, del
secondo quadrante, di ascissa -1/2 .
Metodo
delle
"
formule
di
sdoppiamen
to"
16
2
2
Determino
l'
ordinata
di
A
: 
3
y

1
;y

1
;y

1
;
A
4
1

A

;
1


2

2 2
1
6x

3
y

1
1


applico
le
formule
di
sdoppiamen
to
:16x
-
3y

1
;r
etta
polare
e tangente

:8

x
3y

1

0
.

2


a.
Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x 2 - 4y2 = 9 , condotte dal punto
P(9/5;0).
Verifico se P appartiene all’iperbole: 81/ 25  9  P non appartiene all’iperbole, quindi posso
avere due soluzioni.
Metodo
delle
"
formule
di
sdoppiamen
to"
9

P
0
;

5

2
x

4
y

9
2
9
applico
le
formule
di
sdoppiamen
to
:

9
;
x
r
etta
polare

: 
5
x
.
5
x

5


;T


D
etermino
le
coordinate
dei
punti
ditangenza
T
e
T
:
;y


2
;T
5
;
2
5
;
2
1
2
1
2
2
2
x

4
y

9


2 5
5 9
 9

Determino
le
equaz.
delle
tangenti
PT
PT
: y

m
x
-
; m


; y

x
.

1e
2
1,2
1,2
5
9/5
8
8 8
 5

14
Grafici relativi agli
esempi 1a, 1b, 1c
15
2. Iperbole tangente ad una retta di nota equazione
Esempio
Deter
mina l'equazione
dell'iperbole
x2 y2

1, cheha un vertice
a2 b2
di coordinate
V2 2; 0 ed è tangente
del tipo
allarettadi equazione
2x- 3y - 2 0.
a  2
 2
x
y2
 2  2 1
 0
b
a


2x- 3y - 2 0
a

2

2

x
1
2



By

1
, con
B
2



4
b


3


x

y

1


 2

2
3
y

2

1 2

By

1
;

 
 2 4
2
9y

12
y

4 2

3
2
2 4

y



By

1
; ...
9
16B

12
y
12

0
; 
36

12
9
16B
0...
B
 
b
.
16
4
4
3
a

2

2
x
32

Conclusion
e
: 23; equazione
dell'
iperbole
:
y

1
.
44
b


 3
16
CURVE DEDUCIBILI DALL’ IPERBOLE
Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 - y2/b2 = ± 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla
variabile x , si ottengono otto equazioni, quattro per i fuochi sull’asse x e quattro per i fuochi sull’asse y,
con coppie di equazioni del tipo 1, 2, 3, 4, scritte sotto.
Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiiperboli.
a
)
Fuochi
sull'
asse
x
b
a
2
2
2
2
Grafici
delle
equazioni
y


x

a
,
con

-a

x

a
,
e
x


b

y
x
,

y

R
.
a
b
(1)
(2)
17
b)
Fuochi
sull'
asse
y
b
a
22
22
Grafici
delle
equazioni
y


x

a
,


x
R
;x


y

b
,con
y


b

y

b
.
a
b
(3)
(4)
18
Esempi.
x y24
Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.
1. y 1
x2
; questa
equazione
equivale
al sistema
4
2

2

x2
x
2 


y  1
 y2 1  a 2, b1

 4
4




y0; xR;


y

0
;

x

R
;

x2
dove y2 1 è l'equazione
di un'
iperbole
4
di vertici
V30;-1, V40;1;
y0è il semipiano
chesi trova
"sopra"
l'assex,
compresi
i punti
di ordionata
y0.
2.
x
 y24; questa
equazione
equivale
alsistema
x2 y2
  1  ab2
4 4
x0; y-2  y2;

x2 y2
dove  1 è l'equazione
diun'
iperbole
equilat.
4 4
di vertici
V
0;-2, V
0;2;
3
4
x
0èilsemipiano
che
si trova
"a sinistra"
dell'
asse
y,
compresi
i punti
diascissa
x
0.
19
2
2
2
x

y

16
x

2
y
27

0 (*)

x
3
.y

2 
4
x

7

1
;questa
equazione
equivale
al
sistema

4
y

1
; 
2
x 
x
1
4(Radicando

0)

 Classifich
iamo
la
conica
(*)
:
1 0 
8
0 
1 1

28

64


92

0
,conica
non
degenere;


1

0
èun'
iperbole

8 1 27
manca
il termine
in
'xy'

assi
di
simm.
non
ruotati
rispetto
al
sistema
di
riferiment
o.
x

 Ricerca
del
centro
di
simmetria
C
;y
traslazi
one
:
0
0 , mediante
x

x
x

T
0
x
2 y
2 16
x
2
y
 27

x
y
x
y

0

T
0 
T
0 
T
0
T
0
y

y

y

T
0
2
2
2
2
2
x

y
...T
x

y
x
16
2
y
2
x
y
16
x
2
y
27

0
.
T
0
T
0
T
0
0
0
0
Perl'iperbole
non
ruotata
e centrata
nell'
origine
delriferiment
o, i termini
diprimo
grado
in'x'e 'y'devono
essere
nulli
,
.
quindi 0x
8 e y0 1, cioèC8;1
 Ricerca
deivertici
:
y1
y1

2 2
14
x2y270
x2 e x
x y 16
  28;1.
quindi
, i vertici
sono
:V
1 2;1 , V
20
LA FUNZIONE OMOGRAFICA
1.
Iperbole equilatera riferita agli asintoti
L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria è
x2 - y2 = a2 .
Mediante una rotazione del sistema di riferimento di un angolo  = ± 45° , gli asintoti diventano i
nuovi assi cartesiani e l’equazione dell’iperbole diventa xy = k (*) , con k  R0 , x0 e y0 .
(Vedi i grafici in coda al capitolo)
k

L
'equazione
*, puo
essere
anche
scritta
: y ; questa
èla
particolar
efunzione
omografica
x
con
centro
di
simmetria
coincident
econ
l'
origine
del
riferiment
o.
2
2
2

Ricaviamo
la
*. Nel
vecchio
riferiment
oabbiamo
-x
y
a
;
V
V



2
x x
y

v 2 n n
1.effettuiam
ouna
rotazione



45
: 
2

y


x
y
v
n n

2





 

1
2
 x 
y 2
x
y 2
a
,
n
n
n
n



2
2
a
12 2
1
2
2
2
2
x
y
2
xy 
x

y

2
xy 
a
; 4
x
y
a
; x
y
n
n
n
n .
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
2
21





2
x  x y
v 2 n n
2.effettuiam
ouna
rotazione
45
: 
2

y

x y
v
n
n

2



 

1
 x y 2x y 2a2,
n n 
 n n

2
2
a
1 2
1
x y2 2x y x2 y2 2x y a2 ;  4xnyn a2 ; xnyn  .
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
2
a2
Conclusion
e: ponendo
k , con
k
R
e,
0 , si hax
ny
n k einparticolar
2
a2
se k 0, ilgrafico
si trova
nel
1
e3
quadrante;
2
a2
se k 0, ilgrafico
si trova
nel
2
e4
quadrante.
2
Osservazioni
1.
L’equazione xy = k , ovvero y = k/x , indica che fra le variabili x e y c’è proporzionalità inversa
e k è la costante di proporzionalità.
2.
Gli assi di simmetria dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti sono le bisettrici dei quadranti e
quindi i fuochi e i vertici appartengono a tali rette.
Le coordinate dei vertici reali sono le soluzioni del sistema:

  
xy

k

se
k

0
x

y


k
;A

k
;

k
;
A
k
;k
 
1
2
y

x

xy

k

se
k

0
x


y



k
;A


k
;
k
;
A

k
;


k
 
1
2
y


x


 

22
Le coordinate dei fuochi sono:

 

; A 2k; 2k
F

2
k; 
2
k
sek
0
, F
; 2
k; F
; 2
k
1 2k
2 2k
sek
0
,
1
2
Per
ottenere
queste
coordinate
, basta
ricordare
che

a2

.
A
O

a
,
F
O

c

2
a
,
a

2
k
k


1,2
1,2


2


Esempio
Descrivi
, disegna
e ricava
l'equazione
canonica
della
conica
diequazione
xy
4.
E'un'
iperbole
equilatera
riferita
agliasintoti,
cioè
unafunzione
omografica
centrata
nell'
origine;
haperassetrasvers
o la retta
y x, inoltre


k4, quindi
A12;2, A22;2, F1  8; 8 ,


F2 8; 8 , a 2k 2 2, e l'equazione
canonica
è 2xy2 8.
23
24
2. Iperbole equilatera traslata – funzione omografica traslata
Mediante una traslazione del sistema di riferimento dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti si
ottiene l’equazione della funzione omografica che ha per grafico una curva non centrata nell’origine:
xvyv  k

yn 
ax n  b
cx n  d
Dimostrazi one
x v  x n  
effettuiam o la traslazi one 
.
y

y


n
 v
Sostituend o nell' equazione x v y v  k si ottiene
x n
   y n     k , x n y n   x n   y n    k ,
x n
   y n   x n    k , y 
moltiplica ndo numeratore
si ottiene y 
 x n    k
,
xn  
e denominato re per c  R 0
c  x n  c     k 
, quindi fatte le
cx n  c 
d





c
(*) ,

a
 

c
ax  b
yn  n
.
cx n  d
a  c

assegnazio ni  b  c     k  
d   c

si ottiene l' equazione cercata :
25
axb
( da questopuntotrascuriam
o i pedici'n') .
cxd
1. Il precedente
sistema
(*) fornisce
le coordinate
del centrodi simmetria
C nel nuovoriferiment
o,
Analisidell'
equazioney 
d
a
 d a
C(;)  C- ;  e le equazioni
degliasintoti
x - , y  .
c
c
 c c
2. L'equazione
rappresent
a un'iperbole
se
a
b
a. c 0. Infattise c  0 e d  0 l'equazione
diventa
: y  x  , cheè unaretta.
d
d
b. a b  ad- bc 0. Infattise ad- bc 0, a/c b/d , conR0 , allorasi ha anche
c d
cxd
,
cxd
y  , conx  -d/c, cioèunarettaparallela
all'assex, privata
del puntoP(-d/c
;) .
che a  c , b  d e axb  cxd, e l'equazione
diventay 
EsempioDatoil fasciodi funzioni
di equazioney 
k -1x  2 , determina
:
kx4
a. perqualivaloridi k l'equazione
rappresent
a iperboli
equilatere
;
b. le coordinate
dei puntibase(punticomuni
a tuttele curve)
;
c. il luogogeometrico
dei centridi simmetria.
a. c  0  k  0; perk  0 si ha la retta y  x/4-1/2.
a b  k 1 2  4k  42k  0 ; k  2/3; perk  2/3 si ha y  2/3-1x  2 ;
c d
k 4
(2/ 3)x 4
26
- x - 6
1
 retta y  - privatadel puntoP(6; -1/2).
2x - 6
2
Conclusine
: l'equazione
datarappresent
a iperboliequilaterekR - 0; 2/3.
y
b. Cerchiamo
i puntibasedel fascio
, scrivendo
la sua equazione
nellaformaimplicita
kx- 4y k 1x  2  kxy- x  4y  x  2 0.
e raccoglien
do k:
Per ottenerele coordinate
dei puntibase, risolviamo
il sistema
:
xy- x  0
x  0 ; y 1

 puntibaseA(0; -1/2), B(6;1) .


4y  x  2  0
4y  x  2  0
4
 4
4
x


k

1

 k
 4 k 1
x
x
c. Centridi simmetria
C(-d/c
; a/c) C ;
 y
;
 
4
k

1
k k 
y 

x

k
4- x
x
x
y  x  y   1 con x 0; quindiil luogodei centriè la retta y   1,
4
4
4
x
privatadel puntoP(0;1).
Vedigraficonellapaginaseguente
.
27
28
DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO IPERBOLE – RETTA
Si
possono
presentare
i
seguenti
casi
:
equazione
di
un'
iperbole
equazione
di
un
fascio
di
iperbo



(1)
equazione
di
un
fascio
di
rette
oppure
(2)
equazione
di
una
retta




eventuali
limitazion
i
per
e/o
y
x
eventuali
limitazio
i
per
e/o
y
x


Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.
Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali
limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’iperbole nel caso (1), o la retta
interseca le iperboli nel caso (2).
In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).
Esempi
2 2

x

y

4

1.
Discuti
il
seguente
sistema
: 
2
x

y

k

0 sistema
del
(1)
tipo

y

0

E'
molto
comodo
effettuare
la
discussion
e
dal
grafico
(metodo
grafico)
:
29
x2 y2 4 ; a b2, ip.equilatera
, vertici
V1(-2;0)
, V2(2;0)
;
2xyk 0  y2xk ; fascio
improprio,
coeff.
ang.m2.
Sulgrafico
individua
gliarchiutili
;
passaggio
perV12;0: k 4; passaggio
perV22;0: k 4;
x2 y2 4
condizione
di tangenza
: 
 3x2 4kxk2 40
y2xk

4k2 3k2 120 ; k 2 3.
4
Conclusion
e: il sistema
ammette
duesoluzioni
per4k2 3,
unasoluzione
per k4  k4;
in particolar
e perk 4 si ha unasoluzione
limite
e unaordinaria
,
perk 2 3 il sistema
ammette
duesoluzioni
coincident
i,
perk 4, unasoluzione
limite
.
 x
y


x

2


2.
Discuti
il
seguente
sistema
: 
x

y

k

x


1



x

0
x

0


x
x

0



l'
equazione
y

equivale
a
:  x 
,quindi
 

x 
y

0
x

2
y

y




 x

2
 x

2
30
il sistema
di partenza
equivale
 x


y  x  2
y  x



x  y  k
x  y
 1  x  0
x  0




Dal grafico
individua
l' arco
Osserva
che la condizione
deve
essere
posta
 x

y 
x  2

 x  y  k
 x
sulla
2
  k 2  6k  1  0 ;
a:
x
 2
 k
utile.
di tangenza
y 
curva
 x
:
x  2
 1  k  x  2 k  0
k 1,2   3  2 2 ;
la tangente
Pasaggio
per
interessa
è per k   3  2 2 .
A(-1;1) : k A  0 .
Pasaggio
per
O(0;0)
che
: k
Conclusion
i : due sol.
e una sol. per k  0 .
In particolar
e:
O
per
 0.
3 2 2  k  0
per k   3  2 2 due sol. coincident
per k  0 una sol. limite
A(-1;1)
e una sol. ordinaria
O(0;0)
.
i;
31
PROPRIETA’ OTTICA DELL’IPERBOLE
L'iperbole, come l'ellisse, possiede proprietà ottiche.
Supponiamo di avere un riflettore di forma iperbolica e poniamo una sorgente luminosa in uno dei due
fuochi (F): i raggi vengono riflessi lungo una traiettoria ottenuta congiungendo l'altro fuoco (F’) con
il punto di riflessione, si comportano cioè come se provenissero dall'altro fuoco.
Specchio iperbolico
32