Last update: 07 / 05 / 2003
RICCARDO COCCIOLI
Verso un modello cosmico coerente con 11
parametri: la proposta di Tegmark,
Zaldarriaga, Hamilton*
Seminario, 8 gennaio 2003
Corso di Astrofisica, Prof. F. MELCHIORRI
DIPARTIMENTO DI FISICA,
Università di Roma “La Sapienza”
*M. Tegmark, M. Zaldarriaga and A.J.S. Hamilton, Towards a refined cosmic concordance model: Joint 11-parameter
constraints from the cosmic microwave background and large-scale structure, «Phisical Review D», 63, 043007
(January 30, 2001), pp. 1-14. [On-line]: versione pubblicata e preprint (ps, pdf, html). Per ulteriori informazioni
visitate il sito di Max Tegmark, dove troverete i grafici animati ed i preprint a colori (ps o pdf).
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Indice
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
XIII.
Obiettivi
Premessa sugli spettri di potenza
1.
Radiazione di fondo cosmica (CMB)
2.
Strutture su larga scala delle galassie (LSS)
Parametri cosmologici primari
Parametri cosmologici derivati
Dati utilizzati
1.
Radiazione di fondo cosmica (CMB)
2.
Struttura su larga scala delle galassie (LSS)
3.
Nucleosintesi primordiale (BBN)
4.
Costante di Hubble
5.
Neutrini
Funzione di verosimiglianza
Metodo di analisi dei dati
Dipendenza degli spettri dai parametri principali
Valori ottimali e limiti di confidenza dei parametri
Funzioni di verosimiglianza
1.
Limiti sui parametri dai dati CMB + LSS
2.
Limiti sui parametri nel caso di “concordanza”
Grafico nel caso di “concordanza”
Limiti su coppie di parametri
Bibliografia
Obiettivi
I

Perfezionare
un
metodo
che
permetta
di
facilitare il calcolo degli spettri di potenza teorici
della radiazione di fondo cosmico (CMB) e delle
strutture su larga scala delle galassie (LSS) per una
griglia di valori degli 11 parametri cosmologici
scelti in quest’analisi.

Confrontare gli spettri teorici così ottenuti con i
dati sperimentali del CMB e delle LSS , facendo
un’analisi di verosimiglianza secondo il metodo
bayesiano, per ricavare i valori ottimali ed i limiti
di confidenza degli 11 parametri cosmologici.
INDICE
II. 1 A
Premessa sugli spettri di potenza
Radiazione di fondo cosmica (CMB) 1

Qualsiasi funzione definita sulla superficie di una sfera,
dipendente dalle coordinate angolari  e  , può essere
espressa come somma di armoniche sferiche:
f ,    am Ym , 
,m
dove i coefficienti alm sono definiti da:
2
am   d
0
1

 d
sin  Ym  ,   f  ,  
*
0
Per una rassegna consultare [1, 2, 3]
INDICE
II. 1 B
e le armoniche sferiche sono definite da:


 1
Ym  ,    
2 !
 m

2  1   m ! im
d
sin  
m
e sin  
 m
4   m !
d cos  
2
Le anisotropie della radiazione di fondo cosmico possono
esprimersi in termini di armoniche sferiche:
 T ,   T ( ,  )  T   am Ym , 
,m
I modelli cosmologici fanno previsioni sulla varianza dei
coefficienti alm .
INDICE
II. 1 C
Assumendo l’invarianza rotazionale e la gaussianità per
questi coefficienti, possiamo legare la loro media, fatta
sull’insieme, ai multipoli “elle”:
a*m a'm'  C   ' mm'
Se poi facciamo modelli di universo che prevedano per
le perturbazioni di densità primordiali una distribuzione
gaussiana, gli alm avranno media nulla e varianza Cl ; e
quindi questi modelli permettono di fare previsioni
direttamente per i coefficienti Cl .
Ogni strumento coprirà con le sue misure una zona della
volta celeste, a cui corrisponde un particolare angolo
solido sotteso.
INDICE
II. 1 D
Quindi queste misurazioni saranno sensibili ai vari termini
di multipolo “elle” in modo diverso, in particolare
potranno rivelare solo le anisotropie con scale angolari
minori dell’angolo solido spazzato dallo strumento.
La potenza ricevuta da uno strumento è:
1
2
2  1 C W  T 
P

4 
2
1




 
2  1




 1




W
dove Wl è chiamata “window function” e rappresenta
proprio la sensibilità dello strumento ai vari multipoli.
Solitamente si normalizza il tutto rispetto ai dati forniti
dal satellite COBE DT  27.9 mK ; T  2.73 K.
INDICE
II. 1 E
Per poter confrontare teoria ed esperimenti bisogna
conoscere la “window function” degli strumenti, necessaria
per poter convertire in variazioni di temperatura sia le
misure di potenza sperimentali che le previsioni teoriche
sui coefficienti Cl .
In letteratura i dati del CMB sono normalmente espressi
in funzione dei multipoli “elle” mediante la seguente
funzione:
T   
  1




2




C
INDICE
Premessa sugli spettri di potenza
II. 2
Strutture su larga scala delle galassie (LSS) 2

Le misure astrofisiche ci permettono di ricostruire la
distribuzione delle galassie nello spazio tridimensionale.
Considerando la funzione di correlazione a due punti di
questa distribuzione, e calcolandone la trasformata di
Fourier, si ottiene lo spettro di potenza P(k) delle
galassie.
Lo spettro è espresso in funzione del numero d’onda
k  2 / l. Un picco nello spettro di potenza ad un certo
k* indica che le galassie creano strutture con distanze
tipiche dell’ordine di l*  2 / k*.
2
Per una rassegna consultare [4, 5]
INDICE
Parametri cosmologici primari
III
1.
t  profondità ottica di reionizzazione
2.
AS  ampiezza primordiale delle fluttuazioni scalari
3.
AT  ampiezza primordiale delle fluttuazioni tensoriali
4.
nS  inclinazione delle fluttuazioni scalari
5.
nT  inclinazione delle fluttuazioni tensoriali
6.
b  “bias” delle galassie
7.
K  contributo di curvatura alla densità totale ( )
8.
L  contributo dell’energia del vuoto ad 
9.
B  densità fisica dei barioni
b  Pg k  / Pk 
 B  h2 B
densità fisica della materia oscura  DM  h 2  DM
10.
DM 
11.
  frazione calda della materia oscura
INDICE

f 
 DM
IV
1.
Parametri cosmologici derivati
H  costante di Hubble
H  h 100
2.
km
h
s Mpc
 DM   B
1   K  L
b  parametro di distorsione spaziale del redshift
f  M ,  L  1  0.6  L   M
b
  M 
1 
b
b
70 
2
3.
0.6



  M
b

zION  redshift della reionizzazione
z ION
2/3
t h 
 1M/ 3
 8.9 
 B 
4.
t0  età dell’universo [Gy]
5.
S m  somma delle masse dei neutrini [eV]
INDICE
V. 1

Dati utilizzati
Radiazione di fondo cosmica (CMB)
Tutti i dati disponibili al momento dell’analisi (prima del 2000).
INDICE
V. 2

Dati utilizzati
Strutture su larga scala delle galassie (LSS)
I dati del Point Source Catalogue Redshift Survey del satellite IRAS [6].
INDICE
Dati utilizzati
V. 3

Nucleosintesi
primordiale (BBN)
I risultati delle ultime
misurazioni (del 1999)
della densità di materia
barionica dal rapporto
deuterio - idrogeno (D/H)
nelle nubi molecolari
ad alto redshift [7].
 B  0.019  0.0024
INDICE
Dati utilizzati
V. 4

Costante di Hubble
I risultati finali (2000) delle misurazioni della costante di
Hubble da parte del telescopio spaziale Hubble a 1 s [8].
h  0.72  0.08

Neutrini
Si assume che il contributo cosmologico dei neutrini sia
trascurabile, accettando la duplice ipotesi che la
degenerazione tra le masse dei vari neutrini sia piccola, e
che le misure sui neutrini atmosferici da parte di Super
Kamiokande comportino  ~104 ~ 103 [9].
f  10
3
Si è così scelto di non considerare i risultati di misure
di tipo astrofisico che danno una più alta stima della
densità dei neutrini   ~ 0.2  [10].
INDICE
VI
Funzione di verosimiglianza
Data una funzione di distribuzione x , l della variabile
casuale X dipendente dal vettore dei parametri l, se
considero un insieme di n valori assunti dalla variabile
casuale, definisco come funzione di verosimiglianza:
L l x    i f xi ; l 
n
1
che rappresenta una quantità proporzionale alla probabilità
che gli n valori della variabile casuale si presentino
all’osservazione.
La stima delle componenti di l col metodo di massima
verosimiglianza, dato un insieme di n punti, è il valore
l* per il quale la funzione L l | x è massima.
INDICE
VII A
Metodo di analisi dei dati 3
1. Calcolo degli spettri di potenza teorici del CMB ( Cl )
e delle LSS ( P(k) ) per una griglia di modelli nello
spazio dei parametri, usando le seguenti espressioni:
Pg k   AS b Pk 
C  AS C  AT C
S

2
T

In questo modo si sono poi calcolati
tre diversi spettri separatamente, che
singolarmente dipendono da soli 6 o 7
parametri ciascuno, velocizzando molto
tutto il processo di calcolo.
CS  f t ,  K ,  L ,  DM ,  B , f , nS 
CT  f t ,  K ,  L ,  DM ,  B , nT 
Pk   f  K , L ,  DM ,  B , f , nS 
2. Calcolo della funzione di verosimiglianza per quantificare
l’aderenza di ciascun modello teorico ai dati sperimentali;
LTOT  LCMB LLSS  e
3
 2 / 2
e
CMB
Per maggiori dettagli sul metodo consultare [11]
 2 / 2
LSS
INDICE
VII B
Metodo di analisi dei dati
3. Interpolazione della funzione di verosimiglianza nello
spazio dei parametri per creare una funzione continua.
4. Massimizzazione di quest’ultima per ottenere i valori
ottimali dei vari parametri, sia singolarmente che a
coppie.
5. Calcolo dei limiti di confidenza al 95% per i valori
ottimali dei vari parametri.
L’uso del metodo bayesiano comporta una scelta a priori delle funzioni di
distribuzione da attribuire ai vari parametri, in modo che i valori più “attendibili”
del parametro contino di più nell’analisi statistica rispetto ai valori più “strani”.
Questo permette di restringere gli errori sulla determinazione dei parametri se le
assunzioni a priori sono esatte, altrimenti può introdurre degli errori sistematici.
Nonostante i “rischi” dovuti al tipo di analisi, i risultati sono in buon accordo con i
più recenti dati del satellite WMAP, ottenibili qui.
INDICE
VIII A
Dipendenza degli spettri da t
INDICE
VIII B
Dipendenza degli spettri da AS
INDICE
VIII C
Dipendenza degli spettri da AT
INDICE
VIII D
Dipendenza degli spettri da nS
INDICE
VIII E
Dipendenza degli spettri da b
INDICE
VIII F
Dipendenza degli spettri da K
INDICE
VIII G
Dipendenza degli spettri da L
INDICE
VIII H
Dipendenza degli spettri da B
INDICE
VIII I
Dipendenza degli spettri da DM
INDICE
VIII L
Dipendenza degli spettri da 
INDICE
IX
DATI UTILIZZATI :
Valori ottimali e limiti di
confidenza dei parametri
SOLO CMB
CMB  LSS
CMB  LSS  BBN  h  ƒ
INDICE
X. 1
Funzioni di verosimiglianza
Limiti sui singoli parametri nel caso CMB + LSS
INDICE
X. 2
Funzioni di verosimiglianza
Limiti sui singoli parametri nel caso di “concordanza”
INDICE
X. 1-2
INDICE
XI
Grafico del caso di “concordanza”
CMB: 88 punti
LSS: 21 punti
TOT: 109 punti
Parametri: 11
  98
2  96
2 /   0.98
INDICE
XII A
Limiti nel piano nS  B
INDICE
XII B
Limiti nel piano DM  B
INDICE
XII C
Limiti nel piano DM  
INDICE
XII D
Limiti nel piano M  L
INDICE
XIII
Bibliografia
1.
Gawiser, E., Silk, J.: Phys. Rep. 333334 2000, 245267.

2.
Hu, W., Dodelson, S.: Annu. Rev. Astron. and Astrophys. 2002.

3.
Refriger, A.: 1999 http:// xxx.lanl.gov /abs/astro-ph/9904235

4.
Einasto, J.: 2000 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0011332

5.
Vogeley, M.: 1998 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/9805160

6.
Hamilton, A. J. S., Tegmark, M., Padmanabhan, N.:
Mon. Not. R. Astron. Soc. 317 2000, 123.

7.
Burles, S. et al.: Phys Rev. Lett. 82 1999, 4176.

8.
Freedman, W. et al.: 2000 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0012376 
9.
Scholberg, K. et al.: 1999 http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ex/9905016 
10.
Croft, R. A. C., Hu, W., Davé, R.: Phys Rev. Lett. 83 1999, 1092. 
11.
Tegmark, M., Zaldarriaga, M.: Astrophys. J. 544 2000, 30.

INDICE