L'insegnamento della matematica
dal dopoguerra: storia e necessità
Corso di Perfezionamento
Emilio Ambrisi, NAPOLI 30 gennaio 2007
Nella prova scritta
agli esami di stato,
ricordato B. de Finetti
Gli Esami di Stato 2006
(prova scritta indirizzi sperimentali)
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Il quesito: Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più
illustri matematici italiani del secolo scorso, del
quale ricorre quest’anno il centenario della nascita,
alla domanda: “che cos’è la probabilità?” era solito
rispondere: “la probabilità non esiste!”. Quale
significato puoi attribuire a tale risposta? E’
possibile collegarla ad una delle diverse definizioni
di probabilità che sono state storicamente
proposte?
Bruno de Finetti: il centenario della nascita
La Scuola italiana non poteva trovare modo migliore per ricordarlo
L’ha fatto con un quesito esplicito rivolto alle migliaia di giovani candidati alla
maturità degli indirizzi sperimentali e che richiama alla concezione della
probabilità introdotta da de Finetti e alla sua famosa affermazione
Probability does not exist. La probabilità non ‘esiste’; non esiste di per sé, al
di fuori delle valutazioni che ne facciamo con la mente o d’istinto.
Non esiste una probabilità oggettiva, uguale per tutti e questo fatto de Finetti
lo esprime con una descrizione molto bella, letteraria.
Lo fa parafrasando un brano di Uno, Nessuno, Centomila (sostituisce
probabilità a realtà e sento a mi do) di L.Pirandello – un autore che ama
particolarmente e cita spesso – :
“Ci fosse fuori di noi, per voi e per me, ci fosse una signora probabilità
mia e una signora probabilità vostra, dico per se stesse, e uguali,
immutabili. Non c’è. C’è in me e per me una probabilità mia quella che
io sento, e una probabilità in voi: quella che voi sentite; le quali non
saranno mai le stesse, né per voi né per me”.
Liberiamo l’Italia dal morbo della
trinomite (1965)
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Un omaggio a de Finetti per la sua battaglia
contro la trinomite cioè contro i metodi
meccanici, in particolare Tartinville, di
discutere i problemi parametrici di
applicazione dell’algebra alla geometria agli
allora esami di “maturità"
La situazione attuale: chi conosce Tartinville?
scrive R. Marcolongo
“La discussione dei problemi...è stata il risultato
naturale di tutte le conquiste dell’Algebra dalla
seconda metà dell’ottocento……e specialmente
dalla scoperta dei teoremi di Budan e Fourier e di
Sturm. Permettendo essi di assegnare in modo
rigoroso, se non sempre facile, il numero delle radici
reali di una equazione algebrica comprese in un dato
intervallo, risolvevano implicitamente il problema
della discussione di qualunque problema ( di 2°, di
3°, ....grado), senza dover ricorrere alla loro
soluzione algebrica.”
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Ancora Marcolongo: “La grande diffusione dell’insegnamento secondario
e della Matematica in particolare dalla seconda metà del secolo XIX in
poi; le questioni proposte, specialmente in Francia ed in Inghilterra, negli
esami di ammissione, a vari ordini di scuole, di aggregazione, di
baccellierato, ecc..; la collaborazione e la partecipazione di un pubblico
sempre maggiore a quella pubblica palestra che un tempo era stata
esclusivo dominio degli scienziati e confinata negli atti delle accademie o
di raccolte puramente scientifiche; in una parola la democratizzazione
delle Matematiche elementari, mostrarono la necessità di disciplinare, per
quanto riguarda i metodi di discussione dei problemi elementari ( cioè di
secondo grado o riducibili al secondo), di volgarizzare o di adattare le
conquiste dell’Algebra a tali problemi ........E quantunque possa dirsi che
non vi ha libro di testo comparso in questi ultimi cinquanta anni che più o
meno non si occupi esplicitamente di discutere almeno speciali problemi
di secondo grado, il primo (a nostra conoscenza) che in modo diretto e
generale si sia occupato con molta chiarezza e diffusione di tale
argomento, cercando di ridurlo a schemi semplici e fissi, è stato A.
Tartinville nel 1885, il cui metodo è appunto conosciuto con tal nome in
tutti i trattati elementari odierni”.
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A. Tartinville (1847-1896) fu professore al liceo Saint Louis di Parigi
Il problema di matematica alla
maturità
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La prova scritta agli esami di maturità ha sempre avuto il ruolo, molto
importante, di meta di riferimento dell’azione didattica dei docenti.
Tant’è che i problemi assegnati agli esami di stato non solo sono stati
costantemente riportati su tutti i libri di testo, a mò di raccolta per le
necessarie esercitazioni, ma ancora ne costituiscono una parte
rilevante ai fini dell’organizzazione didattica, sia del testo che del
lavoro dell’insegnante che lo adotta.
Fino al 1970 la prova consisteva di un unico problema, poi si è data la
possibilità di operare delle scelte: risolvere due problemi fra i tre o
quattro proposti.
Dal 2001 la prova è articolata in problemi e quesiti: si richiede di
risolvere un problema e di rispondere a cinque quesiti.
La struttura attuale ha avuto indubbi successi: ha offerto un più preciso
riferimento agli insegnanti, ristabilito per gli alunni un più saldo legame
con gli argomenti di studio.
Il confronto internazionale
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La nuova articolazione insieme agli indubbi vantaggi
presenta anche la particolarità di differenziare
problemi e quesiti rimanendo, in ciò, una specialità
tutta italiana.
Gli altri elementi che ci contraddistinguono a livello
internazionale sono da un lato l’assenza di un
punteggio prescritto per ogni questione e dall’altro di
porre l’allievo di fronte alla scelta dei problemi e dei
quesiti da svolgere.
I contenuti della prova hanno pur essi subito un deciso
cambiamento.
Il decreto Medici del 1959
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Il decreto fissa le prove e gli argomenti delle prove degli esami
di maturità classica e scientifica e di abilitazione magistrale e
tecnica.
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Per la maturità scientifica è così stabilito:
Prova scritta
Risoluzione di un problema riguardante
la materia degli esami orali.
(Durata della prova: 5 ore). (oggi: 6)
Prova orale
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Una parte della prova sarà di carattere applicativo e consisterà
nella risoluzione — sotto la guida dell’esaminatore —. di esercizi
su argomenti del programma dell’ultima classe e del programma
indicato nella parte 1a dell’elenco appresso riportato.
Un’altra parte della prova consisterà nell’esposizione di concetti
fondamentali (definizioni, enunciazione di proprietà e
dimostrazione logica di qualcuna di queste) e verterà sull’intero
programma dell’ultima classe e su quello della parte 2a
dell’elenco.
Parte 1a
Equazioni e sistemi di equazioni di 2° grado o riconducibili al 2°
grado.
Equazioni parametriche di 2° grado; confronto delle radici con
uno o due numeri dati.
Applicazioni dell’algebra alla geometria.
Formule fondamentali di goniometria e di trigonometria piana.
Identità ed equazioni goniometriche.
Limiti delle funzioni.
Derivata di una funzione. Regole di derivazione delle funzioni
razionali, dei radicali, delle funzioni goniometriche.
Rappresentazione grafica delle funzioni. Equazione della
tangente alla curva immagine di una funzione della quale si
sappia determinare la derivata.
Maturità scientifica
Parte 2a
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Rette e piani nello spazio; ortogonalità e
parallelismo; rette sghembe. Angoloidi.
Concetto di eguaglianza tra figure
spaziali.
Equivalenza dei solidi.
Per la maturità classica:
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«Una parte dell’esame sarà di carattere applicativo e
consisterà nella risoluzione – sotto la guida
dell’esaminatore – di esercizi su argomenti del programma
della terza classe e anche sul calcolo dei radicali, sulle
equazioni e sui sistemi di 2° grado e sui logaritmi.
Un’altra parte dell’esame consisterà nell’esposizione di
concetti fondamentali ( definizioni, enunciazione di
proprietà e dimostrazione logica di qualcuna di queste) e
verterà sull’intero programma della terza classe e anche su
qualcuno degli argomenti relativi alle rette e ai piani nello
spazio».
L’Analogia con le “Indicazioni”
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Il contenuto del decreto Medici ha
un’analogia con il problema di stabilire ciò
che è importante da sapere: le mete di
conoscenze e competenze che devono
essere raggiunte dagli alunni a conclusione
di un determinato indirizzo di studi e che
corrisponde al problema posto dalla legge
sull’autonomia scolastica
La legge sull’autonomia scolastica
(1997)
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Ai programmi ministeriali si sostituiscono le
Indicazioni Nazionali ovvero gli standard di
conoscenze e competenze che ogni scuola deve
perseguire.
Il “programma” assume una dimensione individuale,
personale. Un cambiamento la cui influenza sul
piano pedagogico e didattico dovrebbe essere
notevole se accompagnata da provvedimenti che
ridiano vitalità alla funzione docente. E qui è la più
grande sfida politica e la più trepidante attesa per chi
ha a cuore le sorti della scuola italiana.
La perdita della dimensione
collettiva
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I programmi ministeriali: per tutti
parte rilevante dei progetti di riforma
scolastica
Sintesi ( e stimolo ) del dibattito pedagogico.
La perdita del fine più perseguito dagli
esperti di didattica impegnati nei discorsi di
rinnovamento dal dopoguerra in poi.
Il dopoguerra
Da noi in Italia domina la scarsezza dei mezzi e
delle strutture.
Viva è l’ansia per l’alfabetizzazione di massa e
soprattutto per la formazione di una
coscienza democratica.
La Costituzione
Il dopoguerra
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Già la commissione alleata si occupa dei
programmi di studio - sono inviati alle scuole
e richiamati con una semplice circolare del
18 sett. 1945 ( ministro: Arancio Ruiz)
I programmi ministeriali
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I programmi della Consulta
Il lancio dello Sputnik
1959
La scuola media
I programmi di Frascati
I programmi PNI e Brocca
1959: Convegno UMI di Napoli,
il 12 settembre, assemblea della
Mathesis.
L’assemblea di Napoli elencava quelle che erano le
questioni
di un dibattito di “rinascita”
dell’insegnamento della matematica che era stato
avviato nell’immediato dopoguerra. Tale quadro
complessivo era sintetizzato nella circolare inviata
dal presidente nazionale della Mathesis, Eugenio
Togliatti, a tutte le sezioni dell’associazione operanti
sul territorio nazionale con l’invito a rispondere ai
seguenti interrogativi:
Le questioni
1. è bene conservare la divisione in due cicli
successivi dell’insegnamento della geometria?
2. sarebbe bene dare maggiore sviluppo nelle
scuole secondarie alla geometria analitica del
piano?
3. quale sviluppo conviene dare alla aritmetica
razionale?
4. è bene conservare l’uso di discutere i problemi
attraverso schemi puramente meccanici?
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a)
quali proposte concrete si possono fare per
risolvere il grave problema della insufficiente
preparazione dei maestri elementari nel campo
scientifico, in particolare nel campo matematico?
b)
come si può migliorare, nelle università, la
preparazione dei futuri professori di matematica
delle scuole secondarie?
c)
quali miglioramenti si possono suggerire per
l’insegnamento della matematica nelle scuole dei
vari tipi scuola elementare, scuola media unitaria,
liceo classico, liceo scientifico, istituto tecnico,
istituto magistrale?
d)
come dovrebbero essere organizzati i corsi
estivi di aggiornamento, destinati ai professori di
matematica delle scuole secondarie, dei quali e stata
proposta l’istituzione?
I programmi della scuola media (1963)
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Sintesi efficace di tutto quello che di didattica della
matematica era ampiamente condiviso. Con
chiarezza, sobrietà e concisione c’è quasi tutto: dai
metodi dell’insegnamento attivo, alla pedagogia del
controesempio, al metodo bruneriano (ma già di
Comenio) dell’approfondimento a spirale, dal
fusionismo ad un primo accenno di riferimento alla
matematica moderna (le leggi di composizione), dal
valore della prospettiva storica e dell’esercizio,
all’invito a parlare e scrivere di matematica.
I programmi del 1979
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nell’arco di un quindicennio si concorda che
va rafforzato il riferimento alla matematica
moderna e principalmente agli insiemi e alle
strutture e ancora alla statistica e alla
probabilità, alla matematizzazione del reale,
all’uso ragionato degli strumenti di calcolo e
che va precisato meglio il previsto “ricorso ai
grafici” dunque alla geometria cartesiana.
I programmi del 1979
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rappresentano il punto di arrivo e la meta qualitativa più elevata
delle riflessioni sul rinnovamento pedagogico e didattico che
aveva infervorato l’ultimo ventennio. Alla loro redazione
lavorarono molti dei personaggi che quel dibattito avevano
alimentato realizzando un documento che ancora oggi si
presenta il più completo e maturo e di armonica e coerente
sintesi di pedagogia e scienza. Quei programmi, definiti anche
tra i migliori d’Europa, hanno costituito sia per l’organizzazione
dei contenuti in grandi temi e la modalità di scrittura sia per i
principi pedagogici, il riferimento per tutti i successivi
programmi che si andarono preparando da quelli delle
elementari del 1985 a quelli per il PNI a quelli del progetto
Brocca, cioè fino a quando ha avuto un senso parlare di
programmi ministeriali.
matematica e osservazioni scientifiche
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La prima sperimentazione della nuova scuola media (1957)
Contrari alla fusione: I documenti dell’UMI e il manifesto della
MATHESIS
Emma Castelnuovo è un punto di riferimento
Giganteggia de Finetti: il suo assioma: «Nessuna disciplina,
avulsa dal contesto generale, giustifica la propria esistenza
e la fatica imposta a chi deve apprenderla»
L.348 del 16.6.1977 sancisce un insegnamento unitario che
assume la denominazione di Scienze Matematiche, Chimiche,
Fisiche e Naturali
La fine..
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Non c’è più l’ins. di Scienze Mat. Chimiche,
fisiche e naturali ma gli insegnamenti di
Matematica e di Scienze e Tecnologia
Non si parla più di scuola media è…
secondaria di 1° grado
La redazione di programmi per tutti non è più
al centro delle attenzioni degli esperti.
La fine della Storia
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F. Fukuyama: la fine della Storia (1992)
Quale il futuro? Educare alla democrazia!
Stephen Hawking
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La fine della Fisica
(1979,1988)
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Che ci rimane da
fare? Educare!
AMBIENTE=TERRITORIO
I GERMI MATETICI
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LA CAMPANIA, CASO NAZIONALE, il flusso
di informazioni
immondizia
Violenza
Atti vandalici
SCUOLA
caporalato
bufale dopate, adulterazioni..
Stupri
Scommesse clandestine
camorra
POVERTA’
Rumore, disordine
Il processo avviato dalla legge
sull’autonomia
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La Scuola sempre più vicina al territorio!
Ma capace di incidere sul territorio? O di
soccombere?
La debolezza della scuola
E’ un periodo in cui la figura del docente e
tutto ciò che riguarda l’insegnamento appare,
nei fatti, secondario rispetto ai problemi di
gestione del sistema dell’istruzione e della
formazione.
Allora: la necessità della valorizzazione dei
docenti - da anni il nodo da sciogliere
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Le necessità
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Valorizzare l’insegnamento, la riflessione
disciplinare.
rinsaldare il metodo democratico all’interno
delle istituzioni scolastiche
Il sapere e la scienza per l’educazione
morale, civile e religiosa dei giovani.
Il valore morale dell’insegnamento
della matematica
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Lo sottolinea Chisini: « E sarà bene che gli
allievi cerchino di capire, o almeno di intuire
l’alto valore morale di questa nostra Scienza:
entrano nella vita, dove l’uomo sempre deve
saper rendere ragione di quello che fa e di
quello che afferma! ».
L.Brusotti in Questioni didattiche
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« La moralità è funzione di due elementi ben distinti: i principi a
cui attinge e la rispondenza fra principi e condotta. Ora le
deficienze morali più frequenti non sono tanto dovute
all’esplicito disconoscimento dei principi morali quanto alla
difficoltà di adeguare ad essi la condotta allorchè si oppongano
motivi egoistici o passionali, brevemente alla carenza di
consequenziarietà. Ma di più in tali casi il singolo spesso tenta
di sfuggire all’intimo malessere che ne scaturisce cercando un
compromesso in capziosi sofismi. Ebbene non c’è chi non veda
come il retto e limpido ragionare che la matematica apprende,
la conseguente riluttanza a cadere in sofismi, la stessa nitida
nozione del legame deduttivo rendano più vigile, in chi abbia
consuetudine
matematica,
la
consapevolezza
dello
scostamento dalla dirittura morale, con evidente ripercussione
sulla condotta».
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E ancora : «La risoluzione di un quesito matematico richiede
spesso tenacia di volontà anche di fronte ad un primo
insuccesso, e la necessità di dimostrare la legittimità della
soluzione esclude la possibilità di appagarsi di una semplice
soggettiva favorevole opinione; né sono praticabili quegli
accomodamenti che in altri campi permettono tacitamente od
inconsapevolmente di sostituire al quesito proposto un altro più
accessibile, chè lo vieta la precisione degli enunciati
matematici. Tutto ciò è buona palestra per chi nella vita debba
affrontare problemi dinanzi ad una realtà dura ed incoercibile,
quasi di questa sia una immagine precorritrice la rigida realtà
ideale del mondo matematico»
Sembrano parole d’altri tempi! Parole che descrivono ideali di
cui non s’avverte più il fuoco perchè non vi sono sorgenti che
l’alimentino per i giovani, neppure la Scuola la cui
amministrazione ri-fatta, a seguito delle leggi sul
decentramento amministrativo, risente della grave crisi che
affligge le istituzioni dello Stato. E più di ogni altra lo mostra!
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Aumentare gli stipendi dei docenti è certamente necessario ma
lo è anche aumentarne il peso e la responsabilità culturale e
didattica. Colmare il fossato che si è scavato tra Dirigente
Scolastico e Docenti, ridare e rafforzare le competenze del
collegio dei docenti, riportare la democrazia nella scuola sono
fatti essenziali. La pedagogia è riflessione ed è compito
primario dei docenti perché sono loro a stare in classe e non
altri. Dal 1997 in poi il Sistema Scuola è stato troppo preso
dalle questioni gestionali e finanche i risultati delle rilevazioni
nazionali e internazionali sul rendimento scolastico sono stati
utilizzati come ulteriori occasioni di concertazione
amministrativa che ha riguardato i docenti solo per mortificarne
i più attenti.
La Consulta didattica
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l’iniziativa del Ministro Gonella della Consulta
Didattica con ordinanza ministeriale del 1.12.1950,
con il compito di elaborare nuovi programmi per tutti
gli ordini di scuola.
I programmi delle elementari 1955
I programmi Frajese: l’insegnamento della geometria
in due cicli
Diapositiva 21
Il lancio dello Sputnik ( 4 ottobre 1957)
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Che cosa significò:
Rinnovamento dei programmi d’insegnamento e
introduzione di nuovi argomenti
Il predominio della matematica moderna sancito a
Royaumont (1959) dall’Abbasso Euclide di
Dieudonnè(1906 – 1992)
Diapositiva 21
1959: Piano decennale di sviluppo
della scuola
con i 4 obiettivi fondamentali:
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edifici scolastici adeguati;
un corpo docente idoneo;
un piano di studi concepito senza
feticismi e preconcetti;
un’assistenza scolastica efficiente
Decreto Medici, La Commissione del post-Sputnik panic, i primi
esami della scuola europea di Bruxelles, Royaumont
Diapositiva 21
Dal Big bang ai buchi neri: la
conclusione.
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Se però perverremo a scoprire una teoria
completa, essa dovrebbe essere col tempo
comprensibile a tutti nei suoi principi
generali, e non solo a pochi scienziati. Noi
tutti – filosofi, scienziati e gente comune –
dovremmo allora essere in grado di
partecipare alla discussione del problema del
perché noi e il mondo esistiamo.