Lossodromia (Piccole distanze)
Ripasso di trigonometria e geometria piana
IL TRIANGOLO RETTANGOLO
“In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto oppure per il coseno
dell’angolo adiacente”. In pratica:
• a = c · sen a
• a = c · cos b
• b = c · sen b
• b = c · cos a
“In un triangolo rettangolo la tangente di un
angolo (uno dei due minori di 90°) è uguale
al cateto opposto all’angolo fratto il cateto
adiacente” (Formule ricavabili anche dalle
precedenti). In pratica:
• tan a = a / b
• tan b = b / a
“In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è uguale ad un
cateto diviso per il seno dell’angolo opposto oppure diviso
per il coseno dell’angolo adiacente” (Formule ricavabili
anche dalle precedenti). In pratica:
• c = a / sen a
• c = a / cos b
• c = b / sen b
• c = b / cos a
Lossodromia (Piccole distanze)
Definizione di percorso lossodromico
B
A
Percorso lossodromico
•• Navigando seguendo una determinata prora, vale a dire
mantenendo costante l'angolo tra la rotta seguita e i meridiani,
si percorre sulla sfera terrestre una curva che prende il nome
di lossodromia
•• Sulla carta di Mercatore, in relazione alla caratteristica
principale di questa carta, che è quella di rappresentare i
meridiani con linee rette parallele tra loro, la lossodromia è
rappresentata da una linea retta. Ciò è molto importante
perché consente di tracciare le rotte sulla carta nautica con
molta facilità.
•• Il percorso più breve per spostarsi da una posizione
geografica all'altra, coincide con il tratto di circolo massimo che
passa per i due punti. Tale segmento prende il nome di
ortodromia (non riportato nel disegno a fianco).
•• La lossodromia, non essendo un "circolo massimo", non è il
percorso più breve per raggiungere una posizione geografica.
•• Solo alcuni "circoli massimi", sono anche lossodromie:
Equatore e meridiani. Anche i paralleli sono lossodromie, ma
non sono "circoli massimi".
•• La differenza di percorso tra la lossodromia e l'ortodromia
passanti per due punti è funzione della differenza di
longitudine, della latitudine media tra i due punti e
dell'inclinazione della rotta rispetto ai meridiani.
•• Sotto le 500 miglia di distanza fra due punti, lossodromia ed
ortodromia sono pressoché identiche.
Lossodromia (Piccole distanze) 1° Problema
m’’ = Dl * cosjb
Noti:
•
ja – la (coordinate punto di partenza)
•
jb – lb (coordinate punto di arrivo)
Incognite:
• m (percorso in miglia nautiche)
49°N
003°E
b
Dj
Dj
• Rv (rotta vera)
Primo ESEMPIO
ja 45°N – la 006°W
jb 49°N – lb 003°E
1)
Fare ad occhio il disegno dei due punti sulla carta di Mercatore (i meridiani
sono paralleli fra loro)
2)
Dal disegno sono evidenti 2 triangoli rettangoli (grazie alla Carta di
Mercatore). Attenzione: i due triangoli NON sono uguali fra loro (varia
l’appartamento).
3)
Identificare i vari lati dei due triangoli.
4)
Non scegliamo uno dei due triangoli ma quello “intermedio” che al posto di
m’ o m’’ ha l’appartamento m relativo alla j media (latitudine media)
5)
Calcoliamo la Dj (jb – ja = +49°- (+45°) = +4° (vado verso NORD)
6)
Calcoliamo la jmedia ((jb + ja)/2 = [+49°+ (+45°)]/2 = +47°
7)
Calcoliamo la Dl (lb – la = +006°- (-003°) = +9° (vado verso EST)
8)
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
9)
1)
tg r = (Dl * cosjmedia)/Dj = (9 * cos47)/4 = (9 * 0,6819)/4 = 1,5344
2)
r = 56,9 = N 56,9 E (segni del Dj e del Dl)
3)
Rv = 056,9
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1)
m * cos r = Dj
2)
m = Dj / cos r = 4 / cos 56,9 = 4 / 0,5461 = 7,3246
3)
CONSIDERAZIONE: possono essere 7,3246 miglia nautiche?
NOOOOO! M è espresso in GRADI
4)
m = 7,3246 * 60 = 439,47 Nm
a
45°N
greenwich
m’ = Dl * cosja
006°W
m = Dl * cosjmedia
b
Dj
a
Secondo ESEMPIO
ja 25°S – la 126°W
jb 31°S – lb 122°W
a
……. (punti da 1 a 4 del primo esempio)
1)
Calcoliamo la Dj (jb – ja = - 31°- (- 25°) = -6° (vado verso SUD)
2)
Calcoliamo la jmedia ((jb + ja)/2 = [-31°+ (-25°)]/2 = -28°
3)
Calcoliamo la Dl (lb – la = -122°- (-126°) = +4° (vado verso EST)
4)
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
5)
1)
tg r = (Dl * cosjmedia)/Dj = (4 * cos(-28))/-6 = (4 * 0,8829)/-6 = -0,58863
2)
r = -30,5 = S 30,5 E (segni del Dj e del Dl / il segno meno si toglie)
3)
Rv = 149,5
Dj
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1)
m * cos r = Dj
2)
m = Dj / cos r = -6 / cos 30,5 = -6 / 0,8617 = -6,9622
3)
m = 6,9622 * 60 = 417,73 Nm (Il segno in una distanza non conta)
b
m = Dl * cosjmedia
Terzo ESEMPIO
ja 03°N – la 045°E
jb 05°S – lb 042°E
a
……. (punti da 1 a 4 del primo esempio)
1)
Calcoliamo la Dj (jb – ja = - 5°- (+ 3°) = -8° (vado verso SUD)
2)
Calcoliamo la jmedia ((jb + ja)/2 = [+3°+ (-5°)]/2 = -1°
3)
Calcoliamo la Dl (lb – la = +42°- (+45°) = -3° (vado verso OVEST)
4)
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
5)
1)
tg r = (Dl * cosjmedia)/Dj = (-3 * cos(-1))/-8 = (-3 * 0,9998)/-8 = +0,374925
2)
r = 20,5 = S 20,5 W (segni del Dj e del Dl)
3)
Rv = 200,5
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1)
m * cos r = Dj
2)
m = Dj / cos r = -8 / cos 20,5 = -8 / 0,9363 = -8,5437
3)
m = 8,5437 * 60 = 512,62 Nm (Il segno in una distanza non conta)
Dj
b
m = Dl * cosjmedia
Quarto ESEMPIO
ja 61°S – la 034°E
jb 59°S – lb 027°E
……. (punti da 1 a 4 del primo esempio)
1)
Calcoliamo la Dj (jb – ja = - 59°- (-61°) = +2° (vado verso NORD)
2)
Calcoliamo la jmedia ((jb + ja)/2 = [-59°+ (-61°)]/2 = -60°
3)
Calcoliamo la Dl (lb – la = +27°- (+34°) = -7° (vado verso OVEST)
4)
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
5)
1)
tg r = (Dl * cosjmedia)/Dj = (-7 * cos(-60))/2 = (-7 * 0,5)/2 = +1,75
2)
r = 60,2 = N 60,2 W (segni del Dj e del Dl)
3)
Rv = 299,8
b
m = Dl * cosjmedia
Dj
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1)
m * cos r = Dj
2)
m = Dj / cos r = 2 / cos 60,2 = 2 / 0,4961 = 4,0311
3)
m = 4,0311 * 60 = 241,86 Nm
Ricapitolando..
1. I segni della Dj e della Dl servono a determinare il prefisso ed il suffisso della
rotta quadrantale (e quindi è IMPORTANTISSIMO non sbagliarli)
2. Le distanze sono sempre positive (da Roma a Napoli ci sono 140 Km così come da Napoli a Roma)
3. Il risultato di m (percorso) è in gradi e quindi va trasformato in miglia (m * 60)
a
Lossodromia (Piccole distanze) 2° Problema
m = Dl * cosjb
Noti:
•
b
ja – la (coordinate punto di partenza)
• m (percorso in miglia nautiche)
• Rv (rotta vera)
Incognite: jb – lb (coordinate punto di arrivo)
Dj
Dj
Rv
Primo ESEMPIO
ja 45°N – la 006°W
a
- Rv 050° - m = 420 Nm
1.
Fare ad occhio il disegno del punto “a” sulla carta di Mercatore (i meridiani sono paralleli
fra loro), disegnare la Rv ed il percorso fino a “b” (incognito)
2.
Dal disegno sono evidenti 2 triangoli rettangoli (grazie alla Carta di Mercatore).
Attenzione: i due triangoli NON sono uguali fra loro (varia l’appartamento).
3.
Identificare i vari lati dei due triangoli.
4.
Non scegliamo uno dei due triangoli ma quello “intermedio” che al posto di m’ o m’’ ha
l’appartamento m relativo alla j media (latitudine media)
5.
Trasformiamo m in gradi
1)
6.
9.
b
m° = 7
Rv = 050 r = N50E (i segni della rotta quadrantale sono importantissimi perché
indicano i segni del Dj e del Dl. Nell’esempio Dj è N (+) e Dl è E (+)
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1)
8.
m = Dl * cosjmedia
Trasformiamo la Rotta vera (Rv) in Rotta quadrantale (r)
1)
7.
m = 420
m = Dl * cosja
m * cos r = Dj = 7 * cos 50° = 7 * 0,6427 = 4,5 (+ per quanto detto al punto
precedente) Dj = +4,5 (vado verso Nord)
Calcolare jb e jmedia
1)
jb = ja + Dj = 45 + (+4,5) = 49,5 N
2)
jmedia = (40 + 49,5)/2 = 44,75
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1.
m * sen r = Dl * cos jmedia
(m * sen r)/cos jmedia = Dl
2.
Dl = (7*sen50)/cos44,75 = (7 * 0.7660)/0,7101 = 7,55 (+ per quanto detto al
punto 6) Dl = +7,55 (vado verso Est)
3.
lb = la + Dl = -6 + (+7,55) = 1,55 = 1,55 E
Dj
Rv
Secondo ESEMPIO
ja 27°N – la 004°E
- Rv 155° - m = 360 Nm
……. (punti da 1 a 4 del primo esempio)
1.
Trasformiamo m in gradi
1)
2.
5.
a
Rv
Rv = 155 r = S25E (i segni della rotta quadrantale sono importantissimi perché
indicano i segni del Dj e del Dl. Nell’esempio Dj è S (-) e Dl è E (+)
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1)
4.
m° = 6
Trasformiamo la Rotta vera (Rv) in Rotta quadrantale (r)
1)
3.
m = 360
m * cos r = Dj = 6 * cos 25° = 6 * 0,9063 = 5,4 (- per quanto detto al punto
precedente) Dj = -5,4 (vado verso Sud)
Calcolare jb e jmedia
1)
jb = ja + Dj = 27 + (-5,4) = 21,6 N
2)
jmedia = (27 + 21,6)/2 = 24,3
Dj
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1.
m * sen r = Dl * cos jmedia
(m * sen r)/cos jmedia = Dl
2.
Dl = (6*sen25)/cos24,3 = (6 * 0,4226)/0,9114 = 2.78 (+ per quanto detto al punto
6) Dl = +2,78 (vado verso Est)
3.
lb = la + Dl = 4 + (+2,78) = 6,78 = 6,78 E
b
m = Dl * cosjmedia
Terzo ESEMPIO
ja 57°N – la 034°E
- Rv 248° - m = 270 Nm
Rv
……. (punti da 1 a 4 del primo esempio)
1.
1)
2.
5.
m° = 4,5
Rv = 248 r = S68W (i segni della rotta quadrantale sono importantissimi perché
indicano i segni del Dj e del Dl. Nell’esempio Dj è S (-) e Dl è W (-)
Dj
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1)
4.
m = 270
Trasformiamo la Rotta vera (Rv) in Rotta quadrantale (r)
1)
3.
a
Trasformiamo m in gradi
m * cos r = Dj = 4,5 * cos 68° = 4,5 * 0,3746 = 1,68 (- per quanto detto al punto
precedente) Dj = -1,68 (vado verso Sud)
Calcolare jb e jmedia
1)
jb = ja + Dj = 57 + (-1,68) = 55,32 N
2)
jmedia = (57 + 55,32)/2 = 56,16
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1.
m * sen r = Dl * cos jmedia
(m * sen r)/cos jmedia = Dl
2.
Dl = (4,5*sen68)/cos56,16= (4,5 * 0,9271)/0,5569 = 7,5 (- per quanto detto al
punto 6) Dl = -7,5 (vado verso Ovest)
3.
lb = la + Dl = 34 + (-7,5) = 26,5 = 26,5 E
b
m = Dl * cosjmedia
Quarto ESEMPIO
ja 22°S – la 078°E
- Rv 335° - m = 390 Nm
m = Dl * cosjm
……. (punti da 1 a 4 del primo esempio)
1.
Trasformiamo m in gradi
1)
2.
5.
b
Rv = 335 r = N25W (i segni della rotta quadrantale sono importantissimi perché
indicano i segni del Dj e del Dl. Nell’esempio Dj è N (+) e Dl è W (-)
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1)
4.
m° = 6,5
Trasformiamo la Rotta vera (Rv) in Rotta quadrantale (r)
1)
3.
m = 390
m * cos r = Dj = 6,5 * cos 25° = 6,5 * 0,9063 = 5,9 (+ per quanto detto al punto
precedente) Dj = + 5,9 (vado verso Nord)
Dj
Calcolare jb e jmedia
1)
jb = ja + Dj = -22 + (+ 5,9) = 16,9 S
2)
jmedia = (-22 + (-16,9))/2 = - 19,45
Secondo le formule della trigonometria della prima lastrina:
1.
m * sen r = Dl * cos jmedia
(m * sen r)/cos jmedia = Dl
2.
Dl = (6,5*sen25)/cos19,45 = (6,5 * 0,4226)/0,9429 = 2,9 (- per quanto detto al
punto 6) Dl = -2,9 (vado verso Ovest)
3.
lb = la + Dl = 78 + (-2,9) = 75,1 = 75,1 E
a
Rv
Ricapitolando..
1. È importantissimo calcolare bene la rotta quadrantale perché riesco a capire
subito i segni della Dj e della Dl.
2. Le distanze sono sempre positive (da Roma a Napoli ci sono 140 Km così come da Napoli a Roma)
3. Il percorso m va trasformato in gradi prima di essere messo a calcolo (Nm / 60)